量子作业有答案版本

= 0 处找到
4
粒子的几率最大。
12、一维谐振子在 t = 0 时处在归一化的波函数ψ (x, 0) =
1ψ 5
0
(
x)
+
1ψ 2
2
(
x)
+
cψ
3
(
x)
所
描写的状态中，式中ψ (x) 是一维谐振子的能量本征函数，求：（1）利用归一化求 c 的值；
（2）测量能量的可能值、相应的概率及能量的平均值。（3）求测量能量大于 2 ω 的几率。
Ψ3
+
1 10
Ψ5
，所
以体系的
能量的可能取值是
E3
=
9π 2 2 2ma2
，
E5
=
25π 2 2 2ma2
，它们测量的几率分别为 9 10
，1 10
。
15、已知质量为 m 的一维粒子的波函数为：
e ⎧
ψ
n
(
x,
t
)
=
⎪ ⎨
⎪⎩
2 sin( nπ x) LL
0
wenku.baidu.com−ix
t
n
/
h
(0 < x < L)
，
(x ≤ 0, x ≥ L)
6 、 已 知 粒 子 在 (0, a) 之 间 的 一 维 无 限 深 势 阱 中 运 动 ， 粒 子 的 波 函 数 为
ψ
=
π A[sin(
x) + sin(3π
x)] ，求：
a
a
（1）归一化常数 A ；（2）粒子能量的可能值及几率；（3）测量粒子能量的平均值。
（粒子在 (0, a) 一维深势阱中波函数ψ n =
能级为
En
=
π 2h2 2mL2
n2 ， (n
= 1, 2,3)
（1）写出基态和第 4 激发态的能量；
（2）计算在ψ n (x, t) 上，测和所得结果；
（3）写出粒子的几率密度分布函数； （4）求粒子在基态和第 2 激发态时的最可几位置。
解：（1）基态能量
E1
=
π 2h2 2mL2
第
4
激发态的能量
E5
=
52
E1
=
25π 2h2 2mL2
6
∫ ∫ ∫ （2） x =
Lψ
0
n
xψ
n*dx
=
2 L
L x sin2 nπ xdx = 1
0
L
L
L
(x
−
x cos
2nπ
x)dx
=
L
0
L
2
∫ ∫ Px =
Lψ
0
n
(ih
∂ ∂x
)ψ
n*dx
=
−
2ihnπ L2
L sin nπ x cos nπ x dx = 0
2
2
∑ 解：（1）由 cn 2 = 1 ，即
n
1 5
+
1 2
+ c 2 = 1 ，得 c = 3 10
（2）因为ψ (x, 0) =
1ψ 5
1
(
x)
+
1ψ 2
2
(
x)
+
3ψ 10
3
(
x)
，由
En
=
(n
+1/
2)
ω ，则体系的
能量的可能取值为
E0
=
1 2
ω ，其几率为 1 ； 5
E2
= (2 + 1) 2
的特点：
（1） 粒子处于定态时能量具有确定的值，即为 E ；
（2）粒子处于定态时的几率密度，几率流密度与时间无关。 3、简述玻尔理论的核心思想？ 玻尔假设： （1）定态假设： 电子沿着特定的轨道运动，在这些特殊的轨道上电子处于稳定状态，不向外辐射电磁波； （2）频率条件：
电子由定态向定态 En 跃迁时吸收或辐射频率为ν 的光子，且满足关系式 Em − En = hν
∞1 −∞ 1+ x2 dx
=
c2
arctan
x
∞ −∞
=
c2π
=1
解得 c = 1 ，则ψ = 1 1
π
π 1+ ix
（2） w(x) =
ψ
2
=ψ *ψ
=
1 π (1+
x2 )
（3）由 dw(x) dx
x= xm
= 0 ，解得 xm
= 0 ，由 d 2w(x) dx2
x=0
< 0 ，故为极大值。即 x
5、简述量子力学中态的叠加原理。
答：如果 Ψ1 和 Ψ2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加 Ψ = c1Ψ1 + c2Ψ2 （ c1, c2 是复
数）也是这个体系的一个可能的状态，这就是量子力学中态的叠加原理。其含义为：当粒子
处于 Ψ1 和 Ψ2 的线性叠加态 Ψ 时，粒子是既处在态 Ψ1 ，又处在态 Ψ2 。
=
5π 2 2 2μa2
。
7、一粒子被限制在相距为 l 的两个不可穿透的壁之间如图所示。描写粒子状态的波函数为
ψ
=
cx(l
− x) ，其中 c 为待定常数。求在 0
~
1 l
区间内发现该粒子的几率。
3
解：由归一化得
∫ ∫ l ψ
2
dx
=
l c2 x2 (l − x)2dx = 1
0
0
解得 c =
30 ，则ψ = l5
解：由
En
=
E1 n2
，
E1
=
−13.6
eV
得
En − E1 = 12.2 eV 求得 n = 3
可能的跃迁是 E3 → E1 ， E3 → E2 ， E2 → E1
由υnk
=
1 λ
=
1 R( k 2
−
1 n2
)
得
λ31
=
9 8R
=
102.6
ｎｍ
λ32
=
36 5R
=
656.3 ｎｍ
λ21
=
4 3R
= 121.6
2 sin 5π x = 3c aa
a 2
Ψ3
(
x)
+
c
a 2
Ψ
5
(
x)
ϕϕ
=
3c
a 2
Ψ
3
(
x)
+
c
a 2
Ψ
5
(
x)
3c
a 2
Ψ
3
(
x)
+
c
a 2
Ψ
5
(
x)
= 9c2 a + c2 a = 5ac2 = 1 22
∴c = 1 5a
∴归一化的波函数为φ =
3 10
Ψ3
+
1 10
Ψ5
（2）因为φ =
3 10
0
L
L
（3）ψ nψ
*
n
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2 L
sin 2 0
nπ x L
(0 < x < L) (x ≤ 0, x ≥ L)
（4）基态 n
= 1， ψ1
2
=
2 sin2 L
nx L
令
d
ψ1 dx
2
=
0
即
2π L2
2sin π x L
cos π x L
=
2π L2
sin
2π x L
=
0
所以 x = 0, L , L ； 2
=
c2π
=1
解得 c = 1 ，则ψ = 1 1
π
π 1− ix
（2）由 dw(x) dx
x= xm
= 0 ，解得 xm
=
0
，由
d
2 w( x) dx2
x=0
< 0 ，故为极大值。即 x
= 0 处找到
粒子的几率最大， w(0) = 1 。 π
5
14、已知体系处于叠加状态ψ (x) = 3sin 3π x + sin 5π x 中，粒子被限制在 0 ≤ x ≤ a 的范围
ω=5 2
ω ，其几率为 1 ； 2
E3
=
(3 +
1) 2
ω=7 2
ω ，其几率为 3 。 10
能量的平均值为
E
=
1 5
E0
+
1 2
E2
+
3 10
E3
=
12 5
ω
测量能量大于 2 ω 的几率为 1 + 3 = 4 2 10 5
13、已知做直线运动的粒子处于状态ψ (x) = 1 1− ix
（1）将ψ (x) 归一化；
（3）轨道角动量量子化假设：
∫ 电子只能沿着特定的轨道运动，满足轨道量子化 pdq = nh
4、简析波恩关于量子力学的统计解释？
答：微观粒子的运动状态由波函数描述，波函数的模的平方 Ψ(r ,t ) 2 表示在 t 时刻
x ~ x + dx, y ~ y + dy, z ~ z + dz 区间单位体积元内找到粒子的几率。
V
(x)
=
⎧0, ⎨⎩∞,
0≤ x≤a x < 0, x > a
中运动，试求体系的能量本征值及相应的归一化本征函数。
3
2
解：体系的状态波函数满足如下薛定谔方程：－ 2m
d2 ψ dx2
=
Eψ , 0 <
x
<
a
∴本征函数为 ：ψ (x) = Asin kx
k2
=
2mE
2
k2
=
n2π 2 a2
，即， En
=
n2π 2 2 2ma2
由归一化条件得： A = 2 ∴ψ (x) = 2 sin nπ x
a
aa
10、粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，其波函数为：
ψ (x) = 2 sin 3π x (0 < x < a) ，试求粒子出现概率最大的位置。 aa
解：由粒子出现的几率密度为
w = ψ 2 = 2 sin2 3π x ，欲使粒子出现的几率最大，即 aa
30 l5
x(l
−
x)
∫ ∫ 则在 0
~
1 l
区间内发现该粒子的几率为W
=
3
l2
3 ψ dx =
0
l 3 0
30 l5
x2
(l
−
x)2dx
=
17 81
。
8、已知粒子在 (0, a) 之间的一维无限深势阱中运动，粒子的波函数为ψ n =
2 sin( nπ x) ， aa
求在阱壁 a = 0 到 a 找到粒子的几率？当 n = 2 时，此几率是多大？ 3
第一章作业 1、在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度 d 必须等于德布罗意 波半波长的整数倍。试利用这一条件导出能量量子化公式
En
=
n2
h2 8md 2
,n
= 1, 2,3
（提示：非相对论的动能动量关系为 P2 = 2mEk ）
解：由 n ⋅
λ 2
=
d
，由德布罗意关系
p
=
h λ
ｎｍ
3、在基态氢原子被外来单色光激发后发出的巴尔末系中。仅能观测到三条谱线。试求：
（１）外来光的波长；（２）这三条谱线的波长。
解：（１）由仅能观测到三条谱线，则氢原子被激发到第四激发态即 n = 5
由 − 13.6×1.6 ×10−19 n2
− (−13.6×1.6×10−19 )
=
hυ
=
h
c λ
解得 λ
=
95.2nm
（２）对巴尔末系υ
=
1 λnk
=
R(
1 k2
− 1) n2
所以 λ23 = 656nm ， λ24 = 486nm ， λ25 = 434nm
4、证明电子具有波动性的实验是（C） A．夫兰克—赫兹实验； B．史特恩—盖拉赫实验； C．电子束衍射实验； D．康普顿效应。
1
第二章作业
1、量子力学波函数ψ (r , t ) 是应该满足什么样的标准条件？ ψ (r , t ) 2 dτ 的物理含义是什
2
a
（2）由能级 En
=
n2π 2 2 2μa2
，得 E1
=
π2 2 2μa2
，几率为 ω1
=
(A
a )2 2
=
1 2
；
E3
=
9π 2 2 2μa2
，几
率为ω1 = ( A
a )2 = 1 。 22
（3）测量粒子能量的平均值为 E
= ω1E1
+ ω2E2
=
1 2
π2 2 2μa2
+
1 2
9π 2 2 2μa2
∫ ∫ ∫ 答：W =
a
3 w(x)dx =
a2
3 ψ dx =
a 3
2 sin2 ( nπ
x)dx
0
0
0a
a
∫ = 1
a
3 (1− cos
2nπ
x)dx
=
1−
1
sin 2nπ
a0
a
3 2nπ 3
当n = 2时
W
=
1− 1 3 2nπ
sin
4π 3
=
40.2% 。
9、质量为 m 的粒子，在一维无限深势阱
sin2 3π x = 1，即 3π x = (2k +1) π ，即 x = (2k +1) a
a
a
2
6
当 k = 0 时， x = a ；当 k = 1 时， x = a ；
6
2
当 k = 2 时， x = 5a ；当 k = 3 时， x = 7a （不合题意，舍去）
6
6
故在阱内，坐标为 a ， a ， 5a 三处出现粒子的几率最大。 62 6
么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是
单值、有限和连续的；ψ (r , t ) 2 dτ 表示在 t 时刻 r 附近 d τ 体积元中粒子出现的几率。
2、写出定态波函数，定态的特点？
答：由定态波函数描述的状态称为定态；定态波函数为ψ (r ,t ) =ψ (r ) exp(− i Et) ；定态
a
a
内运动，（1）试将 ψ (x) 归一化；（2）求体系能量的可能取值及其相应的几率。（一维方势
阱能级
En
=
n2π 2 2 2ma2
，n
= 1, 2,3
）
解：（1）令ϕ = cψ ( x) = 3c sin 3π x + c sin 5π x
a
a
= 3c
a 2
2 sin 3π x + c aa
a 2
2 a
sin( nπ a
x) ，能级 En
=
n2π 2 2 2μa2
）
答：（1）由ψ n =
2 sin( nπ x) 知 ψ = A[sin(π x) + sin(3π x)] = A(
aa
a
a
aψ 2
1
+
aψ 2
3
)
，
2
归一化 ( A a )2 + ( A a )2 = 1，得 A = 1 。
2
∫ ∫ （2）求出粒子坐标几率最大处的位置。（已知定积分
∞1 −∞ 1+ x2 dx
=
π
，
∞1 0 1+ x2
dx
=
π 2
）
解：（1）令ψ (x) = c 1 ，由归一化得 1− ix
∫ ∫ ∫ ∞
ψ
2
dx
=
−∞
∞ ψ *ψ dx = c2
−∞
∞1 −∞ 1+ x2 dx
=
c2
arctan
x
∞ −∞
=
n
h 2d
则粒子的能量
E
=
P2 2m
=
n2
h2 8md
2
,
n
= 1, 2,3
2、在气体放电管中，高速电子撞击原子发光，如高速电子的能量为 12.2eV，轰击处于基态 的 氢 原 子 。 试 求 氢 原 子 被 激 发 后 所 发 射 的 光 谱 线 波 长 。（ 已 知 里 德 伯 常 数
R = 1.097 ×107 m−1 ）
11、一个粒子沿 x 方向运动，可以用下面的波函数描述ψ (x) = c 1 1 + ix
（1）求归一化的波函数。
（2）求概率密度函数。
∫ （3）什么地方出现粒子的几率最大？（已知定积分
∞1 −∞ 1+ x2 dx
=π
）
解：（1）由归一化得
∫ ∫ ∫ ∞
ψ
2
dx
=
−∞
∞ ψ *ψ dx = c2
−∞