傅里叶变换经典课件

合集下载

经典傅里叶变换讲解ppt课件

)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2

《傅里叶变换经典》PPT课件

F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ；若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理

傅里叶变换的性质课件

c n
1 T0
T0
2 T0
2
f ( t ) e j d0 t t d
c n
1 2
f ( t ) e j td td
F ( ) f ( t ) e j t d t
cn
1 2
F ( )d
(4―22) (4―23) (4―24) (4―25)
现将信号f(t)的傅里叶级数展开式重写如下
1sin2ft]
n
n1,3,5,
4.2 信号的频谱
4.2.1 信号频谱上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号
可由系列复数指数函数加权之和构成。一般我们称这里的复数指数函数ejnΩt为n次谐波,在该函数上所加的权为谐波的振幅,nΩ为谐波的角频率,可以说所有的信号均是由系列角频率不同的谐波叠加而成的(角频率可简称为频率）。
0
t
(a)
F()
2
1
－ 0
(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个特例,即
1limetu(t), 0 0
[1]
[limet 0
u(t)]
lim[et
4.2.4 常见信号的频谱分析举例例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。解由频谱函数的定义式（4―28）有
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)

第五章傅里叶变换85页PPT

f (1) (0) 0 f (1) (l) 0
例1，要求在（- ，）上，f (x)=x2,
展开为Fourier 级数，在本题展开所得中置 x=0，由此验证:
1212 312 412 122
解：f (x)=x2，为偶函数；bk 0
1
a0
02d313
0
2
3
kx
f(x)a 0 a kco s k 1
★得
bk
1 l
l l
f()sin kd
l
★称
a
、
k
bk
为周期函数的傅里叶系数！
4、狄里希利定理：
若f (x) 满足：
(1)处处连续，或在每个周期有有限个第一类间断点；
(2)或在每个周期有有限个极值点，则级数收敛，且
级数和
=
f (x)
1[f(x0)f(x0)] 2
(在连续点x ) (在间断点x )
l
sinx, sin2x, L, sinkx,L
l
l
l
★设f(x)为周期为 2l 的函数将 f (x) 展开
f(x)a 0k 1(akco kls xb ksikn lx)
3、再谈周期函数族的正交性
l 1coksxdx0
l
l
l
kx
1sin dx0
l
l
lcoksxconsxd x0 (k n)
l
lHale Waihona Puke llsiknxsin nxd x0
l
l
l
(k
n)
l kx nx
cos sin d x0
l
l
l
l cos
k
x

傅里叶变换专题教育课件

Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件：一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳加权积分来表达”——傅里叶旳第二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换傅里叶变换有下列积分定义：
：傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt

傅里叶变换__经典ppt

1
§1 Fourier积分公式积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍令T=8, 以f (t)为基础构造为基础构造一周期为8的周期函数的周期函数f 一周期为的周期函数 8(t)
6
1 合并为：合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为：级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与积分公式与积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =

傅里叶变换优质获奖课件

FT[ fe (t)] Re[F ()]
FT[ fo (t)] j Im[F ()]
fe (t)
1[ 2
f
(t)
f
(t)]
fo (t)
1[ 2
f
(t)
f
(t)]
FT[ fe (t)]
1 f (t)e jt dt 2
1 f (t)e jt dt 2
作为一条性质使用
1 f (t)e jtdt 1 f ()e j d
FT[sgn(t)]
F
()
lim
a0
F1
F1 ( )
a2
j 2 2
FT[sgn(t)]
F
(
)
lim
a0
a2
j2 2
2
j
F () 2
( )
2
2
0
0
13
3 20 函数f (t)可以表示成偶函数fe (t)与奇函数fo (t)之和.
试证明: 若f (t)是实函数, 且FT[ f (t)] F ()
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
T1Fn
T1
2 T1
2
f (t)e jn1t dt 2Fn 1
频谱密度函数旳定义
F
()
lim
T1
FnT1
lim
1 0
2Fn 1
3
Fn
E
T1
Sa
n1
2
F () lim 2Fn E Sa( )
18
单边指数信号旳频谱
f (t) eatu(t)
F () 1 F () e j() a j

经典的傅里叶变换上PPT课件

•未完待续
• 只要努力，弯的都能掰直！
• 随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。
• 有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变
什么是正弦波？
• 正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。
傅里叶变换（上）
孔孔出品
一、什么是频域
• 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
一、什么是频域
• 这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的
• 将以上两图简化： • 时域： •
• 频域：
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
• 如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：

傅里叶变换(课堂PPT)

f(t)21 2g()ejtd
F
f(t)2g()
.
46
例题4.9 求
2
1 t2
的傅里叶变换。
解：根据例题4.2，我们有，
F
e|t|
2
12
利用对偶性
2
F
2e||
1t2
.
47
利用对偶性来进一步分析和推导傅里叶变换的性质。（1）下面将微分性质与对偶性结合，可得，
jt(xt) F d X() d
.
56
在这里，我们进一步来理解频谱 X( j) 的含义。
我们将一个信号除 [0,0] 以外的频率分量“滤掉”
x(t)
带通滤波器
x0 (t)
.
57
x0 (t) 的能量就等于
1 | 0 X(j)|2 d
2 0
可以说，| X(j0)|2 表示了信号 x (t ) 在 0 处的能量密度。
从这个意义上来说，
.
49
4.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理可以证明，对于能量有限信号
能谱密度
|x(t)|2d t1
|X(j
)|2d
2
信号在时域里面的能量
信号在频域里面的能量
.
50
对于周期信号，那么上面公式的左边将为无穷大。我们有帕斯瓦尔定律的另一种形式
1
T0
|
T0
x(t)|2
d
t |ak
.
2
抽样函数或者称为采样函数：
Sa(x) sinx x
S(ax)S(a x) 偶函数
通过罗必塔法则，可以得到
Sa(0) 1
Sa()0
x 抽样函数右边的第一个过零点在

信号与系统第三章：傅里叶变换ppt课件

n 可见，A n 是的偶函数，即有 An An
n 而 n 是的奇函数，即有 n n 19
可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为
直流分量
A0 2
，一次谐波或基波
A1cos(1t1)(它
的角频率与原周期信号相同)，二次谐波 A2cos(21t2)，
以此类推，三次，四次等谐波。
n 一般而言 Ancos(n1tn) 称为次谐波，A n
i1,2,....n...,
，则称该函数集为完备正交函数集。
三角函数集：
1 , c o s 1 t , c o s 2 1 t ,c o s n 1 t ,, s i n 1 t , s i n 2 1 t ,s i n n 1 t ,
在区间 (t0,t0 T) 内组成完备正交函数集。 T 2 /1
8
正交函数集
（1）正交函数在 [t1, t2 ] 区间上定义的非零实函数
1(t)和 2(t) 若满足条件 tt121(t)2(t)dt0
则函数 1(t)与 2(t)为在区间 [t1, t2 ] 的正交函数。
（2）正交函数集在区间 [t1, t2上] 的n个函数（非
零）1(t) …… n(t) ,其中任意两个均满足
任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和其各分量的复数幅度或相量为44444545三角形式傅里叶级数4646指数形式傅里叶级数任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和
LOGO
傅里叶变换
上海大学机自学院
完整版课件
1
上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾
❖ 上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析法”。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容，可概括为如下几个方面：

《傅里叶变换》课件

特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即给定一个频域函数，通过傅里叶逆变换可以恢复原始的时域函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，可以在频域中对图像进行滤波处理，如去除噪声、

《傅里叶变换详解》课件

单击添加标题
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量

第三章傅里叶变换90页PPT

• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。

四种傅里叶变换关系课件

离散傅里叶变换的应用
频谱分析
DFT是频谱分析的基本工具，通过计算信号的频谱，可以了解信号的频率成分和频率变化。
数字滤波器设计
DFT可以用于设计和分析数字滤波器，通过改变信号的频谱来实现信号处理。
信号调制与解调
在通信系统中，DFT可以用于信号的调制和解调，实现频搬移和信号恢复。
03
快速傅里叶变换（FFT）
通过傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而分析信号的频率成分和频率特性。
能量谱分析
通过傅里叶变换可以得到信号的能量分布，从而分析信号在不同频率下的能量大小。
信息提取
通过傅里叶变换可以提取信号中的有用信息，例如通过滤波器提取特定频率范围内的信号。
02
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶变换（DFT）是将离散时间信号转换为频域表示的数学工具。它将一个有限长度的离散时间序列x[n]转换为一个复数序列X[k]，其中k是离散频率索引。
DFT的定义为：X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] * W_N^kn，其中W_N=e^{j2π/N}是N次单位根。
离散傅里叶变换的性质
在通信系统中的应用
调制与解调
在通信系统中，信号通常需要进行调制和解调，傅里叶变换可以用于分析信号的频率特性，实现信号的调制与解调。
VS
多载波通信
多载波通信是现代通信中的重要技术，傅里叶变换可以用于分析信号在频域的特性，实现多载波信号的处理和传输。
THANKS
定义公式
(X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-2piift} dt)
逆变换公式
(x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{2piift} df)