2021年广东省新高考数学总复习第七章《不等式》7.3基本不等式及其应用

2021年广东省新高考数学总复习第七章《不等式》

§7.3 基本不等式及其应用 最新考纲 1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．

(2)b a ＋a b

≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．

(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．

以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .

3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2

4

.(简记：和定积最大) 概念方法微思考

1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？

提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．

2．函数y ＝x ＋1x

的最小值是2吗？ 提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x 无最小值．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x

，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x

≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ )

(4)若a >0，则a 3＋1a

2的最小值为2a .( × ) (5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2

≥ab 有相同的成立条件．( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )

题组二 教材改编

2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )

A ．80

B ．77

C ．81

D ．82

答案 C

解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2

≥xy ， 即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.

3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25

解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12

×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0

当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.

题组三 易错自纠

4．“x >0”是“x ＋1x

≥2成立”的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件