线性代数特征值和特征向量矩阵的对角化
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定义 设A为n阶方阵,如果存在数及非零 向量X,使得AX=X.则称为A的特征值,非 零向量X称为A的对应于特征值的特征向
量. 注: 特征向量非零.
AX=X (IA)X=0
其有非零解的充要条件是: |IA|=0 (1) 方程|IA|=0称为A的特征方程. |IA|=n+k1n1++kn1+kn是的n
次多项式,称为A的特征多项式.
X=A1X
1X=A1X 1是矩阵A1的特征值,且X是A1的对应 于1的特征向量.
三、特征值和特征向量的性质
定理 设矩阵A,如果,是A的对应于两个不 同特征值的特征向量,则与线性无关.
[证]设,分别是特征值1,2 (12)所对应 的特征向量,则有A=1 , A=2
假设有数k1,k2,使得 k1+k2=0 (1) 同时左乘A,得: k1(A)+k2(A)=0
第五章 特征值和特征向量
矩阵的对角化
5.1矩阵特征值，特征向量，相似矩阵 5.2 矩阵可对角化的条件 5.3 实对称矩阵的对角化
1
5.1 特征值与特征向量 相似矩阵 1.特征值和特征向量的概念 2.特征值和特征向量的计算方法 3.特征值和特征向量的性质 4.相似矩阵的概念和性质
一、特征值和特征向量的概念
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
2 2 2 0 0 0
n
解: 的特征多项式:
1
|I|=
2
n
=(1)(1)(n) 的特征值为: 1,2,,n
1 2 2
例2 求矩阵 向量.
A
2 2
1 2
2的特征值和特征 1
解:
1 2 2
|IA|= 2 1 2
2 2 1
=(5)(+1)2 A的特征值为: 1=5, 2=3= 1
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
a11 a12 L
I
A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
称为A的特征矩阵.
a1n
a2n
L
ann
设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,,n,则有 (1)1+2++n=a11+a22++ann (2)12n=|A| 226页定理5.2
二、特征值和特征向量的计算方法
AX=X(IA)X=0
1 1
基础解系:
P2
Biblioteka Baidu
1
,
P3
0
0
1
对应于2=3= 1的全部特征向量为:
k2P2+k3P3 (k2,k3不全为0)
定理：若是矩阵A的特征值,X是A的对应于 的特征向量,则 (1)k是kA的特征值； (2)m是Am的特征值(m是正整数); (3) 是AT的特征值； (4)当A可逆时,1是A1的特征值,1|A|是A*
(1)求A的特征方程|IA|=0的所有解1,2, ,n,即为A的全部特征值 (2)对每一个特征值i (i=1,2,,n),求出齐次 线性方程组(iIA)X=0的基础解系,便是A 的对应于i的线性无关的特征向量,而对应 于i的全部特征向量就是此基础解系的所
有非零线性组合.
1
例1
求对角方阵=
2
的特征值.
相似满足: (1)反身性: A~A (2)对称性: 若A~B,则B~A (3)传递性: 若A~B, B~C,则A~C
17
定理 若A与B相似,则 (1)A与B有相同的特征多项式; (2)A与B有相同的特征方程; (3)A与B有相同的特征值.
证: 若A与B相似 即存在可逆矩阵P,使得 P1AP=B B的特征多项式:
注:
(1)对应于不同特征值的特征向量是线性无 关的．
(2)对应于同一特征值的特征向量的非零线 性组合仍是对应于这个特征值的特征向量.
(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯 一;一个特征向量不能对应于不同的特征 值．
四、相似矩阵的概念和性质
定义 设A、B都是n阶方阵,如果存在可逆 矩阵P,使得P1AP=B,则称B是A的相似矩阵, 或者说A与B相似,记为A~B.可逆矩阵P称 为把A变成B的相似变换矩阵.
的特征值；
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
11
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
n
相似,则1,2,,n是A的特征值.
换言之: 若有可逆矩阵P,使得P1AP=,则
1,2,,n是A的特征值19 .
（5）相似矩阵有相同的秩 231页性质
20
5.2 矩阵可对角化的条件
问题: 对n阶方阵A,如何求相似矩阵P,使得
(1)为A的特征值为特征方程|IA|=0
的根 (2)在复数范围内,n阶方阵有n个特征值.
(3)若=i为A的一个特征值,则由方程组 (iIA)X=0的非零解X=Pi就是A的对应于i
的特征向量.
(4)若Pi为A的对应于i的特征向量,则kPi (k0)也是对应于i的特征向量.
求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤:
|IB|= |IP1AP| =|P1(I)PP1AP|
=|P1(IA)P| =|P1||IA||P|
=|IA||P1||P| =|IA||P1P| =|IA|
18
(4) 相似矩阵有相同的行列式. ∵P1AP=B |P1AP|=|B| |P1||A||P|=|B| |A||P1||P|=|B|
|A||P1P|=|B| |A|=|B|
量. 注: 特征向量非零.
AX=X (IA)X=0
其有非零解的充要条件是: |IA|=0 (1) 方程|IA|=0称为A的特征方程. |IA|=n+k1n1++kn1+kn是的n
次多项式,称为A的特征多项式.
X=A1X
1X=A1X 1是矩阵A1的特征值,且X是A1的对应 于1的特征向量.
三、特征值和特征向量的性质
定理 设矩阵A,如果,是A的对应于两个不 同特征值的特征向量,则与线性无关.
[证]设,分别是特征值1,2 (12)所对应 的特征向量,则有A=1 , A=2
假设有数k1,k2,使得 k1+k2=0 (1) 同时左乘A,得: k1(A)+k2(A)=0
第五章 特征值和特征向量
矩阵的对角化
5.1矩阵特征值，特征向量，相似矩阵 5.2 矩阵可对角化的条件 5.3 实对称矩阵的对角化
1
5.1 特征值与特征向量 相似矩阵 1.特征值和特征向量的概念 2.特征值和特征向量的计算方法 3.特征值和特征向量的性质 4.相似矩阵的概念和性质
一、特征值和特征向量的概念
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
2 2 2 0 0 0
n
解: 的特征多项式:
1
|I|=
2
n
=(1)(1)(n) 的特征值为: 1,2,,n
1 2 2
例2 求矩阵 向量.
A
2 2
1 2
2的特征值和特征 1
解:
1 2 2
|IA|= 2 1 2
2 2 1
=(5)(+1)2 A的特征值为: 1=5, 2=3= 1
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
a11 a12 L
I
A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
称为A的特征矩阵.
a1n
a2n
L
ann
设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,,n,则有 (1)1+2++n=a11+a22++ann (2)12n=|A| 226页定理5.2
二、特征值和特征向量的计算方法
AX=X(IA)X=0
1 1
基础解系:
P2
Biblioteka Baidu
1
,
P3
0
0
1
对应于2=3= 1的全部特征向量为:
k2P2+k3P3 (k2,k3不全为0)
定理：若是矩阵A的特征值,X是A的对应于 的特征向量,则 (1)k是kA的特征值； (2)m是Am的特征值(m是正整数); (3) 是AT的特征值； (4)当A可逆时,1是A1的特征值,1|A|是A*
(1)求A的特征方程|IA|=0的所有解1,2, ,n,即为A的全部特征值 (2)对每一个特征值i (i=1,2,,n),求出齐次 线性方程组(iIA)X=0的基础解系,便是A 的对应于i的线性无关的特征向量,而对应 于i的全部特征向量就是此基础解系的所
有非零线性组合.
1
例1
求对角方阵=
2
的特征值.
相似满足: (1)反身性: A~A (2)对称性: 若A~B,则B~A (3)传递性: 若A~B, B~C,则A~C
17
定理 若A与B相似,则 (1)A与B有相同的特征多项式; (2)A与B有相同的特征方程; (3)A与B有相同的特征值.
证: 若A与B相似 即存在可逆矩阵P,使得 P1AP=B B的特征多项式:
注:
(1)对应于不同特征值的特征向量是线性无 关的．
(2)对应于同一特征值的特征向量的非零线 性组合仍是对应于这个特征值的特征向量.
(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯 一;一个特征向量不能对应于不同的特征 值．
四、相似矩阵的概念和性质
定义 设A、B都是n阶方阵,如果存在可逆 矩阵P,使得P1AP=B,则称B是A的相似矩阵, 或者说A与B相似,记为A~B.可逆矩阵P称 为把A变成B的相似变换矩阵.
的特征值；
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
11
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
n
相似,则1,2,,n是A的特征值.
换言之: 若有可逆矩阵P,使得P1AP=,则
1,2,,n是A的特征值19 .
（5）相似矩阵有相同的秩 231页性质
20
5.2 矩阵可对角化的条件
问题: 对n阶方阵A,如何求相似矩阵P,使得
(1)为A的特征值为特征方程|IA|=0
的根 (2)在复数范围内,n阶方阵有n个特征值.
(3)若=i为A的一个特征值,则由方程组 (iIA)X=0的非零解X=Pi就是A的对应于i
的特征向量.
(4)若Pi为A的对应于i的特征向量,则kPi (k0)也是对应于i的特征向量.
求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤:
|IB|= |IP1AP| =|P1(I)PP1AP|
=|P1(IA)P| =|P1||IA||P|
=|IA||P1||P| =|IA||P1P| =|IA|
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(4) 相似矩阵有相同的行列式. ∵P1AP=B |P1AP|=|B| |P1||A||P|=|B| |A||P1||P|=|B|
|A||P1P|=|B| |A|=|B|