高中数学《组合》公开课PPT课件

m 1 nm

(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!

n! m!(n m)!

C
m n
.
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
（1）有序与无序的区别
（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序
2.理解组合数的的定义与公式
（1）Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
（2）Cnm

n! m!(n m)!
有关组合的应用题
例1．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中 以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛 时一个足球队的上场队员是11人．问：
abd
abd bad dab
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
A3
对于 4 ，我们可以按照以下步骤进行
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共
需握手多少次?
组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
素的所有组合.
a
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意：
Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
n
n
m
组合数公式:
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm

n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0
1.
例题分析
例1.计算：
C C C （1） 4 和 3 ；（2）
7
7
3和
100
C939
C929
组合数的性质
（1）
Cnm

C nm n
（2）
Cm n1
C m1 n2

C m1 n

C m1 n

2Cnm
②
Cm n1

C m1 n

Cm n1

C m1 n1
（4）求 C91 C92 C99 的值
511
例3.
求证
:
Cm n

m 1 nm

C
m1 n
.
证明:

C
m n

m（! nn！m）!,
m 1 nm
C m1 n
组合
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.

Cnm

C m1 n
例2．计算：
（1）C86 C84 2C85
（2） C96 C160 C95
C （3） 94 96

C 95 97

C 96 98

C 97 99
练习
（1）求
C 96 99

C 97 99
的值
161700
（2）求满足C1x72 C127x的x值
5或2
（3）求证：①
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 Anm．
百度文库
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：Cnm

Anm Amm

nn 1n 2n m 1
m!
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合
数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员 上场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的 守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
的所有组合个数是:
C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 两个元素的所有组合个数是： C42 6
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c bd ac d b cd
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc
排列
abc bac cab acb bca cba
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 C A
3
3
C4 3 4

P4 3
34
P3 3 3
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列 数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的
组合数 Cnm．
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
思考一:aB与Ba是相同的排列 还是相同的组 合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?