第2章 自动控制系统的数学模型习题答案

解：绝对位移与相对位移的关系为
-------（1）
箱体内部质量块m的受力关系为
-------（2）
将（1）式变形 带入到式（2）得
-------（3）
考虑到 为系统的输入，整理（3）式，得
-------（4）
当质量块m很小、阻尼系数f也Байду номын сангаас小时，式（4）近似为
，这说明加速度越大，相对位移向下也越大。
2-5、试画出习题2、3系统的动态结构图。
-------------------（1）
--------------------（2）
-------------------（3）
--------------------（4）
将（3）变形得： ---------------------（5）
将（5）带入到（2），得
---------------------（6）
解：根据牛顿第二定律：（对直线运动 ，而旋转运动 ）
-------------------（1）
-------------------（2）
在零初始条件下，对式（1）、（2）两试进行拉氏变换，得：
-------（3）
-------（4）
由式（3）、（4）得：
-------------------（5）
将（3）整理得： ---------------------（5）
将（5）带入到（2），得
---------------------（6）
即 ---------------------（7）
将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得
即
设 ， ， ，则
（b）
设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得
即 ---------------------（7）
将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得
------（8）
对（8）两边求导，整理得
设 ， ， ，则有
或者为
2-2、设机械系统如图2-41所示，图中 、 为输入、输出角位移（角度），试列写该机械系统的微分方程。
[提示]扭力矩M与角位移 、弹性系数 成正比。风阻M与角速度 、阻尼系数 成正比。
习题
2-1、试列写图2-40中各电路的微分方程，图中 、 为输入、输出电压。
答：（a）
设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得
-------------------（1）
--------------------（2）
-------------------（3）
--------------------（4）
由（3）式得
------------------（4）
------------------（5）
将（4）、（5）式带入到（2）式，得
------------------（6）
将（6）式带入（1）式，整理得
2-4、图2-43为加速度测试仪，箱体内部由质量块m、弹簧k、阻尼器f、指针、刻度表构成，系统的输入为箱体垂直方向的加速度 ，系统的输出为质量块m上的指针相对箱体刻度表的垂直方向位移 ，试建立该系统的微分方程，并说明在一定条件下位移 与加速度 成正比。
-------------------（6）
系统的动态结构图为
解：
（1）习题2
根据牛顿第二定律：（对直线运动 ，而旋转运动 ）
-------------------（1）
-------------------（2）
在零初始条件下，对式（1）、（2）两试进行拉氏变换，得：
-------（3）
-------（4）
由式（3）、（4）得：
-------------------（5）
-------------------（6）
将式（6）除以式（4）得：
-------------------（7）
即：
-------（8）
即：
即：
2-3 、在如图2-42所示系统中，用一台交流电动机拖动一台直流发电机，设交流电动机的角速度 为系统的输入，电阻R两端的电压 为输出，直流电机的内阻 、电感为 ，试列写该机械系统的微分方程。
解：直流发电机输出电压 ，其中 为由直流发电机决定的电势常数，而 为直流发电机的定子励磁磁通。设各支路电流如图所示，根据基尔霍夫电压回路定律，有
-------------------（1）
根据基尔霍夫电流定律，有
-------------------（2）
另外根据元件特性，有
------------------（3）