《计算方法》样题与参考答案(一)

《计算方法》样题（一）

说明：1） 可使用计算器；第一、九题各15分，其余每题10分 2） 把要求的答案直接写在横线 上或方框 [ ] 内

一、解答下列问题：

1) 数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是 , , , , .

2) 分别用 2.718281， 2.718282 作数e 的近似值 ，它们的有效位数分别有

位， 位; 又取

73.13≈ （三位有效数字）

，则

≤-73.13 .

3）为减少乘除法运算次数，应将算式

3

2)

1(7)1(51318---+-+

=x x x y 改写成

4）为减少舍入误差的影响，应将算式 9910- 改写成 5）递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-

,2,1,1102

10n y y y n n

如果取41.120≈=

y 作计算，则计算到10y 时，误差有

这个计算公式数值稳定不稳定 ？

二、解答下列线性代数方程组问题：

1) 解线性代数方程组b Ax =（n

n R A ⨯∈非奇异）的关键思想是首先把方程组

约化为 和 ，然后分别通过 过程 或 过程很容易求得方程组的解. 2）用“列主元Gauss 消元法”将下列方程组：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20111.0310********x x x

化为上三角方程组的两个步骤

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211.03010451321 ⇒ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡ ⇒ ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡

再用“回代过程”可计算解：

三、解答下列线性代数方程组：

1) 给定线性方程组 ⎩⎨⎧-=-=-458

921

21x x x x

则解此方程组的Jacobi 迭代公式是

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

而Guass-Seidel 迭代公式是

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

2) 取迭代初值T x )0,0()0(=，用Guass-Seidel 迭代公式计算（取至小数后

5位）可得 ⎪⎩

⎪⎨⎧=

==

=)

2(2)

1(2)2(1)1(1,,x x x x

四、设一元方程0133

=--x x ，欲求其正根，试问：

1) 方程的正根有几个？ (个) 2) 方程的正根的有根区间是 3） 给出在有根区间收敛的不动点迭代公式： 4） 给出求有根区间上的Newton 迭代公式：

五、解答插值问题：

1) 函数)(x f 在],[10x x 上的一次（线性）插值函数（公式） =)(1x L

其余项公式=)(x R

2） 函数)2ln()(+=x x f 在区间]1,0[上的一次（线性）插值函数 =)(1x L 其余项估计 =)(x R

六、设有实验数据如下：

x 0 1 2 3 5 f 1.1 1.9 3.1 3.9 4.9

要求按最小二乘法拟合上述数据。试问： 1）求最小二乘拟合曲线可分为两个主要步骤：

一是， 二是，

2）设要求上述数据的一次多项式拟合x a a x S 10)(+=，则可算得法方程为 ⎩

⎨

⎧

3）解法方程，可得一次拟合多项式为 =*)(x S

七、求x x

x f sin )(=在[]1,0上的积分 ⎰=10sin dx x

x I , 已知 x x

x

x f sin )(=

-------------------------------------- 0 1

81 9973978.0 82 9896158.0 3 9767267.0 84 9588510.0 85 9361556.0

86 9088516.0

87 8771925.0 1 8414709.0 ------------------------------------------

1）根据上述数据，复化梯形公式的算式是

=≈8T I （计算结果）=

2）由上述数据，复化Simpson 公式算式是

=≈4S I （计算结果）=

3）梯形公式有 次代数精度；复化梯形公式有 阶收敛性。 4）Simpson 公式有 次代数精度；复化Simpson 公式有 阶收敛性。

八、设初值问题 ⎪⎩

⎪⎨⎧=>='1)0(0,322

y x y

x y 1） 用Euler 方法、取1.0=h 求上述初值问题数值解的公式是 2）用改进Euler 方法、取2.0=h ,上述初值问题数值解的公式是

3）用改进Euler 方法、取2.0=h ，上述初值问题数值解计算结果 =1y ， =

2y

九、解答下列问题：

1）⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=1332a A ，当a 满足条件 时，A 可作LU 分解；当a 满足

条件 时，必有分解式T

LL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角阵。 2） 设方程组 f Bx x +=，其中⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡=21,8.03.009.0f B ，问相应的迭代

公式 f Bx x

k k +=+)()

1( 是否收敛？ ; 根据是

3) 要计算函数dt e x y x

t ⎰

-=

2

)( 在x = 0.25, 0.50 二处的近似值，采用两种计算方案