二次型的规范形(精)
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二次型的规范形
Βιβλιοθήκη Baidu
问题的产生：
1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化 线性替换有关. 如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x2
x1 1 1 3 y1 x1 1 1 z1 12 1 1 1 y (1)作非退化线性替换 x 2 1 1 2 1 3 1 z1 (2)作非退化线性替换 x2 x 0 0 1 y 3 3 0 0 1 3 x z 3 3 1 2 2 22 2 2 2 y1 2y 6 yz 得标准形 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 z z2 1 33 2 2 3
③规范形是唯一的.
惯性定理：任一实二次型可经过适当的 非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯
一.
定义：实二次型 f ( x1 xn ) 的规范形
2 y1 2 y2 y p p 1
yr2
中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数； 负平方项的个数 r p 称为 f 的负惯性指数； 它们的差 p (r p ) 2 p r 称为 f 的符号差.
推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为
1 Ep Er p 的对角矩阵 . 0 0
1
1 1 0
其中 1 的个数 r 秩( A) ，+1的个数 p等于 X ' AX 的正惯性指数；－1的个数 r p等于X ' AX 的负惯性 指数.
其中，d i 0, i 1 , 2 再作非退化线性替换
r , r = 秩 ( f ) 秩( A).
1 y1 d z1 1 1 zr , yr dr yr 1 z r 1 yn z n
或 Y=D Z,
(同前 )
1 D diag( , d1
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中， 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所 作的非退化线性替换无关.
∵若 f ( x1 , , xn ) X ' AX 作非退化线性替换 X CY
的秩等于矩阵 A的秩，即秩 A）. 秩( D ) 秩 (C ' AC ) 秩f(＝秩（ A)
1 , ,1, dr
,1)
则 f ( X ) Z '( D ' C ' ACD ) Z
2 z1 2 z2 z p p 1
zr2
称之为实二次型 f ( X ) 的规范形.
注意 ①实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1， 0三种. ②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与 －1的个数之和 = 秩 f = 秩(A)是唯一确定的.
nn f ( X ) X ' AX , A ' A R 经过 设实二次型
非退化线性替换 X CY , C R nn 可逆，得标准形
f ( X ) Y '(C ' AC )Y
d y
2 1 1
d p y d p 1 y
2 p
2 p 1
dr y ,
2 r
推论2、实二次型 f , g 具有相同的规范形
秩f 秩g，且 f 的正惯性指数= g 的正惯性指数.
推论3、实对称矩阵A、B合同
秩( A) 秩( B) 且二次型 X ' AX 与X ' BX 的正惯性
指数相等.
而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数.
定义：二次型 f (x xC ,AC ,, xn ) 化为标准形 D 1 , 2 ' Y ' DY ，则有
X ' AX
3. 问题：如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）
实数域上的二次型的规范形
1. 实二次型的规范形的定义
Βιβλιοθήκη Baidu
问题的产生：
1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化 线性替换有关. 如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x2
x1 1 1 3 y1 x1 1 1 z1 12 1 1 1 y (1)作非退化线性替换 x 2 1 1 2 1 3 1 z1 (2)作非退化线性替换 x2 x 0 0 1 y 3 3 0 0 1 3 x z 3 3 1 2 2 22 2 2 2 y1 2y 6 yz 得标准形 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 z z2 1 33 2 2 3
③规范形是唯一的.
惯性定理：任一实二次型可经过适当的 非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯
一.
定义：实二次型 f ( x1 xn ) 的规范形
2 y1 2 y2 y p p 1
yr2
中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数； 负平方项的个数 r p 称为 f 的负惯性指数； 它们的差 p (r p ) 2 p r 称为 f 的符号差.
推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为
1 Ep Er p 的对角矩阵 . 0 0
1
1 1 0
其中 1 的个数 r 秩( A) ，+1的个数 p等于 X ' AX 的正惯性指数；－1的个数 r p等于X ' AX 的负惯性 指数.
其中，d i 0, i 1 , 2 再作非退化线性替换
r , r = 秩 ( f ) 秩( A).
1 y1 d z1 1 1 zr , yr dr yr 1 z r 1 yn z n
或 Y=D Z,
(同前 )
1 D diag( , d1
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中， 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所 作的非退化线性替换无关.
∵若 f ( x1 , , xn ) X ' AX 作非退化线性替换 X CY
的秩等于矩阵 A的秩，即秩 A）. 秩( D ) 秩 (C ' AC ) 秩f(＝秩（ A)
1 , ,1, dr
,1)
则 f ( X ) Z '( D ' C ' ACD ) Z
2 z1 2 z2 z p p 1
zr2
称之为实二次型 f ( X ) 的规范形.
注意 ①实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1， 0三种. ②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与 －1的个数之和 = 秩 f = 秩(A)是唯一确定的.
nn f ( X ) X ' AX , A ' A R 经过 设实二次型
非退化线性替换 X CY , C R nn 可逆，得标准形
f ( X ) Y '(C ' AC )Y
d y
2 1 1
d p y d p 1 y
2 p
2 p 1
dr y ,
2 r
推论2、实二次型 f , g 具有相同的规范形
秩f 秩g，且 f 的正惯性指数= g 的正惯性指数.
推论3、实对称矩阵A、B合同
秩( A) 秩( B) 且二次型 X ' AX 与X ' BX 的正惯性
指数相等.
而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数.
定义：二次型 f (x xC ,AC ,, xn ) 化为标准形 D 1 , 2 ' Y ' DY ，则有
X ' AX
3. 问题：如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）
实数域上的二次型的规范形
1. 实二次型的规范形的定义