高中数学幂函数知识点与解题规律技巧典型例题讲解及答案解析
专题3.3 幂函数(解析版)
1 3
log 2
1
0
，
y
1 2
x
是减函数，
y
x 0.5
在
(0,
)
上是增函数，
D． b a c
b
1 2
0.4
1 2
0.5
1 3
0.5
c
0 a c b
故选：B
7．已知函数 f x 3x5 x3 5x 2 ，若 f a f 2a 1 4 ，则实数 a 的取值范围是（
x
a
3)x, (x 1) 7, (x 1)
是减函数，则实数
a
的取值范围是（
）
A． (, 9]
B．[9, 3)
C． (, 3)
D． (3, 0)
【答案】B
【解析】因为函数
f
(x)
(a
x
a
3)x, (x 1) 7, (x 1)
是减函数，
所以幂函数 y xa 7, (x 1) 为减函数，一次函数 y (a 3)x, (x 1) 为减函数，
【解析】设幂函数 f x x , R ，
因为函数 f x 的图象过点 27,3 3 ，
C．
3 4
D． 1
所以 27 33 3
3
3
32
，所以
1 2
，故
f
x
x，
所以 f x 1 f x2 x 1 x.
令 x 1 t t 0 ，所以 x 1 t2 ，
则 y t 1 t2
圍 圍 非奇非偶
在 圍 上递增
奇函数
在
上递减
第二章-4.2-简单幂函数的图象和性质高中数学必修第一册北师大版
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
教材帮|必备知识解读
知识点1 幂函数的概念
例1-1 在函数 = −4 , = 3 2 , = 2 + 2, = 1中,幂函数的个数为( B
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】函数 = −4 为幂函数;
函数 = 3 2 中 2 的系数不是1,所以它不是幂函数;
的增大而减小；
当 = −3时，2 − 2 − 3 = 12, = 12 是幂函数，但不满足当 ∈ 0, +∞ 时，
随的增大而减小，故舍去.
∴ 实数的值为2.
【学会了吗|变式题】
2.(2024·广东省汕头市期末)已知函数 = 2 − 2 − 2 ⋅ −2 是幂函数，且在
故A正确；
幂函数 = 的图象只在第一象限内和原点，故B不正确；
当 > 0时， > 0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故C不正确；
幂函数 = 与 = 3 的图象的交点为 −1, −1 ， 0,0 ， 1,1 ，共三个，故D不正确.
方法帮|关键能力构建
题型1 幂函数的定义域和值域
0, +∞ 上单调递增，则实数 =( C
A.−1
B.−1或3
)
C.3
D.2
【解析】由题意知,2 − 2 − 2 = 1，即 + 1 − 3 = 0，
解得 = −1或 = 3，
∴ 当 = −1时， − 2 = −3，则 = −3 在 0, +∞ 上单调递减，不合题意；
当 = 3时， − 2 = 1，则 = 在 0, +∞ 上单调递增，符合题意，∴ = 3，
2024年新高一数学初升高衔接《幂函数》含答案解析
第12讲 幂函数模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解幂函数的概念；2．结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x 的图象，掌握它们的性质；3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小.知识点 1 幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）x α的系数是1；（2）x α的底数x 是自变量；（3）x α的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等的函数都不是幂函数．知识点 2 幂函数的图象与性质1、五个具体幂函数的图象当11,2,312α=-，时，可得到五个幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示．2、五个具体幂函数的性质观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下：函数y x=2y x=3y x =12y x=1y x -=定义域R RR [0,)+∞(,0)(0,)-∞+∞ 值域R[0,)+∞R[0,)+∞(,0)(0,)-∞+∞ 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在(0,)+∞上递增，在(,0]-∞上递减增函数增函数在(,0)-∞和(0,)+∞上递减过定点点(1,1)3、一般幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．知识点 3 作幂函数图象的步骤第一步：画出第一象限的部分。
幂函数经典例题(答案)
幂函数经典例题(答案)A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R.错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32， 所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978， 从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R)的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
幂函数 高中数学例题课后习题详解
第三章函数的概念与性质3．3幂函数例证明幂函数()f x =是增函数.证明：函数的定义域是[0,)+∞.1x ∀，2[0,)x ∈+∞，且12x x <，有()()12f x f x -===.因为120x x -<0>，所以()()12f x f x <，即幂函数()f x =是增函数.练习1.已知幂函数y x α=的图象过点，试求出这个函数的解析式.【答案】12y x =【解析】【分析】直接带点计算即可.2α=，得12α=，即12y x =.2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）3(1.5)-，3(1.4)-；（2）11.5-，11.4-.【答案】（1）33(1.5)(1.4)-<-；（2）111.5 1.4>--.【解析】【分析】（1）根据3()f x x =的单调性比较大小；（2）根据1()g x x=在(,0)-∞上的单调性比较大小.【详解】解：（1）设3()f x x =，则()f x 在R 上为增函数.1.5 1.4-<- ，33(1.5)(1.4)∴-<-.（2）设1()g x x=，则()g x 在(,0)-∞上为减函数，1.5 1.40-<-< ，111.5 1.4∴>--.【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题.3.根据单调性和奇偶性的定义证明函数3()f x x =的单调性和奇偶性.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断，利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.【详解】证明：3()f x x =的定义域为R.任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()()()33221212121122f x f x x x x x x x x x -=-=-++()22121221324x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.12,R x x ∈ ，且12x x <，120x x ∴-<，2212213024x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭.()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <.3()f x x ∴=在R 上为增函数.又33()()()f x x x f x -=-=-=- ，3()f x x ∴=为奇函数.【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题.习题3．3复习巩固4.画出函数y =的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.【答案】图像见解析，偶函数，讨论见解析【解析】【分析】将绝对值去掉，将函数解析式写出分段函数的形式，再根据幂函数的性质及图象画出函数图象，从而可以判断函数的奇偶性和单调性.【详解】解：xyx==<y∴=设()f x y==()f x的定义域为R.()()f x f x-===，()y f x∴==.当[0,)x∈+∞时，y=为增函数，证明如下：设任意的12,[0,)x x∈+∞，且12x x<，则12y y-=12,[0,)x x∈+∞，且12,0x x<>12120,0,0x x y y+>-<∴-<即12yy<.y∴=在[0,)+∞上为增函数.当(,0]x∈-∞时，y=为减函数，证明如下：设任意的12,(,0]x x∈-∞，且12x x<，则12y y-=.12,(,0]x x∈-∞，且12,0x x<>，21120.0x x y y->∴->即12yy>. y∴=在(,0]-∞上是减函数.【点睛】本题考查分段函数及幂函数的图象及性质，属于中档题.综合运用5.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v ，（单位：3/cm s ）与管道半径r （单位：cm ）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v ，关于管道半径r 的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为3400/cm s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率（精确到31/cm s ）.【答案】（1）4v kr =；（2）440081v r =；（3）33086/cm s 【解析】【分析】（1））设比例系数为k ，由题意可得：4v kr =．（2）代入可得k ．（3）利用（2）的表达式即可得出．【详解】解：（1）设比例系数为k ，气体的流量速率v 关于管道半径r 的函数解析式为4v kr =.（2）将3r =与400v =代入4v kr =中，有44003k =⨯.解得40081k =，所以，气体通过半径为r 的管道时，其流量速率v 的表达式为440081v r =.（3）当=5r 时，43400250000530868181/s v cm =⨯=≈.所以，当气体81通过的管道半径为5cm 时，该气体的流量速率约为33086/cm s .【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及幂函数其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.试用描点法画出函数2()f x x -=的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.【答案】图像见解析，定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >，讨论见解析，证明见解析【解析】【分析】函数221()f x x x -==，可得0x ≠．可得定义域，2x >，可得210x >，可得值域；在求解奇偶性，并作出其大致图象，利用定义证明单调性即可；【详解】解：21()f x x =.列表：x…-3-2-1123…()f x …1914111419…描点，连线.图象如图所示.定义域：{|0}x x ≠，值域：{|0}y y >.2()f x x -=在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.证明如下：设任意的12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <.则()()()()222121211222222212121211x x x x x x f x f x x x x x x x +---=-==.22121212210,0,0,0x x x x x x x x <<∴+<>-> .()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，2()f x x -∴=在(,0)-∞上是增函数.设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()2121122222121211x x x x f x f x x x x x +--=-=.120x x << ，222112210,0,0x x x x x x ∴+>>->()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.2()f x x -∴=在(0,)+∞上是减函数.22()()()f x x x f x ---=-== 2()f x x -∴=是偶函数.【点睛】本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题．。
必修一幂函数（含答案）
必修⼀幂函数（含答案）2.7幂函数⼀、幂函数定义的应⽤〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)： (1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数； (3)是正⽐例函数； (4)是反⽐例函数.〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·211m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值.⼆、幂函数的图象与性质〖例1〗已知点在幂函数()f x 的图象上，点124?-，，在幂函数()g x 的图象上．定义()()()()()()()≤??=?>??f x f xg x h x g x f x g x ，，，．试求函数h(x)的最⼤值以及单调区间.〖例2〗已知函数2245()44x x f x x x ++=++（1）求()f x 的单调区间；（2）⽐较()f π-与(2f -的⼤⼩（⼆）幂函数的性质与应⽤【例1】(1)试⽐较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的⼤⼩.(2)已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x 的增⼤⽽减⼩，求满⾜() ()--+<-m m 33a 132a 的a 的取值范围.三、幂函数中的三类讨论题〖例1〗已知函数223()()m m f x xm -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．例2已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．例3讨论函数2221()kk y k k x--=+在0x >时随着x 的增⼤其函数值的变化情况．【⾼考零距离】（2010陕西⽂数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满⾜f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是[]（）幂函数（）对数函数（）指数函数（）余弦函数【考点提升训练】⼀、选择题(每⼩题6分，共36分)1.(2012·西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点，则幂函数的解析式为( ) ()y=212x()y=12x ()y= 32x()y=521x 22.函数y=1x-x 2的图象关于( ) ()y 轴对称 ()直线y=-x 对称 ()坐标原点对称()直线y=x 对称3.已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是( ) ()(0，+∞)()(1，+∞) ()(0，1) ()(-∞,0)4.已知幂函数f(x)=x m的部分对应值如表，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )(){x|0){x|0≤x ≤4} (){x|x ){x|－4≤x ≤4}5.设函数f(x)=x1()7,x 02,x 0?-?≥＜若f(a)＜1，则实数a 的取值范围是( )()(-∞,-3) ()(1，+∞) ()(-3，1) ()(-∞,-3)∪(1,+∞) 6.(2012·漳州模拟)设函数f(x)=x 3,若0≤θ≤2π时，f(mcos θ)+f(1-m)＞0恒成⽴，则实数m 的取值范围为( )()(-∞,1) ()(-∞, 12) ()(-∞,0) ()(0,1)⼆、填空题(每⼩题6分，共18分)7.(2012·武汉模拟)设x∈(0,1)，幂函数y=x a的图象在直线y=x的上⽅，则实数a的取值范围是__________.8.已知幂函数f(x)=12x-，若f(a+1)＜f(10-2a)，则a的取值范围是_______.9.当0三、解答题(每⼩题15分，共30分)10.(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=x m-2x且f(4)=72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(12，4)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x);②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x).【探究创新】(16分)已知幂函数y=f(x)=2p3p22x-++(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且是偶函数.(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1.试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选.设y=x α,则由已知得，α,即322=2α,∴α=32,∴f(x)= 32x .2.【解析】选.因为函数的定义域为{x|x ≠0}，令y=f(x)=1x-x 2, 则f(-x)=1x -(-x)2=1x-x 2=f(x), ∴f(x)为偶函数，故选.3.【解析】选.因为0＜0.71.3＜0.70=1, 1.30.7＞1.30=1,∴0＜0.71.3＜1.30.7.⼜(0.71.3)m ＜(1.30.7)m,∴函数y=x m在(0,+∞)上为增函数，故m ＞0.4.【解题指南】由表中数值，可先求出m 的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可.【解析】选.由(12)m m=12，∴f(x)= 12x ，∴f(|x|)=12x ,⼜∵f(|x|)≤2，∴12x ≤2，即|x|≤4,∴－4≤x ≤4．5.【解题指南】分a ＜0,a ≥0两种情况分类求解. 【解析】选.当a ＜0时，(12)a-7＜1, 即2-a＜23,∴a ＞-3,∴-3＜a ＜0.当a ≥01,∴0≤a ＜1,综上可得:-3＜a ＜1.6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)=x 3为奇函数，且在R 上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m 与cos θ的不等式恒成⽴求解.【解析】选.因为f(x)=x 3为奇函数且在R 上为单调增函数，∴f(mcos θ)+f(1-m)＞0? f(mcos θ)＞f(m-1)? mcos θ＞m-1?mcos θ-m+1＞0恒成⽴，令g(cos θ)=mcos θ-m+1, ⼜0≤θ≤2π,∴0≤cos θ≤1, 则有：()()g 00g 10＞，＞即m 10m m 10-+??-+?＞，＞解得：m ＜1. 7.【解析】由幂函数的图象知a ∈(-∞,1).答案：(-∞,1) 8.【解析】由于f(x)= 12x-在(0，+∞)上为减函数且定义域为(0，+∞)，则由f(a+1)＜f(10-2a)得a 10102a 0,a 1102a +??-??+-?＞＞＞解得：3＜a ＜5. 答案：(3,5)9.【解题指南】在同⼀坐标系内画出三个函数的图象，数形结合求解. 【解析】画出三个函数的图象易判断f(x)答案:f(x)72,所以4m -24=72.所以m=1. (2)因为f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称, ⼜f(-x)=-x-2x - =-(x-2x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数. (3)⽅法⼀：设x 1＞x 2＞0，则f(x 1)-f(x 2)= x 1-12x -(x 2-22x )=(x 1-x 2)(1+122x x ),[来源:/doc/7210e201581b6bd97e19ea07.html ]因为x 1＞x 2＞0,所以x 1-x 2＞0,1+122x x ＞0. 所以f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. ⽅法⼆：∵f(x)=x-2x,∴f ′(x)=1+22x ＞0在(0,+∞)上恒成⽴，∴f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.11.【解析】(1)设f(x)=x α, ∵点(2，4)在f(x)的图象上，∴4=2α，∴α=2，即f(x)=x 2. 设g(x)=x β,∵点(12，4)在g(x)的图象上，∴4=(12)β，∴β=-2，即g(x)=x -2. (2)∵f(x)-g(x)=x 2-x -2=x 2-21x=()()222x 1x 1x-+(*)∴当-1＜x ＜1且x ≠0时，(*)式⼩于零，即f(x)＜g(x)；当x=±1时，(*)式等于零，即f(x)=g(x)；当x ＞1或x ＜-1时，(*)式⼤于零，即f(x)＞g(x). 因此，①当x ＞1或x ＜-1时，f(x)＞g(x)；②当x=±1时，f(x)=g(x)；③当-1＜x ＜1且x ≠0时，f(x)＜g(x).【误区警⽰】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域{x|x ≠0}⽽失误.失误原因：将分式转化为关于x 的不等式时，忽视了等价性⽽致误.【探究创新】【解析】(1)∵幂函数y=x α在(0,+∞)上是增函数时,α＞0,∴-12p 2+p+32＞0,即p 2-2p-3＜0,解得-1＜p ＜3，⼜p ∈Z,∴p=0,1,2. 当p=0时，y=32x 不是偶函数；当p=1时,f(x)=x 2是偶函数；当p=2时,f(x)=32x 不是偶函数，∴p=1，此时f(x)=x 2.(2)由(1)得g(x)=-qx 4+(2q-1)x 2+1,设x 1＜x 2,则g(x 1)-g(x 2)=q(4421x x -)+(2q-1)·(2212x x -)=(2221x x -)[q(2212x x +)-(2q-1)].若x 1＜x 2≤-4,则2221x x -＜0且2212x x +＞32,要使g(x)在(-∞,-4]上是减函数，必须且只需q(2212x x +)-(2q-1)＜0恒成⽴. 即2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴. 由2212x x +＞32且q ＜0，得q(2212x x +)＜32q ，只需2q-1≥32q 成⽴，则2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴.∴当q ≤-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数,同理可证, 当q ≥-130时,g(x)在(-4,0)上是增函数, ∴当q=-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数，在(-4,0)上是增函数.[来源:学科⽹ZXXK]。
幂的运算知识要点归纳及答案解析
幂的运算知识要点归纳及答案解析【要点概论】要点一、同底数幂的乘法特点+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭重点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，算法时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题解析】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【标准答案与解析】 解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，算法时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】算法：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【标准答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()ppp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【标准答案与解析】 解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n aa a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、算法：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【标准答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=． （3）32()m a-2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25mx=，求6155m x -的值．【标准答案与解析】 解：∵ 25mx=，∴ 62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mnm n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力． 举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【标准答案】 解：32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m，85=n，求328+m n的值．【标准答案】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题算法是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-． 【标准答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ． 【标准答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()nnnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则 2、算法：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-g ； （3）22412()()m m xx -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【标准答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=． （3）22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x xx =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【思路点拨】由于已知8,8mn的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入算法.【标准答案与解析】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8mn当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. 举一反三： 【变式】已知322,3mm ab ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝ ．【标准答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、算法：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算特点进行算法. 【标准答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-． （2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a ba b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【标准答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x yx y -=-；()326m maa -=-；()3618327aa =；()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一特点. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nna a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算特点仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0na a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、算法：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则算法．(2)、(4)两小题要注意符号． 【标准答案与解析】解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行算法的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、算法下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再算法，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【标准答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行算法．3、已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【标准答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======g g g ． 当32m=，34n=时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和算法，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】已知2552mm⨯=⨯，求m 的值． 【标准答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵ 底数52不等于0和1， ∴ 15522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =． 类型二、负整数次幂的运算4、算法：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【标准答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】算法：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【标准答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭ 45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________． 【标准答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ．举一反三： 【变式】算法：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； 【标准答案】 解：（1）原式424626b a b c a c --==． （2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==． 类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【标准答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )．A. 3n a +B. ()2n n a +C. 22n a +D. 8a 3．下列算法正确的是( )．A.224x x x +=B.347x x x x ⋅⋅=C. 4416a a a ⋅=D.23a a a ⋅=4．下列各题中，算法结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列算法正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319x a a a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35n a =，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦ ______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13. 判断下列算法的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( )（3）2224(2)2ab a b -=- （ ） （4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【标准答案与解析】一.选择练习题1. 【标准答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【标准答案】C ；【解析】2222n n n n n a a a a ++++⋅==.3. 【标准答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【标准答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【标准答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=.6. 【标准答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5. 二.填空题7. 【标准答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=g .8. 【标准答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==.9. 【标准答案】25；【解析】()2632525n n a a ===. 10.【标准答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【标准答案】64；9n -；103-；12.【标准答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=. 三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-； （2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+； （3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--； （5）()()236331293125325272aa a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x xx +⋅= ∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b ba b ⋅⋅= ∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4就这么多了，祝大家思修不挂科！！！页眉设计。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解12--- 幂函数
高一数学复习考点知识与题型专题讲解3．3 幂函数【考点梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x312y xy＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞) 上增，增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0] 上减在(－∞，0)上减知识点三 一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：幂函数的定义1．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）如果幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．无解2．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点()33，，则该函数的解析式为（ ）A ．2y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．y x =3．（2020·江苏镇江市·）已知幂函数()2()33m f x m m x =--在区间()0,∞+上是单调递增函数，则实数m 的值是（ ）A ．-1或4B ．4C ．-1D ．1或4题型二：幂函数的值域问题4．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ）A ．(),0-∞B ．()(),00,-∞⋃+∞C ．()0,∞+D ．[)0,+∞5．（2020·湖南衡阳市·高一月考）函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-6．（2018·南京市第三高级中学高一期中）以下函数12y x =，2y x =，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：幂函数的定点和图像问题7．（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．22±C ．2D ．2± 8．（2020·南宁市银海三美学校高一月考）函数23y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2019·宁都县宁师中学高一月考）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）10．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知 1.13a =， 1.14b =，0.93c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）幂函数223a a y x --=是奇函数，且在()0+∞，是减函数，则整数a 的值是（ ） A ．0B ．0或2C ．2D ．0或1或212．（2020·江西鹰潭一中）已知幂函数12()f x x =，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,3-B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[)1,0-D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦题型五：幂函数的奇偶性问题13．（2020·江西南昌市·南昌十中高一月考）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数14．（2021·吴县中学）有四个幂函数：①()2f x x -=；②()1f x x -=；③()3f x x =；④()3f x x =，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）()f x 为偶函数；（2）()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞；（3）()f x 在(),0-∞上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④15．（2020·乌苏市第一中学高一月考）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则a =（ ） A ．1-，12-B ．1，3C ．2-D ．12，2【双基达标】一、单选题16．（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知幂函数()()21f x m x =-，则实数m 等于（ ）A ．2B ．1C ．0D ．任意实数17．（2020·南京市第十三中学高一月考）函数 85y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．18．（2021·全国高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数19．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数()f x 的图象过点1(2,)2，则f （4）的值是（ ） A ．64B ．42C ．24D ．1420．（2021·全国高一专题练习）函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭21．（2021·全国高一课前预习）已知幂函数()3m f x x -=(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．322．（2021·全国）幂函数()f x 满足：对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，则(1)(0)(1)f f f -++=（ ）. A ．1-B ．0C ．1D ．223．（2021·全国）下列比较大小中正确的是（ ）.A ．0.50.532()()23<B ．1123()()35---<-C ．3377( 2.1)( 2.2)--<-D ．443311()()23-<24．（2019·云南昭通市第一中学高一月考）已知函数()f x x =，若(1)(102)f a f a+<-，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,5)B ．(5,)+∞C ．[1,3)-D ．(3,5)25．（2021·全国）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ．IV,VII B ． IV,VIII C ． III, VIII D ． III, VII 【高分突破】一：单选题26．（2021·全国高一课前预习）幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．1或227．（2021·浙江）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈ C ．1()()2x y x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠28．（2021·全国高一课时练习）点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，则函数()g x n x x m =-+-的值域为（ ）A ．0,2⎡⎤⎣⎦B ．1,2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎤⎣⎦D ．[]2,329．（2021·全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．y x =30．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m ma a +>-成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭31．（2021·全国高一课时练习）设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭则“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的（ ）A ．充分不必要件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件32．（2021·浙江高一期末）已知实数a ，b 满足等式35a b =，给出下列五个关系式：①1b a <<；②1a b <<-；③01b a <<<；④10a b -<<<；⑤a b =，其中，可能成立的关系式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个33．（2021·全国高一单元测试）已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（ ） A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题34．（2021·全国高一课时练习）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有（ ） A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线 C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数在其定义域上是增函数35．（2021·全国高一课时练习）已知函数()21m m y m x -=-为幂函数，则该函数为（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．区间()0,∞+上的增函数D ．区间()0,∞+上的减函数36．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b ∈R 且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +> 且0ab <B ．0a b +< 且0ab <C ．0a b +< 且0ab >D ．以上都可能37．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数9()5m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．()13216f -=B ．()f x 的定义域是RC ．()f x 是偶函数D ．不等式()()12f x f -≥的解集是[)(]1,11,3-38．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义城上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ） A ．()2121x f x x -=+B ．()3f x x =-C ．()f x x =-D ．()22,0,,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩三、填空题39．（2021·湖南邵阳市·高一期末）已知幂函数()y f x =的图象过点()2,2，则()5f =______.40．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数()f x 过定点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且满足()()2150f a f ++->，则a 的范围为________．41．（2021·全国高一课时练习）不等式()()1133312a a -<+的解集为______42．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知幂函数()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________．43．（2021·全国高一单元测试）已知112,1,,1,,2,322k ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()kf x x =为奇函数，且在()0,∞+上单调递减，则k =______．四、解答题44．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()21212223m f x m m xn -=+-+-是幂函数，求2m n -的值．45．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数()a R ∈，且()()12f f <.（1）求函数()f x 的解析式；（2）试判断是否存在实数b ，使得函数()()32g x f x bx =-+在区间[]1,1-上的最大值为6，若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由.46．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数()()1222mf x m m x =--在()0,∞+上单调递减．（1）求实数m 的值．（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，求a 的取值范围．47．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数()()()22322k k f x m m x k -=-+∈Z 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围： （3）若实数()*,,a b a b ∈R 满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值.【答案详解】1．C 【详解】由幂函数的定义得m 2-3m +3=1，解得m =1或m =2；当m =1时，m 2-m -2=-2，函数为y =x -2，其图象不过原点，满足条件； 当m =2时，m 2-m -2=0，函数为y =x 0，其图象不过原点，满足条件. 综上所述，m =1或m =2. 故选：C. 2．D 【详解】设()f x x α=，依题意()13332f αα==⇒=，所以()f x x =. 故选：D 3．B 【详解】幂函数()2()33mf x m m x =--在(0,)+∞上是增函数则2331m m m ⎧--=⎨>⎩ ，解得4m = 故选：B 4．D【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，2332(0)f x x x ∴==≥，∴()f x 的值域是[)0,+∞. 故选：D. 5．A 【详解】∵函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴2min 124y -==， 故选：A. 6．C 【详解】函数12y x x ==，其定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞； 函数2y x =的定义域为R ，值域为[0,)+∞； 函数2323y x x ==，20x ≥Q ，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y x x -==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C. 7．B 【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =； 函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1()2g b =，即212b =，解得：22b =±, 故选：B. 8．C 【详解】首先由分数指数幂运算公式可知()21233x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()()23y f x x ==，()()f x f x -=，且函数的定义域为R ，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，故排除AD ，因为2013<<，所以23y x =在第一象限的增加比较缓慢，故排除B ， 故选：C 9．A试题：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 10．A 【详解】由题意，构造函数 1.13,x y y x ==，由指数函数和幂函数的性质， 可知两个函数在(0,)+∞单调递增；由于0.9 1.10.9 1.133c a <∴<∴<；由于 1.1 1.13434a b <∴<∴<；综上：c a b << 故选：A 11．B由于幂函数223a a y x --=是奇函数，且在(0,)+∞是减函数，故2230a a --<，且223a a --是奇数，且a 是整数，13a -<<∴，a Z ∈，当0a =时，2233a a --=-，是奇数，； 当1a =时，2234a a --=-，不是奇数； 当2a =时，2233a a --=-，是奇数； 故0a =或2． 故答选：B 12．B 【详解】因为幂函数()12f x x =是增函数，且定义域为[)0,+∞，由()()132f a f a +<-得13210320a aa a +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，解得213a -≤<.所以实数a 的取值范围是21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B 13．D 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 将点()3,3的坐标代入解析式得33α=，解得12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，14．A 【详解】对于①，函数()2f x x -=为偶函数，且()2210f x x x -==>，该函数的值域为()0,∞+， 函数()2f x x -=在()0,∞+上为减函数，该函数在(),0-∞上为增函数，①满足条件；对于②，函数()11x x f x -==为奇函数，且()10f x x=≠，该函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞， 函数()f x 在(),0-∞上为减函数，②不满足条件；对于③，函数()3f x x =的定义域为R ，且()()33f x x x f x -=-=-=-，该函数为奇函数， 当0x ≥时，()30f x x =≥；当0x <时，()30f x x =<，则函数()f x 的值域为R ， 函数()3f x x =在()0,∞+上为增函数，该函数在(),0-∞上也为增函数，③不满足条件；对于④，函数()3f x x =为奇函数，且函数()3f x x =的值域为R ，该函数在(),0-∞上为增函数，④不满足条件. 故选：A. 15．C 【详解】112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则0α<且2,k k Z α=∈， 所以2a =-. 故选：C 16．A因为函数()()21f x m x =-为幂函数，所以m -1=1，则m =2.故选：A. 17．A 【详解】由幂函数85y x =可知: 85y x =是定义域为R 的偶函数，在(0,+∞)上单调递增，且当x >1时,函数值增长的比较快. 故选：A 18．C 【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误； 当α>0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误． 故选：C. 19．D 【详解】幂函数()a f x x =的图象过点1(2,)2，122a ∴=，解得1a =-，1()f x x∴=， f ∴（4）14=， 故选：D . 20．B 【详解】因为()()()()121121211f x x x x x-=-+-=+--， 则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B. 21．B 【详解】因为()3m f x x -=在(0，＋∞)上是减函数，所以m －3<0,所以m <3. 又因为m ∈N *，所以1m =或2.又因为()3m f x x -=是奇函数，所以m －3是奇数， 所以m ＝2. 故选：B. 22．B 【详解】设()a f x x =，由已知，函数()f x 的定义域为R ，∴0a >，又∵对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，即y 与x 一一对应，()f x 必定不是偶函数，∴必定为奇函数，∴答案为0，故选：B. 23．C 【详解】A 选项，0.5y x =在[0)+∞，上是递增函数，0.50.523()()32<，错， B 选项，1y x -=在()0-∞，上是递减函数，1123()()35--->-，错， C 选项，37y x =在()0-∞，上是递增函数， 337721( 2.1)()10-=-，33775( 2.2)()11--=-，3377( 2.1)( 2.2)--<-，对，D 选项，43y x =在[0)+∞，上是递增函数， 443311()()22-=，443311()()23>，443311()()23->，错，故选：C ． 24．C 【详解】()f x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞单调递增，所以(1)(102)f a f a +<-可化为：1010201102a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得：13x -≤<. 故a 的取值范围是[1,3)-. 故选：C 25．B【详解】对于幂函数13y x -=，因为103-< ，所以13y x -=在第一象限单调递减， 根据幂函数的性质可知：在直线1x =的左侧，幂函数的指数越大越接近y 轴 ，因为113->-，所以13y x -=的图象比1y x -=的图象更接近y 轴 ，所以进过第IV 卦限， 在直线1x =的右侧，幂函数的指数越小越接近x 轴，因为1103-<-<， 所以13y x -=的图象位于1y x -=和1y =之间，所以经过VIII 卦限，所有函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII ， 故选：B 26．A 【详解】解：幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，2331m m ∴-+=，且2660m m -+>，解2331m m -+=得1m =或2m =，当1m =时26610m m -+=>符合题意； 当2m =时26620m m -+=-<不符合题意； 故选：A ． 27．B 【详解】解：对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确； 对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B28．B【详解】解：因为点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，所以11m -=，即2m =，()()228n f m f ===，所以3n =， 故()32g x x x =-+-，[]2,3x ∈， ()()22()12321256g x x x x x =+--=+-+-， 因为[]2,3x ∈，所以21560,4x x ⎡⎤-+-∈⎢⎥⎣⎦， 所以[]2()1,2g x ∈， 所以函数()g x n x x m =-+-的值域为1,2⎡⎤⎣⎦.故选：B.29．C【详解】 解：由图知：①表示y x =，②表示y x =，③表示2y x =，④表示3y x =.故选：C.30．D【详解】由题意得：2331m m -+=，得1m =或2m =当1m =时，2()f x x =图象关于y 轴对称，不成立；当2m =时，3()f x x =是奇函数，成立；所以不等式转化为22(1)(32)a a +>-，即231480a a -+<，解得243a <<.故选：D31．C【详解】 由11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，由()f x x α=的图像经过()1,1--，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=为奇函数. 又当()f x x α=为奇函数时，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=的图象经过()1,1--. 所以“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的充要条件故选：C32．C【详解】在同一坐标系中画出函数3y x =和5y x =的图像，如图所示：数形结合可知，在（1）处1a b <<-；在（2）处10b a -<<<；在（3）处01a b <<<； 在（4）处1b a <<；在1a b ==或1a b ==-也满足，故①②⑤对故选：C.33．D【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+. 故选：D.34．CD【详解】对于A 选项，1y x =，在(,0)-∞和(0,)+∞上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误．对于B 选项，0y x =，0x ≠，图像是：直线1y =并且除掉点(0,1)，故B 选项错误． 对于C 选项，2y x =，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确．对于D 选项，3y x =，函数在其定义域上是增函数，所以D 选项正确．故选：CD35．BC【详解】由()21m m y m x -=-为幂函数，得11m -=，即m =2，则该函数为2y x =，故该函数为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数，故选：BC .36．BC【详解】因为223()(1)m m f x m m x +-=--为幂函数，所以211m m --=，解得：m =2或m =-1.因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-， 不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数，所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数.因为,a b ∈R 且()()0f a f b +<，所以()()f a f b <-.因为()y f x =为增函数，所以a b <-，所以0a b +<.故BC 正确.故选：BC37．ACD【详解】 因为函数是幂函数，所以915m +=，得45m =-，即()45f x x -=， ()()()45451322216f --⎡⎤-=-=-=⎣⎦，故A 正确；函数的定义域是{}0x x ≠，故B 不正确； ()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故C 正确；函数()45f x x -=在()0,∞+是减函数，不等式()()12f x f -≥等价于12x -≤，解得：212x -≤-≤，且10x -≠，得13x -≤≤，且1x ≠，即不等式的解集是[)(]1,11,3-，故D 正确.故选：ACD38．BCD【详解】对于①对于定义域内的任意x ，恒有()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数；对于②对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-， ()f x 在定义域内是减函数； 对于A ：()2121x f x x -=+，()113f =，()13f -=，故不是奇函数，所以不是“理想函数”； 对于 B ：()3f x x =-是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；对于C ：()f x x =-是奇函数，并且在R 上是减函数，所以是“理想函数”；对于D ：()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≥==-⎨<⎩，()||()f x x x f x -==-， 所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数； 根据二次函数的单调性，()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞都是减函数，且在0x =处连续，所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩在R 上是减函数， 所以是“理想函数”.故选：BCD.39．5【详解】设()f x x α=，则()12222f αα==⇒=， 所以()(),55f x x f ==. 故答案为：540．()22-，【详解】设幂函数()y f x x α==，其图象过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以182α=，即3122α-=，解得：13α=-，所以()13f x x -=， 因为()()()13f x x f x --=-=-，所以()13f x x -=为奇函数，且在()0-∞，和()0+∞，上单调递减， 所以()()2150f a f ++->可化为()()()2155f a f f +>--=， 可得215a +<，解得：22a -<<，所以a 的范围为()22-，， 故答案为：()22-，． 41．()4,-+∞【详解】 解：因为幂函数13y x =在R 上为增函数，()()1133312a a -<+， 所以312a a -<+，解得4a >-，所以不等式的解集为()4,-+∞，故答案为：()4,-+∞42．{}1,1,3-【详解】由幂函数()f x 与x 轴及y 轴均无交点，得2230m m -≤-，解得13m -≤≤，又m Z ∈，即{}1,0,1,2,3m ∈-，()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称， 即函数为偶函数，故223m m --为偶数， 所以{}1,1,3m ∈-，故答案为：{}1,1,3-.43．1-【详解】由题意知，幂函数()k f x x =在(0)+∞，上单调递减， 则k 为负数，则k =-2，-1，12-，又由函数()k f x x =为奇函数，则k =-1，故答案为：-144．-6【详解】因为()()21212223m f x m m x n -=+-+-是幂函数，所以22221,10,230,m m m n ⎧+-=⎪-≠⎨⎪-=⎩，解得3,3,2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以323262m n -=--⨯=-．45．（1）()2f x x =；（2）存在，2b =±. 解：因为函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数，所以211a a --=，解得2a =或1a =-，当2a =时，()4f x x -=，则()()12f f >，故不符题意，当1a =-时，()2f x x =，则()()12f f <，符合题意，所以()2f x x =；（2）由（1）得 ()()()22232233g x f x bx x bx x b b =-+=-++=--++， 函数图像开口向下，对称轴为：x b =，当1b ≤-时，函数()g x 在区间[]1,1-上递减，则()()11236max g x g b =-=--+=，解得2b =-，符合题意； 当1b ≥时，函数()g x 在区间[]1,1-上递增，则()()11236max g x g b ==-++=，解得2b =，符合题意；当11b -<<时，()()22236max g x g b b b ==-++=，解得3b =±，不符题意， 综上所述，存在实数2b =±满足题意.46．（1）1m =-；（2）32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【详解】解：（1）()f x 是幂函数，2221m m ∴--=，解得：3m =或1m =-， 3m =时，()13f x x =在(0,)+∞上单调递增，1m =-时，()1f x x=在(0,)+∞递减， 故1m =-；（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，则10320a a ->⎧⎨+<⎩或10320132a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩或10320132a a a a-<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩，解得：32a <-或213a -<<，故a 的取值范围是32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 47．（1）2()f x x =；（2）(1,1)-；（3）2．【详解】（1）()f x 是幂函数，则2221m m -+=，1m =，又()f x 是偶函数，所以23(3)k k k k -=-是偶数，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则230k k ->，03k <<，所以1k =或2． 所以2()f x x =；（2）由（1）偶函数()f x 在[0,)+∞上递增， (21)(2)f x f x -<-22(21)(2)212f x f x x x ⇔-<-⇔-<-11x ⇔-<<． 所以x 的范围是(1,1)-．（3）由（1）237a b +=，2(1)3(1)12a b +++=，0,0a b >>， []3213219(1)2(1)2(1)3(1)121112111211b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 19(1)4(1)12221211b a a b ⎛⎫++≥+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭，当且仅当9(1)4(1)11b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立． 所以3211a b +++的最小值是2．。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1. (1)化简；(2)已知且，求的值.【答案】(1)1; (2)【解析】(1)注意根式与分数指数幂的关系:,将所求式子全用分数指数幂来表示,再利用幂的运算法则:可化简已知式子;(2)注意到,将已知代入即可求得所求式子的平方值,再注意到,所以>0,从而就可得到所求式子的值．试题解析：原式.(2)．又因为，所以故知：．【考点】根式与分数指数幂的运算．2. .（填“”或“”）.【答案】【解析】幂函数在上单调递增，，所以【考点】幂函数的性质3.给定函数①，②，③，④，其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】B【解析】因为，幂指数为正，所以，①是增函数；因为底数小于1，所以②是减函数；因为③的图象是关于直线x=1对称的折线，其在(0，1)上是增函数；因为底数大于1，所以④是增函数；综上知，在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③，故选B。
【考点】本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性。
点评：简单题，指数函数、对数函数的单调性，均与底数的取值情况有关，应注意以辨别。
4.已知幂函数的图像经过，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据已知条件，那么可设幂函数因为的图像经过，那么可知，有，那么可知幂函数为，故选C.【考点】本试题考查了幂函数知识。
点评：解决该试题的关键是能设出幂函数，然后代点得到解析式，进而求解函数值的差，属于基础题。
5.幂函数的图像过点，则=_______．【答案】【解析】设幂函数，所以=。
【考点】幂函数的概念。
点评：熟记幂函数的形式，注意幂函数与指数函数的区分。
属于基础题型。
6.幂函数=（m2-m-5)x2m-3 的图象在第一象限内递减，则m的值是。
【答案】-2【解析】因为=（m2-m-5)x2m-3是幂函数，所以m2-m-5=1，解得m=3或-2.又因为m=3时，=（m2-m-5)x2m-3=x3在第一象限内的单调递增，所以不满足题意，舍去。
2025高考数学必刷题 第8讲、幂函数与二次函数(教师版)
第8讲幂函数与二次函数知识梳理1、幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数y x=2y x =3y x =12y x=1y x -=图象定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R{|0}y y ≥R{|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R 上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减公共点(11)，4、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.5、二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--.（1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，212121212||||()4||M M x x x x x x a ∆=-=+-=.6、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=：（1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(()2bm f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=；（4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.【解题方法总结】1、幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m<<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩2()0b naf n∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f mf n≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n内有且只有一个实根()0()0f mf n>⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.必考题型全归纳题型一：幂函数的定义及其图像【例1】（2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数()22()22m f x m m x-=--⋅是幂函数，且在()0+∞，上递减，则实数m =（）A ．1-B ．1-或3C ．3D ．2【答案】A【解析】因为()22()22m f x m m x -=--⋅是幂函数，所以2221m m --=，解得3m =或1m =-，又因为()f x 在()0+∞，上单调递减，则1m =-.故选：A【对点训练1】（2024·海南·统考模拟预测）已知()()25mf x m m x =+-为幂函数，则（）．A ．()f x 在(),0∞-上单调递增B ．()f x 在(),0∞-上单调递减C ．()f x 在()0,∞+上单调递增D ．()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】B【解析】因为()()25mf x m m x =+-是幂函数，所以251m m +-=，解得2m =或3m =-，所以()2f x x =或()3f x x -=，对于()2f x x =，函数在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减；对于()3f x x -=，函数在()0,∞+上单调递减，且为奇函数，故在(),0∞-上单调递减；故只有B 选项“()f x 在(),0∞-上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B【对点训练2】（2024·河北·高三学业考试）已知幂函数()y f x =的图象过点(8,，则()9f 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】B【解析】设幂函数为()a f x x =，图象过点(8,，故()88af ==12a =，()12f x x =，()93f =.故选：B【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】当1a =-时，1y x -=定义域和值域均为()(),00,∞-+∞U ，符合题意；0a =时，0y x =定义域为()(),00,∞-+∞U ，值域为{}1，故不合题意；12a =时，y =[)0,∞+，值域为[)0,∞+，符合题意；1a =时，y x =定义域与值域均为R ，符合题意；2a =时，2y x =定义域为R ，值域为[)0,∞+，不符合题意；3a =时，3y x =定义域与值域均为R ，符合题意.故选：C【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数pq y x =（,Z p q ∈且,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0pq>B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0pq >D ．q 为奇数，p 为偶数，且0pq<【答案】D【解析】因为函数p qy x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且在(0,)+∞上单调递减，所以pq<0，因为函数pq y x =的图象关于y 轴对称，所以函数pqy x =为偶函数，即p 为偶数，又p 、q 互质，所以q 为奇数，所以选项D 正确，故选：D.【解题方法总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用【例2】（2024·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m ma a +>-成立的实数a 的取值范围为___________.【答案】2(,4)3【解析】因函数()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，则2331m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，2()f x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称，与已知()f x 的图象关于原点对称矛盾，当2m =时，3()f x x =是奇函数，其图象关于原点对称，于是得2m =，不等式()()132m ma a +>-化为：()()22132a a +>-，即(32)(4)0a a --<，解得：243a <<，所以实数a 的取值范围为2(,4)3.故答案为：2(,4)3【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②0y x =图象是一条直线；③若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤；④若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；⑤若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤．其中不正确命题的序号是________．【答案】②③④⑤【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确；0y x =图象是直线1y =上去掉点(0,1)，②错误；函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{|01}y y <≤，③错误；函数1y x=的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|02y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，④错误；若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域也可能是{}|02x x ≤≤，⑤错误，故答案为：②③④⑤．【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知2()f x x =，1()()2xg x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是_________.【答案】1[,)4+∞【解析】因为对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，所以只需min min ()()f x g x ≥即可，因为2()f x x =，1()()2xg x m =-，所以()min ()00f x f ==，()min 1()24g x g m ==-，由104m ≥-，解得14m ≥故答案为：1[,)4+∞.【对点训练7】（2024·福建三明·高三校考期中）已知121111log 122aa a ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，，，则实数a 的取值范围是___________【答案】1(0,2【解析】 已知1log 12a<，1a ∴>或102a <<①；1()12a < ，0a ∴>②；121a =< ，01a ∴<③．综合①②③，求得实数a 的取值范围为1(0,)2．故答案为：1(0,2﹒【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2(),x af x x x a=>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]0,1【解析】由函数y =①当a<0时，若x a ≤0≤<，而20x ≥，此时函数()f x 的值域不是R ；②当0a ≥时，若x a ≤≤22x a >，若函数()f x 的值域为R ，必有2a 01a ≤≤．则实数a 的取值范围为[]0,1．故答案为：[]0,1【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）不等式()10112202221210x x x -++-≤的解集为：_________．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】不等式变形为()()101110112222110x x x x -+-++≤，所以()()()10111011222211x x x x +≤-+-，令()1011f x x x =+，则有()()221f x f x ≤-，因为函数1011,y x y x ==在R 上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，则221x x ≤-，解得x ≤故不等式的解集为⎡⎢⎣⎦．故答案为：,22⎡⎢⎣⎦.【对点训练10】（2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.【答案】(3,4)【解析】由幂函数1110101()f x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且是递减函数，因为()()182f a f a -<-，可得18210820a a a a ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得34a <<，即实数a 的取值范围为(3,4).故答案为：(3,4).【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=奇函数，且在()0,∞+上为严格减函数，则α=__________.【答案】-1【解析】因为幂函数()f x x α=在()0,∞+上为严格减函数，所以0α<，所以12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，又因为幂函数()f x x α=奇函数，且12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，所以1α=-，故答案为：-1【解题方法总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程()200ax bx c a ++=≠的实根分布及条件【例3】（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（）A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4【答案】A【解析】 关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根，()()222141440∴∆=--⨯⨯-=-+⎡⎤⎣⎦m m m m ，解得：1m ，关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，2(1)m αβ∴+=--，2m m αβ⋅=-，()()()22222221212αβαβαβ∴+=+-⋅=----=⎡⎤⎣⎦m m m ，即2340m m --=，解得：1m =-或4(m =舍去).故选：A.【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）.A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令2()2g x x ax a =-+，由方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解可得244011(1)0(1)0a a a g g ⎧∆=->⎪-<<⎪⎨->⎪⎪>⎩，即011131a a a a <⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩或111131a a a a >⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩，解得103a -<<，故选：C【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）方程2(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是（）A ．(5,4)--B ．13,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(5,2)--【答案】C【解析】令2()(2)5f x x m x m =+-+-，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间（3，4）内，只需(2)0(3)0(4)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即42(2)5093(2)50164(2)50m m m m m m +-+->⎧⎪+-+-<⎨⎪+-+->⎩，解不等式组可得1343m -<<-，即m 的取值范围为13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：C.【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．2275a -<<B ．25a >C ．27a <-D ．2011a -<<【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D【解题方法总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【例4】（2024·上海·高三专题练习）已知()()224,,f x ax bx c a b c =++∈R .(1)若()01f =-，20a b +=，解关于x 的不等式()()13f x a x <+-；(2)若0a c +=，()f x 在[]22-,上的最大值为23，最小值为12-，求证：2b a ≤.【解析】（1）因为()01f =-，所以41c =-，又因20a b +=，所以2b a =-，所以()21f x ax ax =--，则不等式()()13f x a x <+-即为()22120ax a x -++<，即()()120ax x --<，若0a =，则不等式的解集为()2,+∞；若a<0，则不等式的解集为()12,,a ⎛⎫+∞⋃-∞ ⎪⎝⎭；若0a >，当102a <<时，则不等式的解集为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当12a =时，则不等式的解集为∅；当12a >时，则不等式的解集为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）若0a =，则0c =，()2f x bx =，当22x -≤≤时，则()()max min 243142f x b f x b ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩无解，所以0a ≠；若0a ≠时，由0a c +=，得2()24f x ax bx a =+-，对称轴为b x a=-，假设(ba ∈-∞，2)(2-⋃，)∞+，区间[2-，2]在对称轴的左外侧或右外侧，所以()f x 在[2-，2]上是单调函数，则()f x 的最值必在2x =，2x =-处取到，()24f b =，(2)4f b -=-，()2112(2)0(326f f +-=≠+-=，所以假设错误，则2ba≤，综上，得到2ba≤.【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21xf x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.【解析】(1)设[)2,0x ∈-，则(]0,2x -∈，()()()12112xxf x f x -⎛⎫=--=--=-+ ⎪⎝⎭，即当[)2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(2)当(]0,2x ∈时，()(]210,3xf x =-∈；当[)2,0x ∈-时，()[)113,02xf x ⎛⎫=-+∈- ⎪⎝⎭；又因为()00f =，所以，函数()f x 在[]22-,上的值域为[]3,3-，()22g x x x m =-+ 在[)2,1-上单调递减，在(]1,2上单调递增，当[]2,2x ∈-时，()()min 11g x g m ==-，()()(){}()max max 2,228g x g g g m =-=-=+，因为[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则1383m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得52m --≤≤.【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由已知可得()f x 的定义域为R ，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数．（2）()()()()223333x xx x f x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-．当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去．综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃．（2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．【解析】（1）由(1)(1)f x f x -+=--，可得()f x 的图象关于直线=1x -对称，函数()f x 的值域为[1,)-+∞，所以二次函数的顶点坐标为(1,1)--，所以设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-，根据根与系数的关系，可得122x x +=-，121a x x a-=，因为方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=则122x x -===，解得：1a =，所以()22f x x x =+.（2）由于函数()g x 在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，则函数()g x 在区间[2,2]-上单调递增，又2())2(g x f x kx x x kx =-=+-，即()2(2)g x x k x =+-，所以()g x 的对称轴方程为22k x -=，则222k -≤-，即2k ≤-，故k 的取值范围为(],2-∞-.【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln 1()xf x e ax a R =++∈为偶函数.（1）求a 的值；（2）设函数()()f x xx g x eme +=+，是否存在实数m ，使得函数()g x 在区间[]1,2上的最小值为214e -若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知函数()f x 的定义域为R ，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=对任意的x R ∈恒成立，即22ln(1)ln(1)x x e ax e ax -+-=++对任意的x R ∈恒成立，即22ln()()12ln 1()x x e a x e ax +-+=++对任意的x R ∈恒成立，即()220a x +=对任意的x R ∈恒成立，所以220a +=，解得1a =-.（2）由（1）知()()2ln 1,xf x e x +-=所以()[]21,1,2x xg e m e x x =+⋅+∈，令2,,x t e t e e ⎡⎤=∈⎣⎦，则()221,,h t t mt t e e =++∈⎡⎤⎣⎦，其对称轴为2mt =-，①当22m e -≥，即22m e ≤-时，()h t 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()242min 1h t h e e me ==++，由422114e me e ++=-，解得24m e =--，此时不满足22m e ≤-，此时不存在符合题意的m 值；②当22m e e <-<，即222e m e -<<-时，()h t 在,2m e ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，在2,2m e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min124m m h t h ⎛⎫⎪⎝=-⎭=-+，由221144m e -+=-，解得4m e =-或4m e =，又222e m e -<<-，所以4m e =-；③当2me -≤，即2m e ≥-时，()h t 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()2min 1h t h e e me ==++，由22114e me e ++=-，解得5m e =-，不满足2m e ≥-，此时不存在符合题意的m 值.综上所述，存在4m e =-，使得函数()g x 在区间[]1,2上的最小值为214e -.【解题方法总结】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.题型五：二次函数最大值的最小值问题【例5】（2024·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数()f x 为偶函数，()11f =，且()232f x x x +≤恒成立．(1)求()f x 的解析式；(2)R a ∈，记函数()()21h x f x ax =-+在[]0,1上的最大值为()T a ，求()T a 的最小值．【解析】（1）依题设()2f x ax c =+，由()11f =，得1a c +=，()232f x x x +≤，得()23210a x x a -++-≥恒成立，∴30Δ44(1)(3)0a a a ->⎧⎨=---≤⎩，得()220a -≤，所以2a =，又1a c +=，所以1c =-，∴()221f x x =-；（2）由题意可得：()222h x x ax =-，[]0,1x ∈，若0a ≤，则()222h x x ax =-，则()h x 在[0,1]上单调递增，所以()()122T a h a ==-；若0a >，当12a≥，即2a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，()()122T a h a ==-当12a <，只须比较222a a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()122h a =-的大小，由()22202a a -->，得：21a <<，此时()22a T a =，02a <≤时，2222a a -≤，此时()22T a a =-，综上，()222,222222,2a a aT a a a a -≥⎧⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-<⎩，2a ≥时，()2T a ≥，22a <<时，()62T a -<<，2a ≤时，()6T a -，综上可知：()T a 的最小值为6-【对点训练20】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()1,f x x ax b a b x=+--∈R ，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，求(),M a b 的最小值．【解析】令()1g x x ax b x =+--，分别取12x =，1，2，可得()151,222g a b M a b ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，()()12,g a b M a b =--≤，()()522,2g a b M a b =--≤．由()()13231222g g g ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，利用绝对值三角不等式可得()()()()()311231223126,222g g g g g g M a b ⎛⎫⎛⎫=-+≤++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()1,4M a b ≥当0a =，94b =时，()19144g x x x +-≥-=，当且仅当1x =时取等号，而()111,2244g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭=，得()194f x x x =+-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，说明等号能成立．故(),M a b 的最小值为14．【对点训练21】（2024·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）已知函数()(2)||(R)f x x x a a =-+∈，(1)当1a =-时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域；(2)当[3,3]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．【解析】（1）当1a =-时，函数()(2)|1|f x x x =--，当1x >时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+，此时，函数()f x 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1x ≤时，函数2()(2)(1)32f x x x x x =--=-+-，此时，函数()f x 在(],1-∞上单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；因为函数()f x 单调递增区间为(],1-∞和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以函数()f x 在区间[]4,1-上单调递增，在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 3()min (4),()2f x f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，max 7()max (1),()4f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为(4)(42)(14)30f -=--+=-，1()(2)()43331222f -=-=-，(1)(12)(11)0f =--=，3((2)()167771444f ==---，所以函数()f x 在区间74,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]30,0-；（2）由已知可得，22(2)()(2)2,()(2)()(2)2,x x a x a x a x a f x x x a x a x a x a ⎧-+=+--≥=⎨--+=-+-+<⎩，当3a -≥时，即3a ≤-时，2()(2)2f x x a x a =-+-+，对称轴为2522a x -=≥，当232a -≥时，即4a ≤-时，函数()f x 在区间[3,3]-上单调递增，所以()(3)3g a f a ==--，当52322a -≤<时，即43a -<≤-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以242244()()a a g a f a ++=-=，当2a -≤时，即2a ≥-时，若[3,2]x ∈-，()0f x ≤，若[2,3]x ∈，()0f x >，因为当(]2,3x ∈时，2()(2)2f x x a x a =+--，对称轴为222a x -=≤，所以函数()f x 在区间(]2,3上单调递增，所以()(3)3g a f a ==+，当23a <-<，即32a -<<-时，此时2252a -<<，当22a a -≥-，即22a -≤<时，函数()f x 在区间[)3,a --上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以{}{}()max (3),()max 3,03g a f f a a a =-=+=+，当22a a -<-，即32a -<<-时，函数()f x 在区间23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(],3a -上单调递增，所以244()max (3),()max ,4232a a a g a f a f ⎧⎫++⎧⎫⎭-+=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩若24434a a a +++≥，即2a -≤<-时，()3g a a =+，若24434a a a +++<，即3a -≤<-244()4a a g a ++=，综上所述，23,44(),443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩，函数()3g a a =--在区间(],4-∞-上单调递减，函数244()4a a g a ++=在区间(4,--上单调递减，函数()3g a a =+在区间)⎡-+∞⎣上单调递增，所以min 33()(g a g -=-=-=【对点训练22】（2024·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数()1f x x x a =--+．(1)当2a =时，解方程()0f x =；(2)当[]0,5a ∈时，记函数()y f x =在[]1,4x ∈上的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．【解析】（1）当2a =时，令210x x --+=．当2x ≥时，()210x x --+=，解得：1x =当2x <时，()210x x --+=，解得：1x =故方程的解为：11；（2）()221,1,x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩，其中()()01f f a ==，因为21,y x ax x a =-++≥对称轴为2a x =，开口向下；21,y x ax x a =-+<对称轴为2a x =，开口向上，于是最大值在()()()1,4,f f f a 中取得．当01a ≤≤，即1022a ≤≤时，()f x 在[]1,4上单调递减．()max ()1f x f a ∴==；当12a <≤，即1122a <≤时，()f x 在[]1,a 上单调递增，在[],4a 上单调递减，()max ()1f x f a ∴==；当24a <≤，即122a <≤时，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[],4a 上单调递减，()(){}{}max ()max 1,max 2,11f x f f a a ∴==-=；当45a <≤，即5222a <≤时，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,42a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()(){}{}max ()max 1,4max 2,174174f x f f a a a∴==--=-(),011,14174,45a a g a a a a ≤≤⎧⎪∴=<≤⎨⎪-<≤⎩()min ()53g a g ∴==-。
高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结
高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中的重要概念之一，在高一数学学习中也占据了重要的地位。
掌握幂函数的知识点对于高中数学学习的深入理解和解题能力的提升都具有重要意义。
本文将对高一数学中的幂函数知识点进行总结，并提供相关示例和解题思路，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、幂函数的定义和基本性质1. 定义：幂函数是指形如y = x^a（其中a表示常数）的函数，这里x是自变量，y是因变量。
幂函数中，指数a可以是正数、负数或零。
2. 基本性质：- 当a>0时，函数是增函数；- 当a<0时，函数是减函数；- 当a=0时，函数是常数函数；- 当x>1时，函数值增大较快；当0<x<1时，函数值减小较快；- 函数图像关于y轴对称（当指数为偶数）或者关于原点对称（当指数为奇数）。
二、幂函数的图像和特殊情况1. 幂函数的图像：不同指数a对应的幂函数图像有所不同，可以通过绘制函数图像来直观地理解幂函数的特点。
2. 特殊情况：- 当a>1时，可以看到幂函数的图像在原点处有一个变化方向的拐点；- 当0<a<1时，幂函数的图像在原点处有一个极值点，对称轴为y 轴；- 当a=1时，幂函数为y=x，即一次函数；- 当a=0时，幂函数为y=1，即常数函数；- 当a<0时，幂函数的图像会经过y轴正半轴和负半轴两个点，形状类似于倒置的U型。
三、幂函数的图像变换和平移1. 横向压缩和拉伸：幂函数图像可以通过调整指数a的大小来实现横向的压缩和拉伸。
当a>1时，图像会被压缩；当0<a<1时，图像会被拉伸。
2. 纵向压缩和拉伸：幂函数图像可以通过调整函数的整体乘积常数k来实现纵向的压缩和拉伸。
当k>1时，图像会被压缩；当0<k<1时，图像会被拉伸。
3. 平移操作：幂函数图像可以通过横向和纵向平移来实现整体位置的调整。
横向平移可以通过修改自变量x的值来实现；纵向平移可以通过修改常数项b来实现。
高中数学2.3幂 函 数 (2)
α 为指数 底数
y 幂值 幂值
知识点2 幂函数的图象及性质 观察图形,回答下列问题:
问题1:观察上述图象.在第一象限,它们有何特点? 问题2:这些图象有何对称性?奇偶性如何?
【总结提升】 1.幂函数y=xα 在第一象限内的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点). (3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸). (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点). (5)指数小于0,在第一象限为双曲线型.
2.3 幂函数
【知识提炼】 1.幂函数的概念 函数_y_=_x_α_叫做幂函数,其中自变量是_x_,_α__是常数.
2.幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象:
(2)幂函数的性质:
幂函数 y=x
y=x2
y=x3
1
y x2
y=x-1
定义域 _R_
_R_
_R_ [_0_,_+_∞__)__ _(_-_∞__,_0_)_∪__(_0_,_+_∞__)_
3.如图,图中曲线是幂函数f(x)=xα 在第一象限内的大致图象,已知
α
取-2,-
1,
2
1 2
,2四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α
的值依次
为
.
【解题探究】1.典例1中的函数y=
m
xn
的定义域和值域分别是什么?
提示:由图象可以看出,定义域是全体实数,而值域是非负数,由此可得
m是偶数,n是奇数.
53
5
3
(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的，
又 2 3，所以( 2)1 ( 3)1.
高考数学复习典型题型专题讲解与练习13 幂函数
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题13 幂函数题型一 幂函数的定义域和值域1．函数()()123421x x y +=-的定义域为__________．【答案】[)2,1-【解析】函数解析式为()()123421y x x ==-+，则2010x x +≥⎧⎨->⎩，解得21x .因此，函数()()123421x x y +=-的定义域为[)2,1-.故答案为：[)2,1-.2．讨论函数23y x =的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性． 【答案】定义域R ；偶函数；图象见解析；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．【解析】函数23y x ==R=，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在(],0-∞单减，在[0,+∞)上单增.3．已知幂函数()()21*m mfx xx N +=∈.(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m 与m ＋1中必定有一个为偶数,可知m 2＋m 为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过点(2)和m∈N *求出m 的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a 的范围即可. 试题解析:（1）m 为正整数，则：m 2+m ＝m （m +1）为偶数，令m 2+m ＝2k ，则：()f x =[0，+∞），函数在定义域内单调递增．（2）由题意可得：()122m m -+=求解关于正整数m 的方程组可得：m ＝1（m ＝﹣2舍去），则：()f x f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）脱去f 符号可得： 2﹣a ＞a ﹣1≥0，求解不等式可得实数a 的取值范围是：312a ≤＜．4．已知幂函数f (x )=(m -1)22-42m m x +在区间(0，+∞)上单调递增，函数g (x )=2x -k .（1）求实数m 的值；（2）当x ∈(1，2]时，记ƒ(x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B =A ，求实数k 的取值范围.【答案】（1）m =0；（2）[0，1].【解析】（1）依题意得(m -1)2=1.∴m =0或m =2.当m =2时，f (x )=x -2在区间(0，+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴m =0.（2）由（1）可知f (x )=x 2，当x ∈(1，2]时，函数f (x )和g (x )均单调递增. ∴集合A =(1，4]，B =(2-k ，4-k ]. ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .∴2-14- 4.k k ≥⎧⎨≤⎩，∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0，1].5．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()f x 的值域为集合A ，若集合[]2,4B k k =--，且A B A ⋃=，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0；（2）[]0,1【解析】（1）∵()f x 为幂函数，∴()211m -=，∴0m =或2.当0m =时，()2f x x =在()0,∞+上单调递增，满足题意.当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，不满足题意，舍去.∴0m =.（2）由（1）知，()2f x x =.∵()f x 在[]1,2上单调递增，∴[]1,4A =.∵[]2,4B k k =--，A B A ⋃=，∴B A ⊆，∴21,44,k k -≥⎧⎨-≤⎩解得01k ≤≤.故实数k 的取值范围为[]0,1. 题型二 幂函数的图像问题1．函数()12f x x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，()12f x x-==，所以函数的定义域为{}0x x >，因为102-<，根据幂函数的性质，可知函数()12f x x -=在第一象限为单调递减函数， 故选：A ．2．下列结论正确的是（ ） A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x 既是二次函数，也是幂函数 【答案】D【解析】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确； 函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确； 根据幂函数的定义，可得函数2y x 是二次函数，也是幂函数，所以D 正确. 故选：D.3．若幂函数mn y x =（*,m n ∈N 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数 C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n <D ．m 、n 是偶数，且1mn> 【答案】ABC【解析】图象在(1,1)右侧上升但上升幅度比y x =小，01mn<<，A 正确； 图象关于y 轴对称，函数为偶函数，m 是偶数，n 是奇数，B 正确； 则C 也正确，D 错误． 故选：ABC ．4．函数()()110y x αα=-+<恒过定点______． 【答案】()2,2【解析】当11x -=，即2x =时，2y =，∴函数恒过定点()2,2. 故答案为：()2,2.5．在同一平面直角坐标系中画出函数()f x ()1g x x =-的图象，并利用图象求不等1x >-的解集．【答案】作图见解析；0⎡⎢⎣⎭．【解析】由题意，函数()f x ()1g x x =-，画出图象，如图所示：1x =-，解得x =1x >-的解集0⎡⎢⎣⎭．6．已知幂函数()21*()()f x x m m m N ∈－＝＋，经过点(2，试确定m 的值，并求满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围． 【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵()f x 的图象过点21()2m m -+=，∴22m m +=，又*m N ∈，∴1m =.即12()f x x =，其定义域为0x ≥，且在定义域上函数为增函数， ∴由(2)(1)f a f a ->-得012a a ≤-<-，解得312a ≤<. 题型三 幂函数的单调性及应用1．幂函数y =f （x ）的图象经过点（4，2），若0<a <b <1，则下列各式正确的是A ．f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．11f f a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<f （b ）<f （a ） C ．f （a ）<f （b ）11f f a b ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()11f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】设幂函数y =f （x ）=x α，∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α=2，解得12α=，∴f （x ）=12x ，∵0<a <b <1，∴1110b a a b>>>>>，∴f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．故选A ．2．幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．【答案】3【解析】∵幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -. 解得13m -<<，0m =，1，2， 且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数. ∴1m =.3a m +=故答案为：3.3．若幂函数()2222m y m m x -+=--在()0∞，+上为减函数，求实数m 的值；【答案】3m =【解析】因为函数为幂函数， 则2221m m --=，得1m =-或3m =， 当3m =时，1y x -=；当1m =-时，3y x =. 又函数在()0∞，+上为减函数， 所以3m =.4．已知2()f x x =(0x ≠)，2()g x x -=，若定义(),()(),()(),()(),f x f xg xh x g x f x g x ⎧=⎨>⎩求函数()h x 的最大值及单调区间.【答案】1，单调递增区间为(,1]-∞-，(0,1]，单调递减区间为[1,0)-，[1,)+∞.【解析】由题意，得22,11,(),1001,x x x h x x x x -⎧-=⎨-<<<⎩或或根据题中图象可知函数()h x 的最大值为1，单调递增区间为(,1]-∞-，(0,1]，单调递减区间为[1,0)-，[1,)+∞.5．已知幂函数223()(22,)m m f x x m m z --+=-<<∈满足： （1）在区间()0,∞+上为增函数（2）对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=，求同时满足（1）（2）的幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域．【答案】()4f x x =；值域是[]0,256．【解析】因为函数在()0,∞+上递增， 所以2230m m --+>，解得31m -<<，因为22m -<<，m Z ∈，所以，1m =-，或0m =． 又因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数， 所以223m m --+为偶数．当1m =-时，2234m m --+=满足题意； 当0m =时，2233m m --+=不满足题意，所以()4f x x =,又因为()4f x x =在[]0,4上递增．所以()()min 00f x f ==，()()max 4256f x f ==， 故函数的值域是[]0,256 ． 题型四 幂函数的奇偶性及应用1．设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（ ） A ．1,3-B ．1,1- C ．1,3D ．1,1,3- 【答案】C【解析】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2y x ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意. 故选：C.2．已知幂函数()y f x =的图象过(2,2，则下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =的定义域为[0,)+∞B ．()y f x =在其定义域内为减函数C ．()y f x =是偶函数D ．()y f x =是奇函数 【答案】B【解析】设幂函数f （x ）＝x α，因为幂函数y ＝f （x ）的图象过点⎛ ⎝⎭，所以1222a-==， 解得12a =-， 所以()12f x x -=，所以y ＝f （x ）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A 错误；B 正确， 因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C ，D 错误， 故选：B ．3．已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【答案】（1）0m =；（2）112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． 【解析】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0t =时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，．4．已知幂函数21322()()p p f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式.（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当0p =或2p =时，32()f x x =；当1p =时，2()f x x =；（2）存在，130-. 【解析】（1）由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<.又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意.（2）存在.理由如下：由（1）知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞， 此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增； 当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减， 则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减. 所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-. 所以存在130q =-满足题设条件.。
高中 幂函数与二次函数知识点+例题+练习 含答案
教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。
高中数学必修1(北师版)第二章2-5简单的幂函数知识点总结含同步练习与答案
⎧ |1 − m| > |m|, ⎨ |1 − m| ⩽ 2, ⎩ |m| ⩽ 2,
即
⎧ (1 − m)2 > m 2 , ⎨ −2 ⩽ m − 1 ⩽ 2, ⎩ −2 ⩽ m ⩽ 2,
解得
即 −1 ⩽ m <
1 1 ，所以 m 的取值范围是 [−1, ) ． 2 2
⎧ ⎪m < 1 , 2 ⎨ −1 ⩽ m ⩽ 3, ⎪ ⎩ −2 ⩽ m ⩽ 2,
若函数 y = (x + 1)(x − a) 为偶函数，则 a = （ ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 解：C 因为 f (x) 为偶函数，定义域为 R，所以 f (1) = f (−1)，即 (1 + 1)(1 − a) = (−1 + 1)(−1 − a)，所以 a = 1． 已知 f (x) 是定义 R 在上的奇函数，且当 x > 0 时，f (x) = x3 + x + 1，求 f (x) 的解析 式． 解：设 x < 0，则 −x > 0，用 −x 替换 f (x) = x3 + x + 1 中的 x，得
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x > 0, x = 0, x < 0.
如果奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最小值为 5 ，那么 f (x) 在区间 [−7, −3] 上是 A．增函数且最小值是 −5 B．增函数且最大值是 −5 C．减函数且最大值是 −5 D．减函数且最小值是 −5 解：B 因为奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数，所以 f (x) 在[−7, −3] 上也是增函数，且奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上 f (3)min = 5 ，则 f (x) 在区间 [−7, −3] 上有 f (−3)max = −f (3) = −5，故选 B． 定义 [−2, 2] 在上的偶函数 g(x) ，当 x ⩾ 0 时，g(x) 单调递减，若 g(1 − m) < g(m) 成立， 求 m 的取值范围． 解：因为 g(x) 是偶函数，所以
高考数学讲义与习题幂函数含详解
高考数学复习讲义考点11：幂函数【思维导图】【常见考法】考法一：幂函数定义辨析1．已知函数22+3()(21)m m f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n +=。
2．幂函数()()2231m m f x m m x +-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为。
3．若幂函数()()223265m f x m m x -=-+没有零点，则()f x 满足。
A ．在定义域上单调递减B ．()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增C ．关于y 轴对称D ．()()0f x f x +-=4．已知幂函数y ＝（m 2﹣3m +3）x m +1是奇函数，则实数m 的值为。
考法二：幂函数的性质1．函数()12ln 1x f x x x =-+的定义域。
2．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4x －3)的定义域是。
3．已知幂函数y x α=的图象过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该函数的单调递减区间为。
4．若()14f x x =,则不等式()()816f x f x >-的解集是。
5．已知()()2233132a a --+<-，则a 的取值范围__________.6．已知函数()22k k f x x -++=，且()()23f f >，则实数k 的取值范围是______.7．已知，131344525,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是。
考法三：图像问题1．幂函数y =（m 2-m -5）x 241m m -+的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为______.2．上图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于曲线1C 、2C 、3C 、4C 的n 依次为（）3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A ．①13y x =，②2y x =，③12y x =，④1y x -=B ．①3y x =，②2y x =，③12y x =，④1y x -=C ．①2y x =，②3y x =3y x =，③1y x -=，④12y x =D ．①13y x =，②12y x =，③2y x =，④1y x -=4．已知幂函数a y x =的图像满足，当(0,1)x ∈时，在直线y x =的上方；当(1,)x ∈+∞时，在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是_______________.考点11：幂函数【思维导图】【常见考法】考法一：幂函数定义辨析1．已知函数22+3()(21)m m f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n +=。
专题12 幂函数(讲)(解析版)
专题12幂函数幂函数(1)一般地形如y ＝x α(α为常数)的函数叫做幂函数． [知识点拨] 幂函数与指数函数的区别与联系函数表达式相同点 不同点指数函数 y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数 幂函数y ＝x α(α∈R )底数是自变量，指数是常数(2)对于幂函数，我们只讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．(3)图象：在同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12 ，y ＝x －1的图象如图．[知识点拨] 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边． (4)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域 值域 奇偶性 单调性公共点y ＝xRR奇在R 上是增函数 都过(1,1)点y ＝x 2R[0，＋∞)偶在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数y ＝x 3RR 奇 在R 上是增函数 y ＝x 12[0，＋∞)[0，＋∞)非奇 非偶 在[0，＋∞)上是增函数 y ＝x －1(－∞，0)∪(0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数典型题型与解题方法重要考点一：幂函数的概念【典型例题】已知幂函数()()37m f x x m N -=∈的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】由题意可得：370m -<且37m -为偶数，m N ∈， 解得73m <，且37m -为偶数，m N ∈， ∴1m =． 故选：C ． 【题型强化】1.幂函数()223()1m m f x m m x +-=--在(0,)+∞时是减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2或1-B ．1-C ．2-D ．2-或1【答案】B【解析】由于幂函数()223()1mm f x m m x+-=--在(0,)+∞时是减函数，故有221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-．故选:B.2.若函数()()()2321m m f x m m x ⋅--=--是幂函数，且在()0,∞+上是减函数，则实数m 为（ ）A ．2B ．1-C ．4D ．2或1-【答案】A【解析】∵幂函数()()()2321m m f x m m x ⋅--=--， ∴211m m --=， 解得2m =，或1m =-；又()f x 在()0,∞+ 上为减函数， ∴当2m =时，()323m m ⋅--=-，幂函数为3y x -=，满足题意； 当1m =-时，()230m m ⋅--= ，幂函数为0y x =，不满足题意； 综上，2m =.故选：A ． 【名师点睛】形如y ＝x α的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y ＝3x 、y ＝x x ＋1、y ＝x 2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y ＝x 2是幂函数，y ＝2x 是指数函数．重要考点二：幂函数的图象【典型例题】若幂函数mn y x =（*,m n ∈N ，且m 、n 互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．m 、n 是奇数且1m n< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1mn> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m 、n 是偶数，且1mn> 【答案】C【解析】将分数指数式化为根式，mnm n y x x ==，由定义域为R ，值域为[)0,+∞知n 为奇数，m 为偶数，故排除A 、D ，又由幂函数y x α=，当1α>时，图像在第一象限的部分下凸， 当01α<<时，图像在第一象限的部分上凸.故选：C【题型强化】1.四个幂函数在同一平面直角坐标系中第一象限内的图象如图所示，则幂函数12y x =的图象是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】D【解析】幂函数12y x =为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有④符合.故选：D. 2.下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数 C ．幂函数的图象可以出现在第四象限D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数 【答案】B【解析】幂函数的图象都通过点（1，1），但a≤0时不经过（0，0）点，故A 错误；当幂指数α取1，3，12时，幂函数y=x a 在定义域上是增函数，故B 正确； 幂函数的图象不会出现在第四象限，故C 错误；当幂指数α=﹣1时，幂函数y=x a 在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但 在定义域上不是减函数，故D 错误；故选B ． 【名师点睛】认识幂函数的图象重点在于掌握其特征．对于y ＝x α，当α<0时，在第一象限内为双曲线的一支；当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上．重要考点三：幂函数的简单性质【典型例题】已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【答案】-1【解析】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1．故答案为﹣1．【题型强化】1.幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =_______.【答案】2【解析】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，2331,m m ∴-+=解得：1m =或2m =，当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，函数2yx 的图象关于y 轴对称，∴实数2m =．2.已知函数23a y x -=在()0,∞+上单调递减，则实数a 取值范围是__________. 【答案】3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由于幂函数23a y x -=在()0,∞+上单调递减，则230a -<，解得32a <.因此，实数a 的取值范围是3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】(1)在判断幂函数的单调性和奇偶性时，可根据相应幂函数的图象进行分析． (2)幂函数y ＝x α在第一象限内图象的画法如下： ①当α＜0时，其图象可类似y ＝x －1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y ＝x 12画出；③当α＞1时，其图象可类似y ＝x 2画出．重要考点四：用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论【典型例题】已知幂函数 21()()m m f x x m N ++*=∈的图象经过点 (2,8)．⑴ 试确定 m 的值 ；⑵ 求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数 a 的取值范围． 【答案】(1)m=1;(2) 32a < 【解析】(1)由题得 21281m m m ++=⇒=或m=-2(舍).(2)由题得()3f x x =,()f x 在R 上单调递增,由f(2-a)>f(a-1)可得3212a a a ->-⇒<.【题型强化】1.幂函数223*()()mm f x x m N --=∈图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的范围.【答案】23132a a <-<<或.【解析】()f x 在()0,+∞是减函数，2230,13m m m ∴--<-<<，又*m N ∈ 1,2m ∴=当1m =时，()4f x x -=符合题意，当2m =时，()3f x x -=不符合题意，舍去，1m ∴=()()1133132a a --+<-，借助图象得10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩ 或10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或102332032a a a +<⎧⇔<<⎨->⎩或1a <-综上：23132 a a<-<<或2.已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数．（1）求的值；（2）求满足不等式的实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为函数在上是减函数，所以，所以.因为，所以或.又函数图象关于轴对称，所以是偶数，所以.（2）不等式等价于，解得．所以实数a的取值范围是.重要考点五：数学构造方法【典型例题】比较下列各组数中两个数的大小．(1)781()8与781()9；(2)352-与3.152-；(3)232()3--与23()6π--；(4)0.20.6与0.30.4.【答案】(1)781()8>781()9(2)352->3.152-(3)232()3--<23()6π--(4)0.20.6<0.30.4.【解析】(1)函数y＝78x在(0，＋∞)上单调递增，又>，∴7818⎛⎫⎪⎝⎭>7819⎛⎫⎪⎝⎭.(2)y＝52x-在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，∴352->3.152-(3)函数y＝23x-在(0，＋∞)上为减函数，又>，∴2323-⎛⎫- ⎪⎝⎭<236π-⎛⎫- ⎪⎝⎭.(4)函数取中间值0.20.4，函数y ＝0.2x 在(0，＋∞)上为减函数，所以0.20.6<0.20.4； 又函数y ＝x 0.4在(0，＋∞)为增函数，所以0.20.4<0.30.4.∴0.20.6<0.30.4. 【题型强化】1.比较下列各组数的大小： （1），，1；（2），，；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把1看作，幂函数在(0，＋∞)上是增函数．∵， ∴，即．（2）因为，，，幂函数在(0，＋∞)上是增函数，且.∴.2.比较大小：1.20.5，1.20.6，0.51.2，0.61.2. 【答案】0.51.2<0.61.2<1.20.5<1.20.6. 【解析】根据指数函数的单调性可得0.50.61 1.2 1.2<< ，由幂函数的性质可得 1.2 1.20.50.61<< ，从而可得结果. ∵0.5<0.6，∴1<1.20.5<1.20.6，0.51.2<0.61.2<1，∴0.51.2<0.61.2<1.20.5<1.20.6. 【名师点睛】1.注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤． 第一步，据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1，a >1，α>0时，a α>1；0<a <1，α>0时0<a α<1；a >1，α<0时0<a α<1；0<a <1，α<0时，a α>1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形． 2．给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性． 第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．1．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠且的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．2±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，函数1()2x bf x m -=-，(0,m >且1)m ≠，当x b =时，11()22b bf b m -=-= ，故()f x 的图像所经过的定点为1(,)2b ，所以1()2g b =，即212b =，解得：2b =±,故答案选B 2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -=C ．32y x =D ．31y x =-【答案】B【解析】幂函数的定义规定；y=x a （a 为常数）为幂函数，所以选项中A ，C ，D 不正确；B 正确； 故选B ．3．已知幂函数()f x 的图象经过点()4,2，则下列命题正确的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是单调递增函数 C ．()f x 的值域为R D ．()f x 在定义域内有最大值【答案】B【解析】设，因为幂函数()f x 的图象经过点（4,2）, 所以，所以．所以，它在单调递增．4．幂函数21023()a a f x x -+=(a ∈Z)为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则a 2－10a ＋23为偶函数，且a 2－10a ＋23＜0.把每一个选项a 的值代入检验得只有a=5同时满足. 故选C.5．下列命题正确的是( )A ．幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点B ．当0n =时，函数n y x =的图象是一条直线C ．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同D ．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点(1,1)- 【答案】D【解析】对于A: 幂函数的图象都经过点（1，1），当n≤0时，不过（0，0）点，故A 不正确； 对于B ：当n ＝0时，幂函数y ＝x n 的图象是一条直线y ＝1，除去（0，1）点，故B 不正确；对于C ：当两个幂函数的图象有三个交点，如y=x 与y=x 3有三个交点，这两个函数不相同，故C 不正确； 对于D ：因为幂函数的图象都经过点（1，1）且为偶函数时，所以图象一定经过点()1,1-，故D 正确. 故选：D.6．已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点12,22⎛ ⎝⎭，则k α+=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】因为()f x k x α=⋅是幂函数，所以1k =，()f x x α∴=.又函数()y f x =的图象过点12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1222α⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1222α--=，12α∴=.因此，32k α+=.故选：C. 7．已知幂函数f （x ）=x a （a 是常数），则（ ） A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 在()0,∞+上单调递增C ．()f x 的图象一定经过点()1,1D ．()f x 的图象有可能经过点()1,1-【答案】C【解析】（1）对于A ，幂函数f （x ）=x a 的定义域与a 有关，不一定为R ，A 错误； （2）对于B ，a ＞0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递增， a ＜0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递减，B 错误； （3）对于C ，幂函数f （x ）=x a 的图象过定点（1，1），C 正确；（4）对于D ，幂函数f （x ）=x a 的图象一定不过第四象限，D 错误． 故选C ． 8．若点14,64P ⎛⎫⎪⎝⎭在幂函数()f x 的图象上，则()2f =________． 【答案】18【解析】解：设幂函数为()f x x α=，α为实数，由点14,64P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 的图象上，得1464α=，解得3α=-， 则()3f x x -=，故()31228f -==．故答案为：189．221(22)m y m m x +=-+是一个幂函数，则m =__________. 【答案】1【解析】根据幂函数的定义，可令2221m m -+=，解得1m = 故答案为：110．已知幂函数22()()k k f x x k -++=∈N 满足(2)(3)f f <，则()f x 的解析式为_______．【答案】2()f x x =【解析】由(2)(3)f f <，得222k k -++<223kk -++，即222()13k k -++<，故220k k -++>，解得 12k -<<，又N k ∈，所以0k =或1k =，当0k =或1k =时，()f x 的解析式均为2()f x x =.故答案为：2()f x x =11．函数39()a f x x -=（常数*N a ∈）为奇函数且在(0,)+∞是减函数，则()f x =______.【答案】3x - 【解析】函数39()a f x x -=（常数*N a ∈）在(0,)+∞是减函数,∴390a -<,即3a <,又*N a ∈,∴=1a 或=2a ;当=1a 时,6()f x x -=,为偶函数,不满足条件; 当=2a 时,3()-=f x x ,为奇函数,满足条件.故答案为:3x -.12．已知幂函数()a f x k x =⋅的图象经过点(8,4)，则k a -的值为________. 【答案】13【解析】因为()a f x k x =⋅为幂函数，所以1k =，即()a f x x =代入点()8,4，得48a =，即2322a =，所以23a =，所以21133k a -=-=. 故答案为：13.13．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,，且()()f x F x x =．（1）试求出函数()y f x =的解析式；（2）讨论函数()F x 的单调性．【答案】（1）()32f x x =；（2）()F x 是区间()0,∞+上的单调递增函数．【解析】（1）设()y f x x α==，因为图象过点(2,，所以2α=32α=，函数()y f x =的解析式为()32f x x =；（2）()()12f x F x x x ===[)0,+∞，设120x x <<，则()()12F x F x -=∵12x x <，∴120x x -<，又120x x +>，∴()()12F x F x <， ∴()F x 是区间[)0,+∞上的单调递增函数．14．已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-. （1）求m 的值；（2）当[1x ∈，2]时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合A ，B ，设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0；（2）01k ≤≤.【解析】（1）依题意得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去，0m ∴=.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1x ∈，2)时，()[1f x ∈，4)，即[1A =，4)，当[1x ∈，2)时，()[2g x k ∈-，4)k -，即[2B k =-，4)k -，若命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩， 解得：01k ≤≤.15．已知m 是整数，幂函数()22m m f x x -++=在[)0,+∞上是单调递增函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)作出函数()()1g x f x =-的大致图象；(3)写出()g x 的单调区间，并用定义法证明()g x 在区间[)1,+∞上的单调性.【答案】(1)()2f x x =；(2)图象见解析；(3)减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞，证明见解析.【解析】(1)由题意可知，220m m -++>，即12m -<<因为m 是整数，所以0m =或1m =，当0m =时，()2f x x =，当1m =时，()2f x x =综上所述，幂函数()f x 的解析式为()2f x x =.(2) 由(1)可知()2f x x =，则()21g x x =-函数()g x 的图象，如图所示：(3)由(2)可知，减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞当[)1,x ∈+∞时，()2211g x x x =-=-，设任意的1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->则()()()()()()2222121212121211g x g x x x x x x x x x -=---=-=-+又1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->∴()()120g x g x ->即()g x 在区间[)1,+∞上单调递增.。
专题 幂函数(基础)(解析版)
专题3.5 幂函数知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考如何判断一个函数是幂函数？知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y ＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义R R R[0，＋∞){x|x≠0}域值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．幂函数的概念 幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．【例1】现有下列函数：①3y x =；②1()2x y =；③24y x =；④51y x =+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦(1)xy a a =>，其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数，∴①3y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件；而②1()2xy =、⑦(1)xy aa =>是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③24y x =、④51y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为2，故选：B ．【变式训练1】在函数①1y x=，②33y x =，③21y x =+，④1y =，⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的是( ) A ．①②④⑤ B ．①⑤⑥ C ．①②⑥ D ．①②④⑤⑥【解答】解：根据幂函数的定义，在函数①11y x x-==，②33y x =，③21y x =+，④1y =，⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的有①⑤⑥， 故选：B ． 【例2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则(α=)A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，42α∴=，2α∴=， 故选：D ．【变式训练1】幂函数()a f x x =的图像过点(2,4)，且()16f m =，则实数m 的值为( ) A ．4或12B ．2±C ．4±D ．14或2【解答】解：幂函数()af x x =的图像过点(2,4)，24a∴=，2a ∴=，即2()f x x =．2()16f m m ==，则实数4m =±，故选：C ．【变式训练2】已知幂函数()(,)f x k x k R R αα=⋅∈∈的图象经过点1(4,)2，则(k α+= )A ．12B ．1C ．32D ．2【解答】解：幂函数()(,)f x k x k R R αα=⋅∈∈的图象经过点1(4,)2，∴1142k α=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1k =，12α=-，11122k α∴+=-=． 故选：A ．幂函数的图象及应用 (1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象． (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例3】幂函数1y x -=及直线y x =，1y =，1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），则幂函数12y x =的图象经过的“卦限”是()A ．①，⑦B ．④，⑧C ．③，⑦D ．①，⑤【解答】解：取12x =得，12112()(0,1)22y ==，故在第⑤卦限；再取2x =得，1222(1,2)y ==，故在第①卦限，故选：D ．【变式训练1】如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．58y x =【解答】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数(0,1)α∈， 故选：D ．【变式训练2】幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则幂函数()y f x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：设幂函数的解析式为ay x =， 幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，24a ∴=，解得12a =∴y x=，其定义域为[0，)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项． 故选：C ．【变式训练3】函数y x =，2y x =和1y x=的图象如图所示，有下列四个说法：①如果21a a a>>，那么01a <<；②如果21aa a>>，那么1a >； ③如果21aa a>>，那么10a -<<；④如果21aa a>>时，那么1a <-． 其中正确的是( )A ．①④B ．①C ．①②D ．①③④【解答】解：易知函数y x =，2y x =和1y x=的图象交点坐标为(1,1)， 函数y x =与1y x=的图象还有一个交点(1,1)--，当三个函数的图象依1y x=，y x =，2y x =次序呈上下关系时，01x <<，故①正确，当三个函数的图象依2y x =，y x =，1y x=次序呈上下关系时，10x -<<或1x >，故②错误，由于三个函数的图象没有出现1y x=，2y x =，y x =次序的上下关系，故③错误，当三个函数的图象依2y x =，1y x=，y x =次序呈上下关系时，1x <-，故④正确，所以正确的有①④， 故选：A ．【例4】已知幂函数21()(3)m f x m x -=-在(0,)+∞内是单调递减函数，则实数m =2-．【解答】解：由题意得，23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-．【变式训练1】已知幂函数2()(57)m f x mm x =-+是R 上的增函数，则m 的值为 3 ． 【解答】解：函数2()(57)m f x m m x =-+是幂函数，则2571m m -+=，即2560mm -+=，解得2m =或3m =；当2m =时，2()f x x =不是R 上的增函数，不满足题意；当3m =时，3()f x x =是R 上的增函数，满足题意．则m 的值为3 故答案为：3 【变式训练2】幂函数2225()(5)mm f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则f （3）(= ) A ．27B ．9C ．19D ．127【解答】解：幂函数2225()(5)mm f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，∴225125m m m m ⎧+-=⎨+-⎩是正数， 解得2m =，3()f x x ∴=， f∴（3）3327==．故选：A ．【变式训练3】若幂函数21()(5)m f x m m x -=+-在(0,)+∞上单调递减，则(m = ) A ．3-或2B ．2C ．3-D ．2-【解答】解：幂函数21()(5)m f x mm x -=+-在(0,)+∞上单调递减，∴25110m m m ⎧+-=⎨-<⎩，解得3m =-， 故选：C ．比较幂值的大小 比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．【例5】若2222555511(2),3,(),()23a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a b c d >>>B ．b a d c >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>【解答】解：2222555511(2),3,(),()23a b c d ====，函数25y x =是(0,)+∞上的增函数，113223>>>，b a c d ∴>>>， 故选：C ．【变式训练1】已知2525()24a =，501.02b =，1001.01c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解答】解：2525()24a =，502251.02(1.02)b ==，1004251.01(1.01)c ==， 251.04124≈，21.02 1.0404=，41.01 1.0406≈， 函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，b c a ∴<<．故选：B ．【变式训练2】若120.5a =，130.5b =，140.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>【解答】解：构造函数()0.5xf x =，因为函数()0.5xf x =，为单调递减函数． 且111234>>，所以111()()()234f f f <<，即1113240.50.50.5<<， 所以a b c <<． 故选：B ．【变式训练3】三个数20.3a =，0.31.9b =，0.32c =之间的大小关系是( ) A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：幂函数0.3y x =在(0,)+∞上为增函数，0.30.302 1.9 1.9∴>>，即1c b >>， 200.30.31a =<=， c b a ∴>>，故选：B ．幂函数综合问题 【例6】已知幂函数22()(317)m f x m m x -=--的图象关于y 轴对称．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数2()(2)43g x f x x=-+在[1-，2]上的值域． 【解答】解：（1）因为22()(317)m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-．又()f x 的图象关于y 轴对称，所以6m =， 故4()f x x =．（2）由（1）可知，4222222111()164316()4316()84g x x x x x x =-+=-+=-+．因为[1x ∈-，2]，所以2[0x∈，4]，所以221111116()[,243]844x -+∈．故()g x 在[1-，2]上的值域为11[,243]4． 【变式训练1】已知幂函数2()(33)m f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，集合{|131}A x a x a =-<+．（1）求m 的值； （2）当2[x ∈时，()f x 的值域为集合B ，若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由幂函数2()(33)m f x m m x =-+，可知2331mm -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，()f x x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，2()f x x =的图象关于y 轴对称，满足条件，因此，2m =．（2）当[1x ∈-，2]时，()f x 的值域为1[,4]2，则集合1[,4]2B =，由题意知BA ，得131112314a a a a -<+⎧⎪⎪-<⎨⎪+⎪⎩，解得1a ，所以a 的取值范围为[1，)+∞． 【变式训练2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->-，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，∴(2)2α=，2α∴=，2()f x x ∴=．（Ⅱ）函数2()f x x =为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，且满足()(||)f x f x =，∴不等式(2)(1)f a f a ->-可化为(|2|)(|1|)f a f a ->-，|2||1|a a ∴->-，两边平方得22(2)(1)a a ->-，解得32a <，即实数a 的取值范围为3(,)2-∞．1．若函数2()(1)m f x mm x =--为幂函数，则实数(m = )A ．2B ．1-C ．1-或2D ．3【解答】解：函数2()(1)m f x m m x =--为幂函数，211m m ∴--=，求得1m =-或2， 故选：C ．2．现有下列函数：①3y x =；②1()2xy =；③24y x =；④51y x=+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦(1)xy aa =>，其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数，∴①3y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件；而②1()2xy =、⑦(1)xy aa =>是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③24y x =、④51y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为2， 故选：B ． 3．若函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值是( )A ．1或2-B ．1-C ．2D ．1-或2【解答】解：幂函数的系数为1，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-． 故选：D ．4．设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为( ) A ．1或2或0 B ．1或2或3 C ．1或2或3或4D ．0或1或2或3【解答】解：取13()f x x =，3()g x x =，由133xx =可得0x =或1x =或1x =-，故()y f x =和()y g x =是有3个交点， 取12()f x x =，3()g x x =，由132xx =可得0x =或1x =，故()y f x =和()y g x =是有2个交点， 取2()f x x -=，3()g x x =，由23xx -=可得1x =，故()y f x =和()y g x =是有1个交点，任意幂函数的图像必过(1.1)点，即()y f x =和()y g x =至少有1个交点，任意两个幂函数的图像不可能有4个交点，故()y f x =和()y g x =交点个数为1或2或3， 故选：B ．5．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,8)，则(3)f -的值为( ) A ．27B ．27-C ．127D ．127-【解答】解：设幂函数()f x 的解析式为()y f x x α==，R α∈， 因为()f x 的图象过点(2,8)， 所以28α=，解得3α=， 所以3()f x x =，所以3(3)(3)27f -=-=-．故选：B ．6．如图所示的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象．已知n 分别取1-，1，12，2四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的n 依次为( )A ．2，1，12，1-B ．2，1-，1，12C ．12，1，2，1-D ．1-，1，2，12【解答】解：根据幂函数ny x =在第一象限内的图象，已知n 分别取1-，1，12，2四个值，在图象中，做出直线2x =，根据直线2x =和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的n 依次为：2，1，12，1-，故选：A ．7．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x mm m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于( ) A ．12±B ．2C ．2D ．2±【解答】解：函数1()(21)a g x a x +=-是幂函数，211a ∴-=，解得1a =，2()g x x ∴=；令0x b -=，解得x b =，∴函数1()2x bf x m-=-的图象经过定点1(,)2b ，212b ∴=，解得2b =．故选：B ．8．函数23()f x x =的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【解答】解：函数()f x 的定义域是实数集合，关于原点对称，2233()()()f x x x f x -=-==，是偶函数，∴函数()f x 图象关于原点y 轴对称，故选：A ．9．已知对数函数log(0,1)ay x a a =>≠的图象经过点(3,1)P -，则幂函数ay x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：对数函数log(0,1)ay x a a =>≠的图象经过点(3,1)P -，1log 3a ∴-=，13a ∴=，故幂函数3a y x x ==D 所示，故选：D．10．写出一个同时满足下列性质的幂函数2()f x x-=．①偶函数；②在(,0)-∞上递增．【解答】解：根据幂函数()f x xα=是偶函数，且在(,0)-∞上递增，可以写出2()f x x-=．故答案为：2()f x x-=．11．函数21()(5)mf x m m x+=--是幂函数，且为偶函数，则实数m的值是．【解答】解：由函数21()(5)mf x m m x+=--是幂函数，得251m m--=，即260m m--=，解得2m=-或3m=；又()f x为偶函数，即1m+为偶数，所以实数m的值是3．故答案为：3．12．幂函数2225()(5)m mf x m m x+-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则f（3）(=)A．27B．9C．19D．127【解答】解：幂函数2225()(5)m mf x m m x+-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，∴225125m mm m⎧+-=⎨+-⎩是正数，解得2m =，3()f x x ∴=， f∴（3）3327==．故选：A ．13．函数()af x x =的图象经过点1(3，9)，则f （9）的值为( )A ．13B ．3C ．181D ．81【解答】解：函数()af x x =的图象经过点1(3，9)，∴1()93a=，2a ∴=-， 则f （9）21981-==， 故选：C ．14．已知幂函数22()(317)m f x mm x -=--的图象关于y 轴对称．（1）求()f x 的解析式； （2）求函数2()(2)43g x f x x=-+在[1-，2]上的值域． 【解答】解：（1）因为22()(317)m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-．又()f x 的图象关于y 轴对称，所以6m =， 故4()f x x =．（2）由（1）可知，4222222111()164316()4316()84g x x x x x x =-+=-+=-+．因为[1x ∈-，2]，所以2[0x∈，4]，所以221111116()[,243]844x -+∈．故()g x 在[1-，2]上的值域为11[,243]4． 15．已知函数2255(32)aa y aa x -+=-+．（1）a 为何值时此函数为幂函数？（2）a 为何值时此函数为正比例函数？ （3）a 为何值时此函数为反比例函数． 【解答】解：（1）由于函数2255(32)aa y a a x -+=-+，故当2321aa -+=，即35a +=，或35a -=时，函数为幂函数．（2）当22320551a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，即4a =时，此函数为正比例函数．（3）当22320551a a a a ⎧-+≠⎨-+=-⎩，即3a =时，此函数为反比例函数．16．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->-，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，∴(2)2α=，2α∴=，2()f x x ∴=．（Ⅱ）函数2()f x x =为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，且满足()(||)f x f x =，∴不等式(2)(1)f a f a ->-可化为(|2|)(|1|)f a f a ->-，|2||1|a a ∴->-，两边平方得22(2)(1)a a ->-，解得32a <，即实数a 的取值范围为3(,)2-∞．。