向量组的线性相关性

§4.5 向量组的相关性
定理2 向量组 1,2 ,,m 线性相关的充分必要条件是它所
构成的矩阵 A 1,2, ,m 的秩小于向量个数m；向量组
线性无关的充分必要条件是R(A)=m.
例1 n维向量组
e1
10
，
e2
0 1
0
0
，…，
en
0 0
1
称为n维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。
如果A组与B组等价，这里矩阵K可逆 B=K-1A （B组由A组线性表示）
即 A=KB而 B=K-1A, A组与B组等价。
§4.5 向量组的相关性
定义4 给定向量组A：1,2, ,m ，如果存在不全为零的 数 k1 , k2 ,, km ，使
k11 k22 kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。
第四章 向量组的线性相关性
§4.1 n维向量
（一） 定义1 n个有次序的数 a1, a2 ,, an 所组成的数组称为 n个维分向量量。，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i
分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称 为复向量。以下除特殊说明外，一般只讨论实向量。
n维向量可写成一行，也可写成一列。按第二章的规定，
A： 1, 2 ,, r
B： 1 , 2 ,, s
A组由B组线性表示 即
1 k111 k 21 2 ks1 s 2r kk112r 11 kk2221 22 kkssr2ss
（*）
§4.4 向量组等价的概念
矩阵乘法形式表示
即 A=KB（A组由B组线性表示）
（*）为列向量组构成矩阵算法形式，（*）也可写成行向量组构成 矩阵算法形式
因为 1, 2 , m1,1 这m个数不全为0（至少1 0）,所以 向量组A线性相关。
即 向量组 1,2, ,m (m 2) 线性相关 1, 2 ,, m 中至
少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。
向量组1, 2 ,, m 线性无关
1, 2 ,, m 中任何一个向
量都不能被其余向量线性表示。
（二） n维向量的线性运算 （三） n维向量的线性运算满足的性质
§4.2 n维向量组的概念
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的
集合叫做向量组。例如一个 m n 矩阵 A (aij ) 有n个m维列
向量
a1 j
j
a2
j
,
( j 1, 2,
, n)
amj
它们组成的向量组 a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组。
n m 矩阵 A 1,2, ,m
m个n维行向量所组成的向量组
T 1
,
T 2
,,
T m
构成一个
m
n矩
阵
B
T 1
T 2
T m
可见矩阵与向量组是一一对应的关系。
§4.3 线性组合的概念
定义2 给定向量组A：a1, a2 ,, a，m 对于任何一组实数 k1 , k2 ,, km ，向量
k1a1 k2 a2 km am
向量组A：a1, a2 , , am (m 2) 线性相关，也就是在向量组 A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。这是 因为：
如果向量组A线性相关，则有不全为0的数 k1, k2 ,, km 使
k11 k22 kmm 0。因 k1 , k2 ,, km不全为0, 不妨设
k1 0 于是便有
a1
1 k1
k2 a2
即a1能由2, ,m 线性表示。
kmam
§4.5 向量组的相关性
如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表 示，不妨设m 能由1,2 , ,m1线性表示，即有1, 2 , m1 使 m 11 22 m1m1，于是
11 22 m1m1 (1)m 0
在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向 量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象， 在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式——三个 有次序的实数，也就是3维向量，因此当n 3 时, n维向量可 以把有向线段作为几何形象，但当n 3 时，n维向量就不再 有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。
m n 矩阵A又有m个n维行向量
iT (ai1, ai2 , , ain ), (i 1, 2, , m)
它们组成的向量组
aT 1
,
aT 2
,
,
aT m
称为矩阵A的行向量组
§4.2 n维向量组的概念
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 例如 m个n维列向量所组成的向量组 1,2, ,m构成一个
即可同时看出矩阵1,2,3 及 1,2 的秩，利用定理2即可
得到结论。
1
1,2,3 1
0 2
2
1
4
r2 r1
r3 r1
0
0 2
2 2
r3 52r2
1 0
0 2
2
2
1 5 7
0 5 5
0 0 0
可见R1,2,3 2，向量组1,2 ,3 线性相关；R1,2 2，
称为向量组A的一个线性组合，k1
,
k
2
,
,
k
称为这个线性组合
m
的系数。
给定向量组A：a1 , a2 ,, am 和向量 ,如果存在一组数1, 2 , m
，使 1a1 2a2 mam
则向量 是向量组A的线性组合，这时称向量 能由向量组 A线性表示。
§4.4 向量组等价的概念
定义3 设有两个向量组A：1,2, ,r 及B：1, 2, , s，若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B 能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线 性表示，则称这两个向量组等价。
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵
E e1, e2 ,, en
是n阶单位矩阵，由 E 1 0，知 R(E) n ，即R(E)等于向 量组中向量个数，故由定理2知此向量组线性无关的。
例2 已知
1
1 1
，
2
0
2
1
5
，
3
2
4
7
试讨论向量组及向量组的线性相关性。
解 对矩阵1,2,3 施加初等行变换变成行阶梯形矩阵，
分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规
定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此，n
1
维列向量
2
与n维行向量T
1
2
n 总看作是
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n
两个不同的向量（按定义1， 与T 应是同一个向量）。
§4.1 n维向量
列向量用小写字母 、、 等表示, 行向量则用 T、T、 T 等表示，所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时， 都当作列向量。