高考数学压轴专题最新备战高考《矩阵与变换》知识点

《矩阵与变换》知识点汇总(1)

一、15

1．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c

c b a a c b .

（1）求字母b 的代数余子式的展开式；

（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】

（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()

()

()

2

4

6

111b a b c b a c b

a b

c b

-+-+-即可求解；

（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】

（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c

c b a a c b ，

所以字母b 的代数余子式的展开式为：

()

()

()

2

4

6

111b a b c b a c b

a b

c b

-+-+-

222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-

（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b

=， 由正弦定理：sin sin c C b B

= 所以

sin sin c C b c b B a b

-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】

此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.

2．用行列式解方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪

-+=-⎨⎪-=⎩

，并加以讨论.

【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪

⎪

=⎨+⎪

⎪=⎪+⎩

；

当5

2

a =-

时，方程组无解； 当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪

=+∈⎨⎪=⎩

【解析】 【分析】

分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】

()()21312

2510

1

D a a a a

-=-=-+--，()()113

32

11111

x D a a a a

--=--=-+-，()21313

210

1

1

y D a a --=-=---，()211123510

1

z D a a

-=--=-

当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪

⎪

=⎨+⎪

⎪=⎪+⎩；

当5

2a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧

⎪+-=-⎪

⎪--=-⎨⎪

⎪---=⎪⎩

，方程组无解；

当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪

-+=-⎨⎪-=⎩

，

方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪

=+∈⎨⎪=⎩

【点睛】

本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.

3．关于ϕ的矩阵()cos sin sin cos A ϕϕϕϕϕ-⎛

⎫=

⎪⎝⎭

，列向量

12x X x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭. （1）已知11x =，23x =，45ϕ=︒，计算()A X ϕ，并指出该算式表示的意义； （2）把反比例函数1xy =的图象绕坐标原点逆时针旋转45︒，求得到曲线的方程；

（3）已知数列1

2

n n a =

，n *∈N ，猜想并计算()()()12n A a A a A a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 【答案】（1

）⎛

⎝，表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；（2）22

122y x -=； （3）cos1sin1sin1cos1-⎛⎫

⎪⎝⎭.

【解析】 【分析】

（1）根据向量与矩阵的乘法可计算结果，由旋转变换的运算法则即可得到算式表示的意义；

（2

）由题意，得旋转变换矩阵cos sin

4

422sin cos 4

4A ππππ⎛⎛⎫--

⎪⎪

==

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭

，设xy =1上的任意点(

)

,P x y '

''

在变换矩阵A 作用下为(,)P x y ，确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程；

（3）分别求出n =1，n =2，n =3时矩阵相乘的结果，由此猜想算式关于n 的表达式，从而可求得所求算式的结果. 【详解】

（1）(

)cos sin 114

433sin cos 4

4A X ππϕππ⎛⎫

- ⎪⎛⎛⎫⎛⎫⎪===

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎪⎝⎭⎭

， 该算式表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；