高三数学二轮专题复习教案――函数
江苏省高考数学二轮复习 第2讲 函数 图象及性质教学案
第2讲 函数、图象及性质1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，则f(x)＝________.2.函数f(x)＝＋|x|－x 的定义域为________．3.函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20092＝________.4.函数f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝mx ＋2，对1∈[－1,2]，∈[－1,2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数m 的取值范围是________．【例1】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m 使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．【例2】 已知函数f(x)＝x 2＋a x(x≠0，常数a∈R )．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．【例3】 设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x∈R ，常数a 为实数)． (1) 若f(x)为偶函数，求实数a 的值； (2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝x ＋a ＋a|x|，a 为实数． (1) 当a ＝1，x∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；(2) 设m 、n 是两个实数，满足m ＜n ，若函数f(x)的单调减区间为(m ，n)，且n －m≤3116，求a 的取值范围．1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝x ＋－为奇函数，则a ＝________.2.(2011·湖北)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝________.3.(2011·上海)设g(x)是定义在R 上、以1为周期的函数，若f(x)＝x ＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________．5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x，其中常数a ，b 满足ab≠0. (1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x. (1) 如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域； (2) 求函数M(x)＝＋－－2的最大值；(3) 如果对不等式f(x 2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．解：令t ＝log 2x ，(1分)(1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(t －1)2＋2，(2分) ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，(3分) ∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分) (2) f(x)－g(x)＝3(1－log 2x)，当0＜x≤2时，f(x)≥g(x)；当x ＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)∴ M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，，，＜，M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x≤2，3－2log 2x ，x>2，(6分)当0＜x≤2时，M(x)最大值为1；(7分)当x ＞2时，M(x)＜1.(8分)综上：当x ＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x 2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log 2x)(3－log 2x)＞k·log 2x ， ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，∴ (3－4t)(3－t)＞kt 对一切t∈[0,2]恒成立，(10分) ①当t ＝0时，k∈R ；(11分) ②t∈(0,2]时，k ＜－－t恒成立，即k ＜4t ＋9t－15，(12分)∵ 4t＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．(13分)∴ 4t＋9t －15的最小值为－3.综上：k ＜－3.(14分)第2讲 函数、图象及性质1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x，若实数m 、n 满足f(m)＞f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【答案】 m ＜n 解析： 考查指数函数的单调性a ＝5－12∈(0,1)，函数f(x)＝a x在R 上递减．由f(m)＞f(n)得：m<n. 2. 设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|. (1) 若f(0)≥1，求a 的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1) 若f(0)≥1，则－⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1－1.∴ a 的取值范围是(－∞，－1](2) 当x≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2， f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧，a≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a≥0，2a23，a ＜0，当x≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－，a≥0，，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a≥0，2a 2，a ＜0，综上f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a≥0，2a23，a ＜0.(3) x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a≤－62或a≥62时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)； 当－62＜a ＜62时，Δ＞0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a ，讨论得：当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)； 当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.综上，当a∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－62∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)，当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞，当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.基础训练 1. 12x 2＋12x 2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x ＞0＜0，x≠－1.3. －4 解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 ,0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，∴ f(x＋4)＝f(x)，∴ f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0092＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 004＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0092＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.4. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析：x∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m≥0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,2＋2m]；m ＜0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m≥0，[2－m ，2＋－1,3]；m ＜0，[2＋2m,2－－1,3]得0≤m≤12或－1≤m<0，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 例题选讲例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)．∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知得6a ＝12, ∴ a＝2, ∴ f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x∈R )．(2) 方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．∵ h(3)＝1＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．变式训练 已知函数y ＝f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f(x)(－1≤x≤1)的图象关于原点对称．又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y ＝f(x)，x∈[1,4]的解析式； (3)求y ＝f(x)在[4,9]上的解析式．(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.(2)解： 当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x －2)2－5(a ＞0)，由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a＝2，∴ f(x)＝2(x －2)2－5(1≤x≤4)．(3)解： ∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k＝－3，∴ 当0≤x≤1时，f(x)＝－3x ，从而当－1≤x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x ，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x ，∴ 当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴ f(x)＝f(x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15，当6＜x≤9时，1＜x －5≤4，∴ f(x)＝f(x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15，4≤x≤6，－2－5，6＜x≤9.点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．例2 解： (1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x 2＋a x(a≠0，x≠0)，取x ＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2) (解法1)设2≤x 1＜x 2， f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x 1)－f(x 2)＜0恒成立． ∵ x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立． 又∵ x 1＋x 2＞4, ∴ x 1x 2(x 1＋x 2)＞16. ∴ a 的取值范围是(－∞，16]．(解法2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，显然在[2，＋∞)为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax 在[2，＋∞)为增函数，∴ f(x)＝x 2＋a x 在[2，＋∞)为增函数．当a ＞0时，同解法1.(解法3)f′(x)＝2x －a x 2≥0，对x∈[2，＋∞)恒成立．∴ a≤2x 3而y≤2x 3.在[2，＋∞)上单调增，最小值为16，∴ a≤16.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题． 例3 解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x －a|＝|2x ＋a|，解得a ＝0.(2) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －a ，x≥12a ，x 2－2x ＋a ，x ＜12a ，当x≥12a 时，f(x)＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a ＞2，x≥12a ，得x ＞1，从而x ＞－1，又f′(x)＝2(x ＋1)，故f(x)在x≥12a 时单调递增，f(x)的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当x ＜12a 时，f(x)＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1＜x ＜a2时，f(x)单调递增，当x ＜1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a －1； 由a24－(a －1)＝－24＞0，知f(x)的最小值为a －1.点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．变式训练 已知函数f(x)＝x|x －2|.设a ＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解： f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝－2－1，x≥2，－x 2＋2x ＝－－2＋1，x ＜2.∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．① 当0＜a≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1＜a≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1＞0, 解得a ＞1＋ 2. 若2＜a≤1＋2，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； 若a ＞1＋2，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0＜a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a ＞1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．例4 解： 设y ＝f(x)，(1) a ＝1时，f(x)＝x ＋1＋|x|，当x∈(0,1]时，f(x)＝x ＋1＋x 为增函数，y 的取值范围为(1,1＋2]． 当x∈[－1,0]时，f(x)＝x ＋1－x ，令t ＝x ＋1，0≤t≤1，则x ＝t 2－1，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，0≤t≤1，y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54.∵ 54＜1＋2， ∴x∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋2]．(2) 令t ＝x ＋a ，则x ＝t 2－a ，t≥0，y ＝g(t)＝t ＋a|t 2－a|. ① a＝0时，f(x)＝x 无单调减区间；② a ＜0时，y ＝g(t)＝at 2＋t －a 2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上g(t)是减函数，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－a ，＋∞上f(x)是减函数．∴a＜0不成立．③ a＞0时，y ＝g(t)＝⎩⎨⎧－at 2＋t ＋a 2，0≤t≤a ，at 2＋t －a 2，t ＞ a.仅当12a ＜a ，即a ＞312时，在t∈⎝⎛⎭⎪⎫12a ，a 时，g(t)是减函数，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －a ，0时，f(x)是减函数．∴n－m ＝a －14a 2≤3116，即(a －2)(16a 2＋a ＋2)≤0. ∴a≤2.故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤314，2. 高考回顾1. 12解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或从定义域可直接得到．2. g(x)＝e x ＋e－x2 解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e －x.又因为f(x)＋g(x)＝e x，所以g(x)＝e x＋e－x2.3. [－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，则f(x 1)＝x 1＋g(x 1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R 周期为1的函数，∴ 当x 2∈[1,2]时，f(x 2)＝x 1＋1＋g(x 1＋1)＝1＋x 1＋g(x 1)＝1＋f(x 1)∈[－1,6]，当x 2∈[2,3]时，f(x 2)＝x 1＋2＋g(x 1＋2)＝2＋x 1＋g(x 1)＝2＋f(x 1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．4. 4 解析：AB ＝22，直线AB 的方程为x ＋y ＝2，在y ＝x 2上取点C(x ，y)，点C(x ，y)到直线AB 的距离为2，|x ＋y －2|2＝2，|x ＋x 2－2|＝2，此方程有四个解．5. 解：(1) 当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝a(2x 1－2x 2)＋b(3x 1－3x 2)， ∵ 2x 1＜2x 2，a ＞1－2x 2)＜0,3x 1＜3x 2，b ＞1－3x 2)＜0， ∴ f(x 1)－f(x 2)＜0，函数f(x)在R 上是增函数． 当a ＜0，b ＜0时，同理函数f(x)在R 上是减函数．(2) f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＞－a 2b ，则x ＞log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a ＞0，b ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＜－a 2b ，则x ＜log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .6. 解：(1) 由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，显然v(x)＝ax ＋b 在[20,200]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x≤20，13－，20<x≤200.(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x≤20，13－，20<x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。
高考函数专项复习教案
高考函数专项复习教案一、教学目标1. 理解函数的概念和性质，掌握常见函数的定义域、值域和图像。
2. 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性及其应用。
3. 学会运用函数解决实际问题，提高数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念和性质函数的定义函数的域和值域函数的单调性、奇偶性、周期性2. 常见函数的定义域、值域和图像一次函数、二次函数、反比例函数正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数三、教学重点与难点1. 重点：函数的概念和性质，常见函数的定义域、值域和图像，函数的单调性、奇偶性、周期性。
2. 难点：函数的单调性、奇偶性、周期性的判断和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数的性质和应用。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解函数的图像和性质。
3. 运用实例分析法，培养学生的实际问题解决能力。
五、教学过程1. 复习导入：回顾函数的基本概念，引导学生回顾已学的函数类型。
2. 自主学习：让学生自主探究常见函数的定义域、值域和图像，总结函数的性质。
3. 课堂讲解：讲解函数的单调性、奇偶性、周期性的判断方法和应用。
4. 实例分析：分析实际问题，引导学生运用函数解决实际问题。
5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结反思：引导学生总结复习过程中的收获和不足，为下一阶段的学习做好准备。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂讲解中的参与程度和理解程度，评估学生对函数概念和性质的掌握情况。
2. 练习题：批改学生练习题，了解学生对常见函数的定义域、值域和图像的理解，以及函数的单调性、奇偶性、周期性的应用能力。
3. 实例分析：评估学生在实例分析中的问题解决能力，以及对函数解决实际问题的掌握程度。
七、教学策略1. 针对不同学生的学习情况，提供个性化的辅导和指导，帮助学生弥补知识漏洞。
2. 通过多媒体教学手段，如函数图像软件，增强学生对函数图像的直观理解。
3. 组织小组讨论，鼓励学生相互交流和合作，提高学生的学习效果。
高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用 人教版 教案
高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用考情动态分析函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程，函数也是一条纽带，它把中学数学各个分支紧紧地连在一起，特别是新教材中的导数的涉入，使函数的内容更加充实、方法更加灵活，自然就成为高考的重点和热点．近几年高考试题中函数部分占有相当大的比重，所考查的内容主要有函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、反函数以及函数图象的变换等．其中多项式函数（含二次函数）、指数函数、对数函数仍是重点考核的内容．高考主要涉及：①直接通过具体函数考查某些性质；②以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查；③函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题．如2003年高考试题中的3、5、7、9题，2004年高考试题（江苏卷）中的8、11、22题，2005年高考试题（江苏卷）中的2、13、15、17、22题．二轮复习时要注意引导学生用函数的思想和方法去看待问题、解决问题，并揭示其内在联系．纵观近几年来的高考试题，以基础层次或中档难度的试题考查函数的图象，特别是图象的平移、对称变换，充分体现了图象在解题中的作用（数形结合的思想）．以中等难度、组合形式一题多角度考查函数的性质预计成为新的热点或方向．函数极易与不等式、方程、最值、参数的取值范围的探求及数形结合、解析几何综合在一起编拟综合性较强的高档解答题来测试对函数思想方法的理解与灵活运用，考查等价转化及数形结合、分类讨论等解题策略的理解和掌握程度．§1.1 函数的性质考点核心整合函数的性质主要体现在五个方面：1．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域．确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不等于0；（2）偶次根式被开方数大于等于0；（3）对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；（4）指数为0时，底数不等于0．定义域经常和判定函数的奇偶性、求函数单调区间、求参数范围或解函数相关不等式相关联，在函数有意义的条件下转化求解．2．函数的值域在函数y = f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．确定函数的值域的原则：（1）当函数y = f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；（2）当函数y = f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；（3）当函数y = f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由实际问题的实际意义确定．值域的求法比较多，注意选择不同条件的适用性．如：判别式法、三角代换法、反函数法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法、导数法．值域往往与实际问题中的最优值或数列问题相关联．3．函数的奇偶性如果对于函数y = f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x) = –f(x)[ f(-x) = f(x)] ，那么函数f(x)就叫做奇函数（偶函数）．在此定义中，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断．4．函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2) [f(x1)＞f(x2)]，则称在区间D上为单调函数．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左向右是上升（下降）的．或如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f '(x)＞0[f '(x)＜0]，则称f(x)在区间(a，b)上是增（减）函数，(a，b)为f(x)的单调增（减）区间．5．函数的周期性设函数y = f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得任何x∈D，都有f(x + T) = f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y = f(x)的一个周期．周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现．注意从代数变换角度分析．考题名师诠释【例1】设函数f(x) = -x1 + |x|（x∈R），区间M = [a，b](a＜b），集合N = {y|y = f(x)，x∈M}，则使M = N成立的实数对(a，b)有………………………………（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个解析由f(-x) = -f(x)，可得f(x) = -x1 + |x|是奇函数，故f(x)的图象关于原点成中心对称．当x＞0时，f(x) = -x1 + x，据y1-1O此可以作出f (x )在x ∈R 上的图象（如图所示）．观察f (x )的图象可知，f (x )在R 上是减函数，要使M = [a ，b ](a ＜b )与N = {y |y = f (x )，x ∈M }相等，必须a ＜0，b ＞0（由图可知a 、b 同号显然不能满足题意）．故有⎩⎨⎧ f (a ) = b ，f (b ) = a ．即⎩⎨⎧ - a 1 - a = b ， - b 1 - b = a ．，解得a = b = 0，与题设a ＜b 矛盾，从而不存在满足题意的实数对(a ，b )，应选A ．答案 A评述 本题为存在性问题，它融函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及函数图象于一炉，颇有新意，解题时要善于从函数表达式中捕捉函数的性质，通过考察函数图象的特征来处理问题，这就需要我们有较强的数形转化能力．【例2】已知函数f (x ) = 13x 3 + 12ax 2 + 2bx + c 在(0，1)内取得极大值，在(1，2)内取得极小值，求b - 2a - 1的取值范围．解 f '(x ) = x 2+ ax + 2b ．依题意，方程x 2+ ax + 2b = 0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2．于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>++>012020b a b a b不等式组表示的平面区域如右图所示，其中A (-2，1)，B (-1，0)，D (1，2)．设C (a ，b )为可行域（阴影部分）内任一点，而b - 2a - 1的几何意义为直线CD 的斜率．由图可知k BD ＞k CD ＞k AD ，故 14＜b - 2a - 1＜1．评述 通过对函数f (x )求导，将f (x )在(0，1)内取得极大值、在(1，2)内取得极小值的问题转化为研究二次方程f '(x ) = x 2+ ax + 2b = 0根的分布问题，利用二元一次不等式组的几何背景，联系斜率公式，运用数形结合的数学思想求得取值范围． 深化拓展若此题条件不变，结论改为：求a 2+ b 2的取值范围． 答案：1＜a 2+ b 2＜5【例3】设偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数（b ＞a ＞0），试判断F (x ) = (12)f (x ) – x在区间[-b ，-a ]上的单调性，并加以证明．解 ∵f (x )是偶函数，且在[a ，b ]上单调递增．∴f (x )在[-b ，-a ]上单调递减，f (x ) - x 在[-b ，-a ]上单调递减． 故F (x ) = (12)f (x ) - x在[-b ，-a ]上单调递增．证明：设-b ≤x 1＜x 2≤-a ，a ≤-x 2＜-x 1≤b ，∴F (x 1)F (x 2) = (12)f (x 1) - x 1(12)f (x 2) - x 2 = (12)f (x 1) – f (x 2) + (x 2 – x 1) = (12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)． ∵f (x )在上[a ，b ]单调递增，f (–x 1)＞f (–x 2)，∴f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＞0．∴0＜(12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＜1．∴F (x 1)F (x 2)＜1．故F (x 1)＜F (x 2)．∴F (x )为[-b ，-a ]上的增函数． 评述 本题是采用定义法证明函数的单调性，也是最通用的方法，此外还有利用基本函数性质递推、导数法等方法．【例4】（2005年上海模拟）已知集合M D 上满足下列性质的函数的全体：对于定义在D 中的任何两个自变量x 1、x 2(x 1≠x 2)，都有|f (x 1) – f (x 2)|＜|x 1 – x 2|成立．（1）当D = R 时，f (x ) = x cos θ+ sin θ[θ∈(0，π)]是否属于M D ，为什么？ （2）当D = R +时，试证明函数f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）是否存在一个集合D R +时，使得函数f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ？给出你的结论，并说明理由． （1）解 设任意x 1、x 2∈R (x 1≠x 2)，|f (x 1) – f (x 2)| = |( x 1 – x 2)cos θ| = |cos θ|| x 1 – x 2|，∵θ∈(0，π)，∴|cos θ|∈[0，1）． 又∵| x 1 – x 2|＞0，∴|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． 故f (x ) = x cos θ+ sin θ，θ∈(0，π)属于M D ．（2）证明 当D = R +时，f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ．举例：令x 1 = a n，x 2 =a n + 1（n ∈N *），此时| x 1 – x 2| = |a n – a n + 1| = an (n + 1)＜a ． 而|f (x 1) – f (x 2)| = |n – (n + 1)| = 1＞a ，则|f (x 1) – f (x 2)|＞| x 1 – x 2|．∴f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）解 存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．设x 1、x 2∈R +，且x 1≠x 2．若|f (x 1) – f (x 2)| = |a x 1 – a x 2|= a | x 1 – x 2|x 1x 2＜| x 1 – x 2|成立，∵| x 1 – x 2|＞0，∴只需x 1x 2＞a 成立．故存在D = (a ，+∞)时，任取x 1、x 2∈(a ，+∞)都有|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． ∴存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ． （注：D 的存在是不唯一的，对于的非空子集均正确） 考能提升训练 一、选择题1．（2005年全国卷Ⅰ，理7）设b ＞0，二次函数y = ax 2+ bx + a 2– 1的图象为下列之一，则a 的值为……………………… （ ） A ．1 B ．-1C ．-1-52D ．-1+52（1） （2） （3） （4）2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞0，f (2) = (a + 1)(2a – 3)，则a 的取值范围是…………………………………………………… （ ） A ．a ＜32B ．a ＜32且a ≠-1C ．a ＞32或a ＜-1D ．-1＜a ＜323．(2005年黄冈模拟)设函数f (x ) = log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2005) = 8，则f (x 12) + f (x 22) + … + f (x 20052)的值等于………………………………… （ ） A ．4B ．8C ．16D ．2log a 84．函数在y = a x在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于………………（ ） A ．12B ．2C ．4D ．145．(2005年全国卷Ⅰ，8)设0＜a ＜1，函数f (x ) = log a (a 2x– 2a x– 2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是 A ．(-∞，0)B ．(0，+∞)C ．(-∞，log a 3)D ．(log a 3，+∞)二、填空题6．(2005年北京海淀模拟)函数y = x 2的图象F 按向量a = (3，-2)平移得到F'，则F' 的解析式为 ．7．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (12 - x ) = f (12 + x )，则f (1) + f (2) + f (3) = ．三、解答题8．已知函数y = 12log a (a 2x )·log a (ax )(2≤x ≤4)的最大值是0，最小值是- 18，求a 的值．9．已知f (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，当a 、b ∈[-1，1]，且a + b ≠0时，有f (a ) + f (b )a + b＞0．（1）判断函数f (x )的单调性，并给以证明；（2）若f (1) = 1，且f (x )≤m 2– 2bm + 1对所有x ∈[-1，1]，b ∈[-1，1]，恒成立，求实数m 的取值范围．10．(2005年山东卷，19)已知x = 1是函数f (x ) = mx 3– 3(m + 1)x 2+ nx + 1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m ＜0．（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求f (x )的单调区间；（3）当x ∈[-1，1]时，函数y = f (x )的图象上任意一点的斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．简明参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 二、6．y = x 2– 6x + 7 7．0三、8．121-1 Ox y1-1 Ox y1-1 Ox y1-1 Ox y9．（1）增函数，证明略；（2）m ∈(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞)． 10．（1）n = 3m + 6；（2）f (x )在(-∞，1 + 2m )，（1，+∞）上单调递减，在(1 + 2m，1)上单调递增；（3）-43＜m ＜0．。
高三二轮复习教学案函数
高三二轮复习教学案——函数（1）班级 学号 姓名一、考试内容及要求：1．已知函数f (x)=2x+1，x ∈[1,5]，则f (2x －3)= ____________2．已知集合B={1，4}，若2:x x f →是A 到B 的函数，则满足条件的集合A 有_____个3．若函数xx k k x f 212)(⋅+-=（k 为常数）在定义域上为奇函数，则k=____________4．已知函数f (x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，f (－1)=0，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则∑=∈2010))(2(k Z k kf 的值=____________5．设f (x)是定义在[－1，1]上的偶函数，f (x)与g (x)的图象关于直线x=1对称，且当x ∈[2,3]时，g (x)=a(x －2)－2(x －2)3 （a 为常数）(1)求f (x)的解析式(2)若f (x)在[0，1]上是增函数，求实数a 的范围 (3)若a ∈[－6,6]，问能否使f (x)的最大值为46．已知函数),,()(R c b a cxb ax x f ∈++=满足f(－1)=0，并且对x>0，≤01)(-x f xx 2)1(2-≤恒成立．（1）求a ，b ，c 的值； （2）若xm x f x g 4)()(-=在(0，2]上是减函数，求实数m 的取值范围7．已知函数xx x f --=274)(2，x ∈[0，1]．（1）求f(x)的值域；（2）设a ≥1，函数g(x)=x 3－3ax 一2a ，x ∈[0，1]．若对于任意的x 1∈[0，1]，总存在x 0∈[0，1]，使得g(x 0)=f(x 1)成立，求a 的取值范围．高三二轮复习教学案——函数（2）班级 学号 姓名1．已知f (x+2)=4x 2+4x+3，x ∈R ，则f (x)的值域为______________2．（1）函数g (x)= x 2－ax+3在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________________ （2）函数g (x)= x 2－ax+3的增函数为),2[+∞，则实数a 的取值范围是_________________ 3．已知二次函数f (x)=ax 2+bx+c 的导数为f ’(x)，f ’(0)>0，对于任意实数x ，有f (x)≥0，则)0(')1(f f -的最小值为__________4．已知函数()(01)x x f x a ma a a -=+>≠且 是R 上的奇函数， 求函数2()g x m x ax m a =++的零点5．设a ∈R ，函数1||)(2+-+=a x x x f ，x ∈R ，求f(x)的最小值．6．将函数21()2f x ax a =-的图象向右平移1a个单位，再向下平移12a个单位，平移后得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的表达式；（2）若函数()g x 在2]上的最小值为()h a ，求()h a 的最大值。
2021-2022年高考数学第二轮专题复习函数讲义教案
2021年高考数学第二轮专题复习函数讲义教案一、本章知识结构：二、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、热点分析函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。
在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。
以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。
②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。
③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。
四、复习建议1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等； ⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
高三数学二轮复习 专题2函数性质及应用教案 苏教版
专题2 函数性质及应用〔2〕【高考趋势】函数的刻划一般是从两个方面：一是式，二是形，两者常需相互转化，互要照应，对于根本等函数的组合与复合，假设作图较为方便，一般最好借助图象直观解题；假设作其图象较为困难，那么要挖掘问题的内在性质解题。
由于新课程中导数的内容更加丰富，因此利用导数研究诸如y=x-lnx 的单调性、最值及解〔或证〕不等式等问题，是学会研究函数的重要方法之一，也是近年来高考命题的主要方向之一。
【考点展示】1、定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，假设将方程f(x)=0在闭区间[-T ，T]上的根的个数记为n ，那么n 至少为 。
2、设f(x)是定义在R 上的函数，假设f(x)=f(2021-x)，那么f(x)有对称轴为 ；假设f(2021-x)=-f(2021+x)，那么f(x)有对称中心为3、假设f(x)=lnx+2x 2+mx+1在〔0，+∞〕内单调递增，那么m 的取值范围是4、假设对任意x ∈R ，不等式|x|≥ax 恒成立，那么实数a 的取值范围是5、函数y=f(1+x)的图象与y=f(1-x)的图象关于 对称。
6.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=， 假设()15,f =-那么()()5ff =_______________。
7、假设⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是〔-∞，+∞〕上的减函数， 那么a 的取值范围是【样题剖析】例1、定义在R 上的函数f(x), 对于任意x ，y ∈R ，均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0。
〔1〕求证：f(0)=1;〔2〕求证：y=f(x)是偶函数；〔3〕假设存在常数c ，使f(2c )=0成立，求证：函数y=f(x)是周期函数。
例2、a 是实数，函数f(x)=2ax 2+2x-3-a ，如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a 的取值范围。
高三数学二轮复习专题1函数性质及应用教案苏教版
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高三数学二轮复习 专题 1 函数性质及应用教案 苏教版 例 2、偶函数 f(x) 在 [0 ， +∞）上是增函数，求不等式 f(2x+5) ＜ f(x 2+2) 的解集。
例 3、如图，有一块半椭圆形钢板，其长轴长为
2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等
腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆上，记 CD=2x，梯形面积为 S。
8、已知函数 f(x)= x2 1 -ax 在区间（ 0，+∞）上是单调函数，求 a 的取值范围。
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2
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（填“＞” ，“＜”，或“ =”）。
3、函数 f(x) 的图象沿 x 轴翻折后与 y= log 1 x 的图象重合，则 f(x) 的解析式为
2
11
1x
x2 , x 0,
4、有下列函数：① y=
3x
1
;
2
② y= log 2 1
; ③ y=
x
x 2,
，其中为奇函
x 0.
数的有
个。
5、定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x) ，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=
1、若集合 A={x|x a} ，B={x|1 x 2} ，且 A∪（ CRB） =R，则实数 a 的取值范围是
1
2、曲线 y= e 2 在点（ 4, e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
3、若
1 f(
x )
1
x2
2
，则
f(1)=
1x 1x
高中函数复习教案
高中函数复习教案教案标题：高中函数复习教案教案目标：1. 复习高中函数的基本概念和性质；2. 强化学生对函数图像、性质和变换的理解；3. 提供练习机会，巩固学生对函数的应用能力；4. 培养学生解决实际问题的数学建模能力。
教案步骤：引入部分：1. 引导学生回顾高中函数的基本概念，如定义域、值域、奇偶性等；2. 提问学生对函数图像的理解，引导他们思考函数图像与函数性质之间的关系；3. 引入函数的变换，如平移、伸缩、翻转等，让学生意识到这些变换对函数图像和性质的影响。
主体部分：4. 通过示例函数图像，让学生观察并总结函数图像与函数性质的关系；5. 引导学生进行函数图像的绘制，让他们在实践中加深对函数图像的理解；6. 提供一些函数性质的练习题，让学生通过计算和分析来巩固对函数性质的理解；7. 引导学生进行函数的变换练习，让他们通过具体的变换操作来加深对函数变换的理解。
拓展部分：8. 引导学生进行函数的应用练习，如函数的最值问题、函数的求解等；9. 提供一些实际问题，让学生将函数应用于实际情境中，培养他们解决实际问题的数学建模能力；10. 总结本节课的内容，梳理学生的学习收获，并鼓励学生提出问题和疑惑。
教案评估：1. 在课堂中观察学生的参与度和理解程度；2. 布置一些练习题，检验学生对函数的掌握情况；3. 针对学生的问题和困惑，及时给予解答和指导。
教案延伸：1. 鼓励学生进行更多的函数图像绘制和性质分析，加深对函数的理解；2. 提供更多的应用题，让学生在实际问题中灵活运用函数知识；3. 引导学生进行函数的证明和推导，培养他们的数学思维能力。
教案注意事项：1. 需要提前准备好函数图像的示例和练习题；2. 适当调整教学节奏，根据学生的理解情况进行灵活安排；3. 鼓励学生互相合作，分享思路和解题方法；4. 对于学习困难的学生，提供额外的辅导和指导。
高考函数专项复习教案
高考函数专项复习教案一、教学目标1. 理解函数的定义及其性质，掌握常见函数的图像和特征。
2. 熟练运用函数性质解决实际问题，提高数学思维能力和解决问题的能力。
3. 巩固求解函数方程、不等式的能力，提升高考数学成绩。
二、教学内容1. 函数的定义与性质1.1 函数的概念1.2 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）2. 常见函数的图像与特征2.1 一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质2.2 指数函数、对数函数的图像与性质2.3 三角函数的图像与性质三、教学重点与难点1. 重点：函数的定义与性质，常见函数的图像与特征。
2. 难点：函数方程、不等式的求解，函数性质在实际问题中的应用。
四、教学方法与手段1. 采用讲练结合的方法，通过例题解析、课后习题训练，巩固知识点。
2. 利用多媒体教学手段，展示函数图像，直观地理解函数性质。
3. 组织小组讨论，促进学生互动交流，提高解决问题的能力。
五、课时安排1. 第1课时：函数的定义与性质2. 第2课时：一次函数、二次函数的图像与性质3. 第3课时：反比例函数、指数函数的图像与性质4. 第4课时：对数函数、三角函数的图像与性质5. 第5课时：函数方程、不等式的求解及应用教案内容待补充。
六、教学过程6. 结合具体案例，让学生通过观察、分析、归纳函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
7. 通过例题展示，引导学生运用函数性质解决实际问题，巩固所学知识。
8. 针对高考题型，进行函数方程、不等式的专项训练，提高解题技巧。
9. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得，互相学习，共同进步。
10. 总结本节课所学内容，布置课后作业，巩固知识点。
七、课后作业1. 选择题：1. 函数f(x) = 2x + 1的定义域是____。
2. 函数f(x) = |x|的值域是____。
3. 下列函数中，奇函数的是____。
4. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的取值范围是____。
高三数学二轮复习 函数性质与图象教案
第四讲函数的图象与性质命题要点：1.函数的图象：（1）函数图象的画法，（2）函数图象与函数性质的关系，（3）函数图象的应用。
2.函数的性质：（1）函数的单调性，（2）函数的奇偶性，（3）函数的周期性。
命题趋势：1.函数的图象及其性质是高考命题的一个核心内容，高考一般从以下几个方面进行考查：（1）对基本初等函数图象的考查，包括对二次函数、指数函数、对数函数、幂函数图象的考查；（2）利用导数研究函数图象，主要考查导数图象与原函数图象之间的关系；（3）函数图象的综合应用，即以函数的图象为背景求函数零点的个数或则判断函数零点所在的区间等。
2.近几年高考对函数的性质的考查主要集中在单调性、奇偶性、周期性，其考查更具有综合性，常常以三个性质综合考查或则以其中两个性质进行综合考查。
解决此类综合问题的关键是灵活运用基础知识，熟练判断函数奇偶性常用的方法、判断函数单调性常用方法，牢记函数周期性的表达式以及半周期形式。
命题规律：1基本初等函数的图象是高考中的重要考查点之一，是用来研究其他图象的基础，且是研究韩式性质的重要工具，该类题多以选择、填空为主，难度为中低档题。
2.函数的基本性质主要从两个方面进行考查：（1）函数的单调区间及其周期的应用，如应用单调求值域、比较大小、解（证明）不等式等，运用定义或导数判断或则证明函数的单调性等，多以简答题的形式出现；（2）函数的奇偶性、周期性常和函数的单调性综合，奇偶性和单调性相结合的题目常通过画示意图解决，周期性与三角函数相结合，以客观题为主，一般为容易题，对综合性简答题，常通过研究函数的单调性、周期性、奇偶性等全面了解函数图象的变化趋势，画出示意图，从而研究函数的最值、极值、单调区间等，是解决函数最值，不等式恒成立问题的基本思路，一般以客观题为主，难度为中高档题。
题型分析：类型一函数及其表示1．函数的三要素：定义域、值域、对应法则．2．同一函数：函数的三要素完全相同时，才表示同一函数．[例1] (2012年高考江西卷)下列函数中，与函数y( )A．y＝1sin xB．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin x x[解析]利用正弦函数、指数函数、对数函数及分式型函数定义域的确定方法求解．函数y{x|x≠0}，选项A中由sin x≠0⇒x≠k ，k∈Z，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.[答案] D跟踪训练1．(2012年高考福建卷)设f(x)＝1,00,01,0xxx>⎧⎪=⎨⎪-<⎩，g(x)＝1,0,xx⎧⎨⎩为有理数，为无理数，则f(g(π))的值为( )A．1 B．0C．－1 D．π解析：根据题设条件，∵π是无理数，∴g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.答案：B2．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝()4,()(),()g x x x g xg x x x g x++<⎧⎨-≥⎩，则f(x)的值域是( )A．[－94，0]∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)C．[－94，＋∞) D．[－94，0]∪(2，＋∞)解析：令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2；令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝222,122,12x x x xx x x⎧++<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或当x<－1或x>2时，函数f(x)>(－1)2＋(－1)＋2＝2；当－1≤x≤2时，函数f(12)≤f(x)≤f(－1)，即－94≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是[－94，0]∪(2，＋∞)．答案：D3. (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x －12的定义域；(2)已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域．解 (1)令x 2－x －12＝t ， 知f (t )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ －12≤t ≤12， ∴－12≤x 2－x －12≤12， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ≥0，x 2－x －1≤0⇒01x x x ≤≥⎧⎫≤≤或 ∴所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－52，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋52. (2)用换元思想，令3－2x ＝t ，f (t )的定义域即为f (x )的定义域，∵t ＝3－2x (x ∈[－1,2])，∴－1≤t ≤5，故f (x )的定义域为[－1,5]．方法总结：(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．（3）求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域．类型二 函数的图象1．图象的作法(1)描点法．(2)图象变换法：平移变换、伸缩变换、对称变换．2．若函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称，则f (x ＋a )＝f (a －x )．[例2] (2012年高考湖北卷)已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )。
高三数学专题复习教案--函数
高三数学专题复习――函数一、本章知识结构：二、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。
三、经典例题剖析考点一：函数的性质与图像函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．函数的图像是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。
复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图像的两种基本方法——描点法和图像变换法．2．会利用函数图像，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．例1、设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A∩B=( )A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1}【解析】:由集合B得x>1 , A∩B={x| x>1}，故选（A）。
高三数学第二轮复习函数的应用学案
2006届高三数学第二轮复习函数的应用学案一、考试要求：1．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
二、教学要求1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力．2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养．3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力．4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题．本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用． 难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高． 二 考点扫描1．解应用题的一般思路(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确建“模”是关键的一关。
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。
(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。
3．常见函数模型(1)应用二次函数模型解决有关最值问题 (2)应用分式函数模型xax y +=，结合单调性解决有关最值问题(3)应用xp N y )1(+=的模型解决有关增长率及利息等问题。
三．小题热身1．设集合{}{}0)(,0)(====x g x N x f x M ，则方程0)()(=x g x f 的解集是（ ）(A) N M ⋂ (B) N M (C) M 、N 中的一个 （D ） 不确定 ,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4王新敞3. 已知,,a b c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两实根为1212,()x x x x ≠，且12||1,||1x x <<，则a b c ++的最小值为________________________。
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。
高三二轮专题复习—函数教案
城东蜊市阳光实验学校2021届高三二轮复习——函数一、考情分析近几年高考中，考察函数的思想方法已更加突出，考察力度逐年加大，从如何建立函数关系式入手，考察函数的根本性质，以及数形结合、分类讨论、最优化等数学思想，重视对理论才能的考察是高考的新动向.因此要强化函数思想的应用意识的训练，才能适应高考新的变化。
函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题。
函数内容在高考解答题中，理科多以方程或者者二次函数为背景，与数列、不等式等知识交汇命题，综合考察函数、方程和不等式等知识，重视代数推理才能，一般要经过变形转化，归结为二次函数问题解决.这是近年高考的重点和热点.在此根底上，理解和掌握常见的平移、对称变换方法.以根本函数为根底，强化由式到图和由图到式的转化训练。
函数考题约含全卷的30%左右. 二、复习指导1．加强函数思想、转化思想的训练是复习的一个重点.要擅长转化命题，引进变量建立函数。
2．理解掌握有关函数常见题的解题方法和思路，构建思维形式。
3．要重视函数应用题型、探究题型和综合题型的复习和训练.学会用函数的数学思想和方法寻求解题策略。
4．对函数有关概念，要做到准确、深化地理解。
函数贯穿于中学代数的始终.数、式、方程、不等式、数列及极限等，是以函数为中心的代数，高考考察的内容，几乎覆盖了中学的所有函数，如一次、二次函数、反比例函数、指数、对数函数，以及形如y=x+xa的函数，还有三角函数、反三角函数等，也涉及到函数的所有主要的性质，且以考察三基和通性通法为主，因此更应加强函数与三角函数、不等式、数列等各章间知识的联络，养成自觉运用函数观点处理问题的习惯和培养自身的才能.有关函数单调性和奇偶性的试题，抽象函数和详细函数都有，前些年大多数考详细函数，近几年都有在不给出详细函数的情况下求解问题的试题，可见有向抽象函数开展的趋势，另外试题注重对转化思想的考察，且都综合地考察单调性、奇偶性、对称性及周期性等。
高中数学函数二教案模板
高中数学函数二教案模板
教学内容：高中数学
教学目标：
1. 理解函数的概念，掌握函数的定义和性质；
2. 掌握函数的运算，包括函数的加减乘除、函数的复合、函数的逆运算等；
3. 能够解决与函数相关的实际问题。
教学重点与难点：
1. 函数的定义和性质；
2. 函数的运算；
3. 实际问题的应用。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、电子白板；
3. 辅助资料：相关习题、实际问题。
教学步骤：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习函数的定义和性质，并与学生讨论函数的概念；
2. 提出本节课的学习目标和重点。
二、函数的运算（10分钟）
1. 讲解函数的加减乘除运算，并进行相关练习；
2. 讲解函数的复合运算，并进行相关练习。
三、函数的逆运算（10分钟）
1. 讲解函数的逆运算，并进行相关练习；
2. 引导学生运用函数的逆运算解决实际问题。
四、综合练习（15分钟）
1. 给学生布置综合练习题，并让他们在课堂上完成；
2. 对学生的答题情况进行点评和讲解。
五、课堂总结（5分钟）
1. 对本节课的重点内容进行总结，并强调学习要点；
2. 提出下节课的预习任务。
教学反思：
本节课的教学重点是函数的运算和实际问题的应用，通过丰富的练习和例题，学生能够更好地掌握函数的相关知识和运用方法。
在教学过程中，要注重引导学生思考和解决问题的能力，提高他们对数学知识的理解和运用能力。
高考函数专项复习教案
高考函数专项复习教案一、教学目标1. 理解函数的概念和性质，掌握常见函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等特征。
2. 掌握函数图像的识别和分析方法，能够运用函数图像解决实际问题。
3. 熟练运用函数性质解决数学问题，提高解题能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 函数的基本概念：函数的定义、表达式、自变量和因变量。
2. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、连续性。
3. 常见函数类型：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数。
4. 函数图像的识别和分析：图像的形状、位置、变换等。
5. 函数图像的应用：解决实际问题、函数图像的描绘和绘制。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过典型例题引导学生深入理解和掌握函数性质。
2. 利用数形结合的思想，结合函数图像和数学表达式，帮助学生直观地理解函数性质。
3. 采用小组讨论和合作学习的方式，鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
4. 注重学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，给予个性化的指导和帮助。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，及时检查学生对函数性质的理解和掌握情况。
2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
3. 课后作业：布置有关的作业题，巩固学生对函数性质的知识点。
4. 单元测试：进行阶段性的单元测试，全面评估学生对函数性质的掌握情况。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示函数图像和典型例题。
2. 练习题库：准备丰富的练习题库，供学生进行课堂练习和课后作业。
3. 教学参考书：提供相关的教学参考书籍，供教师参考和拓展教学内容。
4. 网络资源：利用网络资源，提供更多的学习材料和实践题目，帮助学生巩固函数知识。
六、教学安排1. 课时安排：本章共计10 课时，每课时45 分钟。
2. 课堂活动安排：每课时安排10 分钟的新课内容讲解，25 分钟的典型例题讲解和练习，5 分钟的课堂提问和解答，剩余时间用于学生自主学习和小组讨论。
高三数学二轮 函数与方程教案
第五讲函数与方程及函数的应用命题要点:（1）函数零点的概念及判断方法；（2）一次函数模型；（3）二次函数模型；（4）指数、对数函数模型；（5）对勾函数模型。
命题趋势:1． 函数零点是新增内容，也是高考考查的重要内容之一，特别是函数零点与方程的根的关系问题，此类问题难度不大，但要注意零点存在性定理的灵活运用。
2． 函数模型考查的重点是函数模型的建立及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求最值，该部分试题的背景新颖，常与实际生活、社会热点等问题密切相关，设置问题新颖。
最值问题是函数实际应用题求解的重点，掌握各种初等函数的模型是解决数学实际问题的关键。
命题规律：1．函数与方程思想是中学数学重要思想方法之一，大多与其他知识进行综合考查，题型为选择，填空，简答题均有。
2. 函数是数学的主干，与数列、导数、解析几何、立体几何等都有联系，试题难度较大，主要体现在函数应用题和含参数的不等式恒成立问题，分离参数后化为函数最值问题。
题型分析:类型一 函数零点的确定确定函数零点存在区间及个数的常用方法 (1)利用零点存在的判定定理；(2)利用数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角等方程多以数形结合法求解。
[例1] (2012年高考湖北卷)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7[解析] 根据x 2的范围判断y ＝cos x 2在区间[0，4]上的零点个数．当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈[0，4]，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y ＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为6. [答案] C跟踪训练(2012年保定摸底)函数f (x )＝3cos πx2－log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：把求函数f (x )的零点的个数问题转化为求函数y ＝3cos π2x 的图象与函数y ＝log 12x 的图象的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图．函数y ＝3cos π2x 的最小正周期是4，当x ＝8时，y ＝log 128＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f (x )＝3cos πx2－log 12x 有5个零点．答案：D方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．类型二 函数零点的应用问题应用函数零点求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．[例2] (2012年高考天津卷)已知函数y ＝2|1|1x x --的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解． 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x >1或x <－1），－x －1（－1≤x <1）.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点． [答案] (0，1)∪(1，4) 跟踪训练已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．解析：因为原函数有零点，可将问题转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解的问题，即方程a ＝2x －e x 有解．令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2. 因此，a 的取值范围就是函数g (x )的值域， 即a ∈(－∞，2ln 2－2]． 答案：(－∞，2ln 2－2]方法总结：若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f (a )·f (b )＞0，f (x )在区间(a ，b )上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．类型三 函数的实际应用1．常见模型：一次或二次函数模型、分式函数模型、指数式函数模型． 2．对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．[例3] (2012年高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解析] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标．跟踪训练2012年2月2日，德国总理默克尔访华，促进了中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费)，该设备购买的总费用为50 000元；使用中每年的固定保养费为6 000元；前x 年的总保养费y 满足y ＝ax 2＋bx ，已知第一年的总保养费为1 000元，前两年的总保养费为3 000元，则这种设备的最佳使用年限为________年．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1 000＝a ＋b 3 000＝4a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝500b ＝500，所以y ＝500x 2＋500x .设该设备的年平均消耗费用为f (x )，由题意，可知年平均消耗费用为f (x )＝50 000x ＋6 000＋500x ＋500＝500x ＋50 000x＋6500≥16 500，当且仅当500x ＝50 000x时，等号成立，此时x ＝10，所以最佳使用年限为10年．答案：10方法总结：(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考福建卷)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝22,,a ab a bb ab a b⎧-≤⎪⎨->⎪⎩设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【解析】 根据新定义写出f (x )的解析式，数形结合求出m 的取值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ，x ≤0，－（x －1）x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3.不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ＝14，x <0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)． ∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0.【答案】 (1－316，0)【名师点睛】 本题以新定义函数为载体，综合考查了二次函数的图象、对称性、单调性、方程的根与函数零点，不等式的基本性质等基础知识，考查考生在新问题情境中识别问题、分析问题、解决问题的能力．解答本题的关键在于数形结合确定m 的取值范围． 考情展望高考对函数与方程及应用的考查多以选择、填空形式出现，主要有两个方面：一是判断零点个数或零点所在区间，二是利用零点问题确定参数问题，着重考查等价转化、数形结合思想的运用，难度中档以上． 名师押题【押题】 设函数f (x )的零点为x 1，函数g (x )＝4x＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|>14，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝2x －12B ．f (x )＝－x 2＋x －14C ．f (x )＝1－10xD ．f (x )＝ln(8x －2)【解析】 依题意得g (14)＝2＋12－2<0，g (12)＝1>0，∴x 2∈(14，12)．若f (x )＝1－10x ，则有x 1＝0，此时|x 1－x 2|>14，因此选C.【答案】 C 经典作业：1．(2011·福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＜－2或m ＞2，故选C. 答案 C2. (2011·新课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1＞0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 C3. ►(2010·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )．A ．3B ．2C ．7D ．0[审题视点] 函数零点的个数⇔f (x )＝0解的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数． 解析 法一 由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋ln x ＝0，解得x ＝－3，或x ＝e 2.因此函数f (x )共有两个零点．4. (2010·天津文)函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)[答案] C[解析] 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数． ∵f ′(x )＝e x ＋1>0，∴函数f (x )＝e x＋x －2在R 上单调递增， 又∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，即f (0)f (1)<0， ∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．5. (2011·山东临沂)已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中g (x )是定义域为R 的函数，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,4) [答案] B[解析] ∵f (1)＝0×g (x )－1<0，f (2)＝0×g (x )＋2>0，故在(1,2)上必有实根． 6. (2010·浙江理)设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4][答案] A[解析] 本题判断f (x )＝0在区间内是否成立，即4sin(2x ＋1)＝x 是否有解．如图： 显然在[2,4]内曲线y ＝4sin(2x ＋1)，当x ＝54π－12时，y ＝4，而曲线y ＝x ，当x ＝54π－12<4，有交点，故选A. 7. (2011·山东济南)若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解为x 0，则x 0属于以下区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1,2)[答案] B[解析] 构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，易知该函数是R 上的减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0. ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 8. (人教A 版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )． A ．3～4万元 B ．4～5万元 C ．5～6万元D ．2～3万元解析 设存入的本金为x ，则x ·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660.答案 A9. (2012·新乡月考)某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )．A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150.答案 C10. (2011·聊城模拟(一))若函数f (x )＝e x－a －2x恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝e x －a －2x ＝0，得e x ＝a ＋2x ，设y 1＝e x，y 2＝a ＋2x，分别作出y 1、y 2的图象，观察图象可知a ≤0时，两图象只有一个交点． 答案：a ≤011．(2011·扬州市四星级高中4月联考)已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 由小到大的顺序是________．解析：令y 1＝2x ，y 2＝log 2x ，y 3＝x 3，y 4＝－x ， 图象如图，则a <c <b . 答案：a <c <b12. (2011·南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．[答案] 2500[解析] 总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2500.故当Q ＝300时，总利润最大，为2500万元．13. ►(2011·武汉调研)在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为：Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －20x 2，C (x )＝500x ＋4 000(x ∈N *)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台． (1)求利润函数P (x )以及它的边际利润函数MP (x )； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差． [审题视点] 列出函数解析式，根据函数性质求最值． 解 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *.P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x －4 000)＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －12522＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120元； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数， 所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440元．故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.14. ►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？[审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长．解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t ＞1.当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得．a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25，或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时．15. (2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)首先求函数v (x )为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解．[解答示范] (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋200－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．16. (2011·广州模拟)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．[解析] ∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去， ∴2x＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， f (x )有两个零点或无零点不合题意．∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.17. 定义域为R 的偶函数f (x )，当x >0时，f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，方程f (x )＝0在R 上恰有5个不同的实数解．(1)求x <0时，函数f (x )的解析式； (2)求实数a 的取值范围． [解析] (1)设x <0，则－x >0， ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋ax (x <0)． (2)∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝0的根关于x ＝0对称，又f (x )＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，∴原命题可转化为：当x >0时，f (x )的图像与x 轴恰有两个不同的交点．下面就x >0时的情况讨论．∵f ′(x )＝1x－a ， ∴当a ≤0，f ′(x )>0，f (x )＝ln x －ax 在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．a >0时，令f ′(x )＝0，x ＝1a. 当0<x <1a时，f ′(x )>0，f (x )递增， 当x >1a时，f ′(x )<0，f (x )递减， ∴f (x )在x ＝1a处取得极大值－ln a －1，则要使f (x )在(0，＋∞)有两个相异零点，如图． ∴只要：－ln a －1>0，即ln a <－1，得：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .。
高中数学函数的复习教案
高中数学函数的复习教案教学目标：1. 复习掌握函数的概念、性质以及相关定理；2. 掌握各种类型函数的图像特征、性质和应用；3. 提高解题能力，能够熟练运用函数知识解决实际问题。
教学内容：1. 函数的概念及基本性质；2. 基本初等函数及其性质；3. 复合函数、反函数、函数的奇偶性；4. 三角函数及其性质；5. 指数函数、对数函数及其性质；6. 函数图像的绘制与分析。
教学重点：1. 函数的概念及基本性质；2. 复合函数、反函数、函数的奇偶性；3. 函数图像的绘制与分析。
教学难点：1. 函数的概念及性质的理解和运用；2. 复合函数、反函数、函数的奇偶性的运用；3. 函数图像的绘制与分析的技巧掌握。
教学步骤：一、导入环节（5分钟）教师介绍函数的概念及其在数学中的重要性，并与学生讨论函数在现实生活中的应用。
二、知识点复习（20分钟）1. 复习函数的概念、符号表示、性质；2. 复习基本初等函数及其性质；3. 复习复合函数、反函数、函数的奇偶性。
三、概念强化与拓展（15分钟）1. 复习三角函数及其性质；2. 复习指数函数、对数函数及其性质。
四、图像绘制与分析（20分钟）1. 学生根据给定函数绘制函数图像，并分析函数的性质；2. 学生通过实例练习，加深对函数图像的理解。
五、练习与拓展（15分钟）教师布置相关练习题或拓展题，要求学生独立完成，并对答案进行讲解和讨论。
六、课堂总结与作业布置（5分钟）教师对本节课的重点知识进行总结，并布置相应作业，要求学生巩固复习所学内容。
教学反思：本节课通过复习高中数学函数的相关知识点，强化学生对函数的概念和性质的理解，提高学生的解题能力和应用能力。
在教学中注重理论与实践相结合，引导学生灵活运用函数知识解决实际问题，达到知识的巩固和能力的提升的目的。
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2009届高三数学二轮专题复习教案――函数一、本章知识结构：二、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。
三、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。
复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．例1、（2008广东汕头二模）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A∩B=( ) A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1}【解析】:由集合B得x>1 , A∩B={x| x>1}，故选（A）。
［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。
例2、（2008广东惠州一模）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）A B C D【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。
［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。
例3、（2008年广东惠州一模）设 ()11xf x x+=-，又记 ()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则()2008f x = （ ）A ．11x x +-； B ．11x x -+； C ．x ； D ．1x-； 【解析】:本题考查周期函数的运算。
()()1121111,11f x f x f x x f x++===---， ()()323423111,111f f x f x f x x f x f ++-====-+-，据此，()()414211,1n n x f x f x x x+++==--，()()4341,1n n x f x f x x x +-==+，因2008为4n 型，故选C . ［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。
例4、（2008福建文科高考试题）函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =,则()f a -的值为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2【解析】：3()1sin f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=故()11f a --=-即()0f a -=.［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。
例5、（2008广东高考试题）设k ∈R，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．【解析】1,1,1()(),1,kx x xF x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩21,1,(1)'(),1,k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩对于1()(1)1F x kx x x=-<-， 当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数； 当0k >时，函数()F x 在(,1-∞-上是减函数，在(1上是增函数； 对于()(1)F x k x =-≥，当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数； 当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上是增函数。
［点评］在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便。
考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例6、设二次函数()()f x a x b x c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1. 【解析】：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<<Θ， ∴ 0))((21>--x x x x a ，∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ， ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <，综上可知，所给问题获证.［点评］：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=。
例7、（2007湖北文科高考试题）设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由． 【解析】法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==g ，令2()2h a a =．Q 当0a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-20()(32(32(17h a h <<-=-=-1216=<，即1(0)(1)(0)16f f f -<g ．法2：（I ）同解法1．（II ）Q 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I）知03a <<-，1170-<<∴．又10+>，于是221112(321)1)0161616a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<．法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． ［点评］本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．考点三：指数函数与对数函数指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.例8、（2008山东文科高考试题）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．101a b -<<< B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<D ．1101ab --<<<【解析】：由图易得1,a >101;a-∴<<取特殊点01log 0,a x y b =⇒-<=<x11log log log 10,aa ab a⇒-=<<=101a b -∴<<<.选A. ［点评］：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。