材料力学课件弯曲内力

截面1—1 F 1 C1
F 0 M 0
y F
a 1A2 1 2 FA
Me =3Fa
3 4 3 4 B a x FB
2a
截面3—3 F
M3 3 C3 FA 3F
S3
FS3 FA F 0 FS3 FA F 2F M 3 F a FA a 0 M 3 Fa ( 逆 )
x F/2 x M Fl/4
FA
A
Me C l/2 l/2
Me l
FB B
Fs
x
Me/2 M x
Me/2
结论： • 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
§4-4 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
一、剪力和弯矩与载 荷 集度间的微分关系
Mb L
M FS 2 ( x ) F B L M 2 ( x ) FB ( L x ) M ( L x) L
M
Ma L
讨论: 集中力偶M作用点C处：
M M c Mc M
思考：对称性与反对称性 FA F A
l/2 Fs F/2 C l/2
FB B
第4章
弯曲内力
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
一. 弯曲的概念 1.工程实例 桥梁，屋梁，车轴都 是最常见梁的例子。 2.定义 当作用在杆件上的载荷和 支反力都垂直于杆件轴线 时，杆件的轴线因变形由 直线变成了曲线，此变形 称为弯曲变形。
工程中以弯曲变形为主的杆件称为
1.吊车梁
2.桥梁
3.跳板
(0 x l )
[例]简支梁受集中力作用, 写出内力方程并画内力图
Fb Fa FA ,FB l l
A
FA
x a
x
F
Biblioteka Baidu
C
B
Fb AC段： FS ( x) FA l
l
b
FB
(0 x a )
Fb M ( x) F A x x l Fa CB段： FS ( x) FB l Fa M ( x) FB (l x) (l x) l
1 M ( x) dM ( x) M ( x) FS ( x)dx q( x)dx 2 0 2
剪力、弯矩和载荷集度 的微分关系:
d FS ( x) q( x) dx d M ( x) FS ( x) dx
d 2 M ( x) d x2 d FS ( x ) q ( x) dx
作剪力图和弯矩图 A
ql l B FS
FS x qx
qx2 M x 2
ql2 2
ql2 8
x
FS,max ql
ql 2
2
x 注意：
l/2
M max
M 弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在 弯曲时梁的受拉侧)。
q
A
x
FA
FS
B
ql / 2
ql / 2
[例]简支梁受均布荷载,求 内力方程并画内力图
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴 所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均 位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成 一条位于纵向对称面内的曲线。
F
纵向对称面
F'
F'
F'
轴线
二.梁的计算简图 1.杆件的简化 用梁的轴线来代替实际的梁 2.载荷 3.支座的分类
P
q(x)
据支座对梁在载荷面内的约束情 况，一般可简化为三种基本形式
q0l 2l M A 0 FBl 2 3 0 q0 l l M B 0 FAl 2 3 0
q0 l FB 3 q0 l FA 6
截面C的内力 a/3 FA A
MC FSC
a
q0 x q( x) l
2
a q0 a q0 l q0 l FSC FA 2 l 6 2l q0 a 3 a q0 a a q0 l M C FA a a 2 l 3 6 6l
内力
2 —2 2F -Fa
FS M
2、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值 = 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷 载集度为q0，试求截面C上的内力。 y q0l/2 q0 A FA a B C l x FB
解：先求支反力
㈩
㈠
上压下拉(上凹下凸)为正
C
[例]求梁1-1、2-2、3-3和44截面上的剪力和弯矩。 解： （1）求支座反力 5 由 M B 0得 R A qa
Fs1
Fs4
4 7 由 M A 0得 RB qa 4
（2）求剪力与弯矩
FS 1 RA 5qa / 4
Fs2
M 2 M 1 R A a 5qa2 / 5
d M ( x) 由： FS ( x) Cx D dx 1 2 M ( x) Cx Dx E 2
q0
q0
（弯矩图为二次抛物线） 顶点（极值点）：
q0
令 d M ( x) FS ( x) 0求出 dx
q0
d 2 M ( x) 当 q( x) <0有极大值 2 dx d 2 M ( x) 当 q( x) >0有极小值 2 dx
滑动铰支座 固定铰支座 固 定 端
二、梁的分类
1.按支座情况分为： 简支梁 外伸梁 悬臂梁
2.按支座数目分为： 静定梁 超静定梁
3.按跨数分为： 单跨梁 多跨梁
跨
——梁在两支座间的部分
跨长——梁在两支座间的长度
例 试求梁AB的支反力。 F=50kN q=20kN/m A E
1m
0.5m
C
1m
D
3m
K
1m
Me=5kN· m B
解： 整体分析梁的受力如图。 q =20kN/m F MA C A FAx D E K FAy
Me=5kN· m B FBy
未知支反力： 4个 整体独立平衡方程：3个 关键在于中间铰不能传递力矩的特性，因而不论 AC段或CB段均有 MC 0

F=50kN A E
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
FAy 50 20 3 29 0
M
FAy 81kN
A
M A 50 10 3 1 5 10 3 20 10 3 4 3 0 M A 96.5kN m
§4-2
一. 梁的剪力与弯矩 F a b
思考：
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§4-3 梁的内力方程
剪力图和弯矩图
1. 剪力和弯矩方程 一般情况下：FS=FS（x） 剪力方程 M=M（x） 弯矩方程 2. 剪力图和弯矩图： 以x轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面 上的剪力FS、弯矩M，称为剪力图、弯矩图。 表示FS、M沿梁轴线变化情况。
FB
截面4—4
M4
FS4
4C4
4
FS4 FB 2 F M 4 FB a 0 M 4 2Fa (顺 )
F
FA=3F 1 2 A1 2 1—1 -F -Fa
Me =3Fa FB =-2F 3 4 B 3 4 x 3 —3 2F Fa 4 —4 2F -2Fa
内力
2 —2 2F -Fa
q( x)
M ( x)
M ( x) dM ( x)
q( x)
x
dx
FS ( x )
FS ( x) dFS ( x)
F
y
0, FS ( x) dFS ( x) FS ( x) q( x)dx
d FS ( x) q( x) dx
M
C
0,

d M ( x) FS ( x) dx
FS
Pb / l
讨论：a.集中力F作用点C处：
FS FS c FS c P
M
Pab / l

剪力发生突变，突变量为F
[例]用作出受集中力偶简支梁的内力图
A C
FA
M
B b
FB
a
M L
FS
CB : ( a x l )
M F A FB L AC : (0 x a ) M FS 1 ( x ) F A L M M 1 ( x) F A x x L
解：支反力为
M F
y
A
0
FB 2a 3Fa F a 0
FB 2 F ()
0
FB FA F
FA 3F ()
y
F a 1A2 1 2 FA
Me =3Fa
3 4 3 4 B a
y
x FB
2a
FS1 F M1 F a 0 M1 C1 M 1 Fa ( 顺 ) 1 FS1 截面2—2 Fy 0 FS2 FA F 0 F FS2 FA F 2 F C2 2 M 2 MC2 0 M2 F a 0 FA 2 F S2 M 2 Fa ( 顺 )
FS 3 FS 2 RA qa qa / 4
Fs3
3qa FS 4 qa RB 4
M3 2aRA qa a 3qa /22
2
,
5qa M4 4
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4 横截面上的剪力和弯矩。 y Me =3Fa F B 1A2 3 4 1 2 3 4 x a a FB FA 2a
(0 x a )
(a x l )
(a x l )
x
A
x a
F
C
B
Fa / l
l
Pa / l
b
Fb / l
Fb AC段 ：FS ( x) (0 x a ) l Fb M ( x) x (0 x a ) l
Fa CB段 ：FS ( x) (a x l ) l Fa M ( x) (l x) (a x l ) l
FS M
1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或 右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。
剪力值= 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和 弯矩值= 截面左侧（或右侧）所有外力对该截 面形心的力矩代数和
F
FA=3F 1 2 A1 2 1—1 -F -Fa
Me =3Fa FB =-2F 3 4 B 3 4 x 3 —3 2F Fa 4 —4 2F -2Fa
a.求支反力
ql FA FB 2
l
FB
ql / 2
b.求内力方程
ql FS ( x) FA qx qx 2 (0 x l )
ql / 2
M


ql x M ( x) x qx 2 2
q l x 2 2
2
q l2 8
ql 2 / 8
d M ( x) FS ( x) C M ( x) Cx D dx
C<0
弯矩图斜率为常量C，M（x）图为 斜直线。 M 2、梁上作用有均布荷载q（x）=C
C>0
C<0
由：
dFS ( x) q( x) C FS ( x) Cx D dx
剪力图斜率为q（常量），FS（x）斜直线。
q( x)
M ( x)
M ( x) dM ( x)
FS ( x )
FS ( x) dFS ( x)
二.简易法作剪力图和弯矩图 1、梁上无分布荷载作用：q（x）=0
由： dFS ( x) q( x) FS ( x) C(常量)
dx
FS
C>0
剪力图斜率为零，FS（x）图为 平行于x轴的直线。 由：
1m 0.5m
q=20kN/m D
3m
C
1m
K
1m
Me=5kN· m B
C FCx F D Cy
q =20kN/m
Me=5kN· m K
FBy
3
M
C
0 20 10
3
3 2.5 5 10
FBy 5 0
FBy 29kN
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
１ １
梁的内力
(1)求支反力 F A l Fb
A
FA
x
M
B
l
M
FS
FA
FB
FB
Fa l Fb FS FA l
M FA x Fbx M l
Fb l
(2)1-1面上的内力
F
剪力
弯矩
FA
x
FS
FB
剪力FS的符号规定 左上右下为正 弯矩M的符号规定 FS
㈩
㈠
FS FS
FS
例 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
A l x B
解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力 列剪力方程和弯矩方程： M(x) B FS x qx0 x l x FS(x) 2
x qx 0 x l M x qx 2 2