2021中考数学单线段最值之单动点+双动点型

专题一 单线段最值之单动点型

例题．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．

【解析】ABCD 为矩形，AB DC ∴=

又

=PAB

PCD

S

S

∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，

连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，

且PC PD AC +=====

巩固1．如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）

A

．

4

B

．

2

C ．1

D ．2

【解析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图， ∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC =BC

=

2

AB

，∠A =∠B =45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC =OA =OB =1，∴∠OCB =45°， ∵∠POQ =90°，∠COA =90°，∴∠AOP =∠COQ ，

在Rt △AOP 和△COQ 中，A OCQ AO CO

AOP COQ ∠=∠=∠=∠⎧⎪

⎨⎪⎩

，∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP =CQ ， 易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形， ∴PE

，QF

BQ ， ∴PE +QF

=

2，CQ +BQ

，=2BC

=2

∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线， ∴MH =

12，PE +QF ，=12，即点M 到AB 的距离为12

， 而CO =1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线， ∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=1

2

AB =1， 选C ，

巩固2．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=P A．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，

【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，

由平移的性质可知AC′=EE′，

在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，，EE′=AC

巩固3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．

（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；

（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．

【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：

∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，

由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，

∵∠ACD=∠BCE，∵∵ACD≌∵BCE（S A S），∵AD=BE．

（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．

∵∵ACD≌∵BCE，∵∠CBE=∠A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，

根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，

∵∠ACB=∠CBE=60°，∵AC∥EF，又∵AF⊥BE，∵AF⊥AC，

在Rt∵ACF中，∵CF∵CD=CF=

例题．如图，点D 在半圆O 上，半径5OB =，4=AD ，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，作DH AC ⊥，垂足为H ，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是______．

【解析】如图，设AD 的中点为点E ，则11

4222

EA ED AD ==

=⨯= 由题意得，点H 的运动轨迹在以点E 为圆心，EA 为半径的圆上

由点与圆的位置关系得：连接BE ，与圆E 交于点H ，此时BH 取得最小值，2EH = 连接BD

AB 为半圆O 的直径，90ADB ∴∠=︒

BD ∴===

BE ∴===

2BH BE EH ∴=-=

巩固1．如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=4，在长方形的内部以CD边为斜边任意作Rt∵CDE，连接AE，则线段AE长的最小值是_____．

【解析】如图，点E'在以点F为圆心，DF为半径的圆上运动，

当A,E,F三点共线时，AE值最小，DF=1

2

×6=3，

在长方形ABCD中，AD=BC=4，由勾股定理得：AF．

∵EF=1

2

CD=

1

2

×6=3，∵AE=AF﹣EF=5﹣3=2，即线段AE长的最小值是2．

巩固2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．

【解析】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，

当D、B'、E共线时，B'D的值最小，

根据折叠的性质，，EBF≌，EB'F，，∠B=∠EB'F，EB'=EB．

，E是AB边的中点，AB=4，，AE=EB'=2．

，AD=6，，DE==，，B'D2．