初中数学初中数学 勾股定理的实际应用

第2课时勾股定理的实际应用
1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)
2．勾股定理的正确使用．(难点)
一、情境导入
如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
二、合作探究
探究点一：勾股定理在实际生活中的应用
【类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用
如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?
解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC、AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC ＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米，6秒后，BC＝13－0.5×6＝10米，则AB＝BC2－AC2＝53米，则船向岸边移动距离为(12－53)米．
方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．
【类型二】含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用
由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以107km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间．
解析：过点A作AC⊥BF于C，然后求出∠ABC＝30°，再根据直角三角形30°角所
对的直角边等于斜边的一半可得AC＝1
2AB，从而判断出A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，此时AD＝200km，利用勾股定理列式求出CD的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．
解：如图，过点A作AC⊥BF于C，由
题意得，∠ABC ＝90°－60°＝30°，∴AC ＝12AB ＝1
2×300＝150(km)，∵150＜200，∴A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，则AD ＝200km.由勾股定理得，CD ＝AD 2－AC 2＝2002－1502＝507(km)，∴受影响的距离为2CD ＝1007km ，受影响的时间位1007÷107＝10(h)．
方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．
探究点二：勾股定理在几何图形中的应用
【类型一】 利用勾股定理解决最短距离问题
如图，长方体的长BE ＝15cm ，宽
AB ＝10cm ，高AD ＝20cm ，点M 在CH 上，且CM ＝5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是多少？
解：分三种情况比较最短距离： 如图①(将正面与上面展开)所示，AM ＝102＋（20＋5）2＝529，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM ＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm ；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM ＝（20＋10）2＋52＝537(cm).537＞25，∴最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是25cm.
方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长
方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
【类型二】 运用勾股定理与方程解决有关计算问题
如图，四边形ABCD 是边长为9
的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 的对应点为A ′，且B ′C ＝3，则AM 的长是( )
A ．1.5
B ．2
C ．2.25
D ．2.5
解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．
【类型三】勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()
A.5＋1 B．－5＋1
C.5－1
D. 5
解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理和数
轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的
符号后，点A所表示的数是距离原点的距
离．
三、板书设计
1．勾股定理在实际生活中的应用
2．勾股定理在几何图形中的应用
就练习的情况来看，一方面学生简单机械地
套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质
所在；另一方面对于立体图形转化为平面问
题在实际问题中抽象出数学模型还存在较
大的困难，在今后的教学中要通过实例不断
训练提高.
学习奥数的优点
1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力
4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神。