必考点 有理数运算涉及的18个必考点全梳理

专题1.2 有理数的运算章末重难点题型

考点1 有理数加减法法则辨析

解决此类问题理解有理数加减法法则是关键，

有理数的加法：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.

有理数的减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）

例题1若a、b为有理数，a与b的差为正数，且a与b两数均不为0，那么（）

A．被减数a为正数，减数b为负数

B．a与b均为正数，且被减数a大于减数b

C．a与b两数均为负数，且减数b的绝对值大

D．以上答案都可能

【分析】利用有理数的减法法则判断即可．

【解析】若a、b为有理数，a与b的差为正数，且a与b两数均不为0，那么被减数a为正数，减数b为负数或a与b均为正数，且被减数a大于减数b或a与b两数均为负数，且减数b的绝对值大，

故选：D．

【小结】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．

变式1若两个有理数的和为负数，那么这两个数（）

A．一定都是负数

B．一个为零，另一个为负数

C．一正一负

D．至少有一个为负数

【分析】利用有理数的加法法则判定即可．

【解析】由有理数的加法可得，

两个有理数的和为负数，那么这两个数①都是负数，②负数的绝对值大，

所以至少有一个为负数．

故选：D．

【小结】本题主要考查了有理数的加法，解题的关键是灵活利用有理数的加法法则．

变式2下列说法中正确的个数有（）

①减去一个数等于加上这个数；②零减去一个数，仍得这个数；③两个相反数相减得零；④有理数减法中，被减数不一定比减数（或差）大；⑤减去一个负数，差一定大于被减数；⑥减去一个正数，差不一定小于被减数．

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．

【解析】①减去一个数等于加上这个数的相反数，故①错误；

②0减去一个数，得到的是这个数的相反数，故②错误；

③由于两个数的相反数相加得0，故③错误；

④在有理数减法中，被减数有可能比减数和差小，例如﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，故④正确；

⑤由于减去一个数等于加上这个数的相反数，所以减去一个负数等于加上了一个正数，故差一定大于被减数，故⑤正确；

⑥减去一个正数，差一定小于被减数，故⑥错误．

综上正确的是④⑤正确．故选：A．

【小结】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．

变式3下列说法中，正确的个数为（）

①两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数；②两个有理数的和为负数时，这两个数都是负数；

③两个有理数的和可能等于其中一个加数；④两个有理数的和可能等于0．

A．1B．2C．3D．4

【分析】利用有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；一个数同零相加，仍得这个数．逐一分析判定即可．

【解析】①两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数是错误的，例如﹣3+5＝2；

②两个有理数的和为负数时，这两个数都是负数是错误的，例如﹣3+2＝﹣1；

③两个有理数的和可能等于其中一个加数是正确的，一个数同零相加，仍得这个数；

④两个有理数的和可能等于0是正确的，互为相反数的两个数相加为0．

所以正确的有③④．故选：B．

【小结】此题考查有理数的加法法则，注意灵活运用法则计算．

考点2 有理数加减混合运算

熟记有理数加减混合运算先后顺序是解题的关键. 例题2 计算：

（1）（﹣13）+（﹣7）﹣（+20）﹣（﹣40）+（+16）； （2）（+5

6

）+（−23

）+（+11

6

）+（−13

）；

（3）（+1.9）+3.6﹣（﹣10.1）+1.4； （4）12

3

+21

2

−33

4

+

13

−4.25．

【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）根据有理数的加减法可以解答本题； （4）根据有理数的加减法可以解答本题．

【解析】（1）（﹣13）+（﹣7）﹣（+20）﹣（﹣40）+（+16） ＝（﹣13）+（﹣7）+（﹣20）+40+16 ＝16；

（2）（+5

6）+（−2

3）+（+11

6

）+（−1

3）

=56+（−23）+116

+（−13）

＝1；

（3）（+1.9）+3.6﹣（﹣10.1）+1.4 ＝1.9+3.6+10.1+1.4 ＝17；

（4）12

3

+21

2

−33

4

+

13

−4.25

＝123

+212

+（﹣334

）+1

3

+（﹣414

） ＝﹣31

2．

【小结】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法．

变式4 计算：

（1）|﹣3.2|+|0.5|﹣|1+21

5| （2）0﹣（+2）﹣（﹣1）+（+4）﹣（﹣5）

（3）（﹣479

）﹣（﹣316

）﹣（+229

）+（﹣616

） （4）（﹣3.125）+（+4.75）+（﹣978

）+（+514

）+（﹣42

3

）

【分析】（1）根据绝对值的定义以及有理数的加减法法则计算即可； （2）（3）（4）根据有理数的加减法法则计算即可． 【解析】（1）原式＝3.2+0.5﹣1﹣2.2 ＝（3.2﹣2.2）﹣1+0.5 ＝1﹣1+0.5＝0.5；

（2）原式＝0﹣2+1+4+5＝8； （3）原式=−(47

9+22

9)+(31

6−61

6) ＝﹣7﹣3＝﹣10；

（4）原式=−(3.125+97

8)+(4.75+51

4)−42

3 ＝﹣13+10−42

3 =−72

3．

【小结】本题主要考查了有理数的加减法混合运算，熟记运算法则是解答本题的关键．

变式5 计算

（1）−31

2+1

6−0.5−15

6

（2）|3﹣4|+（﹣5﹣8）﹣|﹣1﹣5|﹣（5﹣20） （3）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99

【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；

（2）根据绝对值的定义化简后，再根据有理数的加减运算法则计算即可；

（3）把原式写成（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99），一个有25个﹣2，据此计算即可． 【解析】（1）原式=(−31

2−1

2)+(1

6−15

6)=−4−12

3=−52

3； （2）原式＝4﹣3﹣13﹣6+15＝﹣3；

（3）原式＝（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99）＝（﹣2）×25＝﹣50． 【小结】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟记运算法则是解答本题的关键．