《最短路径问题探究》教案
最短路径问题学案教案
最短路径问题【目标导航】1.理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”. “饮马问题”，“造桥选址问题”.考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.2.解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理.这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用. 【合作探究】探究一：（1）如图1，一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，直线l 是一条河，A 、B 是两个村庄，欲在l 上的某处修建一个水泵站M ，向A 、B 两地供水，要使所需管道M A +M B 的长度最短，在图中标出M 点．（3）如图3，在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段C D 表示．试问：桥C D 建在何处，才能使A 到B 的路程最短呢？请在图中画出桥C D 的位置．画出示意图，并用平移的原理说明理由．变式1．在边长为2㎝的正方形ABC D 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝．变式2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为__________第2题 第3题 第4题 变式3.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为_________变式4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是A D 和AB 上的动点，则B M+MN 的最小值是____．变式5．一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，则PC ＋PD 的最小值________，此时P 点的坐标为________． 探究二：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线.A DE P BC 第5题O x y B D A C P变式1.如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 坐标为A （-1，3），B （-4，2），设M ，N 分别为x 轴，y 轴上一动点，问是否存在这样的点M （m ，0），N （0，n ）使四边形AB MN 的周长最短？并求m ，n 的值．第1题 第2题 第3题 第4题变式2.如图，在△ABC 中，D 、E 为边AC 上的两个点，试在AB ，BC 上各取一个点M ，N ，使四边形DMNE 的周长最短．变式3.如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，-3），B （4，-1）．若C （a ，0），D （a +3，0）是x 轴上的两个动点，则当a = 时，四边形AB D C 的周长最短． 变式4.如图，抛物线23212--=x x y 与直线y=x -2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为 ． 探究三：1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B 是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸．第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 2.如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽A D 平行且大于A D ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）3.如图所示，是一个圆柱体，A BCD 是它的一个横截面，A B=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为 ．4.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 ．5.有一长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为 ．6.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程是 ．y O x P D B (40)A ， (02)C ，【课后练习】1.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．2.如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax 2上．（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标； （2）平移抛物线y=ax 2，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C （-2，0）和点D （-4，0）是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′C D 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．3. 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ，已知AB=5，DE =1，BD =8，设CD=x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式224(12)9x x ++-+的最小值．小结：上式中，原式=22222(12)3x x ++-+，而22a b +的几何意义是以a 、b 为直角边的直角三角形斜边长．【拓展提升】 1．阅读材料： 例：说明代数式221+(3)4x x +-+的几何意义，并求它的最小值．解：2222221+(3)4(0)1+(3)2x x x x +-+=-+-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则22(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度 之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则PA=PA ′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA ′+PB 的最小值，而点A ′、B 间的直线段距离最短，所以PA ′+PB 的最小值为线段A ′B 的长度．为此，构造直角三角形A ′CB ，因为A ′C =3，CB =3，所以A ′B =32，即原式的最小值为32． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式22(1)1+(2)9x x -+-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点 A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标） （2）代数式2249+1237x x x +-+的最小值为 ．2.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标； (2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．4 x2 2A8 -2 O-2 -4 y 6 B C D -44((2)①图)4 x2 2 A ′8-2 O -2 -4 y 6 B ′ CD -4 4 A ′′((2)②图)4 x2 2 A ′8 -2 O-2 -4 y6 B ′ C D -4 4 A ′′B ′′。
八年级数学上册---《最短路径问题》课堂设计
八年级数学上册---《最短路径问题》课堂设计最短路径问题（第一课时） 在我们的学习生活中，接触过很多“最值问题”：最多最少，最长最短。
思考以下两个问题：复习1：如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：路线2最短，因为两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短 复习2：点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC 最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
设计意图：复习“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，为最短路径问题做好铺垫。
通过识别，也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。
lC PA B D教师：刚刚的两个问题都是识别最短路径，接下来，我们尝试通过画图，找到最短路径。
引例1：如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。
教师：（1）点C是直线l上的一个动点。
我们不妨先画一个一般的点C，连接CA，CB，我们的目标：找到一个点C，使得CA+CB最小。
（2）观察几何画板的演示：当C在运动的过程中，线段CA，CB也在移动，观察：什么时候线段和最短？（3）同学们可以观察到：当C是线段AB和l的交点，即ACB共线时，CA+CB 最短。
依据是：两点之间，线段最短。
作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求。
总结：从一般的点C出发，从运动变化的角度观察图形，并用到“两点之间，线段最短”解决问题。
教师：接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“牧马人饮马问题”。
例1：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？BAl练习：有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B 的路径在地面上爬行。
小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处。
问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题教案
其次，在新课讲授环节，我发现学生们对轴对称性质的理解较为扎实，但在将其应用于最短路径问题的求解过程中，部分学生还是显得有些吃力。针对这一点，我在讲解过程中尽量放慢速度，通过详细的步骤解析和直观的图形演示，帮助他们理解。在之后的课堂中，我还需要加强对学生的个别辅导，确保他们能够真正掌握这一知识点。
（2）确定最短路径问题中的对称轴：在实际问题中，确定对称轴可能较为困难，尤其是当问题涉及多个线段或点时。
难点解析：通过具体例子，展示如何寻找和确定线段、点到线段的最短路径问题中的对称轴。
（3）计算最短路径长度的方法：在确定对称轴和对称点后，如何进行有效计算，避免复杂和繁琐的步骤。
难点解析：教授学生运用几何图形的直观和代数计算相结合的方法，简化计算过程，如利用勾股定理等。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了轴对称的基本概念、最短路径问题的求解方法及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了人教版数学八年级上册13.4节“最短路径问题”。这节课让我感受到了学生们对几何问题的热情，也让我意识到了一些教学中的亮点和需要改进的地方。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成最短路径问题的求解，提高学生的沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）轴对称图形的性质及其应用：轴对称图形的对称轴、对称点等基本概念，以及如何利用这些性质解决最短路径问题。
最短路径问题教案
最短路径问题教案一、前置知识在学习最短路径问题之前，需要掌握以下基础知识：1.图的基本概念：顶点、边、度、路径、连通性等。
2.图的存储方式：邻接矩阵、邻接表等。
3.图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等。
4.基本的算法思想：贪心、分治、动态规划等。
二、最短路径问题最短路径问题是指在一个加权图中，找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
其中，加权图是指每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。
最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是许多实际问题的基础。
例如，在计算机网络中，路由器需要找到从源节点到目标节点的最短路径，以便将数据包传输到目标节点。
最短路径问题可以分为两类：单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径单源最短路径是指从一个固定的源节点出发，到达图中其他所有节点的最短路径。
常见的算法有：•Dijkstra算法•Bellman-Ford算法•SPFA算法1.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次选择距离源节点最近的一个节点，然后以该节点为中心进行扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法的具体步骤如下：1.初始化：将源节点到所有节点的距离初始化为无穷大，源节点到自身的距离为0。
2.选择：从未确定最短路径的节点中，选择距离源节点最近的节点。
3.更新：对于该节点的所有邻居节点，更新它们到源节点的距离。
4.标记：将该节点标记为已确定最短路径。
5.重复：重复步骤2~4，直到所有节点都被标记为已确定最短路径，或者无法到达终点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。
如果使用堆优化，可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为边数。
1.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次对所有边进行松弛操作，即尝试通过当前节点更新其他节点的距离，直到所有节点的距离都不再更新。
《最短路径问题探究》教案
最短路径问题探究一、教材分析与学情分析1．教材分析（1）教学内容《最短路径问题探究》是九年级下为让学生能灵活的运用对称、平移解决近几年中考中常见的最短路径问题而设置的一节专题课．初中三年，孩子们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，自主探究能力较差，不善于思考。
所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，帮助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课（2）地位和作用近几年各地中考均有最短路径问题的考试，为让学生能熟练解决该类问题，本节课在已有平移、对称知识的基础上，引导学生探究如何运用平移、对称解决最短路径问题。
它既是平移、对称知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用.2．学情分析（1）已有基础知识与生活经验分析学生已掌握对称、平移、勾股定理等知识，但综合运用能力还较差。
加之来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦．对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。
所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提高学习能力的目的.（2）学生起点能力分析学生已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性．综合运用能力较差，学习死，不能做到学习与研究相结合.二、教学目标：依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标：●知识与技能目标1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题2、学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题●方法与过程目标1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯．2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力●情感与态度目标1、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯2、鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情．3、通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会学习思考的积极作用，感受思考带给我们的好处，引导学生要积极思考，善于思考，渗透德育教育三、教学重、难点分析●教学重点：1、运用线段公理、勾股定理、平移、对称解决实际问题．2、学会从知识内容中提炼出数学思想或方法，学会归纳总结，初步学会思考．●教学难点：1、勾股定理、线段公理、平移、对称、转化的灵活运用和提升，2、提高思维的有效性．●突出重点、突破难点的方法与策略：（1）突出重点的方法：通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点（2）突破难点的方法：充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、动手实践、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点．勾股定理、线段公理、平移、对称的灵活运用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升，层层深入，逐一突破难点．以达到突破难点的目的四、教学方法的选择与应用根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用本节课采用“引导—探究—发现”的教学模式，引导学生在探究活动中认识到良好学习方法的重要性．教师的教法突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台；学生的学法突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取本节课的知识与方法．五、教学准备：多媒体课件，三角板，直尺，铅笔六、教学过程：（一）让学生观看一组动画，并谈谈看了动画之后自己的感想，引入课题（二）本节课的教学结构如下图（三）例题教学立体图形中最短路径问题探究1、正方体（基础复习）案例1、如图边长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A到B需要爬行的最短路程是多少厘米？设计说明：在解答简单问题时，人的思路是清晰的，合乎逻辑且有效的，所以通过本题让学生体会研究问题的方法，从而掌握方法并能运用到较难题目中去．2、长方体（加深、提高、提升）案例二、（思维拓展一）如果盒子换成如图长为3cm，宽为1cm，高为2cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少厘米？设计说明：通过本变式练习，培养学生思维的灵活性；引导学生学会归纳总结，以达到解一题从而解决一类问题的目的，提高学习效率，减轻学习负担从上面例题及拓展1中，你能找出求几何体表面上相对两点的最短路程的规律吗？引导学生思考，并归纳出重要结论：知道长方体的长a、宽b、高c，且a b c<<，则长方体表面上相对两点A、B之间的3、中考研究、综合运用（1）案例三（2008年吉林）思维拓展二、如图是一个由若干个边长为1的小正方体摆放成的长方体，试问在A处的蚂蚁要吃到放在B处的食物，最短需要爬行的路程是多长？若事物在C处或者是D处呢？BABCA●●●D●设计说明：运用上面归纳总结出来的结论解决问题，让学生体验积极思考、归纳总结的乐趣和成功感，感受快乐，同时也训练学生的变式思维能力 （2）让学生归纳题型，总结方法 （3）中考题展示中考展示一：2009年乐山8．如图（1），一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）AB． C． D ．3中考展示二：2009年江苏宿迁某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．平面图形中最短路径问题探究一、例题研究案例一（2折线问题）、一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，点A 、B 到河边的距离分别是70m 和50m ，且C D 的距离为50m ，天黑前，牧童要从A 处到河边让马饮水，然后再回家，请问牧童该怎样走路程才最短？设计说明：回顾复习线段公理，并能运用线段公理和勾股定理解决实际问题引导学生提出一个运用该原理解决的问题，引发思考，进行思维能力培养案例二、（3折线问题） 如图，A （2，－3），B （4，－1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB 的周长最短；设计说明：（1）简单变式：帮助学生灵活运用对称原理解决实际问题， （2）再次引导学生提问，提升思维的层次案例三、（4折线问题）A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这B图（1）中考展示二 ·A·B xyoA样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。
《最短路径问题》示范教学方案
第十三章轴对称13.4课题学习《最短路径问题》一、教学目标让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．二、教学重点及难点重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题．三、教学用具电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺四、相关资源微课，动画，图片.五、教学过程（一）引言导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向．（二）探究新知问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？此图片是动画缩略图，本动画资源探索了将军饮马问题实际上就是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】最短路径问题.1．将实际问题抽象为数学问题学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．（1）把A，B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．2．解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．3．证明“最短”师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离都大于AC＋BC，就说明AC ＋BC最小．问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）此图片是动画缩略图，本动画资源探索了造桥选址问题，造桥选址问题实际上是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】造桥选址问题.1．将实际问题抽象为数学问题把河的两岸看成两条平行线a和b（下图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？2．解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N ＋NB最小？（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．3．证明“最小”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．你能完成这个证明吗？证明：如图，在△A′N′B中，∵A′B＜A′N′＋BN′，∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．即AM＋MN＋BN最小．设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学生探究问题的信心，让学生通过轴对称、平移变换把复杂问题进行转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值．六、课堂小结1．运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．2．利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值．本图片资源总结归纳了两点在直线同侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线同侧.本图片资源总结归纳了两点在直线异侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线异侧.七、板书设计13.4 最短路径问题运用轴对称解决距离最短问题利用平移确定最短路径选址。
八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。
最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。
教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
3.感悟转化思想。
过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。
；2.渗透数学建模的思想。
情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。
充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。
从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。
以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。
二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
1.设计练习题：根据教学目标和重难点，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.独立完成：学生独立完成练习题，提高解决问题的能力。
3.教师指导：针对学生做题过程中遇到的问题，给予个别指导，帮助学生掌握解题方法。
4.评价与反馈：对学生的练习成果进行评价，及时反馈，促使学生改进和提高。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的基本概念，了解其在现实生活中的应用，如地图导航、网络路由等。
2.学会使用数学方法求解最短路径问题，包括但不限于：欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等。
3.能够运用所学的最短路径算法解决实际问题，并能够根据问题背景选择合适的算法。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课所学的最短路径问题、欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等知识点进行回顾和总结。
2.学生分享：邀请学生分享自己在学习过程中的收获和感悟，提高学生的表达能力。
3.教师点评：针对学生的分享，给予积极的评价和引导学生认识到数学在解决实际问题中的价值，培养他们勇于探索、积极思考的精神，以及团队合作、尊重他人的品质。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.最短路径问题的基本概念及其在实际中的应用。
2.欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等最短路径求解方法。
3.将实际问题转化为数学模型的能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
（二）教学难点
1.理解并掌握最短路径算法的原理和步骤。
2.将算法应用于解决实际问题，进行数学建模。
4.掌握最短路径问题的数学表达和建模方法，能够将实际问题转化为数学模型。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下过程与方法：
初中数学八年级上册《最短路径问题》教案、教学设计
初中数学八年级上册《最短路径问题》教案、教学设计模板一、教学目标1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想。
2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
二、教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图一、创设情景引入课题师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．。
（板书）课题学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识。
从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望。
二、自主探究合作交流建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．动手画直线为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）。
观察口答动手连线观察口答独立思考合作交流能力.经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.达到轴对称知识的学以致用lAB ′CB强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题2：如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？B。
初中数学_《最短路径问题》教学设计学情分析教材分析课后反思
《最短路径问题》教学设计一、教学目标（一）知识与技能：能利用轴对称等图形变换，依据“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”解决最短路径问题．（二）过程与方法：在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，获得解决最短路径问题的基本思路及经验．（三）情感态度与价值观：体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，在实际问题中迁移使用所获得的基本经验，深入领会其应用价值．二、教学重点和难点（一）教学重点：用轴对称变换以及平移解决实际问题中的最短路径问题．（二）教学难点：学生发现确定最短路径的“路径向导点”.三、教学方法和策略采用“实验—猜测—验证—应用”的教学线索，以学生的知识建构和认识发现为主轴，把线索发现的主动权和问题解决的个性化还给学生．充分利用网络多媒体教学环境和几何画板，制作学生可以动手操作体验的多媒体课件，把抽象的数学理论形象化，学生利用课件创建的图形去发现规律，验证思路，得出结论．让数学学习过程可视化、可操作化并增加互动性．四、教学过程题.二、观看视频，激发兴趣用教师机向学生机广播视频.视频内容1：虫洞(Wormhole)，又称爱因斯坦-罗森桥.视频内容2：朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．三、分发课件，自主探究【课件引入】“最短路径的选择-看图思考”预设问题：问题：在不同的情景中，怎么合理选择路径呢？【发现】折线路径或立体路径 两点之间，线段最短.【活动1】“读历史故事，智闯六关之第一关”官渡之战，是东汉末年“三大战役”之一，也是中国历史上著名的以弱胜强的战役之一.建安五年（200年），曹操军与袁绍军相持于官渡(今河南中牟东北),在此展开战略决战.曹操奇袭袁军在乌巢的粮仓(今河南封丘西),继而击溃袁军主力.此战奠定了曹操统一中国北方的基础. 在自己的计算机上观看视频.【课件引入】在四幅图片的引领下，学生逐渐发现平面内两点之间的最短路径到立体图形中的最短路径隐含的内在联系.【活动1】学生独立操作：拖动点P，确定点P的位置．意图：引发学生的学习兴趣和思考.融合点：将网络素材与所要学习内容整合，古诗词作为最短路径问题的载体.意图：【课件引入】通过对逐渐递进的四幅图形的思索，培养学生能够用数学的眼光认识生活中现象的能力；将复杂的折线路径或立体路径转化为“两点之间，线段最短”，让学生体验“转化思想”的作用．融合点：取自现实生活中的情景与合理选择路径整合起来，直观形象与抽象思索整合起来.意图：【活动1】通过设置历史背景，将六个问题有机的串联起来，增强趣味本节课以此为背景，设置六关，鼓励学生一一破解. 第一关：曹军先遣队要趁夜色到河对岸的敌军营地营地附近做好埋伏，应该怎样走线路最短？预设问题：先遣队从A，到河对岸敌军营地B，在河流a上求一点P，使得P A+PB最小.预案：如果有的学生不会操作拖动一个点，则及时向学生讲解一下如何拖动点P.【活动2】“智闯六关之第二关”攻占营地后，我军分设马场和营地两个驻扎点，为了给战士和马匹提供饮水，我军计划在河边修建水站，用水渠引水，为了减小挖水渠的工作量，水站应选在何处？预设问题：如图，要在河边修建一个水站，分别向马场A、营地B送水，水站修在河边什么地方可使所挖的水渠最短?预案：如有必要，须向学生讲一下按钮的先后顺序.【活动3】“智闯六关之第三关”为巩固战果，我军修建了两条防御工事，交成一个角，并在它的内部建了弹药库，为了提高运送效率，准备修两【活动2】学生动手操作，在感受图形变化的同时，可以借助表格，定量分析当点C运动过程中AC+BC的值由小到大或由大到小的变化过程，当点C到合适的位置时，AC+BC的值最小.【活动3】学生可以用鼠性，调动学生探究的积极性，在本环节，只是简单拖动一个点，“两点位于一条直线异侧”，很容易将所要确定的点与“两点之间，线段最短”确立联系，本活动每位学生均可无困难的完成．融合点：历史故事+直观图形+抽象的“两点一线”模型结合起来.意图：【活动2】通过使用表格工具，让学生体会定量分析的作用，借助几何画板的动态演示功能，学生可以方便的找到点C，培养学生由数到形的数学思想以及转化的能力．在实验探究的过程中验证所学知识，发展学生的空间想象力.融合点：直观的辅助图形+准确的表格测量数据和空间想象结合.意图：【活动3】条通道从弹药库分别通往工事，应如何设计？预设问题：如图，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点D、E，使△ADE周长最小.【活动4】“智闯六关之第四关”侦察兵申请在防御工事内各修建一个瞭望塔，并规划好士兵侦查路线，即从兵营出发，先去往1号瞭望塔，再去2号瞭望塔侦察，侦查完毕去将军营汇报侦察结果.要怎样设计两个瞭望塔的位置，才能使士兵走的路最短？预设问题：在∠MON内有两点A、B，现在从点A先到射线OM 上点C，再到射线ON上点D，最后到达点B，请问最短距离如何确定？【活动5】“智闯六关之第五关”由于敌军近日反抗较强烈，我军需做好撤退计划，为了使战士快速全部撤回原河内营地，需在河上修建桥梁，桥梁应如何选址，才能使战士走的路程最短？标选中D、E中的一个点拖动或两个点同时拖动，感受图形变化引发的数量变化，如果借助表格无法正确确定D、E的位置，则需按“显示辅助线段”和“显示四边形”按钮，当两个四边形都消失的时候，点D、E运动到合适的位置，AD+EA+DE的值最小.【活动4】学生在上一个活动中得到的经验若还不能帮助他们正确找到“两个定点和两个动点在两条射线上运动”这一模型下的点D、E运动到的位置，则发挥小组合作的作用，再由老师引导启发，从而得出AC+CD+DB的值最小.【活动5】通过使用辅助的“显示/隐藏四边形”按钮，让学生体会四点共线时，线段最短.学生如果之前没有学过本题内容，确定点D、E的位置不会很轻松，需要胆大心细，仔细操作、观察、总结方可找到正确的位置.融合点：将一个点作两次关于直线的轴对称和两点之间线段最短结合起来.意图：【活动4】在这一过程中让学生进一步体会作法的合理性，提高了学生的逻辑思维能力.老师的引导，小组的合作，再次体现了老师的主导性，学生的主体性.融合点：将复杂背景中的问题与抽象的两个点作两次关于直线的轴对称结合起来.将直觉猜想和验证结合起来.培养学生严谨的思考习惯.意图：【活动5】“造桥选址”问预设问题：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥与河岸垂直）【阶段小结】以上五种情景均为平面内利用轴对称或平移变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”.【活动6】“智闯六关之第六关”为了防止敌人返攻，我军战士乔装后去了敌人后方侦察，发现敌军营内有一底面周长为16m，高5m的圆柱形的弹药库，顶部有个通风孔可以进人，在内壁远离我军方向距顶部1m处有一个凹陷，可用来安放炸药，战士手中有10.5m的引线，该战士想安放炸药后，将引线引至弹药库外靠近我方的地面上，点燃后迅速跑离，请问能否实现？说明：先观察下图中，撤退点、烛龛分别对应哪个点？思考最短路径是一条什么类型的线？然后按顺序①[圆柱侧面展开]，②[显示矩形]，③[向上翻折]，思考问题的答案.四、归纳总结，反思提升同学们总结一下，通过本节课借助几何画板所研究的内容，学生可以用鼠标选中点C拖动，感受CD长度不随其位置的改变而变化，也可借助表格确定C、D的位置.【活动6】学生通过思考将一个实际问题转化为一个数学问题，将一个空间问题转化为平面问题，将一个平面问题转化为解三角形，通过操作3D模型将圆柱侧面展开，从而形象直观得到答案.【归纳总结】题有着非常好的实际背景，情境贴近生活．从求解方法看，平移是问题实现转化中的一个重要策略，联想到平移,其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻理解．同学们值得认真体会和积累．融合点：将平移作图和求最短路径结合起来.意图：【活动6】通过将圆柱侧面展平，把较复杂的最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.融合点：将曲面中的最短路径问题和平面问题的转化结合起来.有何收获和思考？五、巩固练习，适当拓展如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，求这个最小值.六、一试身手，分层检测专题：最短路径问题小测试A卷学生回顾前面的探究过程，小结解决问题的步骤是怎样的？借助了什么知识解决问题的？体现了什么数学思想？打开链接“专题：最短路径小测试A卷”完成基础题.意图：【归纳总结】让学生养成反思的好习惯，积累解决问题的方法，再次体会转化的数学思想.意图：通过“问卷星”分层检测，实时打分，可以及时反馈学生的掌握程度.融合点：将网络教学环境与满足不同学生发展的需求整合起来.意图：基础题是最短路径问题的简单应用，帮助学生巩固基础.A DEPB C专题：最短路径问题小测试B卷1.在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．打开链接“专题：最短路径小测试B卷”完成提高题. 意图：提高题是“最短路径问题”的升华，考查学有余力的同学掌握情况，并且在课件中有B卷配图，可以帮助有困难的学生借助动态图形降低难度.七、布置作业（基础必做题）做完课上没有完成的：专题：最短路径问题小测试B卷（提高选做题）1.搜集最短路径问题的其他经典题目，并整理在笔记本上.2.阅读“平面几何中的费马问题和费马点”，并与同学们交流. 学生课后完成作业，其中的提高选作题可预留一周时间完成. 意图：为了有效地对学生的学习情况进行反馈，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我对作业进行分层布置，分为基础必做题和提高选作题.融合点：搜集其他经典题目的过程和学生用数学整合起来，让学生掌握的能力可以解决最短路径问题.费马点问题和本节课没讲到的旋转变换整合起来，训练了学生寻找问题结论的发散思维.学情分析（一）教学对象分析：最短路径问题从本质上说是最值问题，初二的学生对这类问题比较陌生，经验不足，特别是对于具有实际背景的最值问题，更会无从下手，应让学生牢记两点之间线段最短，从而想到把其中一个点转移到另一侧进行解题．（二）教学环境分析：根据学生理性归纳能力不强的特点，采用几何画板制作成易于学生观察和动手操作的课件，辅助学生验证和增强解决问题的兴趣．运用计算机网络环境授课，方便学生展示、交流和纠错．效果分析本节课的活动设计与评测练习借助多媒体教学环境，有利于教学目标的实现，突出了重点，突破了难点.1.几何画板的软件环境，有利于揭示隐含条件.数学最值问题设计运动、轨迹、存在、最值、任意、不等式等较为抽象复杂的概念，传统方法常常让学生感到力不从心，借助几何画板，使多元抽象关系动态化、直观化，可以促使学生深入理解题意.2.最值求解的过程常常需要建立函数模型，寻求合适的自变量建立函数模型是解题难点．几何画板通过坐标系数形结合、动态直观展示自变量与函数值的内在联系，可有效突破难点．能够抽象出“最短路径问题”数学模型，在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、一般而言，解决最值的思维过程比较隐匿．传统教学较难凸显其思维过程．几何画板不仅能动态展示数学关系的多元联系，而且可以视觉化思维过程．《最短路径问题》教学设计一、教学目标（一）知识与技能：能利用轴对称等图形变换，依据“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”解决最短路径问题．（二）过程与方法：在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，获得解决最短路径问题的基本思路及经验．（三）情感态度与价值观：体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，在实际问题中迁移使用所获得的基本经验，深入领会其应用价值．二、教学重点和难点（一）教学重点：用轴对称变换以及平移解决实际问题中的最短路径问题．（二）教学难点：学生发现确定最短路径的“路径向导点”.三、教学方法和策略采用“实验—猜测—验证—应用”的教学线索，以学生的知识建构和认识发现为主轴，把线索发现的主动权和问题解决的个性化还给学生．充分利用网络多媒体教学环境和几何画板，制作学生可以动手操作体验的多媒体课件，把抽象的数学理论形象化，学生利用课件创建的图形去发现规律，验证思路，得出结论．让数学学习过程可视化、可操作化并增加互动性．四、教学过程视频内容1：虫洞(Wormhole)，又称爱因斯坦-罗森桥.视频内容2：朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．三、分发课件，自主探究【课件引入】“最短路径的选择-看图思考”预设问题：问题：在不同的情景中，怎么合理选择路径呢？【发现】折线路径或立体路径 两点之间，线段最短.【活动1】“读历史故事，智闯六关之第一关”官渡之战，是东汉末年“三大战役”之一，也是中国历史上著名的以弱胜强的战役之一.建安五年（200年），曹操军与袁绍军相持于官渡(今河南中牟东北),在此展开战略决战.曹操奇袭袁军在乌巢的粮仓(今河南封丘西),继而击溃袁军主力.此战奠定了曹操统一中国北方的基础.本节课以此为背景，设置六关，鼓励学生一一破解. 第一关：曹军先遣队要趁夜色到河对岸的敌军营地营地附近做好埋伏，应该怎样走线路最短？机上观看视频.【课件引入】在四幅图片的引领下，学生逐渐发现平面内两点之间的最短路径到立体图形中的最短路径隐含的内在联系.【活动1】学生独立操作：拖动点P，确定点P的位置．的学习兴趣和思考.融合点：将网络素材与所要学习内容整合，古诗词作为最短路径问题的载体.意图：【课件引入】通过对逐渐递进的四幅图形的思索，培养学生能够用数学的眼光认识生活中现象的能力；将复杂的折线路径或立体路径转化为“两点之间，线段最短”，让学生体验“转化思想”的作用．融合点：取自现实生活中的情景与合理选择路径整合起来，直观形象与抽象思索整合起来.意图：【活动1】通过设置历史背景，将六个问题有机的串联起来，增强趣味性，调动学生探究的积极性，在本环节，只是简单拖动一个点，预设问题：先遣队从A，到河对岸敌军营地B，在河流a上求一点P，使得P A+PB最小.预案：如果有的学生不会操作拖动一个点，则及时向学生讲解一下如何拖动点P.【活动2】“智闯六关之第二关”攻占营地后，我军分设马场和营地两个驻扎点，为了给战士和马匹提供饮水，我军计划在河边修建水站，用水渠引水，为了减小挖水渠的工作量，水站应选在何处？预设问题：如图，要在河边修建一个水站，分别向马场A、营地B送水，水站修在河边什么地方可使所挖的水渠最短?预案：如有必要，须向学生讲一下按钮的先后顺序.【活动3】“智闯六关之第三关”为巩固战果，我军修建了两条防御工事，交成一个角，并在它的内部建了弹药库，为了提高运送效率，准备修两条通道从弹药库分别通往工事，应如何设计？【活动2】学生动手操作，在感受图形变化的同时，可以借助表格，定量分析当点C运动过程中AC+BC的值由小到大或由大到小的变化过程，当点C到合适的位置时，AC+BC的值最小.【活动3】学生可以用鼠标选中D、E中的一个点拖动或两个点同时拖动，感受图形“两点位于一条直线异侧”，很容易将所要确定的点与“两点之间，线段最短”确立联系，本活动每位学生均可无困难的完成．融合点：历史故事+直观图形+抽象的“两点一线”模型结合起来.意图：【活动2】通过使用表格工具，让学生体会定量分析的作用，借助几何画板的动态演示功能，学生可以方便的找到点C，培养学生由数到形的数学思想以及转化的能力．在实验探究的过程中验证所学知识，发展学生的空间想象力.融合点：直观的辅助图形+准确的表格测量数据和空间想象结合.意图：【活动3】通过使用辅助的“显示/隐藏四边形”按钮，让学生体会四预设问题：如图，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点D、E，使△ADE周长最小.【活动4】“智闯六关之第四关”侦察兵申请在防御工事内各修建一个瞭望塔，并规划好士兵侦查路线，即从兵营出发，先去往1号瞭望塔，再去2号瞭望塔侦察，侦查完毕去将军营汇报侦察结果.要怎样设计两个瞭望塔的位置，才能使士兵走的路最短？预设问题：在∠MON内有两点A、B，现在从点A先到射线OM 上点C，再到射线ON上点D，最后到达点B，请问最短距离如何确定？【活动5】“智闯六关之第五关”由于敌军近日反抗较强烈，我军需做好撤退计划，为了使战士快速全部撤回原河内营地，需在河上修建桥梁，桥梁应如何选址，才能使战士走的路程最短？变化引发的数量变化，如果借助表格无法正确确定D、E的位置，则需按“显示辅助线段”和“显示四边形”按钮，当两个四边形都消失的时候，点D、E运动到合适的位置，AD+EA+DE的值最小.【活动4】学生在上一个活动中得到的经验若还不能帮助他们正确找到“两个定点和两个动点在两条射线上运动”这一模型下的点D、E运动到的位置，则发挥小组合作的作用，再由老师引导启发，从而得出AC+CD+DB的值最小.【活动5】学生可以用鼠标选中点C拖动，感受CD长度不随其位置点共线时，线段最短.学生如果之前没有学过本题内容，确定点D、E的位置不会很轻松，需要胆大心细，仔细操作、观察、总结方可找到正确的位置.融合点：将一个点作两次关于直线的轴对称和两点之间线段最短结合起来.意图：【活动4】在这一过程中让学生进一步体会作法的合理性，提高了学生的逻辑思维能力.老师的引导，小组的合作，再次体现了老师的主导性，学生的主体性.融合点：将复杂背景中的问题与抽象的两个点作两次关于直线的轴对称结合起来.将直觉猜想和验证结合起来.培养学生严谨的思考习惯.意图：【活动5】“造桥选址”问题有着非常好的实际背景，情境贴近生活．从求解方法看，平预设问题：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥与河岸垂直）【阶段小结】以上五种情景均为平面内利用轴对称或平移变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”.【活动6】“智闯六关之第六关”为了防止敌人返攻，我军战士乔装后去了敌人后方侦察，发现敌军营内有一底面周长为16m，高5m的圆柱形的弹药库，顶部有个通风孔可以进人，在内壁远离我军方向距顶部1m处有一个凹陷，可用来安放炸药，战士手中有10.5m的引线，该战士想安放炸药后，将引线引至弹药库外靠近我方的地面上，点燃后迅速跑离，请问能否实现？说明：先观察下图中，撤退点、烛龛分别对应哪个点？思考最短路径是一条什么类型的线？然后按顺序①[圆柱侧面展开]，②[显示矩形]，③[向上翻折]，思考问题的答案.六、归纳总结，反思提升同学们总结一下，通过本节课借助几何画板所研究的内容，的改变而变化，也可借助表格确定C、D的位置.【活动6】学生通过思考将一个实际问题转化为一个数学问题，将一个空间问题转化为平面问题，将一个平面问题转化为解三角形，通过操作3D模型将圆柱侧面展开，从而形象直观得到答案.【归纳总结】学生回顾前面的探究过程，小结解决问题的移是问题实现转化中的一个重要策略，联想到平移,其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻理解．同学们值得认真体会和积累．融合点：将平移作图和求最短路径结合起来.意图：【活动6】通过将圆柱侧面展平，把较复杂的最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.融合点：将曲面中的最短路径问题和平面问题的转化结合起来.意图：【归纳总结】让学生养成反思的好习惯，积有何收获和思考？七、巩固练习，适当拓展如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，求这个最小值.六、一试身手，分层检测专题：最短路径问题小测试A卷步骤是怎样的？借助了什么知识解决问题的？体现了什么数学思想？打开链接“专题：最短路径小测试A卷”完成基础题.累解决问题的方法，再次体会转化的数学思想.意图：通过“问卷星”分层检测，实时打分，可以及时反馈学生的掌握程度.融合点：将网络教学环境与满足不同学生发展的需求整合起来.意图：基础题是最短路径问题的简单应用，帮助学生巩固基础.A DEPB C专题：最短路径问题小测试B卷1.在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．打开链接“专题：最短路径小测试B卷”完成提高题.意图：提高题是“最短路径问题”的升华，考查学有余力的同学掌握情况，并且在课件中有B卷配图，可以帮助有困难的学生借助动态图形降低难度.。
最短路径教案
最短路径教案第一篇：最短路径教案13.4最短路径问题一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
二、教学目标1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
三、教学重难点重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
四、教学问题诊断最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答“当点AB在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l 上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。
五、教学过程教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什么呢？（学生一起回答）如果用数学知识来解释这种行为，那就是我们曾经学习的“两点之间、线段最短”或“垂线段最短”，我们称这样的问题为最短路径问题（板书课题）现实生活中经常涉及到最短路径问题，这节课我们学习的主要任务就是最短路径问题，并用所学知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
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最短路径问题探究——学会思考提升自我授课人：罗志良一、教材分析与学情分析1．教材分析（1）教学内容《最短路径问题探究》是北师大版八年级上第一章《勾股定理》学习后，为让学生能灵活的运用勾股定理解决最短路径问题而设置的一节专题课．本班模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望．同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，自主探究能力较差，不善于思考。
所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，帮助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课（2）地位和作用本节课是在学习了勾股定理的基础上，引导学生探究如何运用勾股定理解决最短路径问题。
它既是勾股定理知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．2．学情分析（1）已有基础知识与生活经验分析我班学生基础好，自觉性较强，学习努力，但来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦．对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。
所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提高学习能力的目的．（2）学生起点能力分析八（上）的学生，已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性．二、教学目标：依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标：●知识与技能目标1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题2、初步学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题●方法与过程目标1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯．2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力●情感与态度目标1、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯2、鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情．3、通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会学习思考的积极作用，感受思考带给我们的好处，引导学生要积极思考，善于思考，渗透德育教育三、教学重、难点分析●教学重点：1、运用勾股定理、线段公理解决实际问题．2、学会从知识内容中提炼出数学思想或方法，学会归纳总结，初步学会思考．●教学难点：1、勾股定理、线段公理的灵活运用和提升，2、提高思维的有效性．●突出重点、突破难点的方法与策略：（1）突出重点的方法：通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点（2）突破难点的方法：充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、动手实践、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点．勾股定理、线段公理的灵活运用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升，层层深入，逐一突破难点．以达到突破难点的目的四、教学方法的选择与应用根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用本节课采用“引导—探究—发现”的教学模式，引导学生在探究活动中认识到良好学习方法的重要性．教师的教法突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台；学生的学法突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取本节课的知识与方法．五、教学准备：多媒体课件，三角板，直尺六、教学过程：（一）让学生观看一组动画，并谈谈看了动画之后自己的感想，引入课题（二）例题教学立体图形中最短路径问题探究例1、如图边长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A到B需要爬行的最短路程是多少厘米？设计说明：在解答简单问题时，人的思路是清晰的，合乎逻辑且有效的，所以通过本题让学生体会研究问题的方法，从而掌握方法并能运用到较难题目中去．B A思维拓展一、如果盒子换成如图长为3cm ，宽为2cm ，高为1cm 的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少厘米？设计说明：通过本变式练习，培养学生思维的灵活性；引导学生学会归纳总结，以达到解一题从而解决一类问题的目的，提高学习效率，减轻学习负担从上面例题及拓展1中，你能找出求几何体表面上相对两点的最短路程的规律吗？引导学生思考，并归纳出重要结论：知道长方体的长a 、宽b 、高c ，且a b c <<，则长方体表面上相对两点A 、B 之间的思维拓展二、如图是一个由若干个边长为1的小正方体摆放成的长方体，试问在A 处的蚂蚁要吃到放在B 处的食物，最短需要爬行的路程是多长？若事物在C 处或者是D 处呢？设计说明：运用上面归纳总结出来的结论解决问题，让学生体验积极思考、归纳总结的乐趣和成功感，感受快乐，同时也训练学生的变式思维能力平面图形中最短路径问题探究例2、一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，点A 、B 到河边的距离分别是70m 和50m ，且C D 的距离为50m ，天黑前，牧童要从A 处到河边让马饮水，然后再回家，请问牧童该怎样走路程才最短？设计说明：回顾复习线段公理，并能运用线段公理和勾股定理解决实际问题引导学生提出一个运用该原理解决的问题，引发思考，进行思维能力培养思维拓展三：小明的爸爸很喜欢设计，有一天他突发奇想：要在河边修个茶楼，在公路边修个候车室，而且每天他都要从家里先到茶楼去烧开水，然后给候车室的人送茶水，再回到家里。
但他又不想多走路，你能帮小明的爸爸设计出修建方案吗？BCA ●●●D●河边设计说明：（1）帮助学生灵活运用对称原理解决实际问题，（2）将实际问题抽象为数学模型，是解决实际问题的关键 （3）再次引导学生提问，提升思维的层次思维拓展四：A 、B 两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥，要使这两村之间的行程最短，桥应修在何处？你能帮他们设计出来吗？设计说明：思维变式训练，提升学生的思维层次，让学生学会思考，学会提问（三）归纳提升引导学生从知识、方法、数学思想方面进行归纳总结： 1、解决上述问题运用了什么知识？（知识）2、在解决问题的过程中运用了什么方法？（方法）3、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？（数学思想）（四）课堂小结知识方法思想归纳：1、立体图形上两点的最短路径问题，可通过展开，利用线段公理和勾股定理解决．2、平面图形上不在同一直线上的最短路径问题，可以通过平移、对称等方法，将其转移到同一直线上来，利用两点之间，线段最短以及勾股定理等知识来解决．3、以上都体现了化归的数学思想 思维方法归纳：1、 学会反思回顾、归纳总结2、 学会并善于提问，提升思维层次3、 学会变式思考，活跃思维4、 学会联想，运用熟悉知识解决新问题5、 学会对比，举一反三 （五）作业布置1、请你提出一个运用两点之间线段最短、勾股定理知识，运用对称来解决的问题，并解答．2、，自己找一道适合的题目，运用本节研究问题的方法进行研究．七、板书设计：八九、教学设计说明：爱迪生说：“不下定决心培养思维习惯的人，便失去了生活中的最大乐趣”．同样，在学习中不懂得思考的学生，一定学的非常辛苦．真正聪明的人是更理性地掌握思考的方法，而不仅仅是感性的运用．聪明人是因为懂得思维的方法才变得聪明，而不是因为聪明才懂得学习．要让学生轻松快乐地取得成绩，我们必须要提高课堂效率，让学生学会思考，掌握思考方法．从我平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，浪费的大量的时间和精力，再加上来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦，毫无快乐可言．而家长对我们教学的质量的要求较高，不但要学习成绩好，还要孩子学的轻松，玩的高兴．所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到“教”是为可不教的目的．我班为平行班，代表了年级的平均水平，学生基础尚可，自觉性较强，学习努力，所以本节课设计为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功．这一节课，主要采用的是引导——探究——发现的教学模式．所以设计这节课时我考虑到以下几个方面：1、设计“引导—探究—发现”模式的理由在解答简单问题时，人们的思路往往是清晰、合乎逻辑且有效的，但在解答复杂问题时，往往无从下手，思维混乱.我班学生基础知识掌握较好，但思维缺乏灵活性，被动性较强，所以想通过勾股定理、线段公理这类大家非常熟悉的知识的运用，引导他们去探究，去发现，去体会思考.从而把在简单问题中获取的经验和研究问题的方法运用到复杂问题的解决中去，以达到“教”是为了“不教”的目的2、思考方法设计通过例题教学，引导学生学会从知识、方法、数学思想等方面进行归纳总结通过例题变式，让学生体会变式思考，反思回顾通过引导学生提问，让学生学会思考，善于提问，提升思维层次通过结论方法的归纳提升，让学生感受思考的快乐，体验学习的乐趣3、思考中辅以多种形式突破难点勾股定理、线段公理的灵活运用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升来帮助学生理解知识的应用和方法的提升.以达到突破难点的目的4、重视引导知识和方法的归纳总结没有归纳总结，就没有提高。
我在教学中针对我班学生不善于或者不愿意动脑思考，归纳总结的特点，在教学中特别重视引导积极思考，善于提问，特别重视从知识、方法、数学思想等方面进行归纳，以达到解一题以解决一类问题的目的。
5、重视数学知识的生活化、情景化．在这节课的教学过程中，我从学生的实际出发，引导他们学知识、用知识，会思考，会归纳，给学生提供一个展示所学的舞台．培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，感受良好学习方法的重要性，激发学生持续学习的动力．让学生感受学习的快乐6、对课堂教学难度的预测估计教学中可能因为要引导思考，指导思考的方法，留给学生充足的时间进行思考和探究，完成教学任务时间比较紧张，但为了培养学生的思维能力，探究问题的能力和良好的思维习惯，即使不是一堂很完整的课，我觉得也值．以上教案，有不妥之处，还望专家们批评指正．。