§4 4.2 简单线性规划
04第四章线性规划的求解法
第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多，而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时，大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得： 1. 中心部位具有单位子块； 2. 右列元素非负；这时可以先用容许的运算使由列为非负，然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述： 例4.1123123123123min 32..323624,,0z x x x s tx x x x x x x x x =-+++-=-+-=-≥ （4.1.1）列成表格：上述第三张表中人工增加了两个变量45,x x ，称为人工变量，即把原来的约束条件改为：1234123512345..323624,,,,0s tx x x x x x x x x x x x x +-+=-++=≥ （4.1.2） 式（4.1）和（4.2）的约束方程组并不同解，但（4.1）的解和（4.2）中450x x ==的解是相对应的。
只要找到以（4.2）为约束条件，且人工变量45,x x 均为自由变量的基本可行解，也就找到了（4.1）的基本可行解，于是，要设法迫使450x x ==。
以上途径通过修改（4.1）的目标函数来实现。
具体修改为：12345min 32z x x x Mx Mx =-++++ （4.1.3）其中M 为足够大的正数，然后以（4.2）为约束条件，求（4.3）的最小值。
只要45,x x 不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M 倍。
由于M 为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在45,x x 取正值时达到最小值。
本例中把表改为：通过运算使它具备第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0，然后再严格按照单纯形法的步骤求解：由于M 为足够大的正数，所以-3-4M 应视为负数，故选它。
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
第一部分第三章§4简单线性规划
2．确定最优解的方法 如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目 标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某 个顶点．到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法： (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过 的顶点便是最优解；
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成 可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…＜ kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1 时，直线li与li＋1相交的点一般是最优解．
[答案] D
[一点通] 解二元线性规划问题的一般步骤是 (1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0 (目标函数为z＝ax＋by)； (2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取 得最大值或最小值的点； (3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组) 及最大值和最小值； (4)答：给出正确答案．
解析：由约束条件画出可行域(如图 所示)为矩形ABCD(包括边界)，点C 的坐标为(3,1. ∴a＞1. 答案：(1，＋∞)
1．线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约 束条件下的最大值或最小值问题，即线性目标函数在 可行域中取得最优解，求线性目标函数z＝ax＋by的最 优解用图解法，常借助于直线ax＋by＝t在坐标平面上 的可行域范围内平行移动，观察直线ax＋by＝t的纵截 距的大小，得z的最优解．
线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件 由x、y的一次不等式组成的不等式组
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函 目标函数
数 线性约束
二元线性规 在
条件下求目标函数的最大值或最
划问题 小值问题
名称
意义
可行解 满足约束条件 的解(x，y)
简单线性规划 课件(48张)
22
由 z＝x＋3y，得 y＝－13x＋3z，平移直线 x＋3y＝0 可
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7.
x＝1，
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23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
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30
[变式训练] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不
2x－y－2≥0， 等式组x＋2y－1≥0，所表示的区域上一动点，则直线
3x＋y－8≤0， OM 斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－13 D．－12
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31
2x＋y－5≥0， (2)已知3x－y－5≤0，求(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大、
简单的线性规划
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1
[学习目标] 1.了解线性规划的意义，了解线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概 念． 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值． 3.训练数形结合、化归等 数学思想，培养和发展数学应用意识．
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x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
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2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
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高中数学 第3章 不等式 4.2 简单线性规划讲义教案 北师大版必修5
学习资料4．2 简单线性规划学习目标核心素养1．了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．（重点）2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点）1．通过学习与线性规划有关的概念，培养数学抽象素养．2．通过研究最优解的方法,提升数学运算能力．简单线性规划阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题（1)线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x,y的一次不等式（组）线性约束条件关于x，y的一次不等式（组）目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题①目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!，当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．当b＞0，截距最大时，z取得最大值,截距最小时，z取得最小值;当b＜0，截距最大时,z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．②解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答"四步,即（ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．（ⅱ)移:运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．(ⅲ)求:解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(ⅳ)答：写出答案．思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？［提示］可能唯一，也可能不唯一．(2）若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时,z具有怎样的几何意义？［提示]由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距．1．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4 B．0C．错误!D．4D［作出可行域，如图所示．联立{x＋y－4＝0，，x－3y＋4＝0，解得错误!当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4．]2．若实数x，y满足错误!则s＝x＋y的最小值为．2[如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知，当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时,s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2．］3．如图，点(x，y）在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为．1［法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大,即z的值最小,为2×1－1＝1．法二：将点A，B，C,D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小,得在A点处取得最小值为1．］4．已知点P（x，y）的坐标满足条件错误!点O为坐标原点，那么｜PO｜的最小值等于，最大值等于．2错误!［画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示,因为｜PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使｜PO|取得最小值的最优解为点A(1,1）;使｜PO｜取得最大值的最优解为点B(1，3），所以|PO｜min＝2，|PO｜max＝错误!．］线性目标函数的最值问题【例1】的最大值为．错误!［由题意画出可行域(如图所示),其中A（－2，－1)，B错误!,C（0，1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过B错误!时，z取最大值错误!．]用图解法解决线性规划问题的关键和注意点，图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解,再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值.错误!1．若x ,y 满足约束条件错误!则z ＝x －2y 的最小值为 ．－5 ［画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点（3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5．]线性规划问题中的参数问题【例2】 已知变量x ,y 满足的约束条件为错误!若目标函数z ＝ax ＋y （其中a ＞0)仅在点（3,0)处取得最大值,求a 的取值范围．［解］ 依据约束条件，画出可行域．∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－错误!， 目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0）对应直线的斜率k 2＝－a , 若符合题意，则需k 1＞k 2．即－12＞－a ，得a ＞错误!．含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的，应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值。
简单线性规划最终版课件
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
《§4.2简单线性规划说课》 课件
Ax
0
Ax
0
C
B
，
y
Q(x0,y)
Ax
0
C
B
）
C
B
=MQ
∴点P0在直线L的上方
o
0
M
x
必要性：∵点P0(x0,y0)在L的上方
∴MP0＞MQ即y0＞－
Ax C
L
B
又B＞0 ∴Ax0+By0+C＞0
结论：
新课标北师大版课件系列
《高中数学》
必修5
y
o
x
教 材 分 析 学 情 分 析 教 法 分 析
过 程 分 析
教 材 分 析
1．地位、作用：承上启下，渗透化归和数形结 合的思想.它不仅有广泛的实际应用，还是对学 生进行计算、作图等基本训练的重要题材，更 是学生进一步学习高等数学的基础。 2．教学内容 （1）集合的观点和语言分析，描述二元一次方程 和二元一次不等式（组）所表示的平面区域。 （2）通过尝试指导,探索总结二元一次不等式（组） 表示平面区域的方法，即“直线定界、特殊点定域”。
学
情
分
析
1.有利积极因素:
本节内容只要学生对不等式(组)以及 直线方程有一定基础的话,学生都能够接 受这个知识点.
2.不利消极因素:
学生的数形结合的思想还不完善,学生 识图,画图能力还不怎么好.
教学方法和手段的选择
讨论与尝试指导法
为了突出重点，设计采取观察启发和讨论问题解 决的方式引出课题，使学生主动参与提出问题和探索 问题的过程，同时，遵循“先试后导，先练后讲”的 原则，让学生在寻求解决问题方法的尝试过程中获得 自信和体验成功，以激发学习兴趣。 为了突破难点，设计让学生讨论，通过观察分析→ 归纳猜想→推理论证→巩固反馈来理解平面区域确定方 法的研究 为帮助学生对二元一次不等式（组）表示平面区域画 法的认识和掌握，加强课堂练习的反馈。
简单线性规划
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的
排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用 为________百万元．
解析：可设需购买 A 铁矿石 x 万吨，B 铁矿石 y 万吨， 则根据题意得到约束条件为 x≥0， y≥0， 0.5x＋0.7y≥1.9， x＋0.5y≤2， 目标函数为 z＝3x＋6y，画出不等式组表示的平面区域 如图所示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值， 最小值为 zmin＝3×1＋6×2＝15. 答案：15
直线 l 哪一侧的平面区域．当C≠0时，常取
(4)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面
区域的 公共部分 ．
2．线性规划的有关概念
名称 约束条件 由x，y的一次 意义 不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 关于两个变量x、y的一个 线性 函数
可行解
可行域
满足约束条件的
解(x，y)
所有可行解组成的 集合
[答案] C
解题反思
与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问
题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未 知数，确定线性约束条件及目标函数；②转化为线性规 划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最 优解．
实战演练
3．(2013· 南通模拟)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨 铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
线性规划
基础知识
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)直线l：Ax＋By＋C＝0，把直角坐标平面分成了 三个部分：
①直线l上的点(x，y)的坐标满足 Ax＋By＋C＝0 ；
②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足Ax ＋By＋C>0；
§4 4.2 简单线性规划
的交点， 顶点 B 为直线 x + 2y = 4 与直线 x+ 2 = 0的交点， 解方程组
x + 2y = 4, x + 2 = 0. 求出顶点 代入目标函数， 可求出顶点 B 的坐标为 ( −2,3) ,代入目标函数，即可得最小值
zmin = 3×( −2) −3 =−9.
B
y
l0
A
x − y =1
o
B
a
a +b = 4 a +b = 2
由
由
, a −b =−1 3 5 得 D( , ) ; 2 2 a +b = 4,
计算这些顶点的目标函数值： 计算这些顶点的目标函数值：
4a −2b = 0 a −b =−1
b
1 3 zA = 4× −2× =−1 ; 2 2 zB = 4×2−2×0 = 8; zC = 4×3−2×1=10; 3 5 zD = 4× −2× =1. 2 2
o
C
x =−2
x
x + 2y = 4
的交点， 顶点 A 为直线 x + 2y = 4 与直线 x − y =1的交点， 解方程组
x + 2y = 4, x − y =1.
y
B
l0
A
x − y =1
o
C
x =−2
x
x + 2y = 4
得到顶点 代入目标函数，即可得最大 得到顶点 A 的坐标为 ( 2,1) ,代入目标函数，即可得最大值
x ≥−3, y ≥−4, −4x +3y ≤12, 4x +3y ≤ 36.
的最小值与最大值； （1） 求目标函数 z = 2x +3y 的最小值与最大值； ） 的最小值与最大值 最大值； （2） 求目标函数 z =−4x +3y − 24 的最小值与最大值； ）
4线性规划的基本理论
第四章线性规划本章主要内容：线性规划的基本理论线性规划的单纯形法线性规划的对偶理论线性规划的对偶单纯形法教学目的及要求：理解线性规划的基本理论；掌握线性规划的单纯形法；理解线性规划的对偶理论；掌握线性规划的对偶单纯形法。
教学重点：线性规划的单纯形法.教学难点：线性规划的对偶单纯形法.教学方法：启发式.教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合.教学时间：6学时.教学内容：§4.1线性规划的基本理论考虑线性规划问题nmin工耳号；J-In< =bJ = 12・・・M (LP)丿・ix j noj = i2・・・/・或min c l x\4 s.t. Ax = b.x>0.其中只=(呂山2、・・・必$工=(5工2、・・・£$少=(»6，・・・、叽丫小=(佝人初A称为约束矩阵，= b称为约束方程组，xXO称为非负约束.假定：rank(A) = m .定义在(LP)中，满足约束方程组及非负约束的向量'称为可行解或可行点；所有可行解的全体称为可行解集或可行域，记作K,即K = {Ax = b,x>0} •使目标函数在K上取到最小值的可行解称为最优解；最优解对应的目标函数值称为最优值.定义 在（LP ）中，约束矩阵A 的任意一个加阶满秩子方阵3称为基，B 中 加个线性无关的列向量称为基向量，土中与B 的列对应的分量称为关于B 的基变 量，其余的变量称为关于B 的非基变量.任取（LP ）的一个基B^p^Ph ，…，pQ,记勺=（&，%•••，①），若令关 于B 的非基变量都取0,则约束方程= b 变为Bx 厂b.由于3是满秩方阵，因 此3心"有唯一解心=B»b .记B~7? = （耳，兀•，兀）丁，则由Xj y = 1,2,…，加，Xj =0,刃已{1,2,…，川一 {j 丿,…,九}所构成的〃维向量丁是山"的一个解，称之为（LP ）的关于B 的基本解.基本解满足约束方程组，但不一定满足非负约束，所以不一定是可行解.若 B~l b > 0,即基本解无也是可行解，则称无为（LP ）的关于基〃的基本可行解， 相应的基B 称为（LP ）的可行基；当矿％>0时，称此基本可行解元是非退化的, 否则，称之为退化的.若一个（LP ）的所有基本可行解都是非退化的，则称该 （LP ）是非退化的，否则，称它是退化的.例1求下列线性规划问题的所有基本可行解.min 4Xj - 4x 2;s.t. %| -x 2+x 3 =4, < -x }+x 2 + x 4 = 2,>0J = l,2,3,4.解 约束矩阵的4个列向量依次为【1) 9、p 产 丄 ，卩3 = 1全部基为B\ =（门丿3）廻=5宀）4=（卩2，卩3）』4=（卩2，卩4）小5=（卩3丿4），对于B,, x,和“为基变量，勺和“为非基变量.令A2= A4=0,有X} +x3 =4,<一召=2,得到关于d的基本解x tn =(-2,0,6,0/ ,它不是可行解.对于B2, x,和“为基变量，心和心为非基变量.令x2 = x3 =0,有召=4,<-Xj +X4=2,得到关于％的基本解X⑵=(4,006)7 ,它是一个非退化的基本可行解.同理，可求得关于B2，B,的基本解分别为乳⑶=(0,2,6,0)r, x(4) = (0, -4,0,6)r, ?5) =(0,0,4,2j',显然，沪和芒均是非退化的基本可行解，而兀⑷不是可行解.因此，该问题的所有基本可行解为x⑵,x⑶,x⑸.此外，因为这些基本可行解都是非退化的，所以该问题是非退化的.定理1设天为(LP)的可行解，则元为(LP)的基本可行解的充要条件是它的非零分量所对应的列向量线性无关.证明不妨设丘的前，•个分量为正分量，即无=(召,禺,…,£,0,.・.,0)丁，耳>0(丿=1,2,...,厂).若无是基本可行解，则取正值的变量石禺，…，疋必定是基变量，而这些基变量对应的列向量iwm是基向量.故必定线性相关.反之,若Pi，P2,…，P F线性无关，则必有0<r<m.当r = m时，B =(乩心,…，pj 就是一个基；当厂<加时，一定可以从约束矩阵4的后〃-厂个列向量中选出加7 个,不妨设为咕，几+2,…，Pm，使3 =(必,“2,…,巴，几+1，…，几J成为一个基.由r m于无是可行解，因此工兀Pj=b,从而必有由此可知无是关于3的基本可行解.定理2无是（LP）的基本可行解的充要条件是元为（LP）的可行域的极点•证明 由定理4.1.1和定理2.2.2知结论成立. 例2求下列线性规划问题的可行域的极点.min Xj - x 2;s.t. X, + 2X 2 + A 3 = 2,x } + x 4 = 2,Xj >0,; = 1,2,3,4.解因为约束矩阵的4个列向量依次为"0、<1> ,卩2 = <0>”〔0丿 ,04 = <1>全部基为 B] =5，卩2），〃2 =（刃，卩3）遐=（P I ，P4）4 =（卩2，卩4）4 =（卩3，卩4），求得关于基d ，耳,尿的基本解分别为x ⑴=（2,0,0,0几 x ⑵=（2,0,0,0）7；%⑶=（2,0,0,0）',x ⑷=（0,1,0,2f,x ⑸=（0,0,2,2）『显然，x ⑴,2匕屮）均为退化的基本可行解，x <4>,x'51是非退化的基本可行解.可 行域有三个极点：（2,0,0,0）', （0,1,0,2/, （0,0,2,2）".定理3若（LP ）有可行解，则它必有基本可行解.证明 由定理2.2.1及定理4丄2知结论成立.定理4若（LP ）的可行域K 非空有界，则（LP ）必存在最优解，且其中 至少有一个基本可行解为最优解.证明 根据推论2.2.6, （LP ）的任一可行解x 都可表示为（LP ）的全部基 本可行解召,电,…，无 的凸组合，即 X = 2人x 已K ,其中1-1k&no （i = i,2,…火），工入=1./-I设兀是使（LP ）中目标函数值达到最小的基本可行解，即cl=mincy ,c' x =为人c‘ A ; > 为 2.c z A \ = c 1 x x , Vx e /L .r-i r-1这表明，基本可行解兀为(LP)的最优解.定理5设(LP)的可行域K无界，则(LP)存在最优解的充要条件是对K的任一极方向〃，均有c l d > 0.证明根据定理2.2.10, (LP)的任一可行解x都可写成x = £肚+乞“皿，r-l j-1其中召宀，…，忑为(LP)的全部基本可行解，也，…,/为K的全部极方向，且A r>0(/ = l,2,...^),^Aj=l，A.>0 () = 1,2,•••,/)・j-i于是，(LP)等价于下面以人\0(心1,2,…，灯和“no(J = 1,2,...,/)为决策变量的线性规划问题■* Imin工(c7兀)入+力("〃丿)〃丿；r-l j-1k< S.t.工4 = 1,r-ln0, i = 1,2,…,k ,山AO, ) = 1,2,•••,/.由于宀可以任意大，因此若存在某个心，使Jd’vO,则上述问题的目标函数无下界，从而不存在最优解，从而(LP)不存在最优解.若V 7 = 1,2,•••,/> 均有c T d >0,设c7x x=minc7x.,则J l<r<Ak Ix =工(*无)入 + 工从> c T x s , VxwK •所以基本可行解兀是(LP)的最优解.推论6若(LP)的可行域K无界,且(LP)存在最优解，则至少存在一个基本可行解为最优解.证明由定理4.1.5的证明过程可知结论成立.定理7设在(LP)的全部基本可行解召,兀，…，兀中，使目标函数值最小者为％,%•••";在K的全部极方向^，心,…,^中，满足Jdj =0者为心，你，…，心.若(LP)存在最优解，则才为(LP)的最优解的充要条件是存在S\ no(〃 = i,2,・・•,$),工人=\、卩扎 no(§ = 12・・・,/)“■I使“皿・ <*)p-! </-l证明因为(LP)存在最优解，所以由定理4.1.4和推论4丄6及其证明知, 基本可行解兔,毛,.・.,毛是(LP)的最优解.设x具有(*)式的形式，则由推论2.2.6和定理2.2.10知，x为(LP)的可行解，从而由(*)式知，3 tc，x = = & %p-i g-l因此，x为(LP)的最优解.反乙设x为(LP)的任一最优解，则x为可行解，于是由推论2.2.6和定k理2210知，存在&no(j = 12…火)，工人(丿・=12…,/-I使X =工入兀+工・(**)1 J-1根据定理1丄5,有c r J. >0,; = 1,2,•••,/,且由叫为最优解知/无>c T x. , 7 = 1,2,从而由上述两式容易用反证法证明：若(**)式中某个入>0 ,则脸必为(LP) 的最优解；若(**)式中某个耳>0 ,则必有c•仏=0。
简单的线性规划问题 课件
【典型例题】 例 1 已知 1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求 2x－3y 的取值范围．
解 作出二元一次不等式组1－≤1x≤＋xy－≤y5≤，3 所表示的平面 区域(如图)即为可行域．
设 z＝2x－3y，变形得 y＝23x－13z，则得到斜率为23，且随 z 变化的一组平行直线． －13z 是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最 小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标 函数 z＝2x－3y 取得最小值．
3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的 问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，
y)叫做可行解 ，由所有可行解组成的集合叫做可行域 .
分别使目标函数 z＝ax＋by 取得最大值或最小值的可行 解叫做这个问题的最优解．
4．线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 _y＝ ___－__ab_x＋__b_z，在 y 轴上的截距是bz，当 z 变化时，方程表
如图所示，直线 MB 的斜率最大， 直线 MC 的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)， ∴zmax＝kMB＝3；zmin＝kMC＝12. ∴z 的最大值为 3，最小值为12. (2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方， 结合图形知，原点到点 A 的距离最大，原点到直线 BC 的距 离最小．
由图可见，当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 A 时，截距 最大，即 z 最小． 解方程组xx－＋yy＝＝－5 1 得 A 的坐标为(2,3)， ∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最大． 解方程组xx－ ＋yy＝ ＝31 得 B 的坐标为(2，－1)． ∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x－3y≤7，即 2x－3y 的取值范围是[－5，－7]． 小结 解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确 地理解 z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．
简单线性规划
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
1
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例1：画出不等式组
y x x y 1 y 1
表示的平面区域
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
2
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例2：设z 2x y，且x，y满足下列条件
y x x y 1 y 1 求z的最大值
(2)求z的最小值
不积蹞步，无以致千里；不积小流， 无以成江海 欢迎收藏●▂●
画板3
线性规划
问题：
目标函数 （线性目标函数）
线性约 束条件
设z=2x+y，式中变量x，y满足下列条件：
y x x y 1 y 1
y
x+y-1=0
y=-2x
x-y=0
可行域
x
y=-1
求z的最大值
不目积蹞标步，函无数以致线千里；不积小流，
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4
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组
成的集合叫做可行域；
y
x+y-1=0
最优解 ：使目标函数
y=-2x
x-y=0
取得最大或最小值的 可行解叫线性规划
不积蹞步，无以致千里；不积小流，
6
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变式练习1：设x, y满足约束条件
x y 1 y x y 0 求z x 2 y的最大值和最小值
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画板 7
变式练习2：设x, y满足约束条件
高中数学北师大版高二必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应用_作业含解析
⾼中数学北师⼤版⾼⼆必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应⽤_作业含解析⾼中数学北师⼤版⾼⼆必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应⽤_作业含解析[学业⽔平训练]1．设x ，y 满⾜2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最⼩值2，最⼤值3B ．有最⼩值2，⽆最⼤值C ．有最⼤值3，⽆最⼩值D ．既⽆最⼩值，也⽆最⼤值解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最⼩值，即z m in ＝2，⽆最⼤值．2．设变量x ，y 满⾜x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最⼤值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 解析：选D.作出可⾏域如图所⽰．令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最⼤值，则需求直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距的最⼤值，移动直线l 0：y ＝－23x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最⼤值，且z m ax ＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最⼤值为55.故选D.3．(2013·⾼考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满⾜约束条件x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最⼩值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3解析：选B.作出不等式组表⽰的可⾏域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最⼩值．由?x ＝3，x －y ＋1＝0，得x ＝3，y ＝4，∴z m in ＝2×3－3×4＝－6，故选B.4．直线2x ＋y ＝10与不等式组x ≥0y ≥0x －y ≥－24x ＋3y ≤20，表⽰的平⾯区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．⽆数个解析：选B.画出可⾏域如图阴影部分所⽰．∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．已知实数x ，y 满⾜y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果⽬标函数z ＝x －y 的最⼩值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B.画出x ，y 满⾜的可⾏域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使⽬标函数z ＝x －y 取得最⼩值，解?y ＝2x －1，x ＋y ＝m 得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代⼊x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.6．已知点P (x ，y )的坐标满⾜条件x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最⼩值等于________，最⼤值等于________．解析：画出约束条件对应的可⾏域，如图阴影部分所⽰，∵|PO |表⽰可⾏域上的点到原点的距离，从⽽使|PO |取得最⼩值的最优解为点A (1，1)；使|PO |取得最⼤值的最优解为B (1，3)，∴|PO |m in ＝2，|PO |m ax ＝10.答案：2 107．(2013·⾼考⼤纲全国卷)若x ，y 满⾜约束条件x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最⼩值为________．解析：由不等式组作出可⾏域，如图阴影部分所⽰(包括边界)，且A (1，1)，B (0，4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1，1)时，z m in ＝－1＋1＝0.答案：08．某企业⽣产甲、⼄两种产品，已知⽣产每吨甲产品要⽤A 原料3吨、B 原料2吨；⽣产每吨⼄产品要⽤A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨⼄产品可获得利润3万元．该企业在⼀个⽣产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最⼤利润是________．解析：设该企业⽣产甲产品为x 吨，⼄产品为y 吨，则该企业可获得利润为z ＝5x ＋3y ，且x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，联⽴3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得?x ＝3，y ＝4.由图可知，最优解为P (3，4)．故z 的最⼤值为z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：27万元9．已知x ，y 满⾜条件y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2，若r 2＝(x ＋1)2＋(y －1)2(r >0)，求r 的最⼩值．解：作出不等式y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2所表⽰的平⾯区域如图：依据上图和r 的⼏何意义可知：r 的最⼩值是定点P (－1，1)到直线y ＝x 的距离，即r m in ＝|1＋1|2＝ 2.10．某⼯⼚制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需⽤薄钢板给每台仪器配⼀个外壳．已知钢板有甲、⼄两种规格：甲种钢板每张⾯积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个．⼄种钢板每张⾯积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、⼄两种钢板各⽤多少张才能⽤料最省？(“⽤料最省”是指所⽤钢板的总⾯积最⼩)解：设⽤甲种钢板x 张，⼄种钢板y 张，依题意x ，y ∈N ，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢板总⾯积z ＝2x ＋3y .作出可⾏域如图所⽰中阴影部分的整点．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最⼩．由⽅程组3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55得?x ＝5，y ＝5. 所以甲、⼄两种钢板各⽤5张⽤料最省．[⾼考⽔平训练]1．若实数x ，y 满⾜不等式组y ≥0x －y ≤42x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，2)D ．[－12，＋∞)解析：选C.把w ＝y －1x ＋1理解为⼀动点P (x ，y )与定点Q (－1，1)连线斜率的取值范围，可知当x ＝1，y ＝0时，w m in ＝－12，且w ＜2.2．若实数x 、y 满⾜x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x＋2y的最⼩值是________．解析：由不等式组，得可⾏域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三⾓形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最⼩值0.∴z ＝3x ＋2y 的最⼩值为1.答案：13．某营养师要为某个⼉童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳⽔化合物，6个单位的蛋⽩质和6个单位的维⽣素C ；1个单位的晚餐含8个单位的碳⽔化合物，6个单位的蛋⽩质和10个单位的维⽣素C.另外，该⼉童这两餐需要的营养中⾄少含64个单位的碳⽔化合物，42个单位的蛋⽩质和54个单位的维⽣素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费⽤分别是2.5元和4元，那么要满⾜上述的营养要求，并且花费最少，应当为该⼉童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法⼀：设需要预订满⾜要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费⽤为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满⾜x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可⾏域如图，则z 在可⾏域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.⽐较之，z B 最⼩，因此，应当为该⼉童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满⾜要求．法⼆：设需要预订满⾜要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费⽤为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满⾜x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可⾏域如图，让⽬标函数表⽰的直线2.5x ＋4y ＝z 在可⾏域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4，3)处取得最⼩值．因此，应当为该⼉童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满⾜要求．4．已知实数x 、y 满⾜x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2，(1)若z ＝2x ＋y ，求z 的最⼤值和最⼩值；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最⼤值和最⼩值；(3)若z ＝yx，求z 的最⼤值和最⼩值．解：不等式组x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表⽰的平⾯区域如图阴影部分所⽰．由x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得x ＝1，y ＝2，∴A (1，2)；由x ＝2，x －y ＋1＝0，得x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)；由x ＝2，x ＋y －3＝0，得? x ＝2，y ＝1，∴B (2，1)． (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可⾏域内点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最⼤，z 也最⼤，此时z m ax ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可⾏域内点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最⼩，z 也最⼩，此时z m in ＝2×1＋2＝4.∴z 的最⼤值为7，最⼩值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂⾜为N ，则直线l 的⽅程为y ＝x .由?y ＝x ，x ＋y －3＝0，得?x ＝32，y ＝32，∴N32，32. 点N 32，32在线段AB 上，也在可⾏域内．此时可⾏域内点M 到原点的距离最⼤，点N 到原点的距离最⼩．⼜|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13，∴z 的最⼤值为13，最⼩值为92.(3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx≤2，∴z 的最⼤值为2，最⼩值为12.。
(教参)：第三章4.2简单线性规划Word版含解析
4.2简单线性规划必备知识·自主学习导思1.什么是二元线性规划问题?2.如何确定二元线性规划问题的最值?1.基本概念名称意义约束条件变量x,y满足的二元一次不等式组目标函数欲求关于x,y的一个线性函数的最大值或最小值的函数可行解满足约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解二元线性规划问题在约束条件下,求关于两个变量的目标函数的最大值或最小值问题二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的几次不等式或方程的限制条件?提示:二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的一次不等式或方程的限制条件.2.最值问题(1)最值位置:目标函数的最大值与最小值总是在可行域的边界交点或顶点处取得.(2)实际应用:求解实际应用问题时,只需要求出区域边界的交点,再比较目标函数在交点处的函数值大小,根据问题需求选择所需结论.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是什么?提示:z=2x-y可变形为y=2x-z,所以z的几何意义是该直线在y轴上截距的相反数.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)线性目标函数z=ax+by表示经过可行域的一组平行线. ( )(2)求线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解都是唯一的. ( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上. ( )提示:(1)√.因为线性目标函数z=ax+by即y=-x+,斜率k=-为常数,截距是变量,所以二元一次方程z=ax+by表示经过可行域的一组平行线.(2)×.如果线性目标函数z=ax+by表示的直线与可行域的某一条边界直线平行,则线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解不是唯一的.(3)×.线性目标函数取得最值的点可能在可行域的边界上,不一定非在顶点上.2.若x≥0,y≥0,且x+y≤1,则z=x-y的最大值为( )A.-1B.1C.2D.-2【解析】选B.直线x+y=1与坐标轴的交点坐标为A(1,0),B(0,1).则z=x-y即y=x-z,表示经过可行域的平行线组,-z是直线在y轴上的截距,当直线z=x-y经过点A(1,0)时,-z最小,z最大,最大值为z=x-y=1. 3.(教材二次开发:例题改编)已知实数x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )A.-1B.2C.7D.8【解析】选C.画出实数x,y满足约束条件,表示的平面区域如图:目标函数变形为-2x+z=y,则z表示直线在y轴上截距,截距越大,z越大,作出目标函数对应的直线L:y=-2x,由可得A(2,3).目标函数z=2x+y过A(2,3)时,直线的截距最大,z取得最大值为z=7.关键能力·合作学习类型一求线性目标函数的最值(直观想象)1.(2020·三明高一检测)已知实数x,y满足,则z=x+2y的最大值为( )A.2B.C.1D.02.(2020·西安高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是 ( )A.无最大值也无最小值B.最小值为-2C.最大值为2D.最大值为33.(2020·南昌高一检测)设x,y满足,则z=x+y的取值范围是( )A.[-5,3]B.[2,3]C.[2,+∞)D.(-∞,3]【解析】1.选B.作出实数x,y满足约束条件,对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知,当直线y=-x+z经过点A时直线y=-x+z的截距最大,此时z最大. 由,得A,此时z的最大值为z=+2×=.2.选B.作出不等式组对应的平面区域如图,由z=3x-y,得y=3x-z,平移直线y=3x-z,由图象可知当直线y=3x-z,经过点A时,直线y=3x-z 的截距最大,此时z最小.联立,解得A(0,2),故z min=3×0-2=-2.无最大值.3.选C.先根据约束条件画出可行域,z=x+y,则y=-x+z,由可得A(2,0),当直线y=-x+z经过点A(2,0)时,z最小,最小值为:2+0=2.没有最大值,故z=x+y的取值范围为[2,+∞).求目标函数z=ax+by最值的思路(1)化:把目标函数z=ax+by化为斜截式y=-x+.(2)定:z=ax+by中表示直线y=-x+在y轴上的截距.(3)找:把线性目标函数看成直线系,把目标函数表示的直线y=-x+平行移动,越向上平移越大,若b>0,则对应z越大,若b<0,则对应z越小. 特别提醒:当目标函数所在的直线与边界平行时最优解有无数个.【补偿训练】设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知当z=2x+3y-5经过点A(-1,-1)时,z取得最小值,z min=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.答案:-10类型二求非线性目标函数的最值(数学抽象、直观想象)角度1 可化为斜率最值的问题【典例】已知实数x,y满足不等式组(1)求不等式组表示的平面区域的面积;(2)试确定的取值范围.【思路导引】(1)依据线性约束条件,作出可行域,然后求出面积. (2)因为是分式形式,所以可联想其几何意义,求斜率的取值范围即可.【解析】(1)由实数x,y满足不等式组作出可行域,可知不等式组表示的平面区域是△ABC及其内部,如图,解方程组得A(1,1),同理,得B(3,3),C(2,6),记a==(2,2),b==(1,5),则S△ABC=|a||b|sin∠BAC=|a||b|=|a||b|===4(面积单位).(2)由(1)可知,1≤x≤3.令=k,则y=k(x+1)表示斜率为k且过点D(-1,0)与可行域有公共点的相交线族,由于k=tan α,α∈是增函数,其中α是相交线族的倾斜角,结合可行域知,k AD=,k CD=2,从而k∈,故∈.(2020·泉州高一检测)已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为 ( )A.2B.C.1D.【解析】选D.令z=,由实数x,y满足约束条件,作出可行域如图,联立,解得A,z=的几何意义为可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率,当过A时,斜率最大,即z==,所以z=的最大值为.角度2 可化为距离最值的问题【典例】已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.【思路导引】先画出可行域,再依据x2+y2的几何意义,求出最值即可得取值范围.【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部,如图所示.因为原点到直线2x+y-2=0的距离为,所以(x2+y2)min=,又当(x,y)取点(2,3)时,x2+y2取得最大值13,故x2+y2的取值范围是.答案:[,13]线性规划求目标函数的常见类型(1)整式是截距:形如ax+by型的线性目标函数,设为z=ax+by,表示平行线族,通过平行线扫描可行域,求线性目标函数的最值或取值范围.(2)分式是斜率:形如(ac≠0)型的非线性目标函数,设为k==·(ac≠0),将问题转化为过定点P以及可行域内的动点Q(x,y)的相交线族的斜率,通过相交线扫描可行域,求斜率的最值或取值范围.(3)根式是距离:形如型的非线性目标函数,将问题转化为d=,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离,再求距离的最值或取值范围.(4)平方和是距离的平方:形如x2+y2-2ax-2by+a2+b2型的非线性目标函数,将问题转化为d2=()2,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离的平方,求两点间的距离的最值或取值范围,再求平方即可.1.(2020·成都高一检测)设x,y满足约束条件则的最大值是( )A.-B.C.D.【解析】选C.设z=,画出满足条件的平面区域,如图,由z=的几何意义是可行域内的点与D(-2,0)连线的斜率,由图形可知AD的斜率取得最大值,代入A(3,4),即可得到z最大值,所以z的最大值是.2.(2020·邯郸高一检测)设变量x,y满足约束条件则z=(x-3)2+y2的最小值为( )A.2B.C.4D.【解析】选D.画出变量x,y满足约束条件的可行域,可发现z=(x-3)2+y2的最小值是(3,0)到2x-y-2=0距离的平方.取得最小值:=.3.实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:(1)点(a,b)对应的区域的面积;(2)的取值范围;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.【解析】方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得不等式组⇔由解得A(-3,1); 由解得B(-2,0);由解得C(-1,0).所以在如图所示的坐标平面aOb内,满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).(1)△ABC的面积为S△ABC=×|BC|×h=(h为A到Oa轴的距离).(2)的几何意义是点(a,b)和点D(1,2)连线的斜率.k AD==,k CD==1.由图可知,k AD<<k CD.所以<<1,即∈.(3)因为(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,所以(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).类型三已知目标函数的最值求参数的取值范围(逻辑推理、数学运算)【典例】已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( )A. B. C.1 D.2【思路导引】先由前2个条件确定部分区域,再由z=2x+y的最小值为1,即可确定一个平面区域,再结合y≥a(x-3)的几何意义即可求出a的值.【解析】选B.作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z=2x+y过交点B时,z取最小值,由得因为z min=2-2a=1,解得a=.由目标函数的最值求参数的解题思路已知目标函数的最值,求线性约束条件的参数问题,可以先画出线性约束条件中的已知部分,由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得,常常利用数形结合的方法求解.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是 ( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[3,+∞)【解析】选A.由线性约束条件画出平面区域D,图中阴影部分,观察图形可知当指数函数y=a x为增函数时,可能过区域D,又当底数越大,在第一象限它的图像越靠近y轴,所以当y=a x过x+y-11=0与3x-y+3=0的交点A(2,9)时,底数最大.即9=a2,所以a=3,因此1<a≤3.课堂检测·素养达标1.(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( )A.-1B.1C.10D.12【解析】选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:由解得所以A(2,2),所以z max=3×2+2×2=10.2.(2020·德阳高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是( )A.最小值为-2B.最大值为3C.最大值为2D.无最大值也无最小值【解析】选A.由实数x,y满足,作出可行域,如图.目标函数z=3x-y可以化为y=3x-z.则z表示直线y=3x-z在y轴上的截距的相反数.由图可知,当直线y=3x-z过点B时,直线y=3x-z在y轴上的截距最大,无最小值.所以z有最小值-2,无最大值.3.(教材二次开发:习题改编)(2019·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( )A.2B.3C.5D.6【解析】选C.已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距,故目标函数在点A处取得最大值.由得A(-1,1),所以z max=-4×(-1)+1=5.4.(2020·洛阳高一检测)若x,y满足约束条件则z=的最大值为 ( )A. B. C. D.3【解析】选C.由题意知,目标函数z=表示经过点A和可行域内的点(x,y)的直线的斜率,作出不等式组表示的可行域如图所示,根据目标函数z的几何意义,由图可知,当直线过A,C两点时,目标函数z=有最大值,联立方程解得所以点C,代入目标函数可得,z=的最大值为.5.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是. 【解析】作出不等式组表示的平面区域,x2+y2表示平面区域内点到原点距离的平方,由得A(3,-1),易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.答案:10。
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简单线性规划
二元一次不等式所表示的区域的判定方法： 口诀： 上同号，下异号 1. x+y-1 < 0 （ 下 ） 2. 3x+4y > 9 （ 上 ）
3. -x+2y > 2 （ 上 ）
4. -3y-x > 6 （ 下 ）
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示 直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. ______________________Байду номын сангаас__________________
满足约束条件的解（x,y）叫可行解, 由所有可行解构成的集合，叫作可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解,叫作最优解.
例 6 设 x, y 满足约束条件
x 3, y 4, 4 x 3 y 12, 4 x 3 y 36.
（1） 求目标函数 z 2 x 3 y 的最小值与最大值； （2） 求目标函数 z 4 x 3 y 24 的最小值与最大值；
确定区域步骤：
直线定界 、____________ 口诀定域 __________ 何时画虚线何时画实线？ 含等号时画实线，不含等号时画虚线。
1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、
可行域、最优解等基本概念；
2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单 的实际问题.
设 x, y 满足以下条件
目标函数的最大值和最小值总是在区域边界交点（顶点）处取得.
求解实际应用问题时，只需求出区域边界的交点，再比较目标函数 在交点处的函数值大小，根据问题需求选择所需结论 .
5 x 6 y 30, y 3 x, y 1.
① ② ③
求 z 2 x y 的最小值和最大值。
与前面例题类似，如果两个变量x,y满足一组一次不等 式，例如①②③，求这两个变量的一个线性函数（例如
z=zx+y）的最大值或最小值，那么我们就称这个线性函
数为目标函数，称一次不等式组为约束条件,像这样的问 题叫作二元线性规划问题.