高中数学双勾函数图像及性质
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数 :数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一 ) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ （接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当 a≠0， b≠0时， f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x 叠“加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y＝ ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ ab 同号）当 a ，b 异号时， f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab 异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ， b>0 。
之后当a<0，b<0 时，根据对称就很容易得出结论了。
1(二 ) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当 x>0 时，。
当 x<0 时，。
即对勾函数的定点坐标：(三 ) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四 ) 对勾函数的单调性y(五 ) 对勾函数的渐进线O Xy=ax由图像我们不难得到：(六 ) 对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类耐克函数性质探讨函数y ax b，在 a0或b0时为简单的单调函数，不予讨论。
对勾函数
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，yXOy=ax。
双勾函数的图像与性质课件
双勾函数的性质
总结词
双勾函数具有一些特殊的性质，如对 称性、周期性和最值等。
详细描述
双勾函数图像关于直线y=kx（k为常 数）对称，同时具有周期性，其最小 正周期为2π。此外，双勾函数在特定 点取得最大值和最小值。
双勾函数的图像
总结词
双勾函数的图像呈现双勾形状，具有特定的对称性和周期性 。
详细描述
连线
使用平滑的曲线将这些点 连接起来，形成双勾函数 的图像。
双勾函数图像的特性
对称性
双勾函数的图像关于直 线y=x对称。
形状
双勾函数的图像是一个 半圆弧形状，类似于两
个勾子相交的形状。
定义域和值域
双勾函数的定义域为[1,1]，值域为[0,1]。
奇偶性
双勾函数是奇函数，即 f(-x)=-f(x)。
03
05
双勾函数与其他数学知 识的联系
与三角函数的联系
三角函数与双勾函数在图像上具有相似性，可以通过三角函数来理解双勾函数的图 像变化。
双勾函数的周期性与三角函数的周期性相呼应，可以通过三角函数的周期性来理解 双勾函数的周期性。
三角函数中的正弦、余弦函数与双勾函数中的f(x)=ax+b/x在特定条件下具有等价性 。
双勾函数的图像是一个类似于两个山峰和两个谷底的波形曲 线。图像关于直线y=kx（k为常数）对称，并且在特定点取 得最大值和最小值。通过调整参数a和b的值，可以改变双勾 函数的形状和大小。
02
双勾函数的图像绘制
使用数学软件绘制双勾函数图像
软件选择：选择合适的数学软件，如 GeoGebra、Desmos或Wolfram Alpha等，这些软件都支持双勾函数的 绘制。
在机械工程中，双勾函数可以用 于描述机械系统的振动和稳定性
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类耐克函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
双勾函数
下面分情况讨论
⑴当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即
f(x1）<f(x2），所以函数在（-∞，-根号a）上是增函数
⑵当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，
值定理，就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，
就不能用均值定理了。
上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半
轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规
则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重
简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x为分
母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，
求得的导函数为a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是
x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均
=a（x1-x2）-b（x1-x2）/x1x2
=（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2
∵x1>x2，x1-x2>0
∴ 当x∈（0，√（b/a））时，x1x2<b/a， 则ax1x2-b<b-b=0
∴f(x1）-f(x2）<0，即x∈（0，√（b/a））时，f(x)=ax+b/x单调递减
双勾函数的图像与性质PPT课件
（2） 0 x 1 时，求y的最小值 2
（3）
1 2
x
4
时，求y的值域
13
-
练习与巩固
(1) f (x) x 3 , (o x 1) x
x2 3x 2
(2) f (x)
, (2 x 5)
x
No Image
(3) f (x) Nx o3 , (x 3)
x 1
（4) f (x)Imx amge在0，1上的最小值
x
14
-
回顾一次函数与反比例函数
两个函数的主要性质 两个函数相加具有奇偶性吗？
15
-
链接对勾函数
形如y ax b (a 0,b 0)的函数图像 x
求定义域
函数的奇偶性如何
想象函数的图像的大致趋势
函数的图像可能出现的象限
y ax 直线
的图像与整体图像存在什么关系
16
-
观察图形，思考问题
思考1：函数f (x） x - 1 的奇偶性如何？ x
思考2：函数f (x） x - 1 与y x的图像有什么关系？ x
思考3：可以作出函数f (x） x - 1 的大致图像吗？ x
思考4：可以作出函数f (x） x - a（a 0）的大致图像吗？ x
6
-
7
-
函数 y x - a 的图像的主要性质（a>0)
（4）值域： y ,2 ab 2 ab,
17
-
x
（1）定义域： ,0 (0,)
（2）奇偶性： 奇函数 （3）渐近线： y x
（4）单调区间： - ，0和0， 单调增区间；
（5）值域： R
8
-
例2、判断函数f (x） 4x 1 在定义域上的单调性 x
2022届高考数学一轮复习讲义微专题1：对勾函数的性质与图像(学生版+教师版)
【学生版】微专题：对勾函数的性质与图像1、对勾函数的定义与表示对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数；当0,0a b ≠≠时，对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=，通过“函数的和的运算”合成的函数； （1）当,a b 同号时, 对勾函数()bf x ax x=+的图像，形状酷似双勾；故称“对勾函数”，如下图所示：（2）当,a b 异号时，对勾函数()bf x ax x=+的图像，形状发生了变化；如下图所示：2、对勾函数的性质研究以一般式：(0)by ax x x=+≠(a 、0b >)为例； （1）定义域： （2）值 域： （3）奇偶性： （4）单调性： （5）渐近线：【拓展】对于对勾函数()bf x ax x=+（0ab >）的单调性判断与证明； ① 当0,0a b >>时， 说明：；② 当0,0a b <<时 说明：；③当0,0a b ><时 ④当0,0a b <>时 3、对勾函数的图像特征对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时, 对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数. 【拓展】对勾函数顶点与最值相关对勾函数()(0,0)bf x ax a b x=+>>， 对勾函数()(0,0)bf x ax a b x=+<<， 4、对勾函数的初步应用 1、若函数()4f x x x=+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小值为4B ．函数()f x 在(0,2)上严格单调递减，在(2,)+∞上严格单调递增C ．函数()f x 的最大值为4D ．函数()f x 在(0,2)上严格单调递增，在(2,)+∞上严格单调递减 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】；2、已知函数()bf x ax x=+，其中a 、b 为常数，且()15f =，()24f =；（1）求a 、b 的值；（2）利用单调性的定义证明函数()f x 在区间()0,2上是减函数；（3）求函数()f x 在区间[]1,3上的最大值和最小值； 【提示】； 【答案】； 【解析】【说明】利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论；即取值→作差→变形→定号→下结论；体验教材研究函数单调性的方法与证明； 综上，理解对勾函数的构成，及单调性，单调区间，形成结论；注意利用定义法加以证明。
对号函数的图像与性质(1)
对号函数的图像与性质1.定义：形如)0(>+=ab xbax y 的函数称为对号函数.又形象称为双勾函数、耐克函数. 2．函数图像}{()3.(b>0)00,by ax a a x x x x x =+≠⎡-∞-⋃+∞⎣∞∞性质函数的性质(只考虑、b 均大于0时的情况）(1)定义域：(2)值域：，(3)奇偶性：奇函数(4)单调性：当>0时，在区间(上为减函数；在区间+)上为增函数当<0时，在区间()上为减函数；在区间(-上为增函数(5)对称性：图像关于原点对称min max x x y x x y ax ====--(6)极值：当>0时，当当<0时,当(7)顶点坐标：、(8)渐近线：x=0和y=4.例题例1 已知函数xx x f 1)(+=，分别求函数在以下定义域上的值域. (1)]4,2(∈x ； (2)]32,1[--∈x ；(3)]4,21[∈x ；(4))21,0()0,2(⋃-∈x答案：(1)517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦；(2)13,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；(3)172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(4)55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭例2 已知函数x ax x x f ++=2)(2在]3,0(是减函数，在),3[+∞是增函数，求a 的值．解：由函数()()0af x x a x =+>3,9a ==． 例3 已知函数xax y +=有如下性质：如果常数a >0，那么该函数在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 上是增函数.(1)如果函数)0(2>+=x xx y b的值域为),6[+∞，求b 的值；(2)研究函数)0(22>+=c x cx y 常数在定义域内的单调性，并说明理由. 解：(1)由函数)0(>+=a xax y 的性质知，当x > 0时，a x =时函数取最小值.2a所以对于函数,222,2b b b x xx y 时取最小值当=+=故,92,622==b b ∴2 9.b log = (2)设c t tct y t x t ≥+=>=由条件知在则)0(,2时为单调增函数，c t ≤<0时为单调递减函数，而2t x =在()+∞,0为单调增函数，在()0,∞-上为单调减函数所以由复合函数单调性知在222200c x x y x x x x ⎧⎧≥≤⎪⎪=+⎨⎨><⎪⎪⎩⎩均单调递增，解得,044<≤-≥x c c x 和即))22.c y x x⎡=++∞⎣的单调增区间为和 当x cx y x c x x c x +=⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧>≤时和0022均单调递减，解得440c x c x ≤≤<和即函数((22,.c y x x=+-∞的单调减区间为和 例4 （06上海高考）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数(1)如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；(2)研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； (3)对函数y ＝x ＋x a和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）[解](1)函数y =x +xb2(x >0)的最小值是2b 2，则2b 2=6, ∴29b log =(2)设0<x 1<x 2, 21y y =－1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+12x x <<时, 21,y y > 函数y =22xcx +在[4c ,+∞)上是增函数； 当120x x <<<4c 时, 21y y <, 函数y =22xcx +在(0,4c ]上是减函数又y =22xcx +是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；(3) 可以把函数推广为y =nn x ax +(常数a >0),其中n 是正整数 当n 是奇数时,y =n n xax +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数； 当n 是偶数时,y =n n xax +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数. 在(－∞,－n a 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；)(x F =n x x )1(2++n x x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nn n n r n r n r n n n n n n n x x C x x C x x C x x C ++++++++---- 因此)(x F 在 [21,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数当x =21或x =2时，)(x F 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当x =1时)(x F 取得最小值12n +作者:谢连清。
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质之宇文皓月创作繁华分享对勾函数是数学中一种罕见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变更。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变而已。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性 (五)对勾函数的渐进线对勾函数的图像（ab 异号）yXOy=ax由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：11，+∞）上是增函数及t的取值范围，当y x=-1.2的最小值。
双勾函数的性质及应用课件
05
双勾函数的扩展与深化
参数变化对函数的影响
参数变化对函数图像的影响
01
随着参数的变化，双勾函数的图像会相应地移动、伸缩或旋转
。
参数变化对函数值域的影响
02
参数的调整会影响双勾函数的值域，使其扩大或缩小。
参数变化对函数增减性的影响
03
参数的调整会影响双勾函数的增减性，从而影响函数的单调性
。
多重双勾函数
详细描述
双勾函数的图像具有周期性，即每隔一定的距离，图像会重 复出现。同时，双勾函数也具有对称性，即图像关于某条直 线对称。这些对称轴和周期性可以通过数学公式进行证明和 计算。
极值点与拐点
总结词
双勾函数的极值点和拐点是函数的重要特征点，它们在图像上呈现出特定的几何特征。
详细描述
极值点是函数值最大或最小的点，通常位于双勾的顶部或底部。拐点是函数图像形状发生变化的点， 通常位于两个不同单调区间的交界处。这些极值点和拐点的位置可以通过求导数和求解方程来找到。
双勾函数在优化问题中的应用，可以提供一种有效的求解方法，帮助我们更好地 解决实际问题。
在工程问题中的应用
在工程领域中，双勾函数也有着广泛的应用。例如，在机械 工程、航空航天工程等领域中，双勾函数可以用于解决一些 力学问题、振动问题等。
双勾函数在工程问题中的应用，可以提供一种精确的数学模 型，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
单调递减
如果对于所有x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在区间内单调递减。双勾函 数在(√(ab),+∞)区间内单调递减。
值域
• 值域：函数的值域是指函数在自变量所有可能取值范围内所取 到的值的集合。双勾函数的值域为[2√(ab),+∞)。
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x
3
所以函数的值域为
[2,
10] 3
y
2
o 11
3
x
2
例2.求函数 y 2x 1 (x [2,3])的值域
x 1
解： y 2x 1 2(x 1) 1 2
x 1
x 1
令 t x 1
则y
2t
1
2,
t
双勾函数
[1,2]
t
函数 y 2t 1 2在 [1,2]递增 t
所以函数最小值为 f (1) 5, 最大值为 f (2) 13 2
探究函数 y x 1 的图象与性质
x
1. 猜想与探索
幂函数 y x 和幂函数 y 1 x
两个函数相乘： y x 1 1 表示不过 (0,1) 的直线
x
两个函数相除： y x 1 x2 表示不过 (0,0) 的抛物线
x
两个函数相加： y x 1
x
表示?
两个函数相减： y x 1 表示?
y
o
x
(3)当a 0,b 0 时，
y
o
x
(2)当 a 0,b 0 时，
y
o
x
(4)当 a 0,b 0时，
y
o
x
4. 课堂总结
幂函数 y x
幂函数
y
1 x
函数
y
x
1 x
函数 y ax b
x
当 a 0,b 0时 当 a 0,b 0时 当 a 0,b 0时 当a 0,b 0 时
谢
谢
大家 ！
所以函数的值域为 [5,13] 2
例3.求函数 y x2 5 的值域
x2 4
解： y x2 5 x2 4 1 x2 4 1
x2 4
x2 4
x2 4
令t x2 4 则 y t 1, t [2,)
t
函数
y
t
1 t
在[2,)递增
所以函数 y t 1 最小值为 f (2) 5
x
y
特殊点：
(1,2),
(2, 5), 2
(1 , 5), 22
2
1 1
o1 1
分析：(i) 当x 时，x越来越大，1 越来越小，
x
因此函数图象越接近于 y x
x
(因ii)此当x函数0图时象，x越接越近来于越y小，1 1x 越来越大，
x
（三）利用软件《GeoGebra》验证函数 y x 1 的图象
x
（四）探究与发现
活动1：利用软件《GeoGebra》绘制函数 y 2x 3 的图象;
x
活动2：利用软件《 GeoGebra》绘制函数 y ax b (a 0,b 0) 的图象.
x
探究1：当参数 a,b 变化时,观察函数 y ax b 图象的变化；
x
探究2：判断函数 y ax b 的单调性，并寻找函数图象变化的关键点。
x
（一）分析函数 y x 1 的性质
x
性质分析
图象判断
定义域：x x 0
函数图象在x=0处断开
值域：当 x 0 时，y 0; 当 x 0 时，y 0; 函数图象分布在一、三象限
奇偶性：奇函数+奇函数 =奇函数
函数图象关于原点对称
单调性：增函数+减函数=?
猜测函数图象可能有增有减
（二）绘制函数 y x 1 的图象
x
a
2 实践与应用 例1.求函数 y x 1 (x [1 ,3]) 的值域
x2
解：函数 y x 1 在 [1 ,1]递减，在[1,3]递增
x2
所以函数y x 1 最小值为 f (1) 2 x
f (1) 5 , f (3) 10
22
3
所以函数y x 1 最大值为 f (3) 10
x
双勾函数 形如 y ax b (a 0,b 0) 的函数称为双勾函数
x
定义域： x x 0
值域： (,2 ab][2 ab,)
奇偶性： 奇函数
渐近线： y ax 和 x 0
增区间 (, b ), ( b ,)
单调性：
aa
减区间 (
b ,0), (0, a
b ,) a
y
2 ab
ob
t
2
所以函数的值域为[ 5 ,) 2
y
2
o1 2
t3Βιβλιοθήκη 拓展与探究当 a 0,b 0 时，分布在一、三象限的双勾函数
函数 y ax b
x
? 当 a 0,b 0 时， ? 当 a 0,b 0时，
? 当a 0,b 0 时，
函数y ax b 的图象
x
(1)当 a 0,b 0 时，