复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用

§ 1.留数

1. （定理6.1柯西留数定理）：

dz = 2 m

Jc

£=i

2. （定理6.2）:设a为f⑵的m阶极点,

事（町

（…尸’

其中響：刃在点a解析，梓丄0，贝U

3. （推论6.3）:设a为f（z）的一阶极点,

Re^f(z),a) =

4. （推论6.4）:设a为f⑵的二阶极点

® ⑴=（Z-A）V（«）

则

5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式

6. 无穷远点的留数:

RES（F（R「8）=霜/严f(z)dz=- j

即，血血垃S）等于f⑵在点的洛朗展式中这一项系数的反号

7. （定理6.6）如果函数f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为则f（z）在各点的留数总和为零。

注：虽然f（z）在有限可去奇点a处，必有Z畑⑴°,但是，如果点为f（z）的可去奇点（或解析点），则血昭⑵妙）可以不为零。

8. 计算留数的另一公式:

(昭詞

§ 2•用留数定理计算实积分Q R(cos^,sin&)M型和分—引入

注：注意偶函数

1. (引理6.1大弧引理)：»上

limzf(z)= X

则

lim

H'J-M B

2. (定理6.7) 设f(-器梯理分式，其中

P(z) = e o z m + 耳厂，+ + c m(c0丰 0)

QCz) = b Q x n + %0勺 + * + 丰 0)

为互质多项式，且符合条件：

(1)n-m >2;

(2)Q(z股有实零点

于是有

f(x)dx — 2ui工Res(f(z)t au}

Jrtiajt >0

注：以fg可记为PM广；«x)dx

丿；黔厂心型积分

3. (引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周5£=恥叫0彰"・丘充金走上连续，且

lim鸟⑵=0

在「里上一致成立。则

lim f幻(胡叫E = o

■ rn

4. (定理6.8):设車勿=話，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:

(1) Q 的次数比P 高;

(2) Q 无实数解；

(3) m>0

特别的，上式可拆分成:

及

四. 计算积分路径上有奇点的积分

5. (引理

6.3小弧引理)：S m 询

lim(z-a)f (2)=X r-+D

于5'r 上一致成立，则有

limf /wdz=i (02-

五. 杂例

六. 应用多值函数的积分

§ 3.辐角原理及其应用

即为：求解析函数零点个数 f'M

2.

(引理6.4)：( 1)设a

为f(z)的n 阶零点，贝U a 必为函数 的一阶极点，并且

(2)设b 为f(z)的m 阶极点，贝U b 必为函数

的一阶极点，并且

Res 2ni

1 X) Res{ff (2je in ^f a^

则有

1.对数留

数:

3. (定理6.9对数留数定理)：设C 是一条周线，f(z)满足条件：

(1) f(z)在 C 的内部是亚纯的；

(2) f(z)在 C 上解析且不为零。

则有

注1:当条件更改为：(1) f 在Int(C)+C 上解析；(2) C 上有&0,有P (f>€) -0 即

毗讥f(z)

注2:条件可减弱为：f(z)连续到边界C,且沿C 有f(z)工0

4. (辅角原理)：

5. (定理

6.10鲁歇(Rouche )定理)：设C 是一条周线，函数f(z)及 ⑵满足条件:

(1) 它们在C 的内部均解析，且连续到 C ;

(2) 在 C 上，|f(z)|>| 増⑵|

则函数f(z)与f(z)+甲(z)在C 内部有同样多(几阶算几个)的零点，即

N( ,C)=N(f,C)

6. (定理6.11):若函数f(z)在区域D 内但也解析，则在 D 内f'(z)工0. N 行Q - P (f f C)

gear 时 2n