运动学典型问题与解决方法

物理学科培训师辅导讲义

羚羊从静止开始匀加速奔跑50m 达到最大速度用时间t 1，则2222

t v s =

，s v s t 42550

22222=⨯=

= 猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运动时间最多4s ，而羚羊最多匀速3s 而被追上，此x 值为最大值，即x=S 豹－S 羊=[（60＋30×4）－（50＋25×3）]=55m ，所以应取x<55m 。 【例2】一辆小车在轨道MN 上行驶的速度v 1可达到50km/h ，在轨道外的平地上行驶速度v 2可达到

40km/h ，与轨道的垂直距离为30km 的B 处有一基地，如图所示，问小车从基地B 出发到离D 点100km 的A 处的过程中最短需要多长时间（设小车在不同路面上的运动都是匀速运动，启动时的加速时间可忽略不计）？

【解析】建构合理的知识体系，巧用类比，触发顿悟性联想。

显然，用常规解法是相当繁琐的。我们知道，光在传播过程中“走”的

是时间最短的路径。可见，我们可以把小车的运动类比为光的全反射现象的临界状态（如图所示），根据临界角知识得：sinC=v 2/v 1＝4/5，由图得：sinC ＝x/2230+x ，小车运动时间：t=（100－ x ）/v l ＋2230+x /v 2由以上几式可得： c ＝40km ， t ＝2．45h 。

【例3】高为h 的电梯正以加速度a 匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？

解析：此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的示意图，如图2— 27所示．这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动．从示意图还可以看出，电梯与螺钉的位移关系：

S 梯一S 钉= h 式中S 梯＝vt 十½at 2，S 钉＝vt －½gt 2

可得t=()a g h +/2

错误：学生把相遇过程示意图画成如下图，则会出现S 梯＋S 钉= h 式中S 梯＝v 0t 十½at 2，S 钉＝v 0t －½gt 2

这样得到v 0t 十½at 2＋v 0t －½gt 2=h ，即½（a －g ）t 2＋2v 0t －h=0

由于未知v 0，无法解得结果。判别方法是对上述方程分析，应该是对任何时间t ，都能相遇，即上式中的Δ＝4v 02＋2（a －g ）h≥0

也就是v 0≥

()2/h g a -，这就对a 与g 关系有了限制，而事实上不应有这样的限

制的。

点评：对追及类问题分析的关键是分析两物体运动的运动过程及转折点的条件．可见，在追赶过程中，速度相等是一个转折点，要熟记这一条件．在诸多的物理问题中存在“隐蔽条件”，这类问题往往是难题，于是，如何分析出“隐蔽条件”成为一个很重要的问题，一般是根据物理过程确定．该题中“隐蔽条件”就是当两车速度相同时距离最大．解析后，问题就迎刃而解． 2、相遇问题的分析思路

相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同．

V 0、a

(1)列出两物体运动的位移方程，注意两个物体运动时间之间的关系．

(2)利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系．

（3)寻找问题中隐含的临界条件．

（4)与追及中的解题方法相同

【例4】．在某铁路与公路交叉的道口外安装的自动拦木装置如图所示，当高速列车到达A 点时，道口公路上应显示红灯，警告来越过停车线的汽车迅速制动，而且超过

停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口。已知高速列车的速

度V1=120km/h，汽车过道口的速度V2=5km/h，汽车驶至停车线时立

即制动后滑行的距离是S0＝5m，道口宽度s＝26m，汽车长l=15m。

若栏木关闭时间t l＝16s，为保障安全需多加时间t2=20s。问：列车从

A点到道口的距离L应为多少才能确保行车安全？

解析：由题意知，关闭道口时间为16s，为安全保障再加20s，即关闭

道口的实际时间为t0=20+16=36s，汽车必须在关闭道口前已通过道口，汽车从停车线到通过道口实际行

程为S=26+5+15=46m，需用时

2463600 5000

t

⨯

=，由此亮起红灯的时间为T=t0+t2，故A点离道口的距离应为：

L=V1T=1200004636

36

360050

⨯

⎛⎫

⨯+

⎪

⎝⎭

=2304m

【例5】火车以速度V l匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一火车沿同方向以速度V2（对地、且V1＞V2）做匀速运动．司机立即以加速度a紧急刹车．要使两车不相撞，a应满足什么条件？

解法一：后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和V2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度，两车距离将逐渐增大．可见，当两车速度相等时，两车距离最近．若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未过上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车．这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度．综上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程：

V1t－a0t2/2＝V2t＋S V1—a0t=V2 解之可得：a0=()

S

V

V

2

2

1

2

-．所以当a≥()

S

V

V

2

2

1

2

-时，两车即不会相撞

解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为V1t－at2/2 ≤S＋V2t即at2/2＋（V2－V1）t＋S≥0对任一时间t，

不等式都成立的条件为Δ＝（V2－V1）2－2as≤0 由此得a≥()

S

V

V

2

2

1

2

-

解法三：以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度V0= V1－V2，加速度为a的匀减速直线运动．当后车相对前车的速度成为零时，若相对位移S/≤S，则不会相撞．故由

S/= V02/2a= （V1－V2）2/2a≤S，得a≥()

S

V

V

2

2

1

2

-

点评：三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程．然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙地选取参照物，使两车运动的关系变得简明．

说明：本题还可以有多种问法，如“以多大的加速度刹车就可以不相碰？”，“两车距多少米就可以不相