数学归纳法教学设计_公开课

“新苗杯”初赛教学设计

课题：数学归纳法（第一课时）

学科组：数学组

授课教师：**

《数学归纳法（第一课时）》教学设计

一、教材内容分析

人教版《普通高中课程标准试验教科书·数学》（A 版选修2-2）第二章“推理与证明”的主要内容是数学的基本思维过程，也是人们生活和学习中经常使用的思维方式．该章内容分为三小节：合情推理和演绎推理、直接证明和间接证明、数学归纳法．通过合情推理归纳出的有一类特殊问题——与正整数n有关的命题——用之前学习的方法难以解决，从而我们产生学习“数学归纳法”的必要性．学习了数学归纳法后，学生可以解决部分“证明n取无限多个正整数命题成立”的问题．

本节内容编写思路是：问题情境引发数学归纳法的学习欲望——多米诺骨牌蕴含的原理分析——用多米诺骨牌原理解决数学问题——从具体问题中概括出数学归纳法．在这个过程中，学生首先需要从生活实例中抽象出数学原理，然后需要利用该原理对数学问题进行严格证明．因此，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力的好素材．二、学情分析

高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力．但对于数学归纳法，学生理解和接受它是一件很困难的事情，因为学生缺少体验和认知基础．所以需为学生创设与数学归纳法有类似想法的实际体验．

三、教学目标

1. 通过具体情境，体会学习数学归纳法的必要性；

2. 借助生活实例和体验操作，感知数学归纳法的原理，体会数学与生活的紧密结合性；

3. 通过从解决具体数学问题的思维中概括出数学归纳法，训练学生的抽象思维能力，在证明过程中，培养学生严密的推理能力．

四、教学重、难点

教学重点：①通过游戏模型和生活实例，了解数学归纳法的基本思想；②掌握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用．

教学难点：①如何类比多米诺骨牌原理解决数学问题，了解数学归纳法的基本步骤；②如何理解数学归纳法中第二步的本质——建立递推关系．

五、教学策略

基于上述分析，我采取以下的教学策略．

1：“设置问题串”教学策略．在列举模型反思游戏过程时，设置具有启发性的问题，逐步推进对思想方法的理解，为本节课教学重点作铺垫；在类比抽象的过程中，设置类比问题，帮助学生类比多米诺骨牌原理解决数学问题，突破教学难点①；在形成数学归纳法概念后，设置反思问题，了解数学归纳法第二步骤的作用，明确第一步骤的起点问题，加深对数学归纳法的理解，突破教学难点②；课堂小结时，利用问题串，帮助学生回顾知识要点．2：“螺旋上升”教学策略．先通过具体情境的探究，引发学生求知欲；再通过多米诺骨牌初步体会和认识数学归纳法的雏形；然后类比这种思想，解决数学问题；进而从中提炼出数学归纳法；通过对数学归纳法的步骤反思，对步骤的本质进行认识和剖析；通过例题教学，帮助学生掌握数学归纳法步骤和易错点，以此逐步完成对数学归纳法的深刻理解．

314

n +=

()2

3

3

3

2+3123n n ++=+++

+，

：如何验证你得到的结论正确与否呢？

总结：这个问题无法利用已学知识解决，因此，我们需要一种新的证明方法，这就是我们今天要学习的数学归纳法．（板2n +

)()21n +．该引入方式计算前几项后，学生不容易归纳得到结论，直接给出命题证明

显得较为突兀；课标版教能够解决该引例问题，较难说明学习数学归纳法是必要的．该例题的设计旨在利用先行组织者，引发学生认知冲突，明确学习数学归纳法的必要性，激发学生求知欲．

314

n +=问题：你能否将解决“任给用到“等式对任意的正整数预案：稍停，观察有无学生能够解决该问题，若无，则给出和2；若有，让学生陈述，教师点评总结．提示：上述猜想换一个说法“任意正整数314

k +=时，左边(3

3

1k =+++()31k +(244k k =++)2

2=右边

314

n +=正整数n 成立．

问题：请概括上述证明过程的步骤．

总结：（学生总结，教师板书数学归纳法步骤） 上述证明问题的步骤方法即是数学归纳法． 利用上述两个证明步骤，可以建立命题链： 任给n 张扑克牌全部倒下 任意正整数n 等式成立 第1块多米诺骨牌倒下 （1）1n =时命题成立； 第k 块多米诺骨牌倒下→第k +1块多米诺骨牌倒下 （2）假设n k =时命题成立验证1n k =+时命题成立．

结合上述两步，可知所有多米诺骨牌都能倒下

结合上述两步，断定命题对任意的正整数成立．

11

2

n -+<)*,1n >，第一步需要验证什么？）用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线条数为，第一步需要验证什么？

总结：利用数学归纳法证明时，第一步从等于几开始起，要

根据具体问题而定．问题：从这两个问题中，你觉得刚才得到的数学归纳法可以*

）时，命题成立；*

k ∈

）时命题成立，证明当

n=1成立

n=2成立

n=3成立

n=4成立

n=5成立

…

结合上述两步，断定命题对任意的正整数0n n ≥成立． 总结：数学归纳法可用于证明与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题，但是并不是所有与正整数n 有关的数学命题都可以用数学归纳法证明．

预设反例：11n

n a n ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

单调增问题不能用数学归纳法证明．

例题呈现巩固知识

例. 利用数学归纳法证明

()()22221

1231216

n n n n +++

+=++

对任意正整数n 成立．

（学生板书→学生修改→教师点评修改） 证明：（1）当1n =时，左边=右边，命题成立． （2）假设当n k =时，命题成立，即()()22221

1231216

k k k k +++

+=++．

当1n k =+时，左边()()()2

112116k k k k =++++

()()2127616k k k =+++()()()1

22316k k k =+++ ()()()1

122116

k k k =

++++=⎡⎤⎣⎦右边 因此，若n k =时命题成立，可推出1n k =+时命题成立．

综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n 成立．

学生通过运用数学归纳法，模仿格式规范证明，检验数学归纳法步骤掌握情况，在证明过程中，培养严谨的数学推理能力．

课堂练习明确易错点 (备用)

利用数学归纳法判断

()()()()1221321n n n n n n +++=⋅⋅⋅

⋅-

是否对任意正整数n 成立？ 预设错误：1n k =+时，添加项错误 展示利用数学归纳法证

明的易错点，说明在证明递推关系时注意添加项问题．

课堂小结回顾要点

通过本节课的学习：

问题1. 你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？ 问题2. 数学归纳法每一步的作用是什么？ 问题3. 数学归纳法适用于哪类数学证明问题？ （学生总结）

利用问题串，帮助学生回顾本节课知识要点．

七、板书设计

媒体展示区域

数学归纳法

学生展示区域

（1）证明n =n 0命题成立： （2）假设n =k 命题成立， 验证n =k +1命题成立． 综合（1）（2）可得，命题对于任意正整数n ≥n 0成立．

证明起点： 证明递推关系： 课堂引入猜想