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随机事件及其概率习题
第一章随机事件及其概率习题一 、填空题当A , B 互不相容时，P (A U B)=亠卩(AB )= 0_^ 当 B A 时,P(A+B = _;_RAB = 若 P(A) ,P(B) ,P(AB) , P(A B) 1P(A B)= 119 9.事件 A,B,C 两两独立，满足 ABC , P (A) P (B) P (C)-,且 P ( A+B+C )=—216则 P(A)=??10.已知随机事件 A 的概率P(A) 0.5，随机事件 B 的概率P(B) 0.6，及条件概率P(B | A) 0.8，则和事件 A B 的概率P(A B)1.设样本空间 {x|0x 2}, 事件A {x|l1x 1}, B {x|-4{x|0 x ^} U{x|-4 2x 2},- 1 AB{x|-4x 1} U{x|1 x 2.连续射击一目标，A i 表示第i 次射中，直到射中为止的试验样本空间，则=A ； A I A 2； L ； A 1 A 2 L A n 1A n ； L.3.—部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为 1、2、3、4概率为 — 124. 一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概 率是 c m c nm /c N5.某地铁车站，每5分钟有一趟列车到站， 乘客到达车站的时刻是任意的, 则乘客侯 车时间不超过3分钟的概率为 6•在区间(0, 1 )中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6”的概率为57. 已知 RA)= P(B)=(1) ;P(AB)12.假设一批产品中一、二、三等品各占60% 30% 10%从中随机取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为13. 已知 P(A) a,P (B|A) b,则卩(AB )14. 一批产品共10个正品,2个次品，任取两次，每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率162 1 215.甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是 -,1,-，三人中恰好有两人合格的概3 2 5率为2/5 .16. 一次试验中事件 A 发生的概率为 p ,现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 1 (1 p)n； A 至多发生一次的概率为17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被击中,则它是甲中的概率为二、选择题3.如果事件A, B 有B A,则下述结论正确的是(C ).产品不全是合格品”，则下述结论正确的是(B ).5. 若二事件A 和B 同时出现的概率 P( AB )=0则(C ).(C ) AB 未必是不可能事件；(D ) P( A )=0或P( B )=0.a ab .(1 P)n np(1 p)n 11.以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” 则其对立事件 A 为(D ).(A ) “甲种产品畅销，乙种产品滞销” (B ) “甲、乙两种产品均畅销” (C ) “甲种产品滞销”(D ) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”2.对于任意二事件 A 和 B,与A BB 不等价的是(D ).(A) A B;(B) B A;(C) AB(D) AB(A ) A 与B 同时发生; (B) A 发生，B 必发生; (C) A 不发生B 必不发生; (D B 不发生A 必不发生.4. A 表示“五个产品全是合格品”,B 表示“五个产品恰有一个废品”,C 表示“五个(A) A B;(B) A C;(C) B C;(D) A B C.(A ) A 和B 不相容;(B ) AB 是不可能事件;6.对于任意二事件A和B有P(A B) (C ).(D) P(A) P (B) P(B) P(AB).8.设A , B 是任意两个概率不为 0的不相容的事件，则下列事件肯定正确的(D ).(A) A 与 B 不相容；(B) A 与 B 相容；(C) P( AB = P( A )P( B); (D) P( A-护P( A ). 9.当事件A B 同时发生时，事件C 必发生则(B ).(C) 事件A 和 B 互不独立；13 .设A, B 是任意二事件，且P(B) 0, P(A|B) 1 ,则必有(C ).(A) P(A B) P(A); (B) P(A B) P(B); (C) P(A B) P(A);(D)P(AB) P(B).14. 袋中有 5个球，其中2个白球和 3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球,取后不放回，则第二人取到白球的概率为(D .(C ) P (A) P( AB)； (A) P(C) P(A) P(B) 1;(C) P(C) P(AB);(B) P(C) P(A) P(B) 1; (D) P(C) P(A B).10.设A,B 为两随机事件，且 A ，则下列式子正确的是 (A ).(A ) P(A B) P(A);(B) P(AB) P(A); (C) P(B|A) P(B);(D)P(B A) P(B) P(A).11.设A 、B 、C 是二随机事件，且 P(C) 0,则下列等式成立的是 (B).(A) P(A|C) P(A|C) (C) P(A|C) P(A|C)1; 1;(B) P(AUB|C) P(A|C) P(B|C) P (AB|C); (D) P(AUB|C) P(A|C) P(B|C).12.设A, B 是任意两事件B,P(B) 0,则下列选项必然成立的是(B ).(A) P (A) P(A|B); (C) P(A) P(A|B);(B) P(A) P(A|B); (D) P(A) P(A| B). 1(A)1;(B) |;4(C) 1;(D) I515.设 0 P(A) 1, 0 P(B) 1, P(A|B) P(A|B) 1,则(D ).(A) 事件A 和 B 互不相容;(B)事件A 和B 互相对立;事件A 和B 相互独立.p (0 p 1)，则此人第4 (D)16.某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为次射击恰好第2次命中目标的概率为(C).三、解答题1.写出下列随机实验样本空间:(1)同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和;(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只(取出后不放回) ，直到将3只次品都取 出，记录抽取的次数;⑶对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
《概率论与数理统计》第01章习题解答
第一章 随机事件及其概率第1章1、解：（1）{}2,3,4,5,6,7S = （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
《概率论与数理统计》复习题
《概率论与数理统计》复习题第一章：随机事件及其概率1．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1AB．A1A2C．A1A2D．A1A22．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）．．A．P(AB)=0C．P(AB)=P(A)P(B)B．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(B-A)=P(B)13．设事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)>0，则P(A|B)=()3A．1141B．C．D．1551534．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且AB，则P(A|B)=（）A．0B．0.4C．0.8D．15.一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）A．0.20B．0.30C．0.38D．0.573126.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)，则P （B）=（）335A.1234B.C.D.55557.设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=________.8．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(AB)=__________.9.10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________.10．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________11．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.12．一医生对某种疾病能正确确诊的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8。
若未被确诊，病人能自然痊愈的概率为0.1。
①求病人能够痊愈的概率；②若某病人已经痊愈，问他是被医生确诊的概率是多少？第二章：随机变量及其分布1.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（）100,某100,A．某2某1000,10,某0,B．某0,某0131，某,D．222其他0,1,0某2,C．0,其他2．设随机变量某在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量某的概率密度f(某)为()1,1某2;A．f(某)30,其他.1,1某2;C．f(某)0,其他.3,1某2;B．f(某)0,其他.1,1某2;D．f(某)30,其他.13．设随机变量某~B3,，则P{某1}=()3A．181926B．C．D．272727274.设随机变量某在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2C．P{2.55．设离散型随机变量某的分布律如右，B．P{1.5某-101则常数C=_________.P2C0.4CA某2,0某1;6．设随机变量某的概率密度f(某)则常数A=_________.其他,0,某1;0,0.2,1某0;7．设离散型随机变量某的分布函数为F(某)=0.3,0某1;0.6,1某2;某2,1,8.设连续型随机变量某的分布函数为则P{某>1}=_________.0，某0，ππF(某)in某，0某,其概率密度为f(某)，则f()=________.62π1,某,29.设随机变量某~N（2，22），则P{某≤0}=___________。
概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)
习题1（随机事件及其运算）一．填空题1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件：事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ；事件A ，B ，C 都不发生为 ；事件A ，B ，C 至少一个发生为 ；事件A ，B ，C 至多一个发生为 .2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是：1A 表示 ；321A A A 表示 ；321321321A A A A A A A A A ++表示 ；321A A A 表示 .3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。
则式子ABC=C 成立的条件是 .二．选择题1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）.① A BC A = ； ② A BC A = ；③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A .2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）.① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”.3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）.① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥；③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .三．解答题1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}.2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}.3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。
有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}.4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P习题2（概率的定义及性质）一．填空题1. 掷两枚质地均匀的骰子，则点数之和为8的概率P = .2. 在10把钥匙中，有3把能开门。
随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率习题一一、填空题1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2341|{ },121|{<≤=≤<=x x B x x A ，则B A Y 13{|0}{|2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422x x x x =≤≤<<U . 2. 连续射击一目标，i A 表示第i 次射中，直到射中为止的试验样本空间Ω，则Ω={}112121 n n A A A A A A A -L L L ；；；；. 3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为 121 . 4．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概率是 n N m n M n m M C C C /-- .5．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 .6．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56 ”的概率为 . 7．已知P (A )=, P(B )=,(1) 当A ,B 互不相容时, P (A ∪B )= ; P(AB )= 0 .(2) 当B A 时, P(A+B )= ; P (AB )= ；8. 若γ=β=α=)(,)(,)(AB P B P A P ,=+)(B A P 1γ-;=)(B A P βγ-; )(B A P +=1αγ-+.9. 事件C B A ,,两两独立, 满足21)()()(<===C P B P A P ABC ，φ,且P (A+B+C )=169， )(A P 则= . 10．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件的概率6.0)(=B P ，及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A +的概率=+)(B A P .12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 23 . 13. 已知===）（则B A P b A B P a A P ,)|(,)( ab a - . 14. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率 61 . 15. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是52 ,21 ,32，三人中恰好有两人合格的概率为 2/5 . 16. 一次试验中事件A 发生的概率为p , 现进行n 次独立试验, 则A 至少发生一次的概率为11n p --（）；A 至多发生一次的概率为 11(1)n n p np p --+-（） .17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为 .二、选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为（D ）.（A ）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （B ）“甲、乙两种产品均畅销”;（C ）“甲种产品滞销”; （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.2. 对于任意二事件不等价的是与和B B A B A =Y ,（D ）.() ; () ; () ; () .A A B B B A C AB D AB ⊂⊂=Φ=Φ3. 如果事件A ，B 有B A ，则下述结论正确的是（C ）.（A ） A 与B 同时发生; （B ）A 发生，B 必发生；（C ） A 不发生B 必不发生； （D ）B 不发生A 必不发生.4. A 表示“五个产品全是合格品”，B 表示“五个产品恰有一个废品”，C 表示“五个产品不全是合格品”，则下述结论正确的是（B ）.() ; () ; () ; .A AB B AC C B CD A B C ====-（） 5. 若二事件A 和B 同时出现的概率P(AB )=0则（C ）.（A ）A 和B 不相容； （B ）AB 是不可能事件；（C ）AB 未必是不可能事件； （D ）P(A )=0或P(B )=0.6. 对于任意二事件A 和有=-)(B A P (C ).(A) )()(B P A P -; （B ）)()()(AB P B P A P +-;（C ）)()(AB P A P -; （D ）)()()()(B A P B P B P A P -++.8. 设A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D ）. (A) B A 与不相容; (B)B A 与相容; (C) P(AB )=P(A )P(B ); (D) P(A −B )=P(A ).9. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则（B ）.(A)()()()1;(B)()()()1;(C)()(); (D)()().P C P A P B P C P A P B P C P AB P C P A B ≤+-≥+-==+ 10. 设B A ,为两随机事件，且A B ⊂ ，则下列式子正确的是 (A ).（A ）)()(A P B A P =+; (B) )()(A P AB P =;(C) )()|(B P A B P =; (D) )()()(A P B P A B P -=-.11. 设则下列等式成立的是是三随机事件，且、、,0)(>C P C B A ( B).() (|)(|)1; () (|)(|)(|)(|);() (|)(|)1; () (|)(|)(|).A P A C P A CB P A BC P A C P B C P AB C C P A C P A CD P A B C P A C P B C +==+-+==U U 12. 设B A ,是任意两事件, 且0)(,>⊂B P B A , 则下列选项必然成立的是（B ）. ()()(|); ()()(|);()()(|); ()()(|).A P A P AB B P A P A BC P A P A BD P A P A B <≤>≥ 13．设B A ,是任意二事件,且()0P B >,(|)1P A B =,则必有（ C ）.(A) ()()P A B P A +>; (B) ()()P A B P B +>;(C) ()()P A B P A +=; (D) ()()P A B P B +=．14. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（D ）.1212() ; () ; () ; () .4455A B C D15. 设则,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P （D ）.(A) 事件B A 和互不相容； (B) 事件B A 和互相对立；(C) 事件B A 和互不独立； (D) 事件B A 和相互独立.16. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（C ）.222222(A)3(1); (B)6(1);(C)3(1); (D)6(1).p p p p p p p p ----三、解答题1.写出下列随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和； (2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
第一章：随机事件与概率(练习一)
第一章：随机事件与概率（练习一）1.设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ ） A.P （A ）=1-P （B ）B.P （AB ）=P （A ）P （B ）C.P 1)(=ABD.P （A ∪B ）=12．设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（ ） A ．A 与A 互为对立事件B ．A 与A 互不相容C ．Ω=⋃A AD ．A A =3．设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（ ） A ．P （AB ）=0 B ．P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=P （A ）P （B ）D ．P （B-A ）=P （B ）4．设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ）A ．P (AB )=l B ．P (A )=1-P (B )C ．P (AB )=P (A )P (B )D ．P (A ∪B )=15．设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ）A ．P (AB )=0B ．P (A -B )=P (A )P (B )C ．P (A )+P (B )=1D ．P (A |B )=06．设A ，B 为两个随机事件，且0)(,>⊂B P A B ，则P (A |B )=（ ）A ．1B ．P (A )C ．P (B )D ．P (AB )7．从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（ ）A ．10150 B ．10151 C ．10050 D ．10051 8．设事件A 、B 满足P （A B ）=0.2，P （B ）=0.6，则P （AB ）=（ ）A ．0.12B ．0.4C ．0.6D ．0.89．设每次试验成功的概率为p(0<p<1)，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）A ．1-（1-p ）3B ．p(1-p)2C ．213)1(p p C -D ．p+p 2+P 310．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（ ）A ．0.002B ．0.04C ．0.08D ．0.10411.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（ ）A.0.125B.0.25C.0.375D.0.512．设在三次独立重复试验中，事件A 出现的概率都相等，若已知A 至少出现一次的概率为19／27，则事件A 在一次试验中出现的概率为（ ）A ．61B ．41 C ．31 D ．21 13．设随机事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P(B)=0.4，则P （B|A ）=（ ）A ．0B ．0.2C ．0.4D ．114．设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）=0.4，P(B)=0.5，则P(A B )=（ ）A ．0.1B ．0.4C ．0.9D ．115.设A 、B 为任意两个事件，则有（ ）A.（A ∪B ）-B=AB.(A-B)∪B=AC.(A ∪B)-B ⊂AD.(A-B)∪B ⊂A16．设事件A ，B 相互独立，且P （A ）=31，P （B ）>0，则P （A|B ）=（ ） A ．151 B ．51 C ．154 D ．31 17．某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（ ）A ．p 2B ．(1-p )2C ．1-2pD ．p (1-p )18．已知P (A )=0.4，P (B )=0.5，且A ⊂B ，则P (A |B )=（ ）A ．0B ．0.4C ．0.8D ．119．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（ ）A ．0.20B ．0.30C ．0.38D ．0.5720.设A ，B 为两事件，已知P （A ）=31，P （A|B ）=32，53)A |B (P =，则P （B ）=（ ） A.51 B. 52 C. 53 D. 54。
概率论与数理统计第一章习题参考答案
概率论与数理统计第一章习题参考答案第一章随机事件及其概率1.解决方案：（1）s？？2,3,4,5,67? （2） s？？2,3,4,?? （3） s？？h、 th，tth，？？（4）s??hh,ht,t1,t2,t3,t4,t5,t6?2．解：?p(a)?14,p(b)?12,p(ab)?1814? 12? 18? 58? p（a？b）？p（a）？p（b）？p（ab）？p(ab)?p(b)?p(ab)=?p(ab)?1?p(ab)?1?1812??7818?38p[（a？b）（ab）]？p[（a？b）？（ab）]p(ab)p(ab)(abab)5818123.解决方案：使用a表示事件“获得的三位数不包含数字1”P（a）？C8C9C990011？8.9? 9900? 一千八百二十五4、解：用a表示事件“取到的三位数是奇数”，用b表示事件“取到的三位数大于330”(1)p(a)?c3c4c4ca121525111?3?4?45?5?41=0.482） p（b）？c2a5？c2c4c5a5121？2.5.4.1.2.45? 5.4=0.485、解：用a表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”，用b表示事件“4只中至少有2只红球”，用c表示事件“4只中没有只白球”（1）p(a)?c5c4c3c12132114=1204954=833（2） p（b）？1.c4c8？c8c412=202195?67165或p(b)?c4c8?c4c8?c4c41222314?67165一（3）p(c)?c7c4412?35495?7996.解决方案：使用a表示事件“在特定销售点获得的K提单”P（a）？cn（m？1）mnkn？K7、解：用a表示事件“3只球至少有1只配对”，用b表示事件“没有配对”（1）p(a)?（2）p(b)?3?13?2?12?1?13?2?1??2313或p(a)?1?2.1.13? 2.1.238、解p(a)?0.5,p(b)?0.3,p(ab)?0.1p（ab）p（b）p（ab）p（a）（1）p（ab）？？0.10.30.10.5? 1315，p(ba)p（a？b）？p（a）？p（b）？p（ab）？0.5? 0.3? 0.1? 零点七p[a(a?b)]p(a?b)p(a?ab)p(a?b)p(ab)p(a?b)p(aa?b)p(ab)p(a?b)0.10.717?0.50.7?57 p（aba？b）？p[（ab）（a？b）]p（a？b）p（ab）p（ab）p(aab)?p[a(ab)]p(ab)??1（2）设定人工智能？？第一次拿到白球？我1,2,3,4则p(a1a2a3a4)?p(a1)p(a2a1)p(a3a1a2)p(a4a1a2a3)?611?712?513?412?84020592?0.04089.解决方案：用a表示“两个球中至少有一个红球”，用B表示“两个都是红球”。
习题1 随机事件及其概率
习题一 随机事件及其概率一、填空题1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。
2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则（1）A 表示 甲未得100分的事件；（2）A B ⋃表示 甲乙至少有一人得100分的事件；（3）AB 表示 甲乙都得100的事件；（4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件；（5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件；（6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件；3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ⋃⋃= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A PB PC ++---+。
4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ⋃=0.625。
5．设111()()(),()()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ⋃⋃=167；()P ABC =169；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163；(|)P A A B C ⋃⋃=74。
6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。
7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260。
8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概率为 。
第一章_随机事件及其概率习题
第一章随机事件及其概率习题一一、填空题1.设样本空间,事件,则, 、2、连续射击一目标,表示第次射中,直到射中为止得试验样本空间,则=、3.一部四卷得文集,按任意次序放在书架上,各卷自左向右,或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为、4.一批(个)产品中有个次品、从这批产品中任取个,其中恰有个个次品得概率就是、5.某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站,乘客到达车站得时刻就是任意得,则乘客侯车时间不超过3分钟得概率为0、6 、6.在区间(0, 1)中随机地取两个数,则事件“两数之与小于”得概率为0、68 、7.已知P(A)=0、4, P(B)=0、3,(1)当A,B互不相容时, P(A∪B)= 0、7; P(AB)= 0 、(2)当B A时, P(A+B)= 0、4 ; P(AB)= 0、3 ;8、若,;;=、9、事件两两独立, 满足,且P(A+B+C )=,=0、25？？、10.已知随机事件得概率,随机事件得概率,及条件概率,则与事件得概率0、7 、12.假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随机取一件结果不就是三等品,则取到一等品得概率为、13、已知、14、一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品得概率、15、甲、乙、丙三人入学考试合格得概率分别就是,三人中恰好有两人合格得概率为2/5 、16、一次试验中事件发生得概率为p, 现进行次独立试验, 则至少发生一次得概率为;至多发生一次得概率为、17、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0、6与0、5,现已知目标被击中,则它就是甲中得概率为 0、75 、二、选择题1.以表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”则其对立事件为(D)、(A)“甲种产品畅销,乙种产品滞销”; (B)“甲、乙两种产品均畅销”;(C)“甲种产品滞销”; (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”、2、 对于任意二事件(D)、() ; () ; () ; () .A A B B B A C AB D AB ⊂⊂=Φ=Φ3、 如果事件A,B 有B ⊂A,则下述结论正确得就是(C)、（A ） A 与B 同时发生; (B)A 发生,B 必发生;(C) A 不发生B 必不发生; (D)B 不发生A 必不发生、4、 A 表示“五个产品全就是合格品”,B 表示“五个产品恰有一个废品”,C 表示“五个产品不全就是合格品”,则下述结论正确得就是(B)、() ; () ; () ; .A AB B AC C B CD A B C ====-（） 5、 若二事件与同时出现得概率P()=0则(C)、(A)与不相容; (B)就是不可能事件;(C)未必就是不可能事件; (D)P()=0或P()=0、6、 对于任意二事件与有 (C )、(A) ; (B);(C); (D)、8、 设A , B 就是任意两个概率不为0得不相容得事件,则下列事件肯定正确得(D)、(A) 不相容; (B)相容; (C) P(AB )=P(A )P(B ); (D) P(A −B )=P(A )、9、 当事件A 、B 同时发生时,事件C 必发生则(B)、(A)()()()1;(B)()()()1;(C)()(); (D)()().P C P A P B P C P A P B P C P AB P C P A B ≤+-≥+-==+ 10、 设为两随机事件,且 ,则下列式子正确得就是 (A )、(A); (B) ;(C) ; (D) 、11、 设( B )、() (|)(|)1; () (|)(|)(|)(|);() (|)(|)1; () (|)(|)(|).A P A C P A CB P A BC P A C P B C P AB C C P A C P A CD P A B C P A C P B C +==+-+==U U 12、 设就是任意两事件, 且, 则下列选项必然成立得就是(B)、()()(|); ()()(|);()()(|); ()()(|).A P A P AB B P A P A BC P A P A BD P A P A B <≤>≥ 13.设就是任意二事件,且,,则必有( C )、(A) ; (B) ;(C) ; (D) .14、 袋中有5个球,其中2个白球与3个黑球,又有5个人依次从袋中任取一球,取后不放回,则第二人取到白球得概率为(D )、1212() ; () ; () ; () .4455A B C D15、 设(D)、(A) 事件互不相容; (B) 事件互相对立;(C) 事件互不独立; (D) 事件相互独立、16、 某人向同一目标重复射击,每次射击命中目标得概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标得概率为(C)、三、解答题1、写出下列随机实验样本空间:(1) 同时掷出三颗骰子,记录三只骰子总数之与;(2) 10只产品中有3次产品,每次从中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取得次数;(3) 对某工厂出厂得产品进行检查,合格得盖上“正品”,不合格得盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查得结果。
第一章-随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率习题一一、填空题1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2341|{ },121|{<≤=≤<=x x B x x A ，则B A 13{|0}{|2}42x x x x =≤<≤≤ , B A 113{|}{|1}422x x x x =≤≤<< . 2. 连续射击一目标，i A 表示第i 次射中，直到射中为止的试验样本空间Ω，则Ω={}112121 n n A A A A A A A -；；；；.3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为 121 . 4．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概率是 n N m n M n m M C C C /-- .5．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 .6．在区间〔0, 1〕中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56 ”的概率为 0.68 . 7．已知P (A )=0.4, P(B )=0.3,(1) 当A ,B 互不相容时, P (A ∪B )= 0.7; P(AB )= 0 .(2) 当B ⊂A 时, P(A+B )= 0.4 ; P (AB )= 0.3 ；8. 假设γ=β=α=)(,)(,)(AB P B P A P ,=+)(B A P 1γ-;=)(B A P βγ-; )(B A P +=1αγ-+.9. 事件C B A ,,两两独立, 满足21)()()(<===C P B P A P ABC ，φ,且P (A+B+C )=169， )(A P 则=0.25？？ . 10．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A +的概率=+)(B A P 0.7 .12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 23 .13. 已知===）（则B A P b A B P a A P ,)|(,)( ab a - . 14. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率 61 . 15. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是52 ,21 ,32，三人中恰好有两人合格的概率为 2/5 . 16. 一次试验中事件A 发生的概率为p , 现进行n 次独立试验, 则A 至少发生一次的概率为11n p --（）；A 至多发生一次的概率为 11(1)n n p np p --+-（） .17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为 0.75 .二、选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为〔D 〕.〔A 〕“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; 〔B 〕“甲、乙两种产品均畅销”;〔C 〕“甲种产品滞销”; 〔D 〕“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.2. 对于任意二事件不等价的是与和B B A B A = ,〔D 〕.() ; () ; () ; () .A A B B B A C AB D AB ⊂⊂=Φ=Φ3. 如果事件A ，B 有B ⊂A ，则下述结论正确的选项是〔C 〕.（A ） A 与B 同时发生; 〔B 〕A 发生，B 必发生；〔C 〕 A 不发生B 必不发生； 〔D 〕B 不发生A 必不发生.4. A 表示“五个产品全是合格品”，B 表示“五个产品恰有一个废品”，C 表示“五个产品不全是合格品”，则下述结论正确的选项是〔B 〕.() ; () ; () ; .A AB B AC C B CD A B C ====-（） 5. 假设二事件A 和B 同时出现的概率P(AB )=0则〔C 〕.〔A 〕A 和B 不相容； 〔B 〕AB 是不可能事件；〔C 〕AB 未必是不可能事件； 〔D 〕P(A )=0或P(B )=0.6. 对于任意二事件A 和B 有=-)(B A P (C ).(A) )()(B P A P -; 〔B 〕)()()(AB P B P A P +-;〔C 〕)()(AB P A P -; 〔D 〕)()()()(B A P B P B P A P -++.8. 设A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则以下事件肯定正确的〔D 〕. (A) B A 与不相容; (B)B A 与相容; (C) P(AB )=P(A )P(B ); (D) P(A −B )=P(A ).9. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则〔B 〕.(A)()()()1;(B)()()()1;(C)()(); (D)()().P C P A P B P C P A P B P C P AB P C P A B ≤+-≥+-==+ 10. 设B A ,为两随机事件，且A B ⊂ ，则以下式子正确的选项是 (A ).〔A 〕)()(A P B A P =+; (B) )()(A P AB P =;(C) )()|(B P A B P =; (D) )()()(A P B P A B P -=-.11. 设则下列等式成立的是是三随机事件，且、、,0)(>C P C B A ( B ).() (|)(|)1; () (|)(|)(|)(|);() (|)(|)1; () (|)(|)(|).A P A C P A CB P A BC P A C P B C P AB C C P A C P A CD P A B C P A C P B C +==+-+== 12. 设B A ,是任意两事件, 且0)(,>⊂B P B A , 则以下选项必然成立的是〔B 〕.()()(|); ()()(|);()()(|); ()()(|).A P A P AB B P A P A BC P A P A BD P A P A B <≤>≥ 13．设B A ,是任意二事件,且()0P B >,(|)1P A B =,则必有〔 C 〕.(A) ()()P A B P A +>; (B) ()()P A B P B +>;(C) ()()P A B P A +=; (D) ()()P A B P B +=．14. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为〔D 〕.1212() ; () ; () ; () .4455A B C D15. 设则,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 〔D 〕.(A) 事件B A 和互不相容； (B) 事件B A 和互相对立；(C) 事件B A 和互不独立； (D) 事件B A 和相互独立.16. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为〔C 〕.222222(A)3(1); (B)6(1);(C)3(1); (D)6(1).p p p p p p p p ----三、解答题1.写出以下随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和； (2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只〔取出后不放回〕，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
作业题 第一章 随机事件及其概率
2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过 两次而接通所需电话的概率． 若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
3、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现废品 的概率是 0.02． 加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台 加工的零件多一倍． （1）求任意取出的零件是合格品的概率； （2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
概率论与数理统计作业纸
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第一章 随机事件及其概率 一、 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算
1、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件 A 表示“出现偶数点” ，事件 B 表示“出现的点数能被 3 整除” ． （1）写出试验的样本点及样本空间； （2）把事件 A 及 B 分别表示为样本点的集合； （3）事件 A , B , A B , AB , A B 分别表示什么事件？并把它们表示为样本 点的集合．
概率论与数理统计作业纸
~5~
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4、 甲、 乙、 丙三人同时对飞机进行射击， 三人的命中概率分别为 0.4 , 0.5 , 0.7 ． 飞 机被一人击中而被击落的概率为 0.2 ，被两人击中而被击落的概率为 0.6 ，若三 人都击中，则飞机必被击落．求飞机被击落的概率．
5、 某机构有一个 9 人组成的顾问小组， 若每个顾问贡献正确意见的概率都是 0.7， 现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见， 并按多数人意见作出决 策，求作出正确决策的概率．
概率论与数理统计教材第1章习题
47
1.20 把10本书任意地放在书架上, 求其中指定的 3本放在一起的概率。
解 基本事件的总数：
N P10 设A =“指定的3本放在一起”，
则A所包含的基本事件的数：
M P3 P8
∴ P( A) M P3 P8 8!3! 1 0.067 N P10 10! 15
48
1.21. 1～100个共100个数中任取一个数，求这个数能被2或3 或5整除的概率。
（1） （2） （3） （4）
A表示B
表示
表A示B
表示
AB
AA
; ; ; ;
解答
返回
1.3设A, B, C 表示三个事件, 试将下列事件用A, B, C 表示.
（1）A, B, C 都发生. （2）A, B, C 都不发生. （3）A, B, C 不都发生. （4）A, B, C 中至少有一个发生. （5）A, B, C 中至少有二个发生. （6）A, B, C 中恰好有一个发生. （7）A, B, C 中最多有一个发生. （8）A 发生而 B, C 都不发生. （9）A 不发生但 B, C 中至少有一个发生.
解: 设A= “被2整除”
B=“பைடு நூலகம்3整除”
C=“被5整除”
PA 50 PB 33 PC 20
100
100
100
PAB 16 PAC 10 PBC 6
100
100
100
PABC 3
100
所以所求事件的概率为
PA BC
PA PB PC PAB PBC PAC PABC
0.74
解答
返回
1.19 某工厂生产的100个产品中，有5个次品， 从这批产品中任取一半来检查，设A表示发现次品 不多于1个，求A的概率。
第一章随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率习题一 、填空题：1.设A ，B ，C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示（1）A 和B 都发生，而C 不发生为 ，（2）A 、B 、C 至少有两个发生的事件为 。
2.设A ，B 为两个互不相容的事件，P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(A+B)= 。
3.设A ，B ，C 为三个相互独立的事件，已知P(A)=a, P(B)=b, P(C)=c,则A ，B ，C 至少有一个发生的概率为 。
4.把一枚硬币抛四次，则无反面的概率为 ，有反面的概率为 。
5.电话号码由0，1，……9中的8数字排列而成，则电话号码后四位数字全都不相同的概率表示为 。
6.设公寓中的每一个房间都有4名学生，任意挑选一个房间，则这4人生日无重复的概率表示为 （一年以365天计算）。
7. 设A ，B 为两个事件，P(A)=0.4, ,P(B)=0.8,P(B A )=0.5,则P(B|A)= 。
8.设A ，B ，C 构成一个随机试验的样本空间的一个划分，且7.0)(,5.0)(==B P A P ,则P(C)= ,P(AB)= 。
9.设A ，B 为两个相互独立的事件，P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，则P(B)= 。
10.3个人独立地猜一谜语，他们能够猜出的概率都是31，则此谜语被猜出的概率为 。
二 、选择题 ：1. 设A 与B 是两随机事件，则AB 表示（ ）（A ）A 与B 都不发生 （B ）A 与B 同时发生（C ）A 与B 中至少有一个发生 （D ）A 与B 中至少有一个不发生 2.设A 与B 是两随机事件，则))((B A B A ++表示（ ） （A ）必然事件 （B ）不可能事件（C ）A 与B 恰好有一个发生 （D ）A 与B 不同时发生3.设c B A P b B P a A P =+==)(,)(,)(，则)(B A P 为 （A ）b a -（B ）b c -（C ）)1(b a -（D ）)1(c a -4.若A ，B 是两个互不相容的事件，P （A ）>0，P （B ）>0，则一定有（ ） （A ）P （A ）=1—P （B ） （B ） P （A|B ）=0 （C ） P （A|B ）=1 （D ）P （A |B ）=05. 每次试验失败的概率为p (0<p<1),则在3次重复试验中至少成功一次的概率为（ ）（A ）)1(3p - (B)3)1(p -(C) 31p - (D)13C 3)1(p p -三、计算：1.掷两颗质地均匀的骰子，求出现的两个点数之和等于5的概率。
第一章《 随机事件及其概率》作业
第一章 《 随机事件及其概率》作业班级 学号 姓名一、单项选择题1.若C B A ,,为三个随机事件，则C B A ,,至少有一个发生可表示为（ ） )(A ABC ； )(B C B A ；)(C ABC ABC ABC ； )(D C AB C B A BC A .2. 袋中有大小形状相同的3只黑球和7只白球，从中任取2只球，则取 得球恰好是一黑一白的概率是( )(A) 157 , (B) 151 , (C) 153 , (D) 103. 3. 设B A ,为随机事件，且4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，则=)(B A P （ ）).(A 5.0； ).(B 7.0；).(C 6.0； ).(D 38.0.4. 把6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放，则4本外文书放在一起的概率为（ ）(A).!10!6!4 (B). 0.7 (C).!10!7!4 (D). 0.4 5. 三人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为51,31,41; 问三人中至少有一人能将此密码破译的概率是( ) .(A) 0.2, (B) 0.4, (C) 0.6, (D) 0.8.6. 设A,B 为两事件，则P(A-B)=( )。
(A).P(A)-P(B) (B). P(A)-P(B)+P(AB)(C).P(A)-P(AB) (D).P(A)+P(B)-P(AB)二 .填空题1.设A,B 是两相互独立的事件,4.0)(,6.0)(==+A P B A P ,则=)(B P .2．设P(A)=21, P （AB ）=52,则P(B|A)＝____________。
3.袋中有大小形状相同的3只黑球和5只白球，从中取2只球，则取出两个球都是白球的概率是 ，两个球中一黑一白的概率是 。
4.加工某一零件共需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05和0.03.假设各工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率 .5.加工一件产品需要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分为0.95，0.85，0.9。
随机事件及其概率习题及解答
第一章 随机事件及其概率习题及解答习题1．个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率．n 2．从一付扑克牌（52张）中任意抽取两张，求下列各事件的概率（1）恰好两张同一花色；（2）恰好两张都是红色牌；（3）其中恰好有一张A；（4）其中至少有一张A.3．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷1n +次，乙掷次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率．n 4. 袋中装有号的球各一只，采用（1）有放回；（2）无放回式摸球，试求在第k 次摸球时首次摸到1号球的概率。
N ,,2,1 5．有两个形状相同的罐，第一个中有球2白1黑，第二个中有球2白2黑，某人从任一罐中任取1个球，已知取出的是白球，求是从第一个中取出的概率。
6．假设每个人的生日在任何月份内是等可能的。
已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于0.96，问该单位有多少人？7．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到。
问这个人迟到的概率是多少？如果他迟到了，问他乘轮船的概率是多少？8．10个零件中有3个次品，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。
9．某人投篮，命中率为0.8，现独立投五次，求最多命中两次的概率。
10．某班有个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率．N 11．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为13，击伤的概率为12，击不中的概率为16．并设击伤两次也会导致潜水艇下沉．求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率．12．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为．问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立．,1/p p ≥2习题解答1．解 令A ={甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有1,这个位置，由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么2,,n n A 发生当且仅当乙坐2号或号位置，从而n1,2,()2,21n P A n n =⎧⎪=⎨>⎪−⎩. 2．解（1）235.025221314=C C C （2）245.0252226=C C （3）145.025214814=C C C （4）149.01252248=−C C 3．解 令A ={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}，B ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，由硬币的均匀性知，，容易看出，()()P A P B =,A B S AB ==∅∪，由此可知1()2P A =． 4．解：设}1{号球次摸到第i A i =（1）)|()|()|()()(1212211121121−−−−=k k k k k k A A A A P A A A A P A A P A P A A A A PNN N N N N N N N N k 1111111⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅−−⋅−=− （2）)|()|()|()()(1212211121121−−−−=k k k k k k A A A A P A A A A P A A P A P A A A A PNk N k N k N N N N N 1)1(1)2()1(121=−−⋅−−−−−−⋅−= 5．设=“取到第i 个罐中的球”，i A 2,1=i ，B =“取到白球”，则21)()(21==A P A P ，32)|(1=A B P ，2142)|(2==A B P 则全概率公式)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P = 12721213221=×+×= 由bayes 公式有741273221)()|()()|(111=×==B P A B P A P B A P 6．解：设该单位有个人，=“第个人生日在一月份”，则n i A i ),,2,1(n i =121)(=i A P ),,2,1(n i =。
概率论
第一章 随机事件及其概率习题全解习题1–11. 将一枚硬币连掷两次，设事件,,A B C 分别为“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”．试写出样本空间Ω及事件,,A B C 的样本点．解 根据样本空间、随机事件的定义，有：=Ω{( 正，正) (正，反 ) (反，正 ) (反，反 ) }；{()()}A =正，正，正，反； {()()}B =正，正，反，反；{()(),()}C =正，正，正，反反,正2. 袋内有编号1,2,3,4的四个球，从中任取一球后不放回，再任取一球．设事件,A B 分别为“第一次取到的编号为1”，“两次取到的编号之和为6或8”．(1) 试写出事件,A B 的样本点；(2) 将取球方式改为第一次取球后放回，再第二次取球，试写出事件,A B 的样本点．解 由随机事件的定义，有(1) )}4,1(),3,1(),2,1{(=A ；)}2,4(),4,2{(=B(2) )}4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(=A ；)}4,4(),2,4(),3,3(),4,2{(=B3. 某城市共发行日报，晚报和体育报三种报纸．设事件,,A B C 分别为“订阅日报”，“订阅晚报”，“订阅体育报”，试用,,A B C 表示下列事件：(1) 只订日报； (2) 只订日报和晚报； (3) 只订一种报纸；(4) 恰好订两种报纸； (5) 至少订一种报纸； (6) 不订任何报纸；(7) 至多订一种报纸； (8) 三种报纸全订； (9) 三种报纸不全订 解 根据事件间的关系和运算定义，有 (1)ABC ；(2)ABC ；(3)ABC ABC ABC ；(4)ABC ABC ABC ；(5)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； (6)ABC ；(7)ABC ABC ABC ABC ；(8)ABC ；(9)A B C 或ABC4. 某射手向靶子射击三次，设事件i A 为“第i 次射击中靶”(1,2,3)i =，试说明下列事件的意义：(1) 321A A A ； (2) 123A A A ； (3) 123A A A ； (4) 123A A A ； (5) 123A A A --； (6) 123A A A -解 根据事件间的关系和运算定义，有(1)三次都中靶；(2)至少有一次未中靶；(3)至少有一次中靶；(4)三次都未中靶；(5)仅第一次中靶；(6)第一次中靶且后两次未都中靶5. 设,A B 为两个事件，试化简下列事件： (1) AB AB AB AB ； (2) ()()()()A B A B A B A B ．解 根据事件关系与运算的分配律和结合律，得 (1) B A B A B A AB )()(B A B A B A AB =))(])[(B A A B A A = Ω==B B ； (2) ()()()()A B A B A B A B )])()][()([(B A B A B A B A =)]()][([B B A B B A ===A A ∅习题1–21. 设1.0)(=A P ，,3.0)(=B A P 且A 与B 互不相容，求)(B P ．解 根据概率的加法公式，有：)()()()(AB P B P A P B A P -+=又B A ,互不相容，所以0)(=AB P ，得2.01.03.0)()()(=-=-=A P B A P B P2. 设5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，3.0)(=-B A P ，求()P A B 和)(B A P ． 解 根据概率的减法公式，有：)()()(AB P A P B A P -=-，所以2.03.05.0)()()(=-=--=B A P A P AB P ，从而)()()()(AB P B P A P B A P -+= 7.02.04.05.0=-+=8.02.01)(1)()(=-=-==AB P AB P B A P3. 设1()3P A =，1()4P B =，1()2P A B = ，求)(B A P ．解 根据概率的加法公式，有：)()()()(AB P B P A P B A P -+= ，所以121214131)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P 从而 12111211)(1)()(=-=-==AB P AB P B A P 4. 已知1()()()4P A P B P C ===，0)(=AB P ，1()()16P AC P BC ==，求事件,,A B C 都不发生的概率． 解 因为0)(=AB P ，所以0)(=ABC P ，从而所求概率为)(1)()(C B A P C B A P C B A P -==)()()()()()()([1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-=83)02161341(1=+⨯-⨯-= 5. 设1()3P A =，1()2P B =，试就以下三种情况分别求)(A B P (1) AB =∅；(2) B A ⊂；(3) 1()8P AB =． 解 根据概率的减法公式，有：)()()(AB P B P A B P -=，所以(1) 当AB =∅时，0)(=AB P ，21)()(==B P A B P ； (2) 当B A ⊂时，31)()(==A P AB P ，613121)()()(=-=-=A P B P A B P ； (3) 当1()8P AB =时，838121)()()(=-=-=AB P B P A B P 6. 设()0.6P A =，()0.7P B =．试分别求()P A B 和)(AB P 可能取到的最大值与最小值．解 因为)()()()(AB P B P A P B A P -+= ，所以当)(AB P 值最小时，)(B A P 取值最大；又1)(≤B A P ，故1)(m ax =B A P ，即Ω=B A 时，)(B A P 取到最大值为1，此时，3.017.06.0)()()()(min =-+=-+=B A P B P A P AB P ；7.0)()(,6.0)()(=≥=≥B P B A P A P B A P ，故7.0)(min =B A P ，即B A ⊂时，)(B A P 取到最小值为0.7；此时6.07.07.06.0)()()()(max =-+=-+=B A P B P A P AB P7. 设事件A B ⊂，证明()()P A P B ≤．证明 因为0)()()(≥-=-AB P B P A B P ，又A B ⊂，所以)()(A P AB P =，从而0)()(≥-A P B P ，即()()P A P B ≤8. 对任意一组事件n A A A ,,,21 ，证明(1) 1)()()(2121-+≥A P A P A A P ；(2) )1()()()()(2121--+++≥n A P A P A P A A A P n n ．证明 (1) 因为1)()()()(212121≤-+=A A P A P A P A A P ，所以1)()()()()()(21212121-+≥-+=A P A P A A P A P A P A A P ；(2) 由(1)知，1)()()(2121-+≥A P A P A A P ，根据数学归纳法，假设)2()()()()(121121--+++≥--n A P A P A P A A A P n n ，则])[()()()(12112121n n n n n A A A A P A P A A A P A A A P ---+=+--+++≥-)2()()()(121n A P A P A P n 1)(-n A P)1()()()(21--+++=n A P A P A P n ，结论成立．习题1–31. 有一批桶装酒共14桶，其中甲级6桶，乙级8桶，不小心把标签搞混了．现随意取3桶酒，试问恰好有1桶甲级酒，2桶乙级酒的概率是多少？解 令=A {恰好取到1桶甲级酒，2桶乙级酒}，任取3桶酒总共有314C 种取法，恰好取到1桶甲级酒，2桶乙级酒有2816C C 种取法，则所求概率为136)(3142816==C C C A P 2. 有不同的数学书6本，物理书4本，化学书3本．从中任取两本，试求两本书属不同学科的概率．解 令=A {取到的两本书属不同学科}，任取2本书总共有213C 种取法，两本书属不同学科有131413161416C C C C C C ++种取法，则所求概率为139)(213131413161416=++=C C C C C C C A P 3. 设10把钥匙中有3把能打开门，从中任取两把，求能打开门的概率．解 令=A {能打开门}，任取2把钥匙总共有210C 种取法，能打开门的取法有231317C C C +种，则所求概率为 158)(210231317=+=C C C C A P 4. 袋内有编号为1到5的五个球，从中有放回地每次取一球，连取三次，问三个球的编号组成奇数的概率为多少？解 令=A {三个球的编号组成奇数}，有放回地取球三次总共有35种取法，三个球的编号组成奇数有352⨯种取法，则所求概率为53535)(32=⨯=A P 5. 从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解 令=A {4只中至少有两只能成一双}，从5双鞋子中任取4只总共有410C 种取法，4只中至少有两只能成一双有1212241525C C C C C +种取法，则所求概率为2113)(4101212241525=+=C C C C C C A P 或者考虑对立事件A 中包含的样本点为1212121245C C C C C 个，从而21131)(41012121212415=-=C C C C C C A P 6. 一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任取3件．分别按三种取法：一次取3件；有放回连取3件；无放回连取3件，求下列事件的概率：(1) 取出的3件产品中恰有一件次品的概率；(2) 取出的3件产品中至少有一件次品的概率．解 =A {取出的3件产品中恰有1件是次品}，=B {取出的3件产品中至少有1件是次品}，则分别讨论下列情况：(一) 一次拿3件：从100件中任取3件总共有3100C 种取法，A 中包含12298C C 个样本点，B 中包含1982229812C C C C +个样本点，从而(1) 8058.0)(310012298==C C C A P ； (2) 4059.0)(31001982229812=+=C C C C C B P 或者 4059.01)(3100398=-=C C B P ； (二)有放回连取3件：从100件中任取3件总共有3100种取法，A 中包含32982⨯⨯个样本点，B 中包含3982329822⨯⨯+⨯⨯个样本点，从而 (1) 6057.03100982)(32=⨯⨯=A P ；(2) 8058.010039823298)(322=⨯⨯+⨯⨯=B P 或者8058.0100981)(33=-=B P ； (三) 无放回连取3件：从100件中任取3件总共有3100P 种取法，A 中包含122983P P 个样本点，B 中包含198221229833P P P P +个样本点，从而 (1) 8058.03)(310012298==P P P A P ；(2) 0594.033)(31001982212298=+=P P P P P B P 或者 4059.01)(3100398=-=P P B P 7. 从0,1,2,3四个数字中任取三个，求能排成一个末位数不是2的三位数的概率．解 令=A {排成的三位数末位不是2}，从0,1,2,3四个数字中任取三个数总共有34P 种取法，排成的三位数末位不是2的取法有1212232P P P +种，则所求概率为1272)(34121223=+=P P P P A P 8. 从0,1,,9 中任取三个不同的数字，试求下列事件的概率：(1) 三个数字中含有0或5；(2) 三个数字中不含0和5．解 从0,1,,9 中任取三个不同的数字有310C 种取法，令=A {取出的3个数字含有0}，=B {取出的3个数字含有5}，A 、B 中均含有29C 个样本点，则所求概率为 (1) 1582)()()()(3101829=-=-+=C C C AB P B P A P B A P 或 1581)(1)(31038=-=-=C C B A P B A P ； (2) 157)(31038==C C B A P 9. 某宾馆有三部电梯，现有五人在一楼要乘电梯上楼，假定每个人都等可能地进入任何一部电梯，求每部电梯中至少有一人的概率．解 令=i A {第i 部电梯内无人})3,2,1(=i ，=B {每部电梯中至少有一人}，则根据题意，得5532)(=i A P )3,2,1(=i ，5531)(=j i A A P );3,2,1,(j i j i ≠=，0)(321=A A A P ，则由加法公式得)()(321A A A P B P =)()()()()()(323121321A A P A A P A A P A P A P A P ---++=)(321A A A P +813103133235555=+⨯-⨯= 从而所求概率为815081311)(=-=B P 10. 某公共汽车从始发站开出时有8名乘客，沿途将停靠10个车站，假设这8名乘客每人都等可能地在各站下车．试求下列事件的概率(1) 8人在不同站下车；(2) 8人在同一站下车；(3) 8人都在终点站下车；(4) 8人中恰有三人在终点站下车．解 =1A {8人在不同站下车}，=2A {8人在同一站下车}，=3A {8人都在终点站下车}，=4A {8人中恰有三人在终点站下车}，8名乘客下车方式总共有810种，1A 中包含!8810C 个样本点，2A 中包含110C 个样本点，3A 中只包含1个样本点，4A 中包含5389⋅C 个样本点，从而所求概率分别为 (1) 8810110!8)(⋅=C A P ； (2) 78110210110)(==C A P ； (3) 83101)(=A P ； (4) 85382109)(⋅=C A P 11. 一个小组有5名成员，其中每人在一星期7天中等可能地任选一天参加义务劳动．试求下列事件的概率(1) 指定的5天各有一人参加劳动；(2) 有5天各有一人参加劳动．解 =A {指定的5天各有一人参加劳动}，=B {有5天各有一人参加劳动}，5名成员任选一天劳动的选法总共有57种，A 中包含!5个样本点，B 中包含!557C 个样本点，从而所求概率分别为 (1) 57!5)(=A P ； (2) 5577!5)(⋅=C B P 12. 公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过,乘客在任一时刻等可能地到达车站的，求乘客候车不超过3分钟的概率．解 此问题为一维几何概型问题，令=A {乘客候车不超过3分钟}，乘客等待公共汽车时间区间为]5,0(=G ，则乘客候车时间处于区间]3,[+t t ，其中]2,0(∈t ，从而所求概率为53053)(=--+=t t A P 13. 在区间(0,1)内任取两个实数，试求两数之和小于65的概率．解 此问题为二维几何概型问题，令=A }56),{(<+y x y x ，将这两个数看做x 和y ，则),(y x 的所有可能取值为}10,10),{(<<<<=y x y x D ，如图1.4所示的正方形，其面积1=D Sx图1.4 而}56),{(<+=y x y x G 与D 的交集如图1.4的阴影部分，其面积为 68.08.02112=⨯-=G S 从而所求概率为68.0)(==DG S S A P 14. 某码头只能容纳一船停靠，现预知某日将有两船到来，且在24小时内任一时刻到来的可能性相等．如果两船停靠的时间分别为4小时和6小时，试求有一船要在江心等待的概率． 解 此问题为二维几何概型问题，令=A {有一船在江心等待}，不妨将停靠时间为4小时的船只到达时间看做x ，停靠时间为6小时的船只到达时间看做y ，则),(y x 的所有可能取值为}240,240),{(<<<<=y x y x D ，如图1.5所示的正方形x ）6－x 4图1.5 其面积224=D S ，若停靠时间为4小时的船先到，而另一只船在江心等待，则有4≤-x y ；若停靠时间为6小时的船先到，则有6≤-y x ，从而有一船在江心等待时，有}46),{(≤-≤-=x y y x G ，其与D 的交集如图1.5的阴影部分，面积为2142021182124222=⨯-⨯-=G S ，从而所求概率为 372.024214)(2≈==D G S S A P 15. (蒲丰投针问题)设平面上一系列平行线的间距为a ，向平面投一长为l 的针(a l <)，求针与平行线相交的概率．解 此问题为二维几何概型问题，=A {针与平行线相交}，M 表示落下的针的中点，x 表示中点M 到最近一平行线的距离，ϕ表示针与此线的交角，图形为图1.6)(a ；则),(ϕx 的所有可能取值为}0,20),{(πϕϕ<<<<=a x x D ，图形为图1.6)(b 所示的矩形，其面积2aS D π=；针与平行线相交时，有}0,sin 2),{(πϕϕϕ<<≤=l x x G 其与D 的交集如图1.6)(b 的阴影部分，面积为l d l S G ==⎰ϕϕπ02sin ，从而所求概率为 a l a l S S A P D G ππ22)(===φ图1.6（a ） 图1.6（b ）习题1–41. 已知1()4P A =，1(|)3P B A =，1(|)2P A B =，求)(B A P ． 解 根据概率的乘法公式，有：1213141)()()(=⨯==A B P A P AB P ，6121121)()()(===B A P AB P B P ，从而 311216141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 2. 设10件产品中有4件次品，从中任取两件．已知所取两件产品中有一件次品，求另一件也是次品的概率．解 =A {两件产品中至少有一件次品}，=B {两件都是次品}，易知A B ⊂，则所求概率为51)()()(24141624=+==C C C C A P AB P A B P 3. 为了防止意外，矿井内同时装有两种报警系统．系统Ⅰ和系统Ⅱ单独使用时，有效的概率分别为0.92和0.93．在系统Ⅰ失灵的条件下，系统Ⅱ仍有效的概率为0.85，求(1) 系统Ⅰ和系统Ⅱ都有效的概率；(2) 系统Ⅱ失灵而系统Ⅰ有效的概率；(3) 在系统Ⅱ失灵的条件下，系统Ⅰ仍有效的概率．解 =A {系统Ⅰ有效}，=B {系统Ⅱ有效}，根据题意知，92.0)(=A P ，93.0)(=B P ，)(1)()()()(85.0)(A P AB P B P A P A B P A B P --===，从而所求概率分别为： (1) 85.0)()(-=B P AB P 862.008.085.093.0)](1[=⨯-=-A P ； (2) 058.0862.092.0)()()(=-=-=AB P A P B A P ； (3) 8286.093.01862.092.0)(1)()()()()(=--=--==B P AB P A P B P B A P B A P 4. 某人忘记了电话号码的最后一个数字而随意拨号，求能在三次拨号内接通电话的概率．如果已知最后一个数字是奇数，则此概率是多少？解 令=i A {表示第i 次接通电话})3,2,1(=i ，=B {不超过三次接通电话}，则)()(321211A A A A A A P B P =)()()(321211A A A P A A P A P ++=)()()()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P ++=103819810991109101=⨯⨯+⨯+=； 若已知最后一位数字是奇数时，所求概率为：)()(321211A A A A A A P B P =)()()(321211A A A P A A P A P ++=)()()()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P ++=53314354415451=⨯⨯+⨯+= 5. 有两箱相同型号的零件，第一箱装50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品．现从两箱中任选一箱，再从该箱中无放回地每次取一件，连取两次．试求：(1) 第一次取到一等品的概率；(2) 在第一次取到一等品的条件下，第二次也取到一等品的概率．解 令=i A {取到第i 箱产品}，=i B {第i 次取到一等品})2,1(=i ，则=21A A Ø，Ω=21A A ，从而所求概率分别为(1) )()()()(121112111B A B A P B A B A P B P +==)()()()(212111A B P A P A B P A P +=52301821501021=⨯+⨯=； (2) )()()(12112B P B B P B B P =，而 )(21B B P )()()(212211212211B B A B B A P B B A B B A P +==)()()()(22121211A B B P A P A B B P A P +=14212762121230218250210=⨯+⨯=P P P P ，从而 4856.0521421276)()()(12112===B P B B P B B P 6. 在一批产品中，甲，乙，丙三厂的产品分别占40%，50%，10%．已知三厂产品的次品率分别为0.2，0.1，0.3，试求这批产品的次品率．解 =1A {产品为甲厂产品}，=2A {产品为乙厂产品}，=3A {产品为丙厂产品}，=B {任取一件产品为次品}，则=321A A A Ø，Ω=321A A A ，从而所求概率为：)()(321B A B A B A P B P =)()()(321B A P B A P B A P ++=)()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++=16.03.01.01.05.02.04.0=⨯+⨯+⨯=7. 甲袋中有2个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和3个黑球．先从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中任取一球．试求(1) 从乙袋中取到的是白球的概率；(2) 已知从乙袋中取到的是黑球，求从甲袋中取出的是一个黑球一个白球的概率．解 令=i A {从甲袋中取到i 个白球})2,1,0(=i ，=B {从乙袋中取到的是白球}，则=210A A A Ø，Ω=210A A A ，从而所求概率分别为(1) )()(210B A B A B A P B P =)()()(210B A P B A P B A P ++=)()()()()()(221100A B P A P A B P A P A B P A P ++=301711017262211016261214110152624=⋅+⋅+⋅=C C C C C C C C C C C C C ； (2) 653230171)(1)()()()()(110142612141111=-⋅=-==C C C C C B P A B P A P B P B A P B A P 8. 设10张奖券中有4张可以中奖，每人依次任取一张，求(1) 第一人中奖的概率；(2) 第二人中奖的概率；(3) 前三人中恰有一人中奖的概率．解 令=i A {第i 个人中奖})3,2,1(=i ，则所求概率分别为(1) =)(1A P 5211014=C C ； (2) =)(2A P 5211014=C C 或者 =)(2A P )()(2121A A P A A P +)()()()(121121A A P A P A A P A P += =52191411016191311014=⨯+⨯C C C C C C C C ； (3) ))(321321321A A A A A A A A A P ++)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++= )()()()()()(213121213121A A A P A A P A P A A A P A A P A P +=)()()(213121A A A P A A P A P +21181419151101618151914110161815191611014=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=C C C C C C C C C C C C C C C C C C9. 有朋友自远方来，乘火车，轮船，汽车，飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4；乘各种交通工具迟到的概率相应为0.25，0.3，0.1，0．现已知朋友迟到了，问乘哪种交通工具的可能性最大．解 根据题意知，朋友肯定不是乘飞机来的，故令=1A {朋友乘火车}，=2A {朋友乘轮船}，=3A {朋友乘汽车}，=B {朋友迟到}，则=321A A A Ø，Ω=321A A A ，)()(321B A B A B A P B P =)()()(321B A P B A P B A P ++=)()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++=145.01.01.03.02.025.03.0=⨯+⨯+⨯=14575145.025.03.0)()()()()()(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P ； 14560145.03.02.0)()()()()()(2222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P ； 14510145.01.01.0)()()()()()(3333=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P ， 从而可知，朋友乘火车来的可能性最大．10. 玻璃杯成箱出售，每箱20只，其中有0、1、2个次品的概率分别为0.8、0.1、0.1．顾客在购买时任选一箱，开箱任取4个察看，如果未发现次品就买下该箱，否则退回．试求(1) 顾客买下该箱的概率；(2) 顾客买下的该箱中确实没有次品的概率．解 令=i A {该箱内有i 件次品})2,1,0(=i ，=B {顾客买下该箱玻璃杯}，则=210A A A Ø，Ω=210A A A ，从而所求概率分别为(1) )()(210B A B A B A P B P =)()()(210B A P B A P B A P ++=)()()()()()(221100A B P A P A B P A P A B P A P ++=943.04754481.01.018.0420418420419==⨯+⨯+⨯=C C C C ； (2) 85.047544818.0)()()()()()(0000=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P 11. 来自三个地区的考生报名表分别为10份，15份，25份；其中女生报名表分别为3份，7份，5份．任取一个地区的报名表，从中无放回地先后抽取两份，试求(1) 先抽到的一份是女生表的概率；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率．解 令=i A {报名表来自第i 个地区})3,2,1(=i ，=j B {第j 次抽到的是女生报名表})2,1(=j ，则=210A A A Ø，Ω=210A A A ，从而所求概率分别为(1) )()(1312111B A B A B A P B P =)()()(321B A P B A P B A P ++=)()()()()()(313212111A B P A P A B P A P A B P A P ++=9029255311573110331=⨯+⨯+⨯=； (2) )()()(22121B P B B P B B P =，而2132132122122112112B B A B B A B B A B B A B B A B B A B +++++=，)()()()()()(2132122122112112B B A P B B A P B B A P B B A P B B A P B P ++++=)(213B B A P +)]()()[()]()()[(22122121211211A B B P A B B P A P A B B P A B B P A P +++=)]()()[(3213213A B B P A B B P A P ++22522012015215281817210271713313131P P P P P P P P P P P P +⨯++⨯++⨯= 9061=；)()()()()(2212121121A B B P A P A B B P A P B B P +=)()(3213A B B P A P +2251201521518172101713313131P P P P P P P P P ⨯+⨯+⨯= 92=；从而得 6120906192)()()(22121===B P B B P B B P 习题1–51. 设事件A 与B 相互独立，且两个事件中仅有A 发生的概率和仅有B 发生 的概率均为14，求)(A P 和)(B P ． 解 根据题意知，41)()(==B A P B A P ，又A 与B 相互独立，得 )()()()()()(B P A P A P AB P A P B A P -=-=)()()()()()(B P A P B P AB P B P B A P -=-=从而知)(A P )(B P =所以得41)()(2=-A P A P 解得 )(A P 21)(==B P 2. 设()0.4,()0.7P A P A B == ，试就以下两种情况求)(B P ：(1) 事件A 与B 互斥；(2) 事件A 与B 独立．解 由)()()()(AB P B P A P B A P -+= ，得)()()()(AB P A P B A P B P +-= ，故(1) 当事件A 与B 互斥时，0)(=AB P ，从而3.04.07.0)(=-=B P ；(2) 当事件A 与B 独立时，)()()(B P A P AB P =，得214.014.07.0)(1)()()(=--=--=A P A P B A P B P3. 证明：如果0)(>A P ，0)(>B P ，则(1) 当A 与B 独立时，A 与B 不互斥；(2) 当A 与B 互斥时，A 与B 不独立．证明 因为0)(>A P ，0)(>B P ，所以有(1) 当A 与B 独立时，有0)()()(>=B P A P AB P ，即A 与B 不互斥；(2)假设A 与B 独立，由(1)知0)()()(>=B P A P AB P ，这与A 与B 互斥矛盾，即当A 与B 互斥时，A 与B 不独立．4. 设事件,,A B C 相互独立，证明：B A 与C 相互独立．证明 因为,,A B C 相互独立，所以有)(])[(BC AC P C B A P =)()()(A B C P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()(C P B A P =即B A 与C 相互独立．5. 自动报警器由雷达和计算机两部分组成，任一部分发生故障都将导致报警器失灵．设两部分的工作状态相互独立，且发生故障的概率分别为0.1和0.3，求报警器不失灵的概率．解 =A {雷达发生故障}，=B {计算机发生故障}，根据题意知，1.0)(=A P ， 3.0)(=B P ，且A 与B 相互独立，从而所求概率为)]()()()([1)(1)()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +--=-==63.0)3.01.03.01.0(1=⨯-+-=6. 三个人各自独立地破译一个密码，且破译成功的概率分别为111,,543，求密码被破译成功的概率． 解 令=i A {第i 个人破译密码成功})3,2,1(=i ，=A {密码被破译成功}，则,,21A A 3A 相互独立，321A A A A =，从而所求概率为533243541)()()(1)()(321321=⨯⨯-=-==A P A P A P A A A P A P7. 三台独立工作的机床由一个人照管．设三台机床不需要照管的概率分别为0.9，0.8，0.85，求有机床因无人照管而停工的概率．解 令=i A {第i 机床需要照管})3,2,1(=i ，=B {有机床因无人照管而停工}，则,,21A A 3A 相互独立，313221A A A A A A B =，从而所求概率为)()(313221A A A A A A P B P =)()(3)()()(321321313221A A A P A A A P A A P A A P A A P +-++=15.02.01.0215.01.015.02.02.01.0⨯⨯⨯-⨯+⨯+⨯=059.0=8. 加工某种零件可采用两种工艺，第一种工艺有三道工序，各道工序的废品率分别为0.1，0.2，0.3；第二种工艺有两道工序，各道工序的废品率都是0.3．采用第一种工艺，合格品中的一级品率为0.9；采用第二种工艺，合格品中的一级品率为0.8，试问哪一种工艺加工得到一级品的概率大？解 令=A {零件为合格品}，=B {零件为一级品}，则A B ⊂(1) 采用第一种工艺的情况：令=i A {第i 道工序为废品})3,2,1(=i ，则,,21A A 3A 相互独立，321A A A A =，从而504.07.08.09.0)()()()(321=⨯⨯==A P A P A P A P又根据题意得，9.0)(=A B P ，所以4536.09.0504.0)()()()(=⨯===A B P A P AB P B P(2) 采用第二种工艺的情况：令=i A {第i 道工序为废品})2,1(=i ，则1A 、2A 相互独立，21A A A =，从而49.07.07.0)()()(21=⨯==A P A P A P又8.0)(=A B P ，所以392.08.049.0)()()()(=⨯===A B P A P AB P B P故采用第一种工艺加工得到的一级品概率大．9. 设构成系统的每个元件的可靠性为p ，10<<p ，各元件的工作状态相互独立，分别求图1.7所示两个系统的可靠性．解 令=i A {第i 个元件正常工作})2,,2,1(n i =，=A {图1.7(a )所示的系统可靠}，=B {图1.7(b )所示的系统可靠}，则n A A A 221,,, 相互独立，且n n n n A A A A A A A 22121 +++=，)())((22211n n n n A A A A A A B ++=，从而图1.7(a )所示的系统可靠性为)()(22121n n n n A A A A A A P A P +++=)()()(22122121n n n n n A A A P A A A P A A A P -+=++)2(2n n n n n p p p p p -=-+=；图1.7(b )所示的系统可靠性为)()()()(22211n n n n A A P A A P A A P B P ++=)]()()()()][()()()([22221111++++-+-+=n n n n A P A P A P A P A P A P A P A P )]()()()([22n n n n A P A P A P A P -+n n n p p p p )1()2(2-=-=10. 甲、乙两袋内均有两个白球和两个黑球，从甲、乙两袋中各取一球，设事件A 为“甲袋中取到白球”，事件B 为“乙袋中取到黑球”，事件C 为“两袋中取到同色球}，试证事件,,A B C 两两独立但不相互独立．证明 根据题意，可令=A {从甲袋中取到黑球}=B {从乙袋中取到白球}，则C B A B A +=，易知21)()(1412===C C B P A P 21)()()()(1412141214121412=⋅+⋅=+=+=C C C C C C C C B A P B A P B A B A P C P)()(41)(14121412B P A P C C C C AB P ==⋅=)()(41)()(14121412C P A P C C C C B A P AC P ==⋅==)()(41)()(14121412C P B P C C C C B A P BC P ==⋅==从而,,A B C 两两独立，但0)(=ABC P ，而81)()()(=C P B P A P ，从而 )()()()(C P B P A P ABC P ≠所以,,A B C 不相互独立．11. 办公室中有甲、乙、丙三人，办公室里只有一部电话．据统计来电话时 打给甲，乙，丙的概率分别为221555,,，且甲，乙，丙外出办事的概率分别为111244,,．设三人是否外出相互独立，试求： (1) 来电话时无人接的概率；(2) 来电话时被呼叫人在办公室的概率； (3) 连续三个电话打给同一个人的概率； (4) 连续三个电话打给不同的人的概率．解 令=1A {电话打给甲}，=2A {电话打给乙}，=3A {电话打给丙}，=1B {甲外出}，=2B {乙外出}，=3B {丙外出}，根据题意知，52)(1=A P ，52)(2=A P ，51)(3=A P ，21)(1=B P ，41)(2=B P ，41)(3=B P ，=321A A A Ø，Ω=321A A A ，321,,B B B 相互独立，所求概率分别为(1) 321414121)(321=⨯⨯=B B B P ； (2) )(()()(332211332211B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++)()()()()()(333222111A B P A P A B P A P A B P A P ++= 2013435143522152=⨯+⨯+⨯=；(3) 12517)51()52()52()()()(333332313=++=++A P A P A P ；(4) )(213123132312231321A A A A A A A A A A A A A A A A A A P +++++125246)515252(=⨯⨯⨯= 习题1–61. 某车间有10台功率各为7.5千瓦的机床，如果每台机床平均每小时开动12分钟，且各台机床的工作状态相互独立．求10台机床用电总功率超过48千瓦的概率．解 令=A {机床开动}，=k B {有k 台机床同时开动}，k 为同时开动的机床数，则51)(=A P ，根据题意，所求概率为 )()6()485.7(10987B B B B P k P k P +++=>=>000864.011571)54()51(1010710===-=∑kk k k C 2. 进行重复独立试验，设每次试验中事件A 发生的概率为0.3，当A 发生超过2次时，指示灯将发出信号．求(1) 进行5次试验，指示灯发出信号的概率； (2) 进行7次试验，指示灯发出信号的概率．解 令=k B {事件A 发生k 次}，3.0)(==A P p ，则所求概率为(1) 163.0)3.0(7.0)3.0()7.0()3.0()(5554452335443=⋅+⋅⋅+⋅⋅=++C C C B B B P ；(2) )(1210B B B P ++-353.0)7.0()3.0()7.0(3.0)7.0(15227617707=⋅⋅+⋅⋅+⋅-=C C C3. 一批产品的验收方案为：先做第一次检验，任取10件产品，如果其中无次品则接受该批产品，如果次品数大于2则拒收；否则做第二次检验，再任取5件产品，当且仅当其中无次品时接受该批产品．设产品的次品率为10%，求(1) 该批产品经第一次检验即被接受的概率； (2) 该批产品需做第二次检验的概率；(3) 该批产品经第二次检验方被接受的概率； (4) 该批产品被接受的概率．解 令=i A {第一次检验有i 件次品})10,,2,1,0( =i ，=j B {第二次检验有j 件次品})5,,2,1,0( =i ，=A {产品为次品}，则1.0)(==A P p ，从而所求概率分别为(1) 349.0)9.0()(100==A P ；(2) 581.0)9.0()1.0()9.0(1.0)(82210911021=⋅⋅+⋅⋅=+C C A A P ；(3) 343.0)9.0(581.0)()(])[(5021021=⋅=+=+B P A A P B A A P ； (4) +)(0A P ])[(021B A A P +=0.6924. 某厂生产的仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后的仪器以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格品不能出厂．设该厂生产了(2)n n ≥台仪器，且各台仪器是否合格相互独立，求(1) n 台仪器全部能出厂的概率；(2) n 台仪器中恰有2台不能出厂的概率； (3) n 台仪器中至少有2台不能出厂的概率．解 令=A {生产的仪器可以直接出厂}，=B {进行调试后可以出厂}，=C {一件产品能出厂}，显然B A A C +=，根据题意知，8.0)|(,7.0)(==A B P A P ，从而24.08.03.0)|()()(=⨯==A B P A P B A P所以94.024.07.0)()()(=+=+=B A P A P C P ；令=i B {n 件中恰有i 件仪器能出厂}),,1,0(n i =，则所求概率分别为(1) n n B P )94.0()(=；(2) 2222222)94.0()06.0()06.0()94.0()(----==n n n n n n C C B P ；(3) 1112)94.0(06.0)94.0(1)()(1)(---=⋅⋅--=--=∑n n n n n n k k C B P B P B P5. 设n 把钥匙中只有一把能打开门，从中有放回地每次任取一把钥匙试开，求第r 次才打开门的概率．解 令=A {某次试开能打开门}，则nA P 1)(=，从而所求概率为11)11(11)1(---=⋅-=r r nn n n n p 6. 进行独立重复试验，设每次试验成功的概率为p ，试求下列事件的概率： (1) 在n 次试验中有(1)r r n ≤≤次成功； (2) 直到第n 次试验才取得(1)r r n ≤≤次成功． 解 根据题意，所求概率分别为(1) r n rr n p p C p --=)1(；(2) r n r r n r n r r n p p C p p p C p --------=⋅-=)1()1(11111 总习题一1. 袋内有10个球，其编号从1到10．从袋中任取一球，观察其编号． (1) 写出试验的样本空间；(2) 设事件A 为“取到球的编号为奇数”，事件B 为“取到球的编号为偶数”，事件C 为“取到球的编号小于5”，用样本点表示下列事件：A B ，AB ，C ，AC ，B C(3) 事件A 与B 是否互斥，是否互逆？ (4) 事件AC 与AC 是否互斥，是否互逆？ 解 (1) 根据样本空间的定义，得}10,,2,1{ =Ω；(2) 根据题意，知}9,7,5,3,1{=A ，}10,8,6,4,2{=B ，}4,3,2,1{=C ，从而A B Ω=为必然发生的事件；=AB Ø为不可能发生的事件；}10,9,8,7,6,5{=C ； AC }10,8,6{=；B C }9,7,5{=；(3) 因为A B Ω=，=AB Ø，所以A 与B 互斥，而且互逆；(4) 因为}3,1{=AC ，AC }10,8,6{=，所以事件AC 与AC 互斥，但不互逆． 2. 设,A B 为两个事件，已知()0.5,()0.6,(|)0.4P A P B P B A ===，求： (1) ()P AB ；(2) )(AB P ；(3) ()P A B ．解 (1) 因为4.0)()(==A P AB P ，所以()P AB 2.0)5.01(4.0)(4.0=-⨯=⨯=A P ； (2) 因为)()()(AB P B P B A P -=，所以4.02.06.0)()()(=-=-=B A P B P AB P ；(3) 7.04.06.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 3. 设三个事件,,A B C 两两独立，满足：ABC =∅，1()()()2P A P B P C ==<，9()16P A B C =试求)(A P ．解 因为)()()()()()()(BC P AC P AB P C P B P A P C B A P ---++= )(ABC P +又ABC =∅，1()()()2P A P B P C ==<，9()16P A B C = ，且,,A B C 两两独立，即)()()()(2A P B P A P AB P ==，)()()()(2A P C P A P AC P ==，)()()()(2A P C P B P BC P ==从而得，169)(3)(32=-A P A P ，解得 43)(,41)(==A P A P (舍去)，即41)(=A P4. 袋内有m 个白球，n 个黑球，从袋中不放回地每次任取一球，连取3次，试求取到球的颜色依次为“白，黑，白”的概率．解 令=i A {第i 次取到的是白球})3,2,1(=i ，则所求概率为)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =211-+-⋅-+⋅+=n m m n m n n m m)2)(1)((-+-++=n m n m n m5. 设1500个产品中有400个次品．任取200个产品，试求： (1) 恰好取到90个次品的概率； (2) 至少取到2个次品的概率．解 令=i A {取到i 件次品})200,,2,1,0( =i ，则所求概率分别为(1) 200150090400110110090)(C C C A P =； (2) 2001500140019911002001100101)()(1C C C C A P A P +-=-- 6. 设9位乘客随机进入共有三节车厢的列车，试求： (1) 第一节车厢有3位乘客的概率； (2) 每节车厢都有3位乘客的概率； (3) 三节车厢分别有4, 3, 2位乘客的概率．解 令=A {第一节车厢有3位乘客的概率}，=B {每节车厢都有3位乘客的概率}，=C {三节车厢分别有4, 3, 2位乘客的概率}，9位乘客随机进入共有3节车厢的列车，总共有93种方式，因此根据题意知，所求概率分别为(1) 963932)(C A P =；(2) 93336393)(C C C B P =；(3) 92235493!3)(C C C C P = 7. 将3个球随机放入4个杯中，求一个杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率．解 令=i A {杯子中球的最大个数为i })3,2,1(=i ，则根据题意得，所求概率分别为834)(333341==P C A P ； 1694)(31323142==C C C A P ； 1614)(3143==C A P8. 在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四位数全不相同的概率． 解 令=A {电话号码后面四位数全不相同}，则所求概率为504.010)(444410==P C A P 9. 向圆域{}22(,)|2Ωx y x y x =+≤内随机投一点，设投点落到Ω中任何一点的可能性相同，试求投点到原点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率． 解 {}22(,)|2Ωx y x y x =+≤所表示的区域如图1.8xx图1.8其面积为π=ΩS ，令=A {投点到原点的连线与x 轴的夹角小于4π}，则A 所表示的区域为图1.8中阴影部分，根据对称性得122cos 2040+===⎰⎰⎰⎰πθσθπrdr d d S AA从而ππππ2212)(+=+==ΩS S A P A10. 在区间[0,1]中随机取两个数，求下列事件的概率： (1) 两数之差的绝对值小于12； (2) 两数之和小于45； (3) 两数之积小于19；解 令两数分别为y x ,，则),(y x 的所有可能取值为}10,10),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ，且1=ΩS ， 令=A {两数之差的绝对值小于12}，=B {两数之和小于45}，=C {两数之积小于19}，则 (1) }21),{(<-=y x y x A ，A 的区域如图1.9)(a 所示，从而4321211)(=⨯-=A Px21-=x图1.9（a ）(2)}54),{(<+=y x y x B ，B 的区域如图1.9)(b 所示x图1.9（b ）从而258215454)(=⨯⨯=B P (3) }91),{(<=xy y x C ，B 的区域如图1.9)(c 所示x图1.9（c ）从而)3ln 21(91ln 9191)911(1)(191191+=+=--=⎰x dx x C P 11. 已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===，求条件概率(|)P B A B ． 解 8.05.0)4.01()3.01()()()()(=--+-=-+=B A P B P A P B A P ， 又AB B A B =)( ，而5.0)()()()(=-=-=AB P A P B A P B A P ，得2.05.0)3.01(5.0)()(=--=-=A P AB P从而25.08.02.0)()()()]([)(====B A P AB P B A P B A B P B A B P12. 袋内有5个白球，3个黑球．每次从袋中任取一球观察颜色后放回，并添入两个同色球，连续取球三次．试求前两次取到白球，第三次取到黑球的概率．解 令=i A {第i 次取到白球})3,2,1(=i ，则根据题意得，所求概率为)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =57378101264=⨯⨯= 13. 排球比赛规定：发球方赢球时得分，输球时对方获得发球权．甲，乙两队进行比赛，已知甲队发球时，甲队赢球和输球的概率分别为0.4和0.6；乙队发球时，甲队赢球和输球的概率均为0.5．求甲队发球时各队得分的概率．解 令A ={甲队发球时甲队得分}，则A ={甲队发球时乙队得分}，令=i A {甲第i 次发球时甲得分}，i B ={乙第i 次发球时甲得分}(1,2,3,)i = ，则()0.4,()0.5i i P A P B ==，且111211223A A AB A AB A B A = ，从而根据题意得，所求概率为111211223()()()()P A P A P A B A P A B A B A =+++ 0.40.60.50.40.60.50.60.=+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+20.4(10.30.3)=⨯+++ 140.410.37=⨯=-， 43()1()177P A P A =-=-=14. 对飞机进行了三次射击，设命中率依次为0.4,0.5,0.7；飞机中弹一次而被击落的概率为0.2，中弹两次而被击落的概率为0.6，中弹三次则必被击落．求飞机未被击落的概率．解 令=i A {第i 次命中飞机}，j B ={飞机中弹j 次}(,1,2,3)i j =，B ={飞机被击落}，则1A 、2A 、3A 相互独立，且123()0.4,()0.5,()0.7P A P A P A ===，从而1123123123()()P B P A A A A A A A A A =++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++0.40.50.30.60.50.30.60.36,=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2123123123()()P B P A A A A A A A A A =++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++0.40.50.30.40.50.70.60.41,=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3123()()P B P A A A =0.40.50.0.14,=⨯⨯= 从而112233()()()()()()()P B P B P B B P B P B B P B P B B =++0.360.20.410.600.458,=⨯+⨯+⨯=所以飞机未被击落的概率为()1()10.4580.542P B P B =-=-=15. 设有编号为1,2,3的三个口袋．1号袋内有两个1号球，一个2号球，一个3号球；2号袋内有两个1号球，一个3号球；3号袋内有三个1号球，两个2号球．先从1号袋中任取一球，放入与球上号码相同编号的口袋，再从该袋中任取一球，求第二次取到几号球的概率最大．解 令=i A {第一次取到i 号球}，j B ={第2次取到j 号球}(,1,2,3)i j =，则根据题意，易知12321(),()()44P A P A P A ===，从而 63)(,42)(,42)(312111===A B P A B P A B P 31112212131()()()4444462i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑； 212223112(),(),()446P B A P B A P B A ===， 322121111213()()()44444648i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑； 313233111(),(),()446P B A P B A P B A ===， 333121111111()()()44444648i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑； 所以有123()()()P B P B P B >>即第二次取到1号球的概率最大．16. 设事件12,,,n A A A 相互独立，且(),1,2,,i i P A p i n == ，求下列事件的概率：(1) 12,,,n A A A 均不发生；(2) 12,,,n A A A 中至多发生1-n 个；(3) 12,,,n A A A 中恰好发生一个．解 根据题意知，所求概率分别为 (1) 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =121(1)(1)(1)(1)nn i i p p p p ==---=-∏ ； (2) 1212()1()n n P A A A P A A A =-12111nn i i p p p p ==-=-∏ ； (3) 123123123()n n n P A A A A A A A A A A A A ++123123()()()()()()()()n n P A P A P A P A P A P A P A P A =+ 123()()()()n P A P A P A P A +121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)nn n p p p p p p p p p =--+--++-- 11,(1)nn i ji j j i p p ==≠=-∑∏ 17. 某人有两盒火柴，每盒有n 根．每次使用时随机地从其中一盒中取一根，试求：当发现一盒火柴已用完时，另一盒中还有r 根火柴的概率．解 不妨设甲盒取空而乙盒还有r 根火柴，根据题意知共取盒21n r -+次，且在前2n r -次中取甲盒n 次，取乙盒n r -次，第21n r -+次取到甲盒，又因为每次取到甲、乙盒的概率均为12，从而甲盒空而乙盒还有r 根火柴的概率为 12111()()222n n n r n r p C --=⋅ 同理，乙盒取空而甲盒还有r 根火柴的概率为22111()()222n n n r n r p C --=⋅ 从而所求概率为212221112()()2222n nn n r n r n r n r C p p p C ----=+=⋅=。
概率论与数理统计 第一章随机事件及其概率 练习题
第一章 随机事件及其概率（概率论与数理统计）练习题1．写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合：(1) 10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品；(2) 一个口袋中有2个白球,3个黑球,4个红球，从中任取一球：①得白球；②得红球．2．化简事件算式：)()()()(B A B A B A AB ⋅ ．3．就下列情况分别说明事件A ，B ，C 之间的关系：(1) A C B A =++；(2) A ABC =.4．试判断事件“A ，B 至少发生一个”与“A ，B 最多发生一个”是否是对立事件．5．下列各式说明A 与B 之间具有何种包含关系?(1) AB =A ， (2)A B A = ．6．掷一枚骰子的试验，观察其出现的点数，事件A =“偶数点”，B =“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D =“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系．7．将下列事件用A ，B ，C 的运算表示出来：(1) A 发生；(2) 只有A 发生；(3) 三个事件中恰好有一个发生；8．设某工人连续生产了4个零件，用i A 表示他生产的第i 个零件是正品(i =1，2，3，4)．试用事件的运算表示下列各事件：(1) 没有一个是次品；(2) 至少有一个是次品；(3) 只有一个是次品；(4) 至少有三个不是次品；(5) 恰好有三个是次品；(6) 至多有一个是次品．9．事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务(i =1，2，3),B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务．说明事件C B B -与的含义，并且用i A (i =1，2，3)表示出来．10．设A ，B 为事件，问下列各事件表示什么意思? (1)B A ； (2)B A ； (3)B A ⋅．11．如图，事件A ，B ，C 都相容，即φ≠ABC ，把事件A +B ，A +B +C ，AC +B ，C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来．12．两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明．13．将1套4册的文集按任意顺序放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成1，2，3，4的顺序的概率是多少?14． 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率．15．10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率．16．抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率．17．有一元币、五角币、一角币、五分币、二分币、一分币各一枚，试求由它们所组成的所有可能的不同币值中，其币值不足一元的概率．18．一楼房共14层，假设电梯在一楼起动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的．试求下列事件的概率：1A ={10人在同一层下}； 2A ={10人在不同楼层下}；3A ={10人都在第14层下}； 4A ={10人中恰有4人在第8层下}．19．将S N I E E C C , , , , , ,等7个字母随意排成一行，求恰好排成SCIENCE 的概率．20．一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1) 四张花色各异； (2) 四张中只有两种花色．21．袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A =“全红”，B =“全白”，C =“全黑”，D =“无红”，E =“无白”，F =“无黑”，G =“颜色全相同”，H =“颜色全不相同”，I =“颜色不全相同”．22．一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4人的生日在同一个月份的概率．23．一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算)．24．从4双不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：(1) 4只恰成2双；(2) 4只中恰有一双；(3) 4只中没有成双的．25．掷三颗骰子，得3个点数能排成公差为1的等差数列的概率为多少?26．将4个男生与4个女生任意地分成两组，每组4人，求每组各有2个男生的概率．27．设O 为线段AB 的中点，在AB 上任取一点C ，求AC 、CB 、AO 三条线段能构成一个三角形的概率．28．在A B C ∆中任取一点P ，证明：ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于nn 1-的概率为21n． 29．设c AB P b B P a A P ===)( ,)( ,)(，用a ，b ，c 表示下列事件的概率： (1) )(B A P ， (2) )(B A P ， (3) )(B A P ， (4) )(B A P ⋅．30．设)( ,6.0)( ,3.0)( ,4.0)(B A P B A P B P A P 求=== ．31．设7.0)( ,4.0)(=+=B A P A P ，(1) 若A 与B 互斥，求()B P ；(2) 若A 与B 独立，求()B P ．32．已知61)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，求A ，B ，C 全不发生的概率．33．事件A 与B 互不相容，计算)(B A P +．34．设事件A B ⊃，求证：)()(A P B P ≥．35．设事件B A ,的概率都大于0，比较概率)(A P ，)()(),(B P A P B A P ++， )(AB P 的大小(用不等号把它们连结起来)．36．已知a B A P a b ab b B P a A P 7.0)( ),3.0 ,0( ,)( ,)(=->≠==，求： )(A B P +， )(A B P -， )(A B P +．37．设21,A A 为两个随机事件，证明： (1))()()(1)(212121A A P A P A P A A P ⋅+--=； (2))()(121A P A P --)()()()(212121A P A P A A P A A P +≤≤≤ ．38．一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率．39．在1000名技术员中调查性别、婚姻状况及学历，得如下数据：(1) 813个男性；(2) 875个已婚；(3) 752个大专毕业生；(4) 632个男大专毕业生；(5) 572个已婚男性；(6) 654个已婚大专毕业生；(7) 420个已婚男大专毕业生．试说明这些数据中有错误．40．在某城市中发行3种报纸A ，B ，C ．经调查，在居民中按户订阅A 报的占%45，订阅B 报的占%35，订阅C 报的占%30，同时订阅A 报和B 报的占%10，同时订阅A 报和C 报的占%8，同时订阅B 报和C 报的占%5，同时订阅这3种报纸的占%3，试求下列事件的概率：(1) 只订B 报的；(2) 只订A 报和B 报两种的；(3) 只订1种报纸的；(4) 恰好订2种报纸的；(5) 至少订阅2种报纸的；(6) 至少订1种报纸的；(7) 不订报纸的；(8) 至多订阅1种报纸的．41．某单位有%92的职工订阅报纸，%93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有%85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工，求下列事件的概率：(1) 该职工至少订阅一种报纸或杂志；(2) 该职工不订阅杂志，但订阅报纸．42．某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为%12，乙市全年雨天的比例为%9，甲乙两市至少有一市为雨天的比例为16.8%．试求下列事件的概率：(1) 甲、乙两市同为雨天；(2) 在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；(3) 在乙市无雨的条件下甲市亦无雨．43．分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，事件A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若28.0)(,4.0)()(===AB P B P A P ，求：)|(B A P ， )|(A B P ， )(B A P +．44．设A 与B 独立， )(A P =0.4， )(B A P +=0.7，求概率)(B P ．45．设甲、乙两人各投篮1次，其中甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.7，并假定二者相互独立，求：(1) 2人都投中的概率；(2) 甲中乙不中的概率；(3) 甲投不中乙投中的概率；(4) 至少有一个投中的概率．46．甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1) 只有一人投中；(2) 最多有一人投中；(3) 最少有一人投中．47．甲乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?48．加工一产品需要4道工序，其中第1、第2、第3、第4道工序出废品的概率分别为0.1，0.2，0.2，0.3，各道工序相互独立，若某一道工序出废品即认为该产品为废品，求产品的废品率．49．加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关，求零件的合格率．50．求下列系统(如图所示)的可靠度．假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常工作或失效相互独立．51．某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数)．52．设事件n A A A ,,,21 相互独立，且i i p A P =)( ),,2,1(n i =，11=∑=ni i p ，试求：(1) 这些事件至少有一件不发生的概率；(2) 这些事件均不发生的概率；(3) 这些事件恰好发生一件的概率．53．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6．求同时发射一枚炮弹而击中飞机的概率是多少? 又若有一架敌机入侵领空，欲以%99以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮?54．甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7，丙译出的概率为0.6，求该密码能被译出的概率．55．上题中如改为n 个人组成的小组，在同一时间内分别破译某密码．并假定每人能译出的概率均为0.7，若要以%9999.99的把握能够译出，问至少需要几个人?56．对于三事件A 、B 、C ，若)|()|()|((C B P C A P C B A P = 成立，则称A 与B 关于条件C 独立．若已知A 与B 关于条件C 、C 均独立，且==)|(,5.0)(C A P C P 0.9，=)|(C B P 0.9，2.0)|(=C A P ，1.0)|(=C B P ．试求)(,)(,)(B A P B P A P ，并证明A 与B 不独立．57．一个人的血型为O ,A ,B ,AB 型的概率分别为0.46，0.40，0.11，0.03，现在任意挑选5人，求下列事件的概率：(1) 2个人的血型为O 型，其他3人的血型分别为其他3种血型；(2) 3个人的血型为O 型，2个人为A 型；(3) 没有一个人的血型为AB 型．58．设1)(0<<B P ，证明：A 与B 独立的充要条件是=)|(B A P )|(B A P ．59．设A ，B ，C 相互独立．证明：A 与C B 独立，A 与B -C 也独立．60．某厂有甲、乙、丙三条流水线生产同一种产品，每条流水线的产量分别占该厂生产产品总量的%25，%35，%40，各条流水线的废品率分别是%5，%4，%2，求在总产品中任取一个产品是废品的概率．61．假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的%45，%35，%20．如果各车间的次品率依次为%4，%2，%5．现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．62．某种同样规格的产品共10箱，其中甲厂生产的共7箱，乙厂生产的共3箱，甲厂产品的次品率为101，乙厂产品的次品率为152，现从这10箱产品中任取1件产品，问：(1) 取出的这件产品是次品的概率；(2) 若取出的是次品，分别求出次品是甲、乙两厂生产的概率．63．设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则不买．求：(1) 顾客买下此箱玻璃杯的概率α；(2) 在顾客买下的此箱玻璃杯中，确实没有次品的概率β．64．一道选择题有4个答案，其中仅1个正确．假设一个学生知道正确答案及不知道而乱猜的概率都是1/2(乱猜就是任选一个答案)．如果已知学生答对了，问他确实知道正确答案的概率是多少?65．某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定的时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1．当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少?66．A 地为甲种疾病多发区，该地区共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9:7:4，据统计资料，甲种疾病在该地三个行政小区内的发病率依次为4‟，2‟，5‟，求A 地的甲种疾病的发病率．67．盒子里有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒子，第二次比赛时再从盒子中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率；若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取出的球都是新球的概率．68．已知100件产品中有10件绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时发生故障的可能性均为0.1．现从这100件产品中随机抽取一件，若使用了n 次均未发生故障，问n 为多大时，才能有%70的把握认为所抽取的产品为正品．69．在4次独立重复试验中事件A 至少出现1次的概率为0.59，试问在1次试验中A 出现的概率是多少?70．按某种要求检查规则，随机抽取4个梨，如果4个梨全是熟的，则所有梨都将在餐厅做饭后食用．一批梨仅有%80是熟的，问能做餐用的概率是多少?答案1．(1) 记9件合格品分别为：正1，正2，…，正9，不合格品为次，则 {=Ω(正1，正2)，(正1，正3)，…，(正1，正9)，(正1，次)， (正2，正3)，…，(正2，正9)，(正2，次)，…………………………，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}，{=A (正1，次)，(正2，次)，(正3，次)，……，(正9，次)}(2) 记2个白球分别为21,ωω，3个黑球分别为321,,b b b ，4个红球分别为4321,,,r r r r ．则 {=Ω,,21ωω321,,b b b ，4321,,,r r r r }，① {=A 21,ωω}； ② {=B 4321,,,r r r r }2．Ω3．A +B +C =A 表明B +C A ⊂．但B ，C 可以互斥、相容或包含； ABC =A 表明A BC ⊂．但B ,C 的交必须是非不可能事件4．不是对立事件5．(1) 因为“AB =A ”与“AB A A AB ⊂⊂且”是等价的， 由A ⊂A B 可以推出A ⊂A 且A ⊂B ，因此有A ⊂B(2) 因为“A B A = ”与“B A A A B A ⊂⊂且”是等价的， 由A B A = 可以推出A ⊂A 且B ⊂A ，因此有B ⊂A 6．A 与B 为对立事件，B 与D 互不相容，A ⊃D ，C ⊃D ．7．(1) A ； (2) C B A ； (3) C B A C B A C B A .8．(1) 4321A A A A ； (2) 4321A A A A ；(3) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ；(4) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ；(5) 4321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A ；(6) 43214321432143214321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 9．323121A A A A A A B ++=表示至少有两个车间没完成任务； B -C =321A A A 表示三个车间均完成生产任务10．(1) AB B A = 表示A 、B 不都发生；(2) AB B B A B A -=-Ω=)(表示B 发生而AB 不发生；(3) B A 表示A 、B 都不发生11．AB B A B A A B A B A A B A ++=-+=+=+)(；C B A B A A C B A ++=++；A C +B =C B A B +； BC A C B A C B A AB C ++⋅=-12．对立一定互不相容(φ=A A )；互不相容不一定对立(Ω=+=B A AB 未必,φ)例如，E ：掷骰子．事件{=A 出现点数为1，2}，事件{=B 出现点数为3，4}，{=C 出现点数为3，4，5，6}，则A 与B 互不相容，A 与C 对立．13．121 14．2815 15．158 16．43 17．0.492118．1111043.9)(-⨯=A P ； 721024.1)(-⨯=A P ；1231025.7)(-⨯=A P ； 341055.4)(-⨯=A P19．七个字母的全排列总共有7!=5040种不同排法，将七个字母编号S N I E E C C1 2 3 4 5 6 7在全部的5040种可能排列中，恰好排成SCIENCE 的有如下四种情形(7154623)，(7153624)，(7254613)，(7253614)， 于是≈=50404p 0.000794 20．(1) 105.0452113113113113==C C C C C p ；(2) 30.04523131132421321324=+=C C C P C C C p 21．27131)()()(3====C P B P A P ， 27832)()()(33====F P E P D P ， 91271271271)(=++=G P ， 9227123)(=⋅⋅=H P ， 98)(1)(=-=G P I P 22．0.007323．24.03653641100100=- 24．从4双即8只鞋中任取4只，故基本事件数为48C ，(1) “4只恰成2双”相当于“从4双里选2双”，故有利事件数为C 24，其概率为4824C C =353． (2)为使4只中恰有1双，可设想为先从4双中取出1双，再从余下的3双中取出2双，然后从这2双中各取1只．因此，有利事件数为222314⋅⋅⋅C C ，其概率为352422482314=⋅⋅⋅C C C ． (3)“4只中没有成双的”相当于“从4双中各取1只”．因此，有利事件数为162222=⋅⋅⋅，其概率为3581648=C 25．每颗骰子有6个点，因此基本事件总共有216666=⋅⋅个，只要掷出的三个点由1，2，3或2，3，4或3，4，5或4，5，6组成，不论它们出现的次序怎么样，都是有利事件．因此欲求之概率为91216!34=⨯． 26．3518 27．不妨设AB =1， AC =x ，则CB =1-x ， AO =21， AC ，CB ， AO 能构成一个三角形必须且只需同时满足 x x x x >-+->+121,121， 即4341<<x ． 将AB 等分成四小段，第二及第三小段组成有利事件，因此欲求之概率为2142= 28．(如图)截取CD nD C 1='，当且仅当点P 落入△B A C ''之内时，△ABP 与△A B C 的面积之比大于nn 1-，故所求概率为 22222211nCD CD n CD D C ABC C B A p =='=∆''∆=的面积的面积．29．(1) 1-c ； (2) b -c ； (3) 1-a +c ； (4) 1-a -b +c30．0.331．0.3；0.532．127 33．134．略35．)()()()()(B P A P B A P A P AB P +≤+≤≤36．b +0.7a ； b -0.3a ； 1-0.3a37．(1) )(1)()(212121A A P A A P A A P -===1-[)()()(2121A A P A P A P ⋅-+]=1-)()()(2121A A P A P A P ⋅+-(2) 由(1)和0)(21≥⋅A A P 得第一个不等式，而)()(2121A A P A A P ≤ )()(21A P A P +≤38．0.37539．设从1000名技术员中任意地抽取一人．以A 记事件：“抽取男性”，B 记事件：“抽取已婚者”，C 记事件：“抽取大专毕业生”．按所给数据应有,752.0)(,875.0)(,813.0)(===C P B P A P420.0)(,632.0)(,654.0)(,572.0)(====ABC P AC P BC P AB P 于是)(C B A P ++)()()(C P B P A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +---=0.813+0.875+0.752-0.572-0.654-0.632+0.420=1.002>1．得出矛盾，因此所给数据有错误40．(1) 0.23； (2) 0.07； (3) 0.73； (4) 0.14； (5) 0.17； (6) 0.90；(7) 0.10； (8) 0.8341．(1) 0.988； (2)0.05842．(1)0.042； (2) 0.35； (3)0.914343．0.7； 0.7； 0.5244．5.045．(1) 0.56； (2) 0.24； (3) 0.14； (4) 0.9446．(1) 0.188； (2) 0.212； (3) 0.97647．甲先投中的概率大48．0.649．0.448．50．(1) 这个系统由三个相同的子系统并联而成，每个子系统又由三个元件串联而成．因此每个子系统的可靠度为321p p p ，整个系统的可靠度为3321)1(1p p p --．(2) 这个系统由三个子系统串联而成，第一、第三个子系统只由一个元件组成，第二个子系统由三个相同的元件并联而成．因此，三个子系统的可靠度分别为1321,)1(1,p p p --，整个系统的可靠度为])1(1[3221p p --．(3) 这个系统由两个子系统并联而成，第一个子系统由两个二级子系统串联而成，而第一个二级子系统又由两个元件并联而成．因此，第一个子系统的可靠度为])1(1[212p p --，整个系统的可靠度为1-[))1(1(1212p p ---])1(3p -]=1-)1(3p -[)2(1121p p p --]=)2()2(13213121p p p p p p p p --+-=33121)1)(2(p p p p p +--51．0.42； 0.58×0.42； 0.581-m ×0.4252．(1) )(1}{2121n n A A A P A A A P -==-=)()()(121n A P A P A P 1-n p p p 21(2) )()()(}{2121n n A P A P A P A A A P =⋅=∏=-ni i p 1)1( (3) }{121321321n n n n A A A A A A A A A A A A P -⋅⋃⋅=+---+---)1()1()1()1()1)(1(321321n n p p p p p p p pn n p p p p )1()1)(1(121----+=∑∏=≠=-n i nj i i j i p p 11])1([．53．用k A 表示“第k 门高射炮发射一枚炮弹击中飞机”， ,2,1=k ，B 表示“击中飞机”．则 ,2,1,6.0)(==k A P k ， (1) 84.04.01)()(1)(1)(2212121=-=-=⋅-=A P A P A A P A A P ， (2) 99.04.01)(1)(1)(1121>-=-=-=∏==n nk k n k k n A P A P A A A P ， 即6,026.54.0lg 01.0lg ,01.099.014.0=≈>=-<n n n 取， 故至少需要6门高射炮，同时发射一枚炮弹，可保证%99的概率击中飞机54．0.97655．1256．55.0)2.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C A P C P C A P C P A P ，50.0)1.09.0(21)|()()|()()(=+=+=C B P C P C B P C P B P ， )|()()|()()(C AB P C P C AB P C P B A P +=)|()|()()|()|()(C B P C A P C P C B P C A P C P +=，由A ，B 条件独立得415.0)1.02.09.0(21)(2=⨯+=B A P ， 由于)()(5.055.0415.0)(B P A P B A P =⨯≠= ，所以A ，B 不独立57．(1) 从5个人任选2人为O 型，共有25C 种可能，在其余的3人中任选一人为A 型，共有3种可能，在余下的2人中任选1人为B 型，共有2种可能，另1人为A B 型，因此所要求的概率为0168.013.011.040.046.023225≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=C p ；(2) 1557.040.046.02335≈⋅⋅=C p ；(3) 8587.0)03.01(5≈-=p58．必要性 因为A 与B 独立，则)|()()|(B A P A P B A P ==． 充分性 因为)()()()(B P B A P B P AB P =， [][])()()()(1)(B P AB P A P B P AB P -=-，)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 独立．59．)()())((C B A P AB P C B A P += =)()()()()(C P B P A P B P A P + =)]()()[(C B P B P A P +=)()(C B P A P即A 与C B 独立，同理可证A 与B -C 也独立．)()())((ABC P AB P C B A P -=-=)()()()(BC P A P B P A P -=)()(BC B P A P -)()(C B P A P -=．60．0.034561．0.51462．(1) 0.11； (2) 0.6364； 0.363663．记A ：顾客买下所察看的一箱玻璃杯，i B ：箱中有i 件次品(2,1,0=i )，由题设知，8.0)(0=B P ，=)(1B P 1.0)(2=B P ，所以1)|(0=B A P ，54)|(4204191==C C B A P ，1912)|(4204182==C C B A P ， (1)由全概率公式知∑==++===2094.0)191254(8.0)/()()(i i i B A P B P A P α， (2)由贝叶斯公式知85.094.08.0)()/()()/(000====A P B A P B P A B P β 64．以A 记事件：“学生知道正确答案”，则A 表示事件：“学生在乱猜”以B 记事件：“学生答对了”．易见B A ⊂．因此有1)|(,21)()(===A B P A P AB P ， 此外，按题意有41)|(=A B P ，由全概率公式得 85412121)|()()|()()(=⋅+=+=A B P A P A B P A P B P ， 故所求的条件概率为54)()()|(==B P AB P B A P 65．以1A 表示“任取一台机床是车床”；2A 表示“任取一台机床是钻床”；3A 表示“任取一台机床是磨床”；4A 表示“任取一台机床是刨床”；B 表示“任取一台机床，它需要修理”．由题设知15912399)(1=+++=A P ，153)(2=A P ，152)(3=A P ，151)(4=A P ， k k A B P 711321)|(1=+++=，k A B P 72)|(2=，k A B P 73)|(3=， k A B P 71)|(4=，其中k 为比例常数．由Bayes 公式得 ∑==41111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P =2297115173152721537115971159=⨯+⨯+⨯+⨯⨯k k k k k 66．3.5‟67．设{=i A 第一次取出的3个球中有i 个新球})3,2,1,0(=i ，{=B 第二次取出的球全是新球}，则∑==30)|()()(i i i A B P A P B P =146.0)(3023*******=∑=--i i i i C C C C ， )()|()()|(333B P A B P A P B A P ==24.0146.0)(2312360339=C C C C68．设{=A 取出正品}，{=B 使用n 次均无故障}，已知10010)(=A P ，按题目要求应有70.0)|(≥B A P ，而)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +==n )9.0(9.011.011.0⨯+⨯⨯， 所以应是11)9.0(043.0,7.0)9.0(1.01.0++≥≥+n n ，由此得29≥n ． 69．设在1次试验中A 出现的概率为p ，则在4次独立试验中A 不出现的概率为4)1(p -，从而A 至少出现一次的概率为A P (至少出现一次)=1-4)1(p -=0.59即4)1(p -=0.41，所以p =0.270．设A =“随机抽取一个梨是熟的”．则取出4个梨相当于做了4次贝努里试验，且)(A P =548.0=，设B =“4个梨都是熟的”，则 4096.0625256)8.0()(444===C B P ， 即此批梨能作餐用的概率为4096.0。
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第一章随机事件及其概率习题一一、填空题1．设样本空间{ x| 0 x 2} ，事件A { x | 1 x 1}, B { x | 1 x 3}，则A B2 4 2{ x |0 x 1 3 1x1 3 } U { x | x 2} , AB { x | } U { x |1 x } .4 2 4 2 22. 连续射击一目标，A i表示第i次射中，直到射中为止的试验样本空间，则= A1； A1 A2； L ； A1 A2 L A n 1 A n；L .3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、 2、 3、4 概率为 1 .124．一批 ( N个 ) 产品中有M个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个 m 个次品的概率是 C M m C n n M m / C N n .5．某地铁车站 , 每 5 分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过 3 分钟的概率为.6．在区间（ 0, 1 ）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6 ”的概率为.57．已知P( A)=, P(B)=,(1) 当 A, B互不相容时, P( A∪B)= ; P( AB)= 0 .(2) 当B A时, P(A+B)= ; P( AB)= ；8. 若 P(A) , P(B) , P( AB) , P(A B) 1 ; P( AB) ;P(A B) = 1 .9. 事件 A, B,C 两两独立 , 满足 ABC ，P( A) P( B) P (C) 1 , 且P( A+B+C)= 9 ，2 16 则 P(A)=.10．已知随机事件 A 的概率P( A) 0.5 ，随机事件B的概率 P( B) 0.6 ，及条件概率P(B | A) 0.8 ，则和事件A B的概率P(A B).12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三2等品，则取到一等品的概率为.313. 已知 P( A) a, P(B | A) b, 则 P （ AB ）a ab .14. 一批产品共 10 个正品 ,2 个次品 , 任取两次 , 每次取一件 ( 取后不放回 ), 则第 2 次抽取为次品的概率1 .615. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是2 , 1 , 2，三人中恰好有两人合格的概3 2 5率为 2/5 .16.一次试验中事件 A 发生的概率为 p , 现进行 n 次独立试验 , 则 A 至少发生一次的概率为1 （1 n； A 至多发生一次的概率为 （1 nn 1.p ） p ） np(1 p)17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为.二、选择题1．以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为（ D ） .（ A ）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （ B ）“甲、乙两种产品均畅销” ;（ C ）“甲种产品滞销” ;（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.2. 对于任意二事件A 和 B, 与AB B 不等价的是 （ D ）.(A) A B; (B) B A; (C) AB ; (D) AB .3. 如果事件 A ， B 有 B A ，则下述结论正确的是（ C ） .（A ） A 与 B 同时发生 ;（ B ）A 发生， B 必发生；（ C ） A 不发生 B 必不发生；（ D ） B 不发生 A 必不发生 .4. A 表示“五个产品全是合格品” ， B 表示“五个产品恰有一个废品” ， C 表示“五个产品不全是合格品” ，则下述结论正确的是（B ）.(A) A B;(B) A C; (C) B C; （D ）A B C.5.若二事件 A 和 B 同时出现的概率 P( AB )=0 则（ C ） .（ A ） A 和 B 不相容；（ B ） AB 是不可能事件；（ C ） AB 未必是不可能事件；（ D ）P( A )=0 或 P( B )=0.6.对于任意二事件 A 和 B 有 P( A B)(C ).(A) P( A) P(B) ;（B）P( A)P(B) P( AB) ;（C） P( A) P(AB) ;（D）P( A)P(B) P(B)P( AB) .8.设 A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）.(A) A与 B 不相容 ; (B) A与 B 相容 ; (C) P(AB)=P( A)P( B); (D) P(A- B)=P( A).9.当事件 A、 B 同时发生时，事件 C必发生则（B）.(A) P(C) P( A) P(B) 1; (B) P(C) P( A) P( B)1;(C) P(C ) P( AB);(D) P(C) P(A B).10.设A, B为两随机事件，且B A，则下列式子正确的是(A ).（A） P( A B) P(A) ; (B)P( AB)P( A) ;(C)P(B | A) P(B) ;(D)P(B A) P( B)P( A) .11.设A、B、C是三随机事件，且P(C) 0,则下列等式成立的是( B).(A) P(A|C) P(A| C) 1;(B) P(AUB|C) P(A|C) P(B| C) P(AB| C);(C) P(A |C) P( A|C) 1;( D) P( AU B |C) P( A|C)P(B |C).12.设A, B是任意两事件,且A B, P( B) 0 ,则下列选项必然成立的是（B） .( A) P(A) P( A | B);( B) P( A) P(A | B);(C) P(A) P(A|B);( D) P(A) P(A|B).13．设 A,B 是任意二事件,且 P(B) 0, P(A |B) 1,则必有（C）.(A)P( A B) P(A) ;(B)P(A B) P(B) ;(C)P( A B) P(A) ;(D)P(A B) P(B) ．14.袋中有5个球，其中2个白球和 3 个黑球，又有 5 个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（D） .1;(B)2;(C)1;(D)2.(A)445 515.设0P(A) 1, 0 P(B) 1, P(A|B) P(A |B) 1,则（D）.(A)事件 A和B 互不相容；(B)事件A和B互相对立；(C)事件 A和B 互不独立；(D)事件A和B相互独立.16.某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为p (0 p 1) ，则此人第 4(A) 3p(1 p) 2 ; (B) 6p(1 p)2 ;(C) 3p2 (1 p)2 ; (D) 6 p2 (1 p) 2.三、解答题1.写出下列随机实验样本空间：(1)同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10 只产品中有 3 次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将 3 只次品都取出，记录抽取的次数；(3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品” ，如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。
(4) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度.解1（ 1） { 3,4,5, ,18} ；（ 2） {3,4,5,,10} ；（ 3）查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，{00 ， 100， 0100， 0101，1010 ， 0110， 1100， 0111， 1011， 1101， 1110，1111}; （ 4） {( x, y, z) | x 0, y 0, z 0, x y z 1} 其中 x, y, z 分别表示三段之长 .2.设 A, B, C 为三事件，用 A, B, C 运算关系表示下列事件：（1）A发生, B和C不发生；（2）A与B都发生,而C不发生；（ 3） A, B, C 均发生；（4）A, B, C至少一个不发生；（ 5） A, B, C 都不发生；（6）A, B, C最多一个发生；（ 7） A, B, C 中不多于二个发生；（8）A, B, C中至少二个发生.解（ 1） ABC 或A－ ( AB+AC)或A－ ( B+C) ；（ 2）ABC或AB－ABC或AB－C；（ 3） ABC ；（4）A B C；（5）ABC或A B C；（6） ABC ABC ABC ABC ；（ 7） ABC ；（ 8） AB AC BC . 3．下面各式说明什么包含关系(1) AB A ； (2) A B A；(3) A B C A解（1）A B；（2） A B；（3）A B C4. 设{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A { 2,3,4}, B { 3,4,5}, C { 5,6,7} 具体写出下列各事件：(1) AB， (2)A B， (3) A B ，(4) ABC ， (5) A(B C) .(4) {1,5,6,7,8,9,10}；(5) {1,2,5,6,7,8,9,10}.5.从数字 1,2,3 ，， 10 中任意取 3 个数字，（ 1）求最小的数字为 5 的概率 ;记“最小的数字为5”为事件 A∵ 10 个数字中任选 3 个为一组：选法有C103种，且每种选法等可能 .又事件 A 相当于：有一个数字为5，其余 2 个数字大于 5。
这种组合的种数有 1 C52∴1 C52 1. P(A)312C10（ 2）求最大的数字为 5 的概率。
记“最大的数字为 5”为事件 B，同上10 个数字中任选 3 个，选法有C103 种，且每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一个数字为5，其余 2 数字小于 5，选法有1 C42 种P(B) 1 C42 1 .C103 206. 从 5 双不同鞋子中任取 4 只， 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少记 A 表“ 4 只全中至少有两支配成一对”则 A 表“4只人不配对”∵从 10 只中任取 4 只，取法有104种，每种取法等可能。
要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。
取法有 5 2 44 C54 24 8P( A) C104 21P(A) 1 P( A)8 13 1 .21 217. 试证 P（ AB AB） P（ A） P（ B） 2P（ AB）.。
8．已知 10 只晶体管中有2 只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（ 1）两只都是正品 ；（ 2）两只都是次品 ；（ 3）一只是正品，一只是次品； （ 4）至少一只是正品。
解 （ 1） p 1C 82 28 ;(2) C 22 1C 10245 p 245C 102(3) p 3C 81 C 21 16 ; (4) p 4 1 p 211 44 .C 1024545 459. 把 10 本书任意放在书架上，求其中指定的 5 本书放在一起的概率。