平面解析几何综合检测卷
平面解析几何单元测试题1
平面向量与平面解析几何练习一、选择题1、已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－）， 则向量a b += ( ). A 、平行于y 轴 B 、平行于第一、三象限的角平分线C 、平行于x 轴D 、平行于第二、四象限的角平分线2、设M(-2,1),N(1,2)为平面直角坐标系中的两点，将M 和N 按向量)1,1(=a平移到点M '和N '，则N M ''的坐标是（ ）A 、(4,2)B 、(3,1)C 、(2,0)D 、(-1,3)3、下列直线中，垂直于直线01=+-y x 且与圆422=+y x 相切的是（ ）.A 、022=--y xB 、02=--y xC 、022=++y xD 、02=-+y x4、抛物线24x y =的焦点坐标为（ ）.A 、1(0,)16B 、1(,0)16C 、(0,1)D 、(1,0) 5、若向量(1,1)=-a ，(2,1)=-b , ,则向量3-a b 的模|3|-=a b ( )A.6、已知直线l 过点(1,1)P -,且与直线310x y +-=垂直,则直线l 的方程为( )A.13(1)y x +=-B.11(1)3y x -=-+C.13(1)y x -=+D.11(1)3y x +=-- 7、设P 是椭圆2212510x y +=上的一点,则P 到两焦点的距离的和为( )A.5B.6C.8D.108、设(2,1),(1,2)M N =-=为平面直角坐标系中两点,将,M N 按向量a =(1,1)平移到'',M N ,则''N M 的坐标为( )9、已知直线l 1:2y=x ,直线l 2:y+2x+1=0则l 1与 l 2 ( )A. 相交不垂直B.相交且垂直C. 平行不重合D.重合10、双曲线191622=-y x 的焦距为( ) A. 7 B.5 C. 72 D.1011、已知直线y=x-2与圆x 2+y 2=4交于两点M 和N ，O 是坐标原点，则=•ON OM ( )A. -1B.0C. 1D.212、垂直于x 轴的直线l 交抛物线y 2=4x 于A 、B 两点，且|AB|=43，则该抛物线的焦点到直线l 的距离是( )A.1B.2 B.3 D.413、以点（2，-1）为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程（ ）A.3)1()2(22=++-y xB. 3)1()2(22=-++y xC. 9)1()2(22=-++y x D .9)1()2(22=++-y x14、以141222=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ） A ．1526422=+y x B ．1121622=+y xC ．141622=+y xD ．116422=+y x 15、若抛物线==p px y ，则的点之横坐标为上到焦点的距离为2322（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16、圆2240x x y -+=的圆心到直线40x +-=的距离为__________.17、已知m 为实数,椭圆1322=+m y x 的一个焦点为抛物线y 2=4x 的焦点,则m = .18、经过点(0，-1)与点（1，0），且圆心在直线y=x+1上的圆的方程是____________19、双曲线112422=-y x 的离心率是20、以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. 如果已知双曲线22124x y -=和22124x y -=-,那么它们的焦点所在的这个圆的方程为_______________.三、解答题21、(14分) 已知圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈. 椭圆M 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23, 两个焦点分别为1F 和2F , 椭圆M 上一点到1F 和2F 的距离之和为12. (1)求椭圆M 的方程;(2)求过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆M 所截得的线段的长;(3)问是否存在实数k,使得椭圆M 在圆k C 的内部? 请说明理由.22、(本小题满分12分) 已知椭圆1xy y x 2222=+的左、右两个焦点F1、F2为双曲线13y 4x 2222=-的顶点。
2020人教B版高中数学必修二第二章平面解析几何初步综合测试B含解析
【成才之路】2015-2016学年高中数学第二章平面解析几何初步综合测试B 新人教B版必修2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x＋(m＋1)y＋3＝0与直线mx＋2y－1＝0平行，则m的值为( )A．1 B．－2C．2或－1 D．－2或1[答案] D[解析]由题意，得1×2－m(m＋1)＝0，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或1.经检验知当m＝－2或1，满足题意．2．(2015·辽宁沈阳二中高一期末测试)在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为( ) A．－2 B．2C．6 D．2或6[答案] D[解析]由题意得10－42＋－1－12＋6－92＝x－42＋4－12＋3－92，解得x＝2或6.3．(2015·甘肃天水市泰安县二中月考)直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为( )A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0[答案] A[解析]用－x替换方程x－y＋1＝0的x，得－x－y＋1＝0，即x＋y－1＝0，故选A．4．如果方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，则A、B、C满足( )A．B·C＝0 B．A≠0C．B·C＝0且A≠0 D．A≠0且B＝C＝0[答案] D[解析]直线是y轴，则斜率不存在且过点(0,0)．斜率不存在，得B＝0.A、B不同时为0，得A≠0，又过点(0,0)，得C＝0.5．直线(m＋2)x＋my＋1＝0与直线(m－1)x＋(m－4)y＋2＝0互相垂直，则m的值为( )A ．12B ．－2C ．－12或2D ．－2或12[答案] C[解析] 由题意，得(m ＋2)(m －1)＋m (m －4)＝0， 解得m ＝－12或2.6．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 [答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式． 圆心C (0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离d ＝11＋k2≤1< 2.所以直线与圆相交，故选C ．7．(2015·云南曲靖市陆良县二中高一期末测试)若圆的一条直径的两端点分别是(－1,3)和(5，－5)，则此圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋2y －20＝0 B ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＋2y ＋20＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0 [答案] D[解析] 圆心坐标为(2，－1)，半径为2＋12＋－1－32＝5，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25，即x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0.8．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k ＝4或k ＝－1 B ．k >4或k <－1 C ．－1<k <4 D ．以上都不对[答案] B[解析] 方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0，可化为(x ＋k )2＋(y ＋2)2＝k 2－3k －4，由题意，得k 2－3k －4>0，∴k >4或k <－1.9．(2015·广州二中高一期末测试)直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值[答案] A[解析] 解法一：∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x 2＋y 2－2y ＝0的内部， ∴直线与圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2－2y ＝0，得(1＋k 2)x 2－1＝0，Δ＝4(1＋k 2)>0，故直线与圆相交．10．已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0与x 轴，y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 的值是( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6[答案] B[解析] 由题意，知两直线垂直， ∴1·k ＋3·(－1)＝0，∴k ＝3.11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 设圆心坐标为(x ，y )，由题意知x >0，y ＝1. 由点到直线的距离公式，得|4x －3|42＋32＝1， ∴4x －3＝±5，∵x >0，∴x ＝2.故所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11[答案] A[解析] 直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位后为2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即2x －y ＋2＋λ＝0，又直线2x －y ＋2＋λ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则|－2－2＋2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或7.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·广州二中高一期末测试)已知a <0，直线l 1：2x ＋ay ＝2，l 2：a 2x ＋2y ＝1，若l 1⊥l 2，则a ＝________.[答案] －1[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a 2＋2a ＝0， ∴a ＝－1或a ＝0.∵a <0，∴a ＝－1.14．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________． [答案] x －y ＋1＝0[解析] 由x 2＋2x ＋y 2＝0得圆心C (－1,0)， 所求直线与x ＋y ＝0垂直，∴所求直线的斜率为1， ∴所求直线的方程为x －y ＋1＝0.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于____________．[答案]254[解析] ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y －5＝0，令x ＝0，得y ＝52，令y ＝0，得x ＝5， ∴S △＝12×52×5＝254.16．一束光线从点A (－2,2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －4)2＋(y －6)2＝1上的最短路程是______．[答案] 9[解析] A 关于x 轴对称点A 1(－2，－2)，⊙C 的圆心C (4,6)，|A 1C |＝10， ∴最短路程为|A 1C |－1＝9.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2015·湖南益阳市高一期末测试)已知两直线l 1：(3＋m )x ＋9y ＝m －1，l 2：2x ＋(1＋2m )y ＝6.(1)m 为何值时，l 1与l 2垂直； (2)m 为何值时，l 1与l 2平行．[解析] (1)由题意得2(3＋m )＋9(1＋2m )＝0， 解得m ＝1516.(2)由题意得(3＋m )(1＋2m )－18＝0， 解得m ＝－5或32.当m ＝－5时，l 1与l 2重合；当m ＝32时，l 1与l 2平行．18．(本题满分12分)已知直线l 1：x ＋2y －3＝0与l 2：2x －y －1＝0的交点是P ，直线l 过点P 及点A (4,3)．(1)求l 的方程；(2)求过点P 且与l 垂直的直线l ′的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝02x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴P (1,1)，∴l 的方程为：y －13－1＝x －14－1，即l ：2x －3y ＋1＝0.(2)∵所求直线l ′与l 垂直， ∴斜率为－32.又∵l ′过点(1,1)，∴所求直线l ′的方程为y －1＝－32(x －1)，即3x ＋2y －5＝0.19．(本题满分12分)(2015·云南曲靖市陆良县二中高一期末测试)△ABC 中，点A (1,1)、B (4,2)、C (－4,6)．(1)求BC 边上的中线所在直线的方程； (2)求BC 边上的高及△ABC 的面积．[解析] (1)BC 边的中点D 的坐标为(0,4)，∴中线AD 的斜率k ＝4－10－1＝－3，故中线AD 的方程为y －4＝－3(x －0)， 即3x ＋y －4＝0.(2)BC 边所在直线的斜率为k BC ＝6－2－4－4＝－12，BC 边所在直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.点A 到BC 边的距离d ＝|1＋2－8|12＋22＝5， ∴BC 边上的高为5， |BC |＝－4－42＋6－22＝4 5.∴S △ABC ＝12×45×5＝10.20．(本题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，点C 在x 轴上．(1)求Rt △ABC 外接圆的方程；(2)求过点(－4,0)且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程．[解析] (1)由题意可知点C 在x 轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)，又AB ⊥BC ，则k AB ·k BC ＝－1，即－222·22a＝－1，解得a ＝4. 则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9.(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为y ＝kx ＋4，即 kx －y ＋4k ＝0. 当圆与直线相切时，有d ＝|5k |k 2＋1＝3，解得k ＝±34，故所求直线方程为y ＝34(x －4)或y ＝－34(x －4)，即3x －4y －12＝0或3x ＋4y －12＝0.21．(本题满分12分)一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程．[解析] 两平行直线之间的距离为|－5＋3|1＋9＝210，∴圆的半径为110，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝110，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0|a ＋3b －5|10＝110|a ＋3b －3|10＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－75b ＝95.故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －952＝110.22．(本题满分14分)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是多少？[解析] 解法一：将圆的一般方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，r ＝1，如图所示，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |·|AC |，|PA |越来越大，从而S 四边形PACB ＝|PA |·|AC |也越来越大．当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个特殊的位置，即CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，S 四边形PACB 取得最小值．此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，∴|PA |＝|PC |2－|AC |2＝32－12＝22，故(S 四边形PACB )最小值＝2·12·|PA |·|AC |＝2 2.解法二：设点P 的坐标为(x ，y )， 则|PC |＝x －12＋y －12，由勾股定理及|AC |＝1， 得|PA |＝|PC |2－|AC |2＝x －12＋y －12－1，故S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2·12·|PA |·|AC |＝|PA |＝x －12＋y －12－1.欲求S 四边形PACB的最小值，只需求|PA |的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )的距离的平方的最小值，也就是点C (1,1)，到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的平方，这个最小值d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×1＋4×1＋8|32＋422＝9. 故(S 四边形PACB )最小值＝9－1＝2 2.。
《平面解析几何》测试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》测试卷及答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，116 B ．(0,1)C ．(1,0) D.⎝⎛⎭⎫116，0答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由抛物线y 2＝4x 得2p ＝4，解得 p ＝2，则焦点坐标为(1,0)，故选C.2．过点(2,1)且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －7＝0C ．3x －2y －4＝0D ．3x ＋2y －8＝0答案 B解析 设要求的直线方程为2x ＋3y ＋m ＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m ＝0，解得m ＝－7.可得要求的直线方程为2x ＋3y －7＝0，故选B.3．直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是() A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不能确定答案 B解析 将圆的方程化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b24，∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，∴圆与直线的位置关系是相切．故选B.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.62答案 B解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c＝b ＝2.∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3， ∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355. 5．已知双曲线E 的渐近线方程是y ＝±2x ，则E 的离心率为( )A.2或2B. 5C.52D.5或52 答案 D解析 当双曲线焦点在x 轴上时，依题意得b a＝2， 故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 当双曲线焦点在y 轴上时，依题意得a b ＝2，即b a ＝12， 故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选D.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为( )A.4x 225＋y 26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，得c a ＝12， 椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，即2a ＋2c ＝6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，。
平面解析几何测试题(卷)带答案解析
1．(本小题满分12分)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．2．设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．3．(本小题满分12分)(2010·模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ.4．已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 在直线2:02m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程（II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1∆，F BB 1∆的重心分别为G,H.求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。
6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35PB u u u r，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q .(1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟只进水、不出水，在随后的30分钟既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．8(理)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，AB 边所在直线的方程为3x －4y －4＝0.点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13在AD 所在直线上．(1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C1的方程；(2)已知点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，点F 是圆C1上的动点，线段EF 的垂直平分线交F M 于点P ，求动点P 的轨迹方程．9．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k ，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－2k ，其中k≠0，又直线l1与l2交于点M.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C 的方程．11设)1,0,2(),1,1,3(),0,0,1(C B A 为o ——xyz 的点。
平面解析几何测试题
精品资料《平面解析几何》单元测试本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1~2页，第Ⅱ卷3~4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题均无效。
满分100分。
考试时间100分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共45分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
2.第Ⅰ卷共1个大题，15个小题。
每小题3分，共45分。
一.选择题：（每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图,直线l 的倾斜角α，斜率k ，正确的是（ ）A.α=4π,k =1 B.α=4π,k =-1 C.α=43π,k =1 D.α=43π,k =-12.直线4x +3y -3=0的斜率为 （ ）A.34 B.43 C.-34D.-433.已知直线l 1的斜率为-1,直线l 2的斜率为1,那么这两条直线 （ ） A.相交但不垂直 B.平行 C.重合D.垂直相交4.过点A (0,4)与B (3,0)的直线方程是 （ ）A.4x -3y +12=0 B.4x -3y -12=0 C.4x +3y +12=0 D.4x +3y -12=05.已知直线x +5y -1=0与直线ax -5y +3=0平行,则a =精品资料（ ）A.25 B.1 C.-1 D.-256.曲线x 2-y 2+y -1=0与曲线y =x 2的交点个数是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.47.已知直线Ax+By+C=0,且AC ＜0,BC ＜0,则此直线通过的象限是 （ ） A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限8.b =0是直线y =kx +b 过原点的（ ）A.充要条件 B.充分但不必要条件 C.必要但不充分条件D.既不充分也不必要条件9.已知直线l 与直线3x +6y -4=0垂直，且两直线在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可以是 （ ） A.6x -3y +2=0B.6x -3y -2=0C.3x -6y +4=0D.3x -6y -4=010. 过点(1,-2),倾斜角α的正弦值等于53的直线方程是 （ ）A.y+2=43±(x -1) B.y+2=34±(x -1) C.y+2=43(x -1) D.y+2=53(x -1)11.已知圆方程是x 2-2x+y 2+4y+3=0,则它的圆心和半径分别是 （ ） A.(1,-2),r =2 B.(-1,2),r =2 C.(-1,2),r =2 D.(1,-2),r =212.已知圆x 2+y 2+2x -4y -a =0的半径为3，则（）A.a=8B.a=4C.a=2D.a=1413.圆x2+y2-2x+2y=0的圆心到直线2x+3y+m=0的距离为13，则m的值是（）A.-12B.14C.-12或14D.12或-1414.直线2x+y-4=0与圆(x+2)2+(y-1)2 =1的位置关系是（）A.相交且过圆心 B.相离 C.相切 D.相交且不过圆心15.过圆(x+1)2+(y-1)2 =9外一点P(3,-2)的直线与该圆相交于A、B两点，则|AB|的最大值是（）A.18 B.9 C.6 D.3第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2023北京重点校高二(上)期末数学汇编：平面解析几何章节综合
2023北京重点校高二（上）期末数学汇编平面解析几何章节综合1,2，半径x+．()21x+D．()21A．Q B．R C．SP−6．（2023秋·北京海淀·高二统考期末）经过点(1,0)A．310−−=B．x yC．330−−=D．xx y上，且120MF MF⋅=，则B．2北京朝阳·高二统考期末）已知B．231+45901201352023秋高二统考期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升）A．33m B．33m2二、填空题16．（2023秋·北京东城·高二统考期末）已知点ABC的周长为21．（2023a则实数=22．（2023是__．23．（2023两点，求EBC的面积的最小值．>>的长轴长为0)b椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(4,0)M 的直线l 椭圆C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且120y y ≠．问：x 轴上是否存在点N 使得直线NA ，直线NB 与y 轴围成的三角形始终是底边在y 轴上的等腰三角形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由． ______________；经过原点且斜率不为最大时，12PF PF ⋅=_____________1,2，半径)229−=；【详解】PF，则设火星半径为R，椭圆左焦点为1F，连接1则1222MF MF a −==①，因为120MF MF ⋅=，所以MF 由勾股定理得212MF MF +①②联立可得151MF =+所以12112F F MSMF MF ==故选：B D．0a >，∴的方程，再联立直线MN的最大值为圆心到点1,1为圆心，)(213−++135.图1(2)若P 不是直角顶点，如图2，则，满足PMN 是等腰直角三角形的非直角顶点个，图2故4t =时，使得MNP △是等腰直角三角形的点对④：04t <<时，(1)若P 为直角顶点，如图1,则|MN (2)若P 不是直角顶点，如图3,则个，图3故04t <<时，使得MNP △是等腰直角三角形的点故答案为：②③④.【点睛】椭圆的参数方程是x =故ABC的周长CC=1∴圆C和圆（2）当过∴可设所求切线方程为：∴圆心C到切线的距离的方程，联立直线与抛物线的方程，可知EBC的面积的距离与它到直线为准线的抛物线，所以EBC的面积(2−1616m m所以EBC的面积的最小值为(1)22 4xy+存在，(1,0N【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；【详解】（1）因为12PF F S =12PF F S=最大时，面积最大，则此时为短轴顶点.不妨设()0,1P .(1F −，所以(11,PF =−，(21,PF =−所以121PF PF ⋅=−⨯故答案为：22；。
高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A(含解析)新人教B版必修2
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A 新人教B 版必修2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为( ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．5.5 D ．－5.5[答案] B[解析] 由已知得，x B －x A ＝2.5，x C －x B ＝－3，且x A ＝0，∴两式相加得，x C －x A ＝－0.5，即x C ＝－0.5.2．(2015·福建南安一中高一期末测试)已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在[答案] B[解析] 由斜率公式得，直线AB 的斜率k ＝2－41－0＝－2.3．已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为( )A ．(0,1，－1)B ．(0，－1,6)C ．(0,1，－6)D ．(0,1,6)[答案] C[解析] 由题意设点C 的坐标为(0，y ，z )， ∴1＋y －22＋z －22＝1＋y ＋32＋z －12，即(y －2)2＋(z －2)2＝(y ＋3)2＋(z －1)2. 经检验知，只有选项C 满足．4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－32， ∴直线在x 轴上的截距为－32，故选A ．5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2[答案] C[解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k＝2k －32.解得k ＝5，故选C ．6．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率为0，则AC 、AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3[答案] B[解析] 如图所示．由图可知，k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.7．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与m 的取值有关[答案] C[解析] 由3×3－(－2)×(m 2－1)＝0，即2m 2＋7＝0无解．故两直线相交． 8．若点(2,2)在圆(x ＋a )2＋(y －a )2＝16的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．0<a <2 C ．a <－2或a >2 D ．a ＝±2[答案] A[解析] 由题意，得(2＋a )2＋(2－a )2<16， ∴－2<a <2.9．(2015·辽宁沈阳二中高一期末测试)设A 、B 是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 由题意知，点P 在线段AB 的垂直平分线x ＝2上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －y ＋1＝0，得y ＝3.∴P (2,3)．令x －y ＋1＝0中y ＝0，得x ＝－1， ∴A (－1,0)．又∵A 、B 关于直线x ＝2对称， ∴B (5,0)．∴直线PB 的方程为y 3－0＝x －52－5，即x ＋y －5＝0.10．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离 D ．相交或相切[答案] C[解析] ∵m >0，∴圆心(0,0)到直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0的距离d ＝|1＋m |2＋2＝1＋m2，圆x 2＋y 2＝m 的半径r ＝m ，由1＋m 2－m ＝1－2m ＋m2＝1－m22≥0，得d ≥r ，故选C ．11．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] C[解析]x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．12．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A．1.4 m B．3.5 mC．3.6 m D．2.0 m[答案] B[解析]圆半径OA＝3.6 m，卡车宽1.6 m，∴AB＝0.8 m，∴弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5 m.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于________．[答案]－2或8[解析]由题意，得|6－4k＋6|32＋－42＝4，∴k＝－2或8.14．以点A(2,0)为圆心，且经过点B(－1,1)的圆的方程是________．[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]由题意知，圆的半径r＝|AB|＝－1－22＋1－02＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.15．若直线x ＋3y －a ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为________． [答案] －1或3[解析] 圆心为(1,0)，半径r ＝1，由题意，得|1－a |1＋3＝1，∴a ＝－1或3.16．(2015·山东莱州市高一期末测试)已知直线l 垂直于直线3x ＋4y －2＝0，且与两个坐标轴构成的三角形的周长为5个单位长度，直线l 的方程为________．[答案] 4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0[解析] 由题意可设直线l 的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－34b .∴三角形的周长为|b |＋34|b |＋54|b |＝5，解得b ＝±5，故所求直线方程为4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)正方形ABCD 的对角线AC 在直线x ＋2y －1＝0上，点A 、B 的坐标分别为A (－5,3)、B (m,0)(m >－5)，求B 、C 、D 点的坐标．[解析] 如图，设正方形ABCD 两顶点C 、D 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵直线BD ⊥AC ，k AC ＝－12，∴k BD ＝2，直线BD 方程为y ＝2(x －m )，与x ＋2y －1＝0联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15＋45m y ＝25－25m，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ，25－25m ，∵|AE |＝|BE |， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m －32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m －m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m 2， 平方整理得m 2＋18m ＋56＝0，∴m ＝－4或m ＝－14(舍∵m >－5)，∴B (－4,0)．E 点坐标为(－3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－5＋x 122＝3＋y12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1.即点C (－1,1)， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－4＋x 222＝0＋y22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝4，即点D (－2,4)．∴点B (－4,0)、点C (－1,1)、点D (－2,4)．18．(本题满分12分)已知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程．[解析] 设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2－2k，由题设条件12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－2k ·||2k ＋2＝1，∴2(k ＋1)2＝|k |，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >02k 2＋3k ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k 2＋5k ＋2＝0，∴k ＝－2或－12，∴所求直线方程为：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.19．(本题满分12分)已知直线y ＝－2x ＋m ，圆x 2＋y 2＋2y ＝0. (1)m 为何值时，直线与圆相交？ (2)m 为何值时，直线与圆相切？ (3)m 为何值时，直线与圆相离？[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋mx 2＋y 2＋2y ＝0，得5x 2－4(m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0.Δ＝16(m ＋1)2－20(m 2＋2m )＝－4[(m ＋1)2－5]， 当Δ>0时，(m ＋1)2－5<0， ∴－1－5<m <－1＋ 5. 当Δ＝0时，m ＝－1±5，当Δ<0时，m <－1－5或m >－1＋ 5.故(1)当－1－5<m <－1＋5时，直线与圆相交； (2)当m ＝－1±5时，直线与圆相切；(3)当m <－1－5或m >－1＋5时，直线与圆相离．20．(本题满分12分)求与圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)，且半径为1的圆C 2的方程．[解析]解法一：由圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，知圆心为C 1(2，－1)， 则过点A (4，－1)和圆心C 1(2，－1)的直线的方程为y ＝－1， 设所求圆的圆心坐标为C 2(x 0，－1)， 由|AC 2|＝1，即|x 0－4|＝1， 得x 0＝3，或x 0＝5，∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 解法二：设所求圆的圆心为C 2(a ，b )， ∴a －42＋b ＋12＝1，①若两圆外切，则有a －22＋b ＋12＝1＋2＝3，②联立①、②解得a ＝5，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； 若两圆内切，则有a －22＋b ＋12＝2－1＝1，③联立①、③解得a ＝3，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.21．(本题满分12分)(2014·甘肃庆阳市育才中学高一期末测试)已知两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0.求：(1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长．[解析] (1)由两圆方程x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0相减，得x －y ＋4＝0. 故它们的公共弦所在直线的方程为x －y ＋4＝0.(2)圆x 2＋y 2＋6x －4＝0的圆心坐标为(－3,0)，半径r ＝13， ∴圆心(－3,0)到直线x －y ＋4＝0的距离d ＝|－3－0＋4|12＋－12＝22， ∴公共弦长l ＝2132－222＝5 2.22．(本题满分14分)(2015·湖南郴州市高一期末测试)已知圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)若圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(2)在(1)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． [解析] (1)圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴m <5.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0， ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85.x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，∵OM ⊥ON ，∴k OM ·k ON ＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， ∴16－8×165＋8＋m ＝0，∴m ＝85.(2)以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.又x 1＋x 2＝4－2y 1＋4－2y 2＝8－2(y 1＋y 2)＝85，∴以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.。
平面解析几何测试题及答案
平面解析几何测试题一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分） 1.直线3x+4y-24=0在x 轴，y 轴上的截距为 （ ） A.6,8 B.-6,8 C.8,6 D.-8,6 2.x=29y -表示的曲线是 （ ）A.一条直线B.两条直线C.半个圆D.一个圆3.已知直线x-ay+8=0与直线2x-y-2=0垂直，则a 的值是 （ ）A.-1B.2C.1D.-24.已知圆x 2+y 2+ax+by=0的圆心为（-4，3），则a,b 的值分别是 （ ）A.8,6B.8,-6C.-8,-6D.-8,6 5.已知A （3，-6），B （-5，2），C （6，y ）三点共线，则点C 的纵坐标是 （ ）A.-13B.9C.-9D.136.已知过点P （2，2）的直线与圆（x-1）2+y 2 =5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a 的值为（ ）A.2B.1C.-21D.21 7. 直线2x-y=0与圆x 2+y 2-2x-4y-1=0的位置关系为 （ ） A. 相交但不过圆心 B.相离 C.相切 D.相交过圆心8.已知双曲线22a x -22b y =1的渐近线的斜率k=±34，则离心率等于 （ ）A.53B.45C.34D.359.若椭圆22a x +22by =1（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，若▲AF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为 ） A.22 B.21 C.41D.3-1 10.已知双曲线22x -22by =1（b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线方程为y=x ，点P （3，y 0）在双曲线上，则1PF •2PF 等于 （ ） A.-12 B.-2 C.0 D.4 11.已知椭圆焦点在x 轴上，长轴长为18，且焦点将长轴三等分，则椭圆的方程为（ ）A.812x +722y =1B.812x +92y =1 C.812x +452y =1 D.812x +162y12.设点F 为抛物线y 2=3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|等于 （ ） A.330B.6C.12D.37 13.已知圆x 2+y 2-4x-4y=0与x 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为（ ）A.6π B.3π C.2π D.3π2 14.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴是短轴的3倍，且过点（-3，1），则椭圆的方程为 （ ）A.92x +y 2=1 B.121822=+x y .121822=+y x D.92y +x 2=1 15.关于x ，y 的方程x 2+my 2=1，给出下列命题： ①当m<0时，方程表示双曲线； ②当m=0时，方程表示抛物线； ③当0<m<1时，方程表示椭圆； ④当m=1时，方程表示等轴双曲线； ⑤当m>1时，方程表示椭圆. 其中真命题的个数是 （ ）A.2个B.3个C.4个D.5个x-y-1≦016.已知变量x ，y 满足的约束条件是 x+y ≦1，目标函数z=10x+y 的最优解是 （ ） x ≧0 A. （0，1），（1，0） B.（0，1），（0，-1） C.（0，-1），（1，0） D.（0，-1），（0，0） 17.已知双曲线17922=-y x ，直线AB 过焦点F 1，且|AB|=4，则▲ABF 2的周长是 （ ）A.12B.20C.24D.48 18.已知椭圆的焦点F 1（0，-1），F 2（0，1），P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|，构成等差数列，则椭圆的方程为 （ ）A.191622=+y x B.1121622=+y x C.13422=+x y D.13422=+y x 19. 已知点P 是等轴双曲线上除顶点外的任一点，A 1，A 2是双曲线的顶点，则直线PA 1与PA 2的斜率之积是（ ）A.1B.-1C.2D.-2 20.圆（x+1）2+（y+2）2=8上到直线x+y+1=0的距离等于2的点共有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 21.圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的最大距离为 . 22.已知点(2，-1)与点(a ，-2)在直线3x+y-4=0的两侧，则a 的取值范围是 .23.物线的顶点在原点，焦点是双曲线3x 2-y 2=12的左顶点，则其标准方程为 .24.若方程142222=-+-m y m x 表示椭圆，则m 的取值范围是 . 25.设点F 1，F 2为双曲线1422=-y x 的两焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°，则▲F 1F 2P 的面积等于 . 三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.（本小题6分）已知抛物线y=241x ，点P （0，2）作直线l 交抛物线A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）求证：OA •OB 为定值；（2）直线l 与向量n=（1，2）平行，求▲AOB 的面积.27.（本小题8分）已知点P 是椭圆16410022=+y x 上一点，点F 1，F 2是左、右焦点，若∠F 1PF 2=60°，求▲PF 1F 2的面积.28.（本小题8分）在抛物线y=2x 2上求一点P ，使P 到直线l ：y=2x-3的距离最短，求P 点的坐标.29.（本小题8分）已知椭圆22a x +22by =1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为21.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l ：y=2x+m 与椭圆相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，O 为坐标原点，求直线l 的方程.30.（本小题10分）已知双曲线22a x -22by =1（a>0，b>0）的离心率为2，两顶点的距离为4.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线l 过圆x 2+y 2-6x+2y+6=0的圆心并与双曲线交于A ，B 两点，且点A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程.第八章 平面解析几何测试题答案一、选择题1.C2.C3.D4.B5.C6.A7.D8.D9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.C 15.B 16.C 17.B 18.C 19.A 20.C 二、填空题 21. 6 22. （2,∞-） 23. y 2=-8x24. （2,3）U （3,4） 25. 1三、解答题 26.（1）-4 （2）4627.3364 28.（21，21） 29.（1）13422=+y x （2）y=2x+219或y=2x -21930.（1）112422=-y x （2）0269=-+y x。
平面解析几何测试题(文科)
平面解析几何测试题(文科)（临朐 叶付国 王世红）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）1a =“”是“直线x+y =0和直线0x ay -=互相垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件（2）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程是 （ ）A ．05=-+y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．072=-+y x（3）直线1y x =-上的点到圆C ：224240x y x y ++-+=的最近距离为（ ）A. 1B.C.1 D. 1（4）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A ．B ．C ．-D ．-（5）若圆22680x y x y +--=的过点(3 5)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．（6）设椭圆1C 的焦点在x 轴上且长轴长为26，且离心率为513；曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=（7）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．14（8）.抛物线y x =2的准线方程是 （ ）A.014=+xB.014=+yC.012=+xD.012=+y（9）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4（10）若点P 在抛物线24y x =上，则该点到点(21)Q -，的距离与到抛物线焦点距离之和取得最小值时的坐标为（ ）A.114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B.114⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.(12)，D.(12)-， （11）.我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球.嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆(地球半径忽略不计).若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n （近地点是指卫星到地面的最近距离，远地点是最远距离），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率 （ ）A.变大B.变小C.不变D.以上都有可能（12）已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） A.4. B.5. C.7. D.8. 二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分，共16分．（13）已知实数0a >，直线l 过点22P -(,)，且垂直于向量(3,3)m =-，若直线l 与圆02222=-+-+a a ax y x 相交，则实数a 的取值范围是________________ .（14）已知12, F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于 A B 、两点 若2212F A F B +=，则AB = .（15）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．（16）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax . (I) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(Ⅱ) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.（18）（本小题满分12分）已知平面区域00240x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(Ⅰ)试求圆C 的方程；(Ⅱ)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,A B ，且满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.（19）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． 求证：“若直线l 过点T （3，0），则→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题.（20）（本小题满分12分）已知直线)0(1012222>>=+=-+b a by a x y x 与椭圆相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，-=，且M 点在直线1: 2l y x =上. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆122=+y x 上，求椭圆的方程. （21）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，问：是否存在实数k ，使得向量OP OQ+与AB共线？给出判断并说明理由.（22）（本小题满分14分）如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且⋅=⋅（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（1）已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，求12λλ+的值；（2）求MA MB的最小值．参考答案一、选择题：CADCB AABBD C D 二、填空题（13）82<<a ; （14）8; （15）28y x =; （16）3.三、解答题（17）解：将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(22=-+y x ， 则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2. (Ⅰ) 若直线l 与圆C 相切，则有21|24|2=++a a . 解得43-=a . ………………6分(Ⅱ) 解：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=.221,2,1|24|22222AB DA AC DA CD a a CD 解得1,7--=a . ∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x . ………………12分（18）解:(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=. ………………6分 (Ⅱ)设直线l 的方程是:y x b =+.因为CA CB ⊥ ,所以圆心C 到直线l,=. 解得:1b =-………………………………11分 所以直线l的方程是1y x =-±………………12分（19）解：设过点T(3,0)的直线l 交抛物线22y x =于点A 11(,)x y 、B 22(,)x y . （Ⅰ）当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为3x =,此时, 直线l 与抛物线相交于点A(3,6)（）.B(3,－6)，∴OB OA ⋅=3. …….............4分 （Ⅱ）当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-. …………………….….6分又 ∵ 22112211,x y x y ==， ∴2121212121()3⋅=+=+= OA OB x x y y y y y y ，………………………………….10分综上所述，命题“若直线l 过点T(3,0)，则OB OA ⋅=3” 是真命题. ………………….12分 （20）解：（Ⅰ）由-=知M 是AB 的中点，设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A由02)(:.1,0122222222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+b a a x a x b a b y ax y x 得.22221212222122)(,2ba b x x y y b a a x x +=++-=++=+， ∴M 点的坐标为),(222222b a b b a a ++. …………………………4分 又M 点在直线l 上， 02222222=+-+∴b a b b a a . 2222222)(22c a c a b a =∴-==∴， .22==∴a c e ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知c b =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为(,0)F b ，设(,0)F b 关于直线l x y 21=上的对称点为),(00y x ， 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-+-=⋅--.5453:.0222,1210000000b y b x y b x b x y 解得. ………………10分 由已知222200341,()()155x y b b +=∴+=.12=∴b ，∴所求的椭圆的方程为1222=+y x . ………………12分 （21）解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① ……………………………………3分 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得k <或k >．即k的取值范围为⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞∞．………………6分（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③ …………………………………9分而(01)()A B AB =，，．所以OP OQ + 与AB共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．………………12分（22）解：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由..QP QF FP FQ =得：(10).(2)(1).(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．……4分（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫--⎪⎝⎭， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． ……………………………………………7分 由1MA AF λ= ，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y m λ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222.y y m y y +=--242.4m m =---0=．……10分（2）解：212.M M MA MB y y y y =--221212(1)()M M m y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2214(2)4216m m ⎛=+++= ⎝≥． 当且仅当221m m=，即1m =±时等号成立，所以MA MB ⋅ 最小值为16． ……14分。
平面解析几何初步直线圆的方程等章节综合检测专题练习(二)附答案新高考高中数学
高中数学专题复习
《平面解析几何初步直线圆的方程等》单元过关
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．（2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2
MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是
（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）
A ．20x y +-=
B ．10y -=
C ．0x y -=
D ．340x y +-=（2020湖北文）
A
3．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为____________．
4．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么。
第二十单元 平面解析几何综合 A卷
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第二十单元 平面解析几何综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线70ax y ++＝与430x ay +-＝平行，则a 为（ ） A ．2 B ．2或2-C ．2-D ．12-【答案】B【解析】由直线70ax y ++＝与70ax y ++＝平行， 可得1743a a =≠-，解得2a =±，故选B ． 2．已知双曲线()2222100x y a b a b -=＞，＞的一条渐近线的方程是3y x =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，则双曲线的方程的（ ）A ．221824x y -=B ．221248x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】C【解析】双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线的方程是3y x =，可得3b a =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，可得4c =，即2216a b =+，2a =，23b =． 所求的双曲线方程为：221412x y -=．故选C ．3．已知椭圆()2222:10y x E a b a b+=＞＞经过点()50A ，，()03B ，，则椭圆E 的离心率为（ ） 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．23B C ．49 D ．59【答案】A【解析】由椭圆()2222:10y x E a b a b+=＞＞，经过点)A，()03B ，，可得3a =，b =2c ==，其离心率23e =，故选A ． 4．圆心为()2,0的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切，则C 的方程为（ ） A ．22420x y x +++= B ．22420x y x +-+= C ．2240x y x ++=D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】圆224640x y x y ++-+=，即()()22239x y ++-=．圆心为()2,3-，半径为3设圆C 的半径为r 53r =+．所以2r =．错误!未找到引用源。
平面解析几何测试
平面解析几何初步(时间:120分钟 满分:150分)一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线ax-2y=0与直线3x-y+3=0平行,则a 的值是( ) A.6 B.-6 C.±6 D.32.经过直线x+3y+10=0和y=3x 的交点,且与原点距离为1的直线方程是( )A.3x-4y-5=0B.4x-3y-5=0C.y=1D.4x-3y-5=0或x=-13.已知A(7,1),B(1,4),直线y 12=ax 与线段AB 交于点C,且2,AC CB = 则a 等于( )45.2.1..53A B C D4.两条直线y=x+2a,y=2x+a 的交点P 在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a 的取值范围是( )1.15A a -<< B.a>1或a<-15C.-15≤a<1D.a≥1或a≤-155.点Q(x,y)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界),则21y x --的取值范围是( )11.,1.,12211.,1.,144A B C D ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭6.圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=0( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F 两点,则△EOF(O 为原点)的面积为( )33..24A B C D8.已知直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图象只可能是()9.若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4b 的最小值为( ) A.8B.12C.16D.2010.设圆x 2＋y 2＋ax －5＝0，以点P (3,1)为中点的弦AB 的长为27，则弦AB 所在的直线方程为( ) A.x －y －2＝0 B.x ＋y －4＝0 C.x ＋2y －5＝0 D.x －2y －1＝011.直线l ：x －3y ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0交于A 、B 两点，则△ABC 的面积为( ) A.333 C.2 3D. 312.在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝⎛⎭⎫52，32有n (n ∈N *)条弦，它们的长构成等差数列，若a 1为过该点最短弦的长，a n 为该点最长弦的长，公差d ∈⎝⎛⎭⎫15，13，则n 的值是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上.13.已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是.14.已知直线y＝－2x＋a(a>0)与圆x2＋y2＝9相交于A，B两点，且OA·OB＝92，则实数a的值等于.15.(2010·潮州模拟)设点A(1,0)，B(－1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是.16.直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9.(1)求证：无论m为何值，直线l和圆总相交；(2)求m为何值时，直线l被圆截得的弦长最小，并求出此最小值.18.(本小题满分12分)已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4).(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值.19.(本小题满分12分)已知，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程.20.(本小题满分12分)(2011·湖南模拟题)直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴交于A，B两点，△OAB的面积为12，求直线的方程.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,以O 为圆心的圆与直线 =4相切. (1)求圆O 的方程;(2)圆O 与x 轴相交于A ､B 两点,圆内的动点P 使|PA|､|PO|､|PB|成等比数列,求PA PB的取值范围.22.(本小题满分14分)已知菱形ABCD 的顶点A ､C 在椭圆x 2+3y 2=4上,对角线BD 所在直线的斜率为1. (1)当直线BD 过点(0,1)时,求直线AC 的方程; (2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD 面积的最大值.参考答案1.解析:由2a=3,得a=6. 答案:A 2.解析:由3100,3x y y x ++=⎧⎨=⎩解得1,3x y =-⎧⎨=-⎩即交点为(-1,-3),如图,斜率不存在时,x=-1;斜率存在时,4x-3y-5=0. 答案:D3.解析:由2AC CB = 得,点C 的坐标为(3,3),又点C 在直线y=12ax 上,∴a=2. 答案:A4.解析:由2,2y x a y x a=+⎧⎨=+⎩得P(a,3a).∴(a -1)2+(3a-1)2<4,解得-15<a<1 . 答案:A5.解析:目标函数21y kx -=-表示△ABC 内部的点与定点P(1,2)连线斜率的最值. 如图,易知当直线过点B 时斜率最大,过点A 时斜率最小.求得k PB =1,k PA =1,4∵所讨论的区域在△ABC 的内部,故端点不取. ∴14<k<1. 答案:D6.解析:圆x 2+2x+y 2+4y-3=0化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=8,∴圆心坐标为(-1,-2),半径为圆心到直线的距离=,共3个.答案:C7.解析:由方程组223,22(2)(3)9x y x y ⎧=-⎪⎨⎪-++=⎩得5x 2-10x-11=0.∵12122,115x x x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩21|4,2x x -==由点O到直线的距离公式得d =∴S △EOF=5答案:C 8.解析：∵圆M 的圆心(a ，－b )，半径为a 2＋b 2且过原点，直线l 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，∴只能是B. 答案：B9.解析：解法一：圆心(－4，－1)在直线上，∴4a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝()1a ＋4b (4a ＋b )＝8＋b a ＋16ab≥8＋216＝16.解法二：1＝4a ＋b ≥24ab ⇒ab ≤116， ∴1a ＋4b ＝4a ＋b ab ＝1ab ≥16. 答案：C10.解析：圆()x ＋a22＋y 2＝a 24＋5，圆心O (－a2，0)，半径r ＝a 24＋5， |OP |＝ ()3＋a 22＋1＝a 24＋3a ＋10， 由弦心距、半弦长及半径的关系得 ()a 24＋3a ＋10＋7＝a 24＋5，∴a ＝－4，即圆心为(2,0)，∴弦AB 的斜率为k ＝－3－21－0＝－1，∴弦AB 所在的直线方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0. 答案：B 11.解析：直线l 与圆C 交于A 、B 两点，可设点B 在第一象限，如图所示，联立方程组 x 2＋y 2－4y ＝0,x －3y ＝0， 得 x ＝0,y ＝0 或 x ＝3,y ＝1，即A (0,0)，B (3，1)，知|AB |＝2.由圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0，可知x 2＋(y －2)2＝4，圆心C 为(0,2)，∴圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－23|1＋(3)2＝ 3.故S △ABC ＝12·|AB |·d ＝12×2×3＝ 3. 答案：D12.解析：x 2＋y 2＝5x ，即()x －522＋y 2＝()522，过点()52，32最长的弦为直径，长为5，最短的弦为2()522－()322＝4，则a 1＝4，a n＝5，故5＝4＋(n －1)·d ，∴n ＝1d＋1. ∵15<d <13，∴3<1d <5，则4<n <6，故n ＝5. 答案：D13.解析：D 2＋E 2－4F >0且2a 2＋a －1>0，即 a 2＋a 2－4(2a 2＋a －1)>0且2a 2＋a －1>0，解得a ∈⎝⎛⎭⎫－1－73，－1∪⎝⎛⎭⎫12，－1＋73. 答案：⎝⎛⎭⎫－1－73，－1∪⎝⎛⎭⎫12，－1＋73 14.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立 y ＝－2x ＋a ,x 2＋y 2＝9，消去y 得5x 2－4ax ＋a 2－9＝0，则OA ·OB ＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝5x 1x 2－2a (x 1＋x 2)＋a 2＝5·a 2－95－2a ·4a 5＋a 2＝92，解得a ＝3152.答案：315215.解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点B (－1,0)和点A (1,0)时b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是［－2,2］. 答案：［－2,2］16.解析：作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考察它们的关系，寻找问题的解决办法.将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0). 当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0－b |2＝1，|b |＝2，b ＝± 2.观察图形，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时， 直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一公共点. 答案：－1<b ≤1或b ＝－ 217.解：(1)证明：直线方程可化为(3x －2y )＋m (x －y ＋1)＝0.当且仅当3x －2y ＝0,x －y ＋1＝0，即x ＝2,y ＝3时，方程对任意实数m 恒成立，∴直线恒过定点P (2,3).又C (3,4)，|PC |＝(3－2)2＋(4－3)2＝2<r ， ∴点P 在圆内，∴无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交.(2)由平面几何知识知，当CP 与弦垂直时，弦长最小.∵k PC ＝4－33－2＝1，∴k l ＝－1，即m ＋3m ＋2＝－1，m ＝－52.此时弦长＝232－|PC |2＝27.18.解：(1)∵k 1＝a －13－1＝a －12，∴k 2存在，且k 2＝4－23＋a －2＝2a ＋1，由l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，即a －12＝2a ＋1，解得a ＝± 5.又当a ＝±5时，k AM ≠k BM ，∴A 、B 、M 不共线，∴a ＝±5符合题意.(2)∵k 1＝a －12.①当a ＝1时，k 1＝0，k 2＝1，k 1·k 2＝0不合题意. ②当a ≠－1时，k 1≠0， ∵l 1⊥l 2，则k 2存在，且k 2＝2a ＋1(a ≠－1)，由于l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即a －12·2a ＋1＝－1.解得a ＝0.∴l 1⊥l 2时a 为0.19.解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.20.解：解法一：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，∴A (a,0)，B (0，b ).由题意得ab ＝24，,3a ＋2b＝1，解得a ＝6，,b ＝4.∴所求直线的方程为：x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.解法二：设直线l 的方程为：y －2＝k (x －3).令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距a ＝3－2k，令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距b ＝2－3k . ∴23k ⎛⎫-⎪⎝⎭(2-3k)=24,解得k=-23.所求直线的方程为y-2=-23(x-3),即2x+3y-12=0.21.解:(1)依题设有,圆O 的半径r 等于原点O 到直线的距离,即得圆O 的方程为x 2+y 2=4. (2)不妨设A(x 1,0),B(x 2,0),x 1<x 2.将A ､B 两点坐标分别代入圆O 的方程即得A(-2,0),B(2,0). 设P(x,y),由|PA|､|PO|､|PB|成等比数列,得2+y 2,即x 2-y 2=2.PA PB=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x 2-4+y 2=2(y 2-1).由于点P 在圆O 内,故22224,2,x y x y ⎧+<⎨-=⎩由此得y 2<1.∴PA PB的取值范围为[-2,0). 22.解:(1)由题意得,直线BD 的方程为y=x+1. ∵四边形ABCD 为菱形,∴AC⊥BD. 于是可设直线AC 的方程为y=-x+n.由2234x y y x n ⎧+=⎨=-+⎩,得4x 2-6nx+3n 2-4=0.∵A ､C 在椭圆上,∴Δ=-12n 2+64>0,解得33n -<<设A,C 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1+x 2=3,2n x 1x 2=234,4n - y 1=-x 1+n,y 2=-x 2+n. ∴y 1+y 2=.2n ∴AC 的中点坐标为3,.44n n ⎛⎫⎪⎝⎭由四边形ABCD 为菱形可知, 点3,44n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线y=x+1上, ∴31,44n n =+解得n=-2. ∴直线AC 的方程为y=-x-2, 即x+y+2=0.(2)∵四边形ABCD 为菱形,且∠ABC=60°, ∴|AB|=|BC|=|CA|.∴菱形ABCD 的面积2S=|AC|2.由(1)可得|AC|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=2316,2n -+∴S=4 (-3n 2+16),.33n ⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭∴当n=0时,菱形ABCD 的面积取得最大值。
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平面解析几何综合检测卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在x 轴和y 轴上截距分别是－2,3的直线方程为 ( )A ．2x －3y －6＝0B ．3x －2y －6＝0C ．3x －2y ＋6＝0D ．2x －3y ＋6＝0 2．k ＝1是直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为 坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x4． 直线x ＋a 2y －a ＝0(a>0，a 是常数)，当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时，a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．±15． 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2| 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 37．已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B ，C 和点A(1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过 定点( )A ．(2,5)B ．(－2,5)C ．(5，－2)D ．(5,2)8．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于x ＋y ＝2对称，则 D 、E 满足( )A ．D ＋E ＋2＝0B ．D ＋E ＋4＝0C ．D ＋E －2＝0 D ．D ＋E －4＝09．已知直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切于第二象限，并且直线l 在两个坐标轴上的截距之和等于3，则直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是( )A.32B.12 C ．1或3 D.12或3210．已知抛物线y 2＝2px(p>0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能 是( )A ．(0，π4)B ．(π6，π4)C ．(π4，π3)D ．(π3，π2)二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．若点P(2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______．12．已知点F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，点P 关于原点(0,0)的对称点为P ′，则|PF 2|＋|P ′F 2|＝______.13．直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行且不重合的充要条件为________． 14．在△ABC 中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x ，y)，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：则满足条件①②③的轨迹方程分别为________(用代号C 1、C 2、C 3填入)．15．过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1(b>0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B ，C 两点，且|AB|＝|BC|，则双曲线M 的离心率为______．16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________________．17．经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为______．三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(14分)如图所示，直角三角形ABC 的顶点A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线的方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程； (3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心的轨迹方程．19．(14分)求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程． (1)过原点； (2)有最小面积．20．(14分)如图，在椭圆x 2a 2＋y 28＝1(a>0)中，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，B ，D 分别为椭圆的左、右顶点，点A 为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF 1交椭圆于另一点C ， 交y 轴于点E ，且点F1，F 2三等分线段BD. (1)求a 的值；(2)若四边形EBCF 2为平行四边形，求点C 的坐标．21．(15分)已知点A ，B 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)长轴的左、右端点，点C 是椭圆短轴的一个端点，且离心率e ＝63，S △ABC ＝ 3. (1)求椭圆方程；(2)设直线l 经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点到原点 的距离等于12|PQ|时的直线方程．22．(15分)已知m 是非零实数，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F 在直线l ：x －my －m 22＝0上(1)若m ＝2，求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂 足为A 1，B 1，△AA 1F ，△BB 1F 的重心分别为G ，H.求证：对任意非零实数m ，抛物 线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外．参考答案1、解析：由题意知所求直线方程为x －2＋y3＝1，即3x －2y ＋6＝0，故选C 项．答案：C2、解析：当k ＝1时，直线为x －y ＋1＝0，代入圆的方程x 2＋y 2＝1得2x 2＋2x ＝0，该方程有两解，故充分性成立；而当x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交时，有2x 2＋2kx ＋k 2－1＝0，由Δ≥0得－2≤k ≤2，故必要性不成立．答案：A3、解析：由题意可知抛物线焦点坐标为(a4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a 2)，所以S △OAF ＝12·|a|4·|a|2＝4，∴a ＝±8，故选B 项．答案：B4、解析：方程可化为x a ＋y 1a ＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a即a ＝1时取等号．故选A 项．答案：A5、解析：在△PF 1F 2中|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 答案：B6、解析：直线为y ＝3x ，点(0,2)到y ＝3x 的距离为d ＝1，设弦长为2x ，则d 2＝4－x 2，∴x 2＝3，∴x ＝3，则2x ＝2 3.答案：D7、解析：设B(y 214，y 1)，C(y 224，y 2)，BC 的中点为D(x 0，y 0)，则y 1＋y 2＝2y 0，直线BC ：x －y 214y 224－y 214＝y －y 1y 2－y 1，即：4x －2y 0y ＋y 1y 2＝0.① 又AB →·AC →＝0，∴y 1y 2＝－4y 0－20，代入①式得：2(x －5)－y 0(y ＋2)＝0，则动直线BC 恒过x －5＝0与y ＋2＝0的交点(5，－2)，选C 项．答案：C8、解析：由题设知，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(－D 2，－E2)为圆心的圆．由圆的几何性质可知，圆心(－D 2，－E 2)在直线x ＋y ＝2上，所以－D 2－E2＝2，得D ＋E ＋4＝0，故选B 项．答案：B9、解析：由题意设直线l ：x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.则圆心到直线l 的距离d ＝|ab|a 2＋b 2＝1， ∴a 2＋b 2＝a 2b 2＝(a ＋b)2－2ab ， ∵ab<0，a ＋b ＝3，∴a 2b 2＋2ab －3＝0，∴(ab ＋3)(ab －1)＝0，∴ab ＝－3.∴S ＝12|ab|＝32.选A 项．答案：A10、解析：由抛物线与双曲线有相同的焦点可得p2＝c ＝a 2＋b 2，再由AF ⊥x 轴可得，在双曲线中|AF|＝b 2a ，在抛物线中|AF|＝p ，故又有b 2a ＝p ＝2c ＝2a 2＋b 2，即b 4＝4a 2(a 2＋b 2)b 4－4a 2b 2－4a 4＝0，解得b 2a 2＝2＋22>3＝tan 2π3(或b 2a2＝2－22<0舍去)，故l 的倾斜角所在的区间可能是(π3，π2)．答案：D11、解析：由于双曲线渐近线方程为bx±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2ba 2＋b 2＝2 a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋(ba)2＝ 2.答案： 212、解析：据椭圆的几何性质知 |PF 2|＋|P ′F 2|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝10. 答案：1013、解析：当a ＝0或a ＝1时，都不满足条件， 当a ≠0且a ≠1时，两直线平行， 则－a 2＝－3a －1，即a 2－a －6＝0，解得a ＝3或a ＝－2，经验证a ＝3时两直线平行且不重合，a ＝－2时两直线重合．反之，也成立． 答案：a ＝314、解析：若条件是①，则|AB|＋|AC|＝6>4，故A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(除去长轴两端点)，故方程为C 3.若条件是②，则12×|BC|×|y|＝10，∴|y|＝5，即y 2＝25，故方程为C 1，若条件是③，则A 点轨迹是以BC 为直径的圆(去掉B 、C 两点)，故方程为C 2. 答案：C 3、C 1、C 215、解析：由题知左顶点A 的坐标为(－1,0)，又直线l 的斜率为1，可得直线l 的方程为y ＝x ＋1.根据双曲线方程为x 2－y 2b2＝1(b>0)得其渐近线方程为y ＝±bx.因此交点为B(－1b ＋1，b b ＋1)，C(1b －1，b b －1)．根据|AB|＝|BC|知AC 的中点为B.因此b b －1＝2b b ＋1，解得b ＝3(b ＝0舍去)，故离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝32＋11＝10.答案：1016、解析：由双曲线渐近线方程有ba ＝3，又抛物线焦点为(4,0)，得c ＝4，a 2＋b 2＝16.求得a 2＝4，b 2＝12.答案：x 24－y 212＝117、解析：先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝05x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.答案：5x ＋3y －1＝018、解：(1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k BC ＝22， ∴BC 边所在直线的方程为y ＝22x －2 2. (2)由y ＝22x －22，令y ＝0得C(4,0)， ∴圆心M(1,0)，又∵AM ＝3，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1,0)，M(1,0)， 又∵圆N 过点P(－1,0)， ∴PN 是该圆的半径． 又∵动圆N 与圆M 内切， ∴MN ＝3－PN ，即MN ＋PN ＝3>2.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54.∴动圆N 的圆心的轨迹方程为x 294＋y 254＝1.19、解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0， 即x 2＋y 2＋2(1＋λ)x ＋(λ－4)y ＋(1＋4λ)＝0. (1)因为此圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－14.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋32x －174y ＝0.(2)方法一：当半径最小时，圆面积也最小，对圆的方程左边配方得 [x ＋(1＋λ)]2＋(y ＋λ－42)2＝54(λ－85)2＋45. ∴当λ＝85时，此圆面积最小．故满足条件的圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.方法二：当圆心在直线2x ＋y ＋4＝0上时，圆面积最小． 易求得圆心坐标为(－(1＋λ)，－λ－42)，代入直线方程得－2(1＋λ)－λ－42＋4＝0， 解得λ＝85.∴当λ＝85时，此圆面积最小．故满足条件的圆的方程为 x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0. 20、解：(1)∵F 1，F 2三等分BD ，∴F 1F 2＝13BD ，即2c ＝13·2a ，∴a ＝3c.∵a 2＝b 2＋c 2，b 2＝8，∴a 2＝9， ∵a>0，∴a ＝3.(2)由(1)知a ＝3，B(－3,0)，F 1(－1,0)， ∴F 1为BF 2的中点，∵若四边形EBCF 2为平行四边形， ∴C ，E 关于F 1(－1,0)对称， 设C(x 0，y 0)，则E(－2－x 0，－y 0)， ∵E 在y 轴上，∴－2－x 0＝0，x 0＝－2，∵点C(x 0，y 0)在椭圆上，∴x 209＋y 28＝1，∴49＋y 208＝1，解得y 0＝±2103， 依题意y 0＝－2103， 因此点C 的坐标为(－2，－2103)． 21、解：(1)依题意得⎩⎨⎧e ＝c a ＝63S △ABC＝12×2a ×b ＝3，解得：a ＝3，b ＝1，c ＝2， 故所求的椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，代入椭圆方程，解得：y ＝±33，易知|PQ|＝233，而线段PQ 的中点到原点的距离为2，不合题意，故直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)，由题意易知OP ⊥OQ ，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 23＋y 2＝1，消去y 得：x 2＋3k 2(x－2)2－3＝0.化简得：(1＋3k)2x 2－62k 2＋6k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝62k 21＋3k 2，x 1x 2＝6k 2－31＋3k 2，y 1y 2＝k(x 1－2)·k(x 2－2)＝k 2x 1x 2－2x 2(x 1＋x 2)＋2k 2， 由OP ⊥OQ 得：x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋2k 2＝0， 即：(1＋k 2)(6k 2－3)1＋3k 2－12k 41＋3k 2＋2k 2＝0， 化简得5k 2－31＋3k 2＝0，解得：k ＝±155， ∴直线l 的方程为y ＝155x －305或y ＝－155＋305. 解：(1)因为焦点F(p2，0)在直线l 上，得p ＝m 2，又m ＝2，故p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x.(2)证明：因为抛物线C 的焦点F 在直线l 上， 所以p ＝m 2，所以抛物线C 的方程为y 2＝2m 2x.(m ≠0) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋m 22y 2＝2m 2x，消去x 得y 2－2m 3y －m 4＝0，由于m ≠0，故Δ＝4m 6＋4m 4>0， 且有y 1＋y 2＝2m 3，y 1y 2＝－m 4.设M 1，M 2分别为线段AA 1，BB 1的中点， 由于2M 1G →＝GF →，2M 2H →＝HF →， 可知G(x 13，2y 13)，H(x 23，2y 23)，所以x 1＋x 26＝m (y 1＋y 2)＋m 26＝m 43＋m 26，2y 1＋2y 26＝2m 33， 所以GH 的中点M(m 43＋m 26，2m 33)．设R 是以线段GH 为直径的圆的半径． 则R 2＝14|GH|2＝19(m 2＋4)(m 2＋1)m 4.设抛物线的准线与x 轴交点N(－m 22，0)，则|MN|2＝(m 22＋m 43＋m 26)2＋(2m 33)2＝19m 4(m 4＋8m 2＋4) ＝19m 4[(m 2＋1)(m 2＋4)＋3m 2] >19m 4(m 2＋1)(m 2＋4)＝R 2， 故N 在以线段GH 为直径的圆外．。