分段函数与复合函数
已知分段函数如何求复合函数
已知分段函数如何求复合函数分段函数是指定义域被分成若干个区间，每个区间内的函数表达式不同的函数。
而复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到一个新的函数。
那么如何求解分段函数的复合函数呢？首先，我们需要明确复合函数的定义。
设函数f的定义域为A，值域为B，函数g的定义域为C，值域为D，且满足B⊆C，那么f和g的复合函数g(f(x))的定义域为{x∈A|f(x)∈B}，值域为{y∈D|y=g(x),x∈A,f(x)∈B}。
接下来，我们以一个具体的例子来说明如何求解分段函数的复合函数。
假设有以下分段函数：f(x) = {x+1, x<0; 2x, x≥0}g(x) = {x^2, x<1; x, x≥1}我们需要求解g(f(x))。
首先，我们需要确定g的定义域。
由于g(x)在x<1时定义域为(-∞,1)，在x≥1时定义域为[1,+∞)，而f(x)的取值范围为(-∞,1)，因此g(f(x))的定义域为(-∞,1)。
接下来，我们需要确定g(f(x))的表达式。
由于f(x)的取值范围为(-∞,1)，因此g(f(x))的表达式为：g(f(x)) = {f(x)^2, f(x)<1; f(x), f(x)≥1}将f(x)代入上式，得到：g(f(x)) = {(x+1)^2, x<0; 2x, x≥0且2x<1; x+1, x≥0且2x≥1}至此，我们已经求解出了分段函数的复合函数。
需要注意的是，在求解复合函数时，我们需要先确定复合函数的定义域，然后根据定义域确定复合函数的表达式。
同时，我们需要注意分段函数在不同区间内的函数表达式，以便正确地求解复合函数。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题1.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]【答案】D【解析】当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax，化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)>0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故选D.2.已知，则=__________.【答案】0.【解析】由题意.【考点】分段函数.3.对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y ＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是_________ .【答案】【解析】由已知得则的图象如图.∵的图象与轴恰有两个公共点，∴与的图象恰有两个公共点，由图象知，或.【考点】分段函数的解析式求法及其图像的作法，数形结合思想.4.已知函数，设，若，则的取值范围是 .【答案】【解析】画出函数图象如图所示，由图象可知要使，同时成立，，,∴.【考点】1.函数图像；2.配方法求最值.5.设函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若直线与函数的图象恰好有3个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数的图象如图所示.直线恒过点由图可知，当时，它们恰好有3个不同的交点.故选B【考点】1、分段函数；2、图象的作法；3、直线的斜率；4、直线的点斜式方程6.函数的零点的个数（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】,显然有一个极值点.又，所以时，有两个零点.显然时，有一个零点.所以共有3个零点.【考点】1、分段函数；2、函数的零点.7.定义在上的函数，当时，，且对任意的,有，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：对任意的，恒有；（Ⅲ）若，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）令即可得证；（Ⅱ）令得，，由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0，故对任意x∈R，f(x)>0；（Ⅲ）先证明为增函数：任取x2>x1，则，，故，故其为增函数；然后利用单调性脱解一元二次不等式.试题解析：（Ⅰ）令，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 2分（Ⅱ）令则 f(0)=f(x)f(-x)∴ 4分由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴，又x=0时，f(0)=1>0 6分∴对任意x∈R，f(x)>0 7分(Ⅲ)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 8分∴∴f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数 10分f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0 ∴ 0<x<3 13分【考点】抽象函数、增函数的证明、一元二次不等式解法.8.已知：则f(f(5))等于( )A．－1B．1C．－2D．2【答案】B【解析】∵，，又，.【考点】求分段函数的函数值.9.已知以为首项的数列满足：(1)若，求证：;(2)若，求使对任意正整数n都成立的与.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）当时，满足题意的N*；当时，满足题意的N*．【解析】本题考查数列与函数的综合知识.第一问，将从3断开，分成两部分，分别求出的范围；第二问，分别验证每一种情况.试题解析：（1）当时，则，当时，则,故，所以当时，总有． 8分（2）①当时，，故满足题意的．同理可得，当或4时，满足题意的N*．当或6时，满足题意的N*．②当时，，故满足题意的k不存在．③当时，由（1）知，满足题意的k不存在．综上得：当时，满足题意的N*；当时，满足题意的N*． 16分.【考点】1.求分段函数的值域；2.恒成立问题；3.分类讨论思想.10.已知，若,则 .【答案】或【解析】因为，，所以，由得，或，，即则或.【考点】分段函数的概念11.已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（）A．≤＜0B．≤≤C．≤D．＜0【答案】B【解析】函数是R上的增函数，则单调递增，故它的对称轴，即，此时也单调递增，要保证在R上是增函数，只需在满足，即，综上所述的取值范围是．【考点】函数的单调性．12.已知函数，对于下列命题：①函数的最小值是0；②函数在上是单调递减函数；③若；④若函数有三个零点，则的取值范围是；⑤函数关于直线对称．其中正确命题的序号是____________________．（填上你认为所有正确命题的序号）．【答案】③④【解析】画出分段函数的图像，函数无最小值，在R上单调性不单一，故①②错误；③正确；有三个不同的交点，故，④正确；函数的图像是将的图像中轴下方的翻折上去，但在和的图像不对称，故⑤错误.【考点】分段函数、函数的单调性、函数的图像与性质、函数的对称性．13.已知函数(1)当时,求不等式的解集; (2)若的解集包含,求的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】(1)当时,或或或(2)原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式恒成立问题。
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数，则的值是（）A．4B．48C．240D．1440【答案】C【解析】因为，所以，故选C.【考点】分段函数求函数值的问题.2.设函数则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知函数可得，，故D为正确答案.【考点】分段函数求值.3.已知函数则______.【答案】【解析】由题可得．【考点】分段函数的求值．4.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数5.已知函数，则的值是．【答案】【解析】因为，而，所以．【考点】本题考查的知识点是分段函数求函数值的方法，属基础题．6.已知函数，则( )A．0B．1C．-2D．-1【答案】B【解析】分段函数求函数时，要注意自变量的取值范围.。
【考点】分段函数.7.若函数，则=()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】复合函数求值由内向外的求解是关键,代入计算时注意不同的自变量对应的表达式,先计算，再计算,最后计算故选B【考点】分段函数的值．8.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.9.在上是减函数，则的取值范围是（）A．[B．[ ]C．( D．( ]【答案】A【解析】由于两段函数都是一次的形式，依题意减函数可以得，斜率小于零，即，另外(3-1)x+4在x=1的值不小于-x在x=1的值，即(3-1)+4a≥-,所以，综上.故选A.【考点】 1.分段函数的单调性的问题.2.处理分界点的函数值的大小.10.如图（1）四边形ABCD为直角梯形，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，ΔABP面积为f(x).若函数y=f(x)的图象如图（2），则ΔABC的面积为A．10B．16C．18D．32【答案】B【解析】观察图（2），可知，，，由平面几何的知识易求得，∴，选B.【考点】分段函数.11.已知则的值等于()．A．－2B．4C．2D．－4【答案】B【解析】本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的范围，，，.【考点】分段函数.12.函数满足: ,且,则【答案】【解析】本题给出的函数是一个递归式，可以按照原来函数的样子递归到1，再回推出4。
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设，求的值。
【答案】【解析】先求出来，再由求出，一定要注意定义域选择好解析式．又，而【考点】分段函数的求值2.已知函数,若,则实数的值为 .【答案】【解析】当时，则有，解得或（舍去）；当时，则有，解得，所以．【考点】分段函数的求值．3.已知函数的定义域为集合.（1）若函数的定义域也为集合，的值域为，求；（2）已知,若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对数定义域真数大于零求定义域，有真数范围，求值域；（2解不等式（注意移项通分）化分式不等式为整式不等式，，对大小关系分三类讨论，再分别求满足的值.试题解析：（1）由，得，， 2分， 3分当时，，于是，即， 5分，。
7分（2））由，得，即． .8分当时，，满足； 9分当时，，因为，所以解得， 11分又，所以；当时，，因为，所以解得，又，所以此时无解； 13分综上所述，实数的取值范围是． 14分【考点】1.函数定义域值域；2.分类讨论思想；3.集合运算.4.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数5.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.6.已知函数，则【答案】【解析】假设，则，所以=，即.【考点】本题考查的是复合函数的知识点，本题的解法是常用的思维方式，要切记.7.已知 (且)在上是的减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】是定义域内的减函数，又是定义域内的增函数，由复合函数的单调性知(且)在定义域内单调递减，所以对于此题只需恒成立，即恒成立，，，又所以.故选B.【考点】复合函数的单调性8.函数，则（）A．５B．４C．３D．２【答案】D【解析】，所以答案选.【考点】分段函数的求值9.如果函数f(x)的定义域为，且f(x)为增函数，f(xy)=f(x)+f(y)。
（1）证明：；（2）已知f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围。
初高中衔接课(第二期)----第1节分段函数、复合函数
初高中衔接课——函数第一讲 分段函数、复合函数【分段函数、复合函数】1.分段函数：有些函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围对应关系不同，这种函数称为分段函数．分段函数三句话：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；（3）分段函数的值域也是各段函数值域的并集．2.复合函数：若y 是u 的函数，u 是x 的函数，则称y 是x 的复合函数. 记)(u f y =，)(x g u =，则复合函数应记为))((x g f y =. 【例题】函数xx x y ||+=的图象为下图中的（ ） A.B. C. D.【例题】（1）已知1)(2++=x x x f ，则=)2(f __________；=)]2([f f __________.（2）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=1,21,1)(22x x x x x x f ，求值=)2(f __________；=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)2(1f f __________.【练习】设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 的值为（ ） A.1B.0C.-1D.π【练习】已知⎩⎨⎧≤+>=0),1(0,)(2x x f x x x f ，则)2()2(-+f f 的值为（ ）A.6B.5C.4D.2【练习】设()()()⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则)]}1([{-f f f 的值是（ ） A.1+πB.0C.πD.-1【练习】设()()⎩⎨⎧<+≥-=10)],6([10,2)(x x f f x x x f ，则)5(f 的值为（ ） A.10B.11C.12D.13【例题】设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ，若4)(=a f ，则实数=a （ ）A.4-或2-B.4-或2C.2-或4D.2-或2【练习】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,222,2,2)(2x x x x x x x f ，若8)(=a f ，则=a __________.【练习】设()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,1)(2x x x x x f ，则使得1)(=m f 成立的m 的值是（ ） A.10B.0，10C.0，-2，10D.1，-1，11【例题】设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A.()()∞+-，31,3B.()()∞+-，21,3C.()()∞+-，31,1D.()()313,， -∞-【练习】已知⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(x x x f ，则不等式2)(≤+x x xf 的解集是__________.【练习】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+=1,31,1)(x x x x x f ，且不等式1)(≥x f 的解集是__________.【练习】已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式()()113≤+-+x f x x 的解集是__________.【刷题训练】【练习】设()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,2)(2x x x x x x x f ，若3)(=x f ，则x 的值为（ ）A.1或23B.3±C.23或3±D.3【练习】已知函数⎩⎨⎧≥+<+=1,1,23)(2x ax x x x x f ，若a f f 4)]0([=，则实数a 等于（ ） A.21B.54C.2D.9【练习】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,1)(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的x 的取值范围为（ ）A.(][]10,02 -∞-，B.(][]1,02 -∞-，C.(][]10,12 -∞-，D.[][]10,10,2 -【练习】已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=0,10,1)(x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（） A.[]121--，B.(]1，∞-C.(]12-∞-，D.[]1212---，；|)(|x f y =【练习】已知⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=3,393,)(22x x x x x a x f 在点3=x 处连续，则常数a 的值为__________.【练习】已知函数[][]⎩⎨⎧-∉-∈=1,1,1,1,2)(x x x x f ，若2))((=x f f ，则x 的取值范围是（ ） A.∅B.[]1,1-C.()()∞+-∞-，，11D.[]1,1}2{-【数形结合解决函数问题】一、图象的画法（1）描点法为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的草图或较为精确的图象.作图通常有列表、 描点、连线三个步骤：①列表.先找出一些有代表性的自变量值x ，并计算出与这些自变量相对应的函数值)(x f ，用表格的形式表示出来；②描点.从列表中得到一系列的点())(x f x ，，在坐标平面上描出这些点；③连线.用平滑曲线把这些点按照自变量由小到大的顺序连接起来；作出更精确的图象，常常需要描出更多的点.（2）变换作图法（利用基本函数的图象）①平移：)(x f y = 个单位长度向右平移a )(a x f y -=；)(x f y = 个单位长度向上平移b b x f y +=)(；②对称：)(x f y = 轴对称关于x )(x f y -=；)(x f y = 轴对称关于y )(x f y -=；)(x f y = 关于原点对称 )(x f y --=；③其他：)(x f y =轴对称到上方轴下方图象关于轴上方图象，再把保留x x x。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设集合A=，函数，当且时，的取值范围是。
【答案】【解析】,解得,【考点】分段函数2.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.3.设，则f（6）的值( )A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】.【考点】分段函数的函数值.4.已知函数.若，则的取值范围是 .【答案】【解析】当时，，∴；当时，，∴，综上所述的取值范围是.【考点】1、分段函数；2、一元二次不等式的解法.5.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，函数的最大值是，所以要使得不等式存在实数解，则，解得或.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.解不等式6.已知函数，则= .【答案】【解析】这是分段函数的函数值计算问题，计算时一定要分清楚自变量的范围．．【考点】分段函数．7.,则 .【答案】【解析】,.【考点】分段函数求值.8.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.9.已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为( )A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】画出函数的图像如图.将的值代入解析式，然后画出图像，可知符合题意 .【考点】1.分段函数；2.数形结合.10.已知函数，则满足方程的所有的的值为 .【答案】0或3【解析】当时，，解得；当时，，解得.综上.【考点】1.分段函数；2.指数、对数函数的求值11.已知函数的图像在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；（Ⅲ）若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时在[-1，2]上的最大值为2，当时在[-1，2]上的最大值为；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由题意先对时的函数进行求导，易得，解得；（Ⅱ）因为函数为分段函数，要求在区间上的最大值，需分别求区间和上的最大值，当时，应对函数进行求导，求函数的单调性，从而求区间上的最大值；当时，应对函数分两种情况讨论，可得结论；（Ⅲ）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，得的范围是.试题解析：（I）当时，因为函数图象在点处的切线方程为，所以切点坐标为且解得. 4分（II）由（I）得，当时，令，可得或在和上单调递减，在上单调递增，所以在上的最大值为，当时，,当时，恒成立此时在[-1，2]上的最大值为；当时在[1，2]上单调递增，且，令则，所以当时在[-1，2]上的最大值为，当时在[-1，2]上的最大值为，综上可知，当时在[-1，2]上的最大值为2，时当时在[-1，2]上的最大值为. 9分（III）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，即此方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，令由于函数的值域是所以实数的取值范围是 14分【考点】1、分段函数；2、利用导数求函数的单调性及最值；3、函数与导数的综合应用.12.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于复合函数的定义域为，即，所以，故函数的定义域为，故选C.【考点】复合函数的定义域13.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】当时，，此时函数单调递减，则有，，当，，此时，则函数在上单调递增，，即，故函数在上的值域为，，所以，所以，由于，，，故有或，解得.【考点】1.函数的值域；2.存在性命题14.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．[1，2]B．[0，4]C．（0，4]D．[，4]【答案】D【解析】依题意，得，即，故 .【考点】1.抽象函数的定义域；2.不等式的解法.15.某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A．608元B．574.1元C．582.6元D．456.8元【答案】C【解析】根据题意，应付款付款176元时没有折扣.付款432元时标价为432÷0.9=480（元）.故两次购物的标价为176+480=656（元）.500×0.9+（656-500）×0.85=582.6(元).【考点】分段函数.16.设函数，若是奇函数，则 .【答案】2【解析】依题意，由于是奇函数，，.【考点】分段函数，函数的奇偶性.17.已知.①若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；②若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数，求实数m的取值范围.【答案】① ;②.【解析】①根据复合函数中的对数函数和二次函数的图像和性质解题确定m的取值；②由复合函数的性质，结合二次函数的图像解题，判断区间端点与对称轴的位置关系，注意复合函数单调性的判断是本题的关键.试题解析：①设,要使得函数的值域为R，则能取遍所有的正数, 2分则有, 4分解得; 6分②函数的底数是，那么若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数,函数在区间上是减函数, 8分则有, 10分解得. 12分【考点】复合函数的性质，对数函数和二次函数的图像和性质的应用.18.已知函数则______.【答案】【解析】 , ,所以.【考点】分段函数求函数值.19.设函数则关于x的方程的根的情况，有下列说法：①存在实数k，使得方程恰有1个实数根②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根其中正确的是（）A．①③B．①②C．②④D．③④【答案】B【解析】因为所以，当时，，，所以当时，关于x的方程的恰有一个实根，则①正确.当时，，所以当时，关于x的方程的恰有2个不相等实根，则②正确；③④错误.【考点】分段函数，方程的根的判断.20.已知函数，则满足的的取值范围是______．【答案】【解析】解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值范围是【考点】分段函数的意义、解不等式.21.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】排除法：令，则不等式变为，又因为函数是定义在R上的偶函数，所以有，成立，故排除B；令，则不等式变为，即，，而已知函数在区间单调递增，所以不成立，排除A、D，故选C.【考点】本小题主要考查抽象函数的性质（单调性、奇偶性）等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力.3)＝22.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log2 A．B．C．D．【答案】A.3)＝，【解析】因为，所以f(2＋log2又，所以.【考点】分段函数的应用．点评：本题考查分段函数求值及指数对数的性质，对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高．23.已知函数若，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出该分段函数的简图可知，该函数在R上单调递增，所以.【考点】本小题主要考查函数单调性的应用和一元二次函数的解法.点评：解决此类问题，关键是求出已知函数的单调性，而分段函数不论分成几段，始终是一个函数.24.若且，在定义域上满足，则的取值范围是（）A．（0,1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]【答案】B【解析】根据分段函数单调性是增函数，则说明每一段都是增函数，同时在x=0处的函数值，3a ,故可知，同时要满足,然后求其交集得到为[，1），故选B.【考点】函数单调性点评:解决的关键是理解已知中表示的含义是说函数在定义域内是递增的，属于基础题。
第二节 反函数 复合函数 分段函数
第二节 反函数 复合函数 分段函数一、反函数函数的定义中有两个变量，一个是自变量，一个是因变量，一主一从，地位不同。
然而在实际问题中，谁是自变量，谁是因变量，并不是绝对的，依所研究的具体问题而定。
例如，在自由落体运动中，221gt s =)1( 如果想从已知的路程s 确定下落的时间t ，则应从式)1(中将t 解出：gst 2=)2( 这时s 成了自变量，t 成了因变量。
这表明：在一定条件下，函数的两个变量的地位可以互换，这样得到的新函数，叫做原来函数的反函数。
例如，式)2(是式)1(的反函数。
反函数的一般定义如下：定义 设)(x f y =是定义在D 上的一个函数，值域为M ，如果对于M 中的每一个y 值，都可以从关系式)(x f y =确定唯一的一个x 值，则得到一个定义在M 上的以y 为自变量，x 为因变量的新函数)(1y fx -=，称为)(x f y =的反函数。
习惯上，用x 表示自变量，用y 表示因变量。
因此我们将)(1y f x -=改写成为x 为自变量、以y 为因变量的函数关系)(1x f y -=。
)(x f y =与)(1x f y -=的关系是x 与y 互换，所以它们的图形对称于直线x y =，如图51-所示。
这样以来，反函数的图像便可以这样作出：画出)(x f y =的图像，改x 轴为y 轴，y 轴为x 轴，将整个平面以x y =为轴，旋转180即可，为了验证这一点，建议把)(x f y =的图画在一张透明板上，作一次实物演示。
例1、求213-+=x x y 的反函数 解：1.由213-+=x x y 解出x ，得321-+=y yx 2.换字母（x 与y 互换），得321-+=x xy 此即为所求反函数。
注意：函数)(x f y =在定义域内不一定都有反函数，因为对M 中y 的某些值，满足关系)(x f y =的x 值可能不唯一，如2x y =，它的反对应关系不是单值的，所以它在定义域内没有反函数，但如果将2x y =的定义域限定在),0[+∞，则有反函数x y =。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题1.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 .【答案】【解析】当时，当时，当时，，因此当时，对应唯一的所以对恒成立，即，正实数的最小值是【考点】分段函数值域2.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 .【答案】【解析】当时，当时，当时，，因此当时，对应唯一的所以对恒成立，即，正实数的最小值是【考点】分段函数值域3.设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于()．A．－3B．±3C．－1D．±1【答案】D【解析】依题意，得f(a)＝2－f(－1)＝2－＝1.当a≥0时，有＝1，则a＝1；当a<0时，有＝1，a＝－1.综上所述，a＝±1.4.已知是定义在上的奇函数，当时，。
当时，且图象关于点对称，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在中令得：.因为图象关于点对称，所以且.在中令得：.在中令得：，.因为当时，，所以当时，恒有.所以在中令得：.【考点】1、函数的性质；2、抽象函数.5.函数的零点个数是（）A．2个B． 1 个C．4个D．3个【答案】D【解析】由，解得，由，解得或，故有三个零点．【考点】分段函数零点问题．6.已知函数 ,则_____．【答案】【解析】【考点】分段函数.7.如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项是（）A．是区间上的减函数，且B．是区间上的增函数，且C．是区间上的减函数，且D．是区间上的增函数，且【答案】A【解析】由题意知，，由基本不等式知，解得；由得，因，所以是区间上的减函数，且.【考点】1.函数的单调性；2.基本不等式求最值；3.对数运算.8.设函数，则方程的解集为。
【答案】【解析】当时，解得；当时，解得或．所以方程的解集为．【考点】函数与方程．9.已知为实数，定义运算若关于的方程恰有两个实根，则实数的取值范围是；【答案】0<k<1【解析】由知，，关于的方程恰有两个实根，即函数与y=k恰有两个交点，结合函数的图象知，实数的取值范围是0<k<1。
第7课--分段函数与复合函数
第7课分段函数与复合函数基础知识：1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.2.求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.一、典型例题1.已知函数2,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值等于（）.A.3- B.1- C.1 D.3答案：A 解析：∵()(1)0f a f +=，∴()(1)2f a f =-=-.若0a >，则22a =-，显然无解；若0a ≤，则()12f a a =+=-，∴3a =-，符合题意，故选A.2.函数()f x =的单调递增区间是（）.A.(],2-∞- B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.[)4,+∞答案：D解析：2280x x --≥得4x ≥或2x ≤-，令228x x t --=，则y =为增函数，228t x x ∴=--的增区间[)4,+∞便是原函数的单调递增区间，即原函数的单调递增区间为[)4,+∞，故选D.3.已知函数241(4)()log (4)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的根，则实数k 的取值范围是（）.A.(,1)-∞ B.(,2)-∞ C.(1,2) D.[1,2)答案：C解析：由已知分段函数的解析式画出函数图象，如下图所示曲线：关于x 的方程()f x k =有两个不同的根，即可转化为函数()y f x =与函数y k =的图象有两个交点，当(1,2)k ∈时，符合题意，故选C.二、课堂练习1.已知函数(2),2()1(),23x f x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，3(1log 5)f -+的值为（）.A.115 B.53 C.15 D.23答案：A解析：因为31log 52<<，所以333(1log 5)(1log 52)(1log 5)f f f -+=-++=+；又321log 53<+<，∴31log 5331111(1log 5)(1log 5)(33515f f +-+=+==⨯=，故选A.2.设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）.A.2B.4C.6D.8答案：C 解析：由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知，若1a ≥,则()()1f a f a ≠+，所以01a <<；由()()+1f a f a =()211a =+-，解得14a =，则()()142416f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，故选C.3.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式[]2()()0f x af x +<恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（）.A.2 B.3 C.5 D.8答案：D解析：函数()f x的图象，如图所示：关于x 的不等式()()20f x af x ⎡⎤+<⎣⎦，当0a >时，()0a f x -<<，由于关于x 的不等式()()20f x af x ⎡⎤+<⎣⎦恰有1个整数解，因此其整数解为3；又()()3963,48f f =-+=-=-，所830a -≤-<-<，则38a <≤，所以实数a 的最大值为8，故选D.三、课后作业1.已知函数32,0()πtan ,02x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≤<⎪⎩，则4f f ⎛π⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）.A.1B.2C.2-D.1-答案：C 解析：由题意πtan 144f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴3(1)2(1)24f f f ⎛π⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.2.设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）.A.(1,1)- B.(1,)-+∞ C.(,2)(0,)-∞-+∞ D.(,1)(1,)-∞-+∞ 答案：D 解析：当00x ≤时，则00()211x f x -=->，∴022x ->，即01x ->，解得01x <-；当00x >，则1200()1f x x =>解得01x >；∴0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞ ，故选D.3.函数()2ln 23y x x =-++的减区间是（）.A.(]1,1- B.[)1,3 C.(],1-∞ D.[)1,+∞答案：B解析：令2230t x x =-++>，求得13x -<<，故函数的定义域为()1,3-，且ln y t =，故本题即求函数t 在定义域内的减区间.再利用二次函数的性质求得()214t x =--+在定义域内的减区间为[)1,3，故选B.4.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且2log (1),0()(),0x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(7)]g f -=（）.A.3B.3-C.2D.2-答案：D 解析：由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，则0x ->，且()()f x f x -=-，∴()()g x f x =--，2()log (1)g x x =--，∴(7)(7)3f g -=-=-，∴[(7)](3)2g f g -=-=-，故选D.5.已知函数()()261,1log ,1aa x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 为R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（）.A.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：C解析：函数()f x 为R 上的单调递减函数，01a ∴<<，且260261log 10a a a -<⎧⎨-+≥=⎩，解得1132a <≤，故选C.6.设函数()2010x x f x x ，，-⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）.A.(]1-∞-，B.()0+∞，C.()10-，D.()0-∞，答案：D解析：将函数()f x 的图象画出来，根据图象可知2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D.。
复合函数与分段函数
一、复合函数与抽象函数1.复合函数：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数f(g(x))为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内函数，y=f(x)叫做外函数2.抽象函数：抽象函数是指没有给出具体解析式的函数求抽象函数定义域的方法：①已知函数f(x)的定义域为A，求函数f(g(x))的定义域：其实质是已知g(x)∈A，求x的取值范围例1：若函数f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x-1)的定义域②已知函数f(g(x))的定义域为A，求函数f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g（x）的取值范围，此范围就是f(x)的定义域例2：已知f(x+3)的定义域为[-4,5],求f（x）的定义域例3.已知函数f(x+3)的定义域为[-4,5],则函数f(2x-3)的定义域是________例4.已知函数f(x)的定义域是[-1,0]，则函数f(2x+1)的定义域为_______例5.已知函数f(x+3)的定义域为[-5，-2]，求函数f(x+1)+f(x-1)的定义域二、分段函数1.分段函数的概念在函数定义域内，对于自变量x 的不同的取值范围，函数有着不同的对应关系，这样的函数就称为分段函数。
如f(x)={−1，x ≥01，x ＜0（1）分段函数虽然由几个部分组成，但它仍是一个函数，而不是几个函数（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的 如，函数y={1，−2≤x ＜0x ，0<x ≤3（3）写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏（4）处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值食欲那个区间，再取相应的对应关系（5）分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集，值域是各段函数值的并集例1若函数f(x)={2x +3,x ≤23x −5，x ＞2，则f(f(1))的值_____2.分段函数的图像做分段函数图像时，要特别注意分界点的虚实如：y={1，>00,x =0−1,x <0若函数f(x)={x +4,x ≤0x 2−2x ，0＜x ≤4−x +2，x ＞4，（1）求f(f(f(5)))的值（2）若f(x)=4，求x 的值（3）画出函数f(x)的图像。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题1.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 .【答案】【解析】当时，当时，当时，，因此当时，对应唯一的所以对恒成立，即，正实数的最小值是【考点】分段函数值域2.已知函数则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是增函数C．是周期函数D．的值域为【答案】D【解析】由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y轴对称，所以A不正确.由于图象左边不单调,所以B不正确.由于图象x>0部分的图象不是没有周期性，所以C不正确.故选D.【考点】1.分段函数.2.函数的性质.3.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．3【答案】（1），，9 8.53 4.5 6.75（2）229.25【解析】（1）由题意，数列先按等差数列进行递减，直到为零为止，是一个分段函数. 数列先按等比数列增长，直到发放的牌照超过15万张，不再变化,也是一个分段函数.所以确定两数列，先要确定分段点，由得由得（2）本题实际就是求和.对应的两数列通项，，，从2013年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张．试题解析：（1）9 8.53 4.5 6.752分当且，；当且，．5分而， 8分（2） 10分13分从2013年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张． 14分【考点】求数列通项，求和4.设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于________．【答案】±1【解析】依题意，得f(a)＝2－f(－1)＝2－＝1.当a≥0时，有＝1，则a＝1；当a<0时，有＝1，a＝－1.综上所述，a＝±1.5.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝ .【答案】２【解析】由题意可知，，则，解得．【考点】分段函数求值．6.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，函数的最大值是，所以要使得不等式存在实数解，则，解得或.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.解不等式7.已知，则=__________.【答案】0.【解析】由题意.【考点】分段函数.8.已知函数，，当时，取得最小值，则在直角坐标系中函数的图像为（）【答案】B【解析】，当且仅当时取“=”，即，当时，，∴，∴.【考点】1.基本不等式；2.分段函数图像.9.已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，就为解得；当时，就为，解得，故不等式解集为，即，选A.【考点】分段函数、一元二次不等式的解法.10.已知实数，函数，若，则的值为 .【答案】【解析】时，，解之得（舍）；时，，解之得.本题易忽略分类讨论，直接由得，从而造成错误.【考点】考查分段函数，方程的解法及分类讨论思想.11.已知函数，则满足的的取值范围是______．【答案】【解析】解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值范围是【考点】分段函数的意义、解不等式.12.已知函数，则满足的的取值范围是______．【答案】【解析】解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值范围是.【考点】分段函数的意义、解不等式.13.设集合，函数且则的取值范围是 ( )A．()B．[0，]C．()D．()【答案】C【解析】【考点】分段函数定义域值域及求值点评：本题中在将代入求值时注意自变量及的取值范围，分段函数求值时将自变量的值代入正确的解析式是正确求解的关键14.已知的单调递增区间为，则实数a的取值范围是A．B．(1,4)C．(2,4)D．【答案】D【解析】为使的单调递增区间为，所以，均为增函数，且，a>1,4－a>0解得，故选D。
高一第三讲 分段函数 复合函数 周期性
第三讲 分段函数 复合函数 周期性一．知识点的回顾1.周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
（1）函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）D 、其他情形（2）函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为kT T x 22+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ） 如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22(kT T +)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）（4）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.对于函数的性质，①是以为周期的周期函数②的单调递增区间为，③的值域为④取最小值的的取值集合为其中说法正确的序号有_____________.【答案】①②【解析】画出函数的图像，可知，函数的周期为，单调递减区间为，函数的值域为，函数取最小值的的取值集合为【考点】1.分段函数；2.函数的图像与性质.2.已知函数，则的值是（）A．4B．48C．240D．1440【答案】C【解析】因为，所以，故选C.【考点】分段函数求函数值的问题.3.已知，若，则的值是A．1或2B．2或－1C．1或－2D．±1或±2【答案】C【解析】由已知得,当时,则,解得,故;当时,则,解得,故.综上得或,所以正确答案为C.【考点】分段函数4.函数，函数，则 .【答案】5【解析】【考点】复合函数求函数值.5.已知函数，则【答案】【解析】假设，则，所以=，即.【考点】本题考查的是复合函数的知识点，本题的解法是常用的思维方式，要切记.6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】当时，是单调递减函数，故，解得；当时，是单调递减函数，故；当趋近于1时，，解得；综上所述，实数的取值范围是：.故答案为：【考点】1.分段函数的图像；2.分段函数的单调性.7.函数，则（）A．５B．４C．３D．２【答案】D【解析】，所以答案选.【考点】分段函数的求值8.设函数则实数的取值范围是 .【答案】【解析】当时，得，无解；当时，得，得或（舍去），故实数的取值范围是.【考点】分段函数的最值.9.已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是_________________．【答案】【解析】画出函数的图象，观察有3个不同交点的情况，即得关于的方程有3个不同的实根时，实数的取值范围是。
【考点】分段函数的概念，幂函数、指数函数的图象，方程的根。
点评：简单题，利用数形结合思想，研究函数的图象交点情况，确定k的范围。
考研考点：如何求分段函数的复合函数
考点：求分段函数的复合函数考题类型：()f x 和()g x 是两个分段函数，求复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦ 解题方法：依据f(x)中的x 的范围，求出g(x)在该范围下的表达式和对应自变量的范围，然后回代替换即可。
例1 设()2111xex f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，()22010x x g x x x +<⎧=⎨-≥⎩，求()f g x ⎡⎤⎣⎦解析：（1）我们先写出()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式。
这种写法要记住，形成格式。
如下()()()()()2111g x e g x f g x g x g x ⎧<⎪=⎡⎤⎨⎣⎦-≥⎡⎤⎪⎣⎦⎩（2）下面我的目标就是要把上式中的()g x 替换成具体的关于x 的表达式，后面的范围也替换成具体的x 的范围。
所以我们的思路自然而然的是要寻找()1g x <和()1g x ≥下的具体的x 的表达式和范围了。
显然要分类讨论。
如下： 当()1g x <时 ① 当x<0()211g x x x =+<⇒<-故此时1x <-，且()2g x x =+ ② 当0x ≥()211g x x x =-<⇒<<故0x ≤<()21g x x =-当()1g x ≥时 ① 当x<0()211g x x x =+≥⇒≥-故此时10x -≤<，且()2g x x =+ ② 当0x ≥()211g x x x x =-≥⇒≥≤故x ≥()21g x x =-（3）好了，具体的范围和表达式都求出来了。
我们来做个总结如下因此有()1g x <时()()2+2110g x x x g x x x =<-⎧⎪⎨=-≤<⎪⎩ ()1g x ≥时()()2+2101g x x x g x x x =-≤<⎧⎪⎨=-≥⎪⎩ （4）按照我们的总结进行回代到（1）中的式子，如下因此有()()()22122210211011x x e x ex f g x x x x x +-⎧<-⎪≤<⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦+--≤<⎪⎪--≥⎪⎩整理下，最终结果如下()()()22212212110011x x e x x x f g x e x x x +-⎧<-⎪+--≤<⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦≤<⎪⎪--≥⎪⎩===================================所以大家可以看到，严格遵循以上的四个步骤，逻辑严密，而且绝不会出错。
46.分段函数、复合函数和抽象函数
46．分段函数、复合函数和抽象函数分段函数、复合函数和抽象函数是三类特殊的函数，它们的性质及其应用也是函数中的一个难点．如何攻克？只需回归函数及其性质（单调性、奇偶性）的定义，其中有解决上述问题的宝贝，就看你能不能淘出来．一、分段函数1．定义域、值域例1 已知函数⎩⎨⎧≤≤+<<--=.30,1,02,212x x x x y ，则它的定义域是 ；值域是 . 分析：把两段的x 的取值范围并起来，即为函数的定义域；分段求出函数值的取值范围，它们的并集就是函数的值域.解：函数的定义域是]3,2(]3,0[)0,2(-=- .因为函数x y 21-=在区间)0,2(-上是减函数，所以此时51<<y ；因为函数12+=x y 在区间]3,0[上是增函数，所以此时101≤≤y .所以函数的值域是]10,1[]10,1[)5,1(= .评注：函数的定义说得清楚：定义域是自变量的取值范围，何为自变量，就是函数中能自主变化的量.值域是函数值的取值集合，故求分段函数的定义域和值域时，要遵循先分后总的原则，把各段自变量和函数值的取值范围并起来.例2 求函数|1||3|+-+=x x y 的值域.分析：通过讨论x 的范围去绝对值符号后，可把此函数转化为分段函数.解：当3-<x 时，2)]1([)3(-=+--+-=x x y ；当13-≤≤-x 时，42)]1([3+=+--+=x x x y ；当1->x 时，2)1(3=+-+=x x y .所以⎪⎩⎪⎨⎧->-≤≤-+-<-=.1 ,2,13 ,42,3 ,2)(x x x x x f ，因为当13-≤≤-x 时，2422≤+≤-x .所以原函数的值域为}22|{}22|{}2{}2{≤≤-=≤≤--y y y y评注：含绝对值的函数一般都需先去掉绝对值符号再解决问题，而去掉绝对值的方法是讨论自变量的范围，这样就把函数转化成了分段函数.2．奇偶性例3 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=.0,,0,,0,2)(x b x x a x x x f 是奇函数，则=+b a .分析：根据奇函数的定义求出b 的值，根据奇函数的性质求出a 的值，即可求b a +.解：当0<x 时，0>-x ，所以2)(--=-x x f .因为函数)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=-，所以b x x x f +=+=2)(，所以2=b .又因为0)0(==a f ，所以2=+b a .评注：根据奇函数的定义，对于定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，这是本题求解的依据.若给定一个分段函数，判断其奇偶性，那就需依据函数奇偶性的定义，全定义域考证.3．单调性例4 设⎩⎨⎧≥<-+=.1,,1,4)13()(2x ax x a x a x f 是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 . 分析：先求出每一段是增函数时a 的取值范围，再求出当1=x 时24)13(ax a x a ≤-+的a 的取值范围.两个范围的交集即为a 的最终取值范围.解：因为函数)(x f 是R 上的增函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧⨯≤-⨯+>>+.141)13(,0,0132a a a a a 解得21≥a . 所以a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. 淘宝：根据函数单调性的定义，若使函数)(x f 在其定义域上是增函数，只保证答每段都增是不够的，还要保证函数在两端的衔接处也是增的，这一点往往容易被忽视.二、复合函数例5 已知函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是 .分析：函数)78lg(2-+-=x x y 是由函数u y lg =与782-+-=x x u 复合而成的，故它的单调性取决于这两个函数的单调性.因为函数u y lg =是增函数，故若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，只需在0782>-+-=x x u 前提下求出782-+-=x x u 的递增区间，即为函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间，然后通过)1,(+m m 是这个递增区间的子集求m 的取值范围.解：由0782>-+-=x x u ，可得71<<x ，而函数782-+-=x x u 的递增区间为)4,(-∞，∴函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间为)4,1(.若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，须使)4,1()1,(⊆+m m ，只需⎩⎨⎧≤+≥.41,1m m 解得 31≤≤m ，所以m 的取值范围是]3,1[.评注：二重复合函数))((x g f y =的单调性遵循同增异减的规则，解释如下：函数的性质其实都是由对应关系决定的.函数))((x g f y =的自变量是x ，函数值是y ，根据函数单调性的定义，其单调性要看这两个量的变化关联（)(x g 作为中间变量，只起沟通与过渡的作用）.如：若f 和g 同增，则当x 增大时，)(x g 增大，则))((x g f y =也增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =单调递增；而当f 和g 同减时，则当x 增大时，)(x g 减，则))((x g f y =反而增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =也单调递增.所以得出“同增”的结论，“异减”同样分析，关键是看两端（即x 与y ）变化关联.本例的易错点是范围端点值的取舍不当.例6 （多选题）已知函数)(x f 的定义域为R ，且)1(+x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，则下列说法正确的个数为（ ）A ．0)7(=fB ．)(x f 的一个周期为8C ．)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(D ．)(x f 图象的一条对称轴为直线2022=x分析：根据的)1(+x f 和)1(-x f 奇偶性，得到两个等式，进而推出函数)(x f 的的对称性和周期性，即可进行判选.解：由)1(+x f 是偶函数，得)1()1(x f x f +=-①，即直线1=x 是)(x f 图象的对称轴；又由)1(-x f 是奇函数，得-=--)1(x f )1(-x f ②，即点)0,1(-是)(x f 图象的对称中心．在①式中，用1-x 代换x ，可得)()2(x f x f =-；在②式中，用1+x 代换x ，可得)()2(x f x f -=--（原则是把其中一边变成)(x f ）．所以)2()2(x f x f ---=-，用2-x 代换x ，可得)()4(x f x f --=-③，所以)()4()8(x f x f x f -=--=-，所以)(x f 的一个周期为8，B 正确．所以0)1()7(=-=f f ，所以A 正确；由③式得相邻两个对称中心之间的距离是4，所以)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(，所以C 正确；每隔一个周期对称轴出现一次，而5825212022+⨯=-，所以直线2022=x 不是)(x f 图象的一条对称轴，所以D 错误．综上，选ABC ．评注：函数))((x g f 的自变量是x ，对应关系是两个对应关系g f ,的复合，由函数奇偶性的定义，可知当))((x g f 是偶函数时，应有))(())((x g f x g f =-；当))((x g f 是奇函数时，应有))(())((x g f x g f -=-，即只改变其中自变量的符号.所以当)1(+x f 是偶函数时，应有)1()1(x f x f +=-，而不是)1()1(x f x f +=--，后者说明f 即外层函数是偶函数；当)1(-x f 是奇函数时，应有)1()1(--=--x f x f .三、抽象函数例7 若对于任意实数y x ,，都有)()(2)2(y f x f y x f +=+．（1）求)0(f 的值；（2）判断函数)(x f 的奇偶性．分析：)0(f 可通过赋予y x ,特殊值求解，函数)(x f 的奇偶性可依据函数奇偶性的定义判断，但需灵活地设置变量．解：（1）令0==y x ，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)0(3)0(f f =，所以0)0(=f ．（2）令x y -=，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)()(2)(x f x f x f -+=，即)()(x f x f -=-，所以函数)(x f 是奇函数．评注：抽象函数是指未给出函数解析式的函数，解答抽象函数问题时，因无具体的函数解析式可用，所以在研究它们的性质时，要以相关性质的定义为“指引”，有的放矢，灵活变换已知条件．例8 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)0)(()(><+a x f a x f ，则不等式)12()(+>x f x f 的解集为（ ）A ．}1|{->x xB ．}1|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}1|{<x x分析：先由)0)(()(><+a x f a x f 确定函数)(x f y =的单调性，然后把待解不等式转化，即可求出其解集．解：设21x x <，则)0(12>+=a a x x ，所以)()()(112x f a x f x f <+=，所以0)()()()(1121>+-=-a x f x f x f x f ，所以函数)(x f y =在R 上是减函数，所以12+<x x ，解得1->x ．选A ．评注：待解不等式的两端是两个函数值，因而我们考虑先判断函数的单调性，进而运用单调性脱去不等式中抽象的对应关系“f ”，从而化抽象为具体，使不等式获解．。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设，若，则．【答案】1【解析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从算起是解答本题的突破口.因为，所以，又因为，所以，所以，．2.设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为()．A．1B．0C．－1D．π【答案】B【解析】g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0.3.已知【答案】【解析】由分段函数可得，.又因为.所以.故填.【考点】1.分段函数的性质.2.递推类比的思想.3.三角函数的诱导公式及特殊角的三角函数的值.4.已知函数，则 .【答案】【解析】由已知得：.【考点】分段函数.5.已知是上的增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以选C.【考点】1、分段函数的单调性；2、解不等式.6.已知函数，则的解集为( )A．(-∞,-1)∪(1,+∞)B．[-1,-)∪(0,1]C．(-∞,0)∪(1,+∞)D．[-1,-]∪(0,1)【答案】B【解析】（1）-1≤x<0时，则0<-x≤1，此时，f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1f(x)-f(-x)>-1，即-2x-2>-1，得x<-1/2，又因为-1≤x<0，所以，-1≤x<-1/2（2）0<x≤1时，则：-1≤-x<0，此时f(x)=-x+1，f(-x)=-(-x)-1=x-1f(x)-f(-x)>-1，即-2x+2>-1，得x<3/2，又因为：0<x≤1，所以，0<x≤1.综上，原不等式的解集为：[-1,-1/2)(0,1].【考点】1.分段函数；2.不等式的解法.7.函数，则该函数为( )A．单调递增函数，奇函数B．单调递增函数，偶函数C．单调递减函数，奇函数D．单调递减函数，偶函数【答案】A【解析】当时，则，于是，所以为奇函数；结合函数的图像可发现其为单调递增函数.【考点】分段函数的性质.8.函数的零点个数是（）A．2个B． 1 个C．4个D．3个【答案】D【解析】由，解得，由，解得或，故有三个零点．【考点】分段函数零点问题．9.已知函数,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，选C.【考点】分段函数求值.10. .若则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,选D.【考点】分段函数求值.11.已知函数若，则实数的取值范围是．【答案】【解析】根据所给的分段函数，画图像如下：可知已知函数在整个定义域上是单调递减的，由可知，，解得.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.数形结合的思想12.,则 .【答案】【解析】,.【考点】分段函数求值.13.已知函数，则 .【答案】.【解析】，，，所以.【考点】1.分段函数；2.三角函数求值14.已知函数，则的值等于_______．【答案】【解析】由已知分段函数可得：.【考点】1.分段函数；2.基本初等函数求值15.已知函数，则 ( )A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】,所以.【考点】1.分段函数；2.指数、对数运算.16.已知函数，若，则实数等于（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】，，由已知，解得．故选．【考点】求分段函数的函数值.17.已知函数，则________________,【答案】【解析】由已知．【考点】分段函数的值．18.设函数的最小值为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由题意，当时，函数有最小值为，则当时，，即．【考点】分段函数.19.函数的单调递增区间是 .【答案】（-1可以取等号，1不可以）【解析】由，得；又函数在区间上是减函数，利用复合函数单调性的判定得，函数的单调递增区间是（-1,1）.【考点】复合函数单调性的判定20.已知函数，则．【答案】【解析】，同理：，所以.【考点】1.分段函数求值；2.三角诱导公式化简求值.21.,则 .【答案】【解析】因为，，所以-2【考点】分段函数点评：本题是由分段函数求函数值，做这类题目只要结合自变量的范围，代入相应的解析式即可。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a＝________．【答案】或－1【解析】若a≥0，则1－a＝a，得a＝；若a<0，则＝a，得a＝－1.2.设（Ⅰ）当，解不等式；（Ⅱ）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想.第一问，先将代入，解绝对值不等式；第二问，先将代入，得出解析式，将已知条件转化为求最小值问题，将去绝对值转化为分段函数，通过函数图像，求出最小值，所以，再解不等式即可.试题解析：（I）时原不等式等价于即，所以解集为． 5分（II）当时，，令，由图像知：当时，取得最小值,由题意知：，所以实数的取值范围为. 10分【考点】1.解绝对值不等式；2.分段函数图像；3.存在性问题的解法.3.函数，则_______________.【答案】【解析】.【考点】分段函数的解析式4.已知函数若存在，当时，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出函数的图象如图所示，由图可知：.选.【考点】1、分段函数；2、不等关系.5.已知函数，那么 .【答案】【解析】.【考点】分段函数.6.已知函数，则 .【答案】【解析】依题意，，所以.【考点】分段函数7.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.8.已知函数，则满足方程的所有的的值为 .【答案】0或3【解析】当时，，解得；当时，，解得.综上.【考点】1.分段函数；2.指数、对数函数的求值9.设，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴.【考点】1、分段函数；2、指数、对数运算.10.若函数，则（）A．B．1C．D．3【答案】A【解析】，，选A.【考点】分段函数的求值.11.已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，,.（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并证明；（3）若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，，则称函数在处连续。
分段函数与简单复合函数
第三课时（2.1,2.2）
教学目的：1.初步掌握分段函数与简单的复合函数，会求它们的解析式，定义域，值域.
2.会画函数的图象，掌握数形结合思想，分类讨论思想.
重点难点：分段函数的概念及其图象的画法.
教学过程：
一、 复习 函数的概念，函数的表示法
二、 例题
例1. 已知⎪⎩
⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x . 求f(f(f(-1))) （从里往外“拆”）
例2. 已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]
（介绍复合函数的概念）
例3. 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4
1(-⋅x f 的定义域。
例3. 作出函数21++-=x x y 的图像
（先化为分段函数，再作图象）
例5．作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像.
（先化为分段函数，再作图象.图象见课件第一页）
例6.作出函数x
x y 1+=的图象 （用列表法先作第一象限的图象，再根据对称性作第三象限的图象. 图象见课件第二页，进一步介绍函数b y ax x
=+的图象，见课件第三页） 三、 课堂练习 课本P56 习题2.1 3，6
四、 作业 课本P56 习题2.1 4，5 ，《精析精练》P65 智能达标训练。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.2.若函数则____________.【答案】．【解析】由已知得．【考点】求分段函数的值．3.设，则满足的的值为（）A．2B．3C．2或3D．【答案】C.【解析】由题意或.【考点】分段函数.4.已知函数，则的值是 .【答案】【解析】，．【考点】分段函数求值．5.已知函数则函数的零点个数（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由得：.由得：.所以；此时，每一段都是单调递增的，且，，.由此可作出其简图如下图所示（实线部分）：由图可知，该函数有4个零点.【考点】1、分段函数；2、函数的零点.6.已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象如图所示，由图可知：.选.【考点】1、分段函数；2、不等关系.7.设，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴.【考点】1、分段函数；2、指数、对数运算.8.已知定义在R上的函数满足，，且在区间上是减函数．若方程在区间上有四个不同的根，则这四根之和为（）A．±4B．±8C．±6D．±2【答案】B【解析】由知，为奇函数，所以.由得，所以的周期为8.又由及得：，所以的图象关于直线对称.又在区间上是减函数，由此可得在一个周期上的大致图象：向左右扩展得：由于方程在区间上有四个不同的根，由上图可知，要么是，要么是，所以四个根之和要么为－8，要么为8.选B.【考点】1、抽象函数的奇偶性和周期性单调性及图象；2、方程的根.9.若函数，则（）A．B．1C．D．3【答案】A【解析】，，选A.【考点】分段函数的求值.10.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．[1，2]B．[0，4]C．（0，4]D．[，4]【答案】D【解析】依题意，得，即，故 .【考点】1.抽象函数的定义域；2.不等式的解法.11.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】分段函数零点的判定，常借助于函数图像与轴的位置来确定.函数是由函数的图像上下平移得到，当，时，函数有一个零点；函数的图像是一条开口向上的抛物线，当，，即时，有两个零点；因此，满足题设的实数的取值范围是.【考点】分段函数指数函数二次函数的图像与性质函数零点的判定12.已知实数，函数，若，则的值为 .【答案】【解析】时，，解之得（舍）；时，，解之得.本题易忽略分类讨论，直接由得，从而造成错误.【考点】考查分段函数，方程的解法及分类讨论思想.13.已知实数，函数，若，则的值为 .【答案】【解析】时，，解之得（舍）；时，，解之得.本题易忽略分类讨论，直接由得，从而造成错误.【考点】考查分段函数，方程的解法及分类讨论思想.14.函数的图象与函数的图象的公共点个数是个【答案】2【解析】做出函数和的图象如图，显然有2个公共点.【考点】1.分段函数的图象；2.对数函数图象的变换.15.已知则的值等于．【答案】【解析】由题意知.【考点】分段函数16.设函数，则满足的的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，由得，解得，所以不等式在区间上的解集为；当时，由得，解得，所以不等式在区间上的解集为，综上所述，满足的的取值范围是.【考点】分段函数、对数函数17.已知函数若，则等于．【答案】或【解析】令，满足，当，满足所以等于或【考点】分段函数点评：分段函数由函数值求自变量时需在各段内分别求x的值，求出后注意验证各段的x的范围是否满足18.已知函数，（，且），若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，函数，（，且），且数列满足，且是递增数列，所以，=在（1，+∞），是增函数.由复合函数的单调性，在（，+∞）是增函数，所以，a>1，且，解得，，故选C。
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例题与练习
x + 2 ( x ≤ −1) 2 (−1 < x < 2) 例1 已知函数 f ( x) = x 2 x ( x ≥ 2)
1 1 （1）求 f (2), f ( ), f ( f ( − )) 的值。 2 2
（2） f (a ) = 3，求a的值。 ，求a
4
例题与练习
有些函数在它的定义域中, 有些函数在它的定义域中,对于自变 的不同取值范围,对应法则不同, 量 x的不同取值范围,对应法则不同, 这样的函数通常称为分段函数. 这样的函数通常称为分段函数.
注意
1.分段函数是一个函数,不要把它误 分段函数是一个函数, 分段函数是一个函数 认为是几个函数. 认为是几个函数. 2.写分段函数的解析式 写分段函数的解析式, 2.写分段函数的解析式,在注明定义 域时,一定注意“上一段” 域时,一定注意“上一段”与“下一 的定义域不能有重叠部分. 段”的定义域不能有重叠部分. 3
6
例题与练习
例3 已知函数 f ( x) = x + 1, g ( x) = x + 1
2
求函数 f ( x − 1), 的解析式。
f ( f ( x)), f ( g ( x)), g ( f ( x))
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例题与练习
例4 已知函数 f ( x + 1) = x + 3 x + 4
2
求函数
f ( x), f ( x − 1) 的解析式。
例2 已知函数
1, ( x ≥ 0) f ( x) = −1, ( x < 0)
的解集。
求不等式
xf ( x) + x ≤ 2
5
复合函数 引例 已知 f ( x) = x + 1, 求 f (2), f ( a ) 的值。
2
思考：那么 f (2 x + 1) 呢？
概念 y关于Βιβλιοθήκη 函数的y=f［g(x)］叫做 关于x函数的y=f g(x)］ y=f［ 函数f 的复合函数。 函数f与g的复合函数。
分段函数 与 复合函数
分段函数 引例
崇明出租车价格如表
路程 x 千米） （千米） 价格 y (元） 元 起步(3千米 起步 千米) 千米 12元 元 之后7千米 之后 千米 2元/千米 元 千米 以后 3元/千米 元 千米
1、试用函数解析式表示之 、 2、画出对应的函数图像 、
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分段函数的概念
概念
1 1 2 练习：已知 f ( x + ) = x + 2 ，求函数 x f ( x) 的解析式。x
8
谢谢，再见！