必修一函数奇偶性及综合题型大全

函数奇偶性
1
[规律方法] 1
(1)定义法
(2)图象法
2．分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x
的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
3、函数奇偶性的操作：
1．乘以任何系数k ，不改变奇偶性，不管是()kf x 还是()f kx ；
2．()f x a ±，偶函数不变（相当于图象上下平移，不改变偶函数的对称性），奇函数不行； 3．奇函数±奇函数=奇函数，奇函数⨯奇函数=偶函数，偶函数⨯偶函数=偶函数；
题型一_判定函数的奇偶性
例题1、判断下列函数的奇偶性．
(1) f (x )＝x 3
－1x ； (2) f (x )＝x 2－1＋1－x 2
； (3) f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2（x ＞0）
0（x ＝0）－x 2－2（x ＜0）
变式1、判断下列函数的奇偶性
x x x x f -+-=11)1()( ②2
9)(x x f -=, ③22
(0)()(0)
x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩
.
题型二 判断抽象函数奇偶性
例题1、 定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,，有)()(2)()(y f x f y x f y x f ⋅=-++，
且0)0(≠f ，则)0(f =_________；)(x f y =的奇偶性为_________
变式、定义在(1,1)-上的函数()f x ，对任意,(1,1)x y ∈-都有()()(
)1x y
f x f y f xy
++=-，则 ()f x 的奇偶性为____________
例2、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( )
(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
变式、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论
中正确的是（ ）
A. )()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数
考点二、_函数奇偶性的应用(高频考点)________
函数的奇偶性是函数的重要性质，常与函数的单调性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．
高考对函数奇偶性考查主要有以下四个命题角度： (1)求函数值； (2)求函数解析式；
(3)已知单调性求参数的值； (4)作函数图象或判断单调性．
题型一 求函数值
例题、已知53()2013f x x ax bx =++-，且(3)10f =，则(3)f -=____．
变式1、设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ）
变式2、设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ）
题型二 求函数解析式
例题1、已知偶函数()f x 的定义域是),0()0,(+∞⋃-∞，当0<x 时1)(3+=x x f ，求()
f x 的解析式.
2、已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时x x x g 2)(2+=，求()g x 的解析式.
变式 1、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，32)(2+-=x x x f ，求()f x 解
析式。

2、已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数。

当)0,(∞-∈x 时,4)(x x x f -=，
则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .
题型三 已知函数奇偶性，求参数值
例1、f (x )＝k ·2x ＋2-x 为偶函数，则k ＝________，为奇函数，则k ＝________．
变式1、若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．
2、22+,0
(),0
x x x f x ax bx x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩为奇函数，则a+b=_________
题型四 奇函数与图象
例题1、设定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，且()f x 在(0)-∞，上为增函数，(1)0f -=，
则不等式()0f x ≥的解集为（ ）
A ．(10)(1)-+∞，，
B ．[)[)101-+∞，，
C ．[)10-，
D ．[)[10]1-+∞，，
2、定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式x
f （x ）＜0的解集为 ( )
A.（－3，0）∪（0，3）
B.（－∞，－3）∪（3，+∞）
C.（－3，0）∪（3，+∞）
D.（－∞，－3）∪（0，3）
变式1、已知()f x 为奇函数，在(0)+∞，上单调递增，()10f =，则()20f x ->的解集为
______．
2、 若定义在(0)(0)-∞+∞，，上的函数()f x 为奇函数，且在(0)-∞，上是减函数，
又 (2)0
f -=，则()0x f x ⋅<的解集为____________．
例2、设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且f(1)=0，则不等式]()()0x f x f x ⎡--<⎣解
集（ ）
变式1、已知奇函数f (x )的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]上递减，则满足 f (1－
m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围是________．
题型五、偶函数与图象
例题 1、已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是
________．
2、已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间(]0-∞，上为减函数，则满足()1213
⎛⎫
-< ⎪
⎝⎭f x f 的x 的取值范围是（ ）
A ．1
2
33
⎛⎫ ⎪⎝
⎭，
B ．12
33⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭
，
C ．12
23
⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
D ．1
2
23⎡⎫
⎪
⎢⎣
⎭，
3、已知定义域为R 的函数()f x 在()8+∞，上为减函数，且函数()8y f x =+为偶函数，则（ ）
A ．()()67f f >
B ．()()69f f >
C ．()()79f f >
D ．()()710f f >
变式1、定义在［－2，2］上的 偶函数g （x ），当 x ≥0时，g （x ）单 调 递 减，若g （1
－m ）＜g （m ），求m 的取值范围
2、已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）
A.f （0）＜f （－1）＜f （2）
B.f （－1）＜f （0）＜f （2）
C.f （－1）＜f （2）＜f （0）
D.f （2）＜f （－1）＜f （0）
3、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 值范围
是（ ）
例题6、抽象函数综合：
1、()f x 是定义在R 上的函数，对任意,x y 都有()()()
f x y f x f y +=+，且当0x >时
()0
f x <，(3)f -=（1）求证：()f x 为奇函数； （2）求证：()f x 在R 上是减函数 （3）求()f x 在区间[9,6]-上的最值；
2、已知函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，且对任意{},0a b x x ∈≠恒有()()()f ab f a f b =+（1）求()1f 的值 （2）、判断()f x 的奇偶性
（3）若f （4）=1且(31)(26)3f x f x ++-≤， ()f x 为()0,+∞上的增函数，求x 的取
值范围
变式1、设函数()f x 的定义域为R ，且对任意的,m n 总有()()()f m n f m f n +=，且当
0x >时，()1f x >，(0)0f ≠ 。

（1）证明：(0)1f =，
（2）证明：当x R ∈时，有()0f x > （3）证明：()f x 为R 上的增函数
（4）解不等式：2()(2)1f x f x x ->求x 的取值范围。

2、若()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且对一切实数(),0,a b ∈+∞，都有
()()a f f a f b b ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且
x>1时，f （x ）>0。

（1）求()1f ；
（2）判断()f x 的单调性
（3）若(3)1f =-，解不等式()2f x <-。