材料力学课件弯曲内力
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学课件04弯曲内力
影响线的绘制方法
静力法
通过平衡条件，将单位集中荷载作用 于简支梁上，绘制弯矩图或剪力图。
机动法
利用梁的微段运动特性，通过几何关 系绘制影响线。
影响线的应用实例
确定最不利荷载位置
通过比较不同位置的荷载值，确定最不利荷载位置，以便进行结 构设计。
校核承载能力
根据影响线确定最不利荷载位置的弯矩值，校核梁的承载能力是否 满足设计要求。
02
在桥梁、建筑、机械等领域中，需要根据剪力和弯矩的分布规律进行结构设计， 确保结构的承载能力和稳定性。同时，在设计过程中还需要考虑材料的力学性能 、施工方法等因素，以满足工程实际需求。
剪力和弯矩的分布规律实验验证
为了验证剪力和弯矩的分布规律，需 要进行相关的实验验证。通过实验可 以测量梁在不同弯曲程度下的剪力和 弯矩值，并与理论分析结果进行比较 。
集中载荷下的简化和计算
总结词
集中载荷作用下，弯曲内力可以直接通过载 荷和支撑反力计算。
详细描述
在集中载荷作用下，梁的弯曲内力可以通过 将载荷与支撑反力相乘得到。这种方法适用 于载荷作用点明确的情况，计算过程简单明 了。
特殊情况下的简化和计算
要点一
总结词
某些特殊情况下，可以利用梁的对称性和载荷特性简化弯 曲内力的计算。
03
弯曲内力的大小与梁的截面尺寸、形状、材料属性 以及外力矩的大小和方向有关。
弯曲内力的类型
正应力
垂直于截面的应力，主要引起梁的弯曲变形 。
剪应力
与截面相切的应力过程中，梁截面上同时存在正应力和 剪应力，其中对梁的强度和稳定性影响最大 的应力。
弯曲内力分析的重要性
弯矩
由于弯曲变形产生的内力矩，其分布规律与梁的截面形状和弯曲方式有关。在梁的中部，弯矩通常为 负值，表示梁的上侧受压、下侧受拉；在梁的支座处，弯矩通常为正值，表示梁的上侧受拉、下侧受 压。
材料力学课件第四章 弯曲内力
固定端：支反力 F R x F R y
与矩为 M 的支反力偶
M FRy FRx
Page9
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-3 剪力与弯矩
梁的内力分析
内力分析
应力分析
变形分析
拉压杆横截面上的内力——轴力 受扭轴横截面上的内力——扭矩 受弯曲梁横截面上的内力——？
Page10
BUAA
例1：试建立图示简支梁的
ห้องสมุดไป่ตู้
q
剪力、弯矩方程，画剪力、 弯矩图。
A
B
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
剪力弯矩图中要标明符号以及特征点的大小。 剪力图在有集中力作用处（包括支座处），发生突变。
弯矩图在有集中力偶作用处（包括支座处），发生突变。
Page18
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
§4-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
微积分关系的推导
取梁一长dx微段， 研究它的平衡
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
作业： 4-2（e,f）,4-3, 4-4, 4-5(b,d,f)
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
材料力学-弯曲变形(内力)ppt课件
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
弯曲变形
3333
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
任务拓展-做剪力图和弯矩图
弯曲变形
FRA
MO
a
b
A
C
x1
x2
桥梁
弯曲变形
55
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
厂房吊运物料
弯曲变形
6
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
✓ 分析梁的变形。 ✓ 分析梁发生弯曲变形时受的内力。 ✓ 求出梁弯曲时的内力。
99
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
相关知识
解：1、求支座反力
F x0, F A x0
MA0, FBF l a
MB0, FAyFb
l
弯曲变形
F
a
b
A
B
x
l
FAx
A FAy
F B
FB
21
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
相关知识-剪力和弯矩
材料力学_弯曲内力PPT课件
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
材料力学第五章 弯曲内力PPT课件
存在平行于截面的内力（剪 力）。
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
材料力学课件：弯曲内力
例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
21
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
16
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
17
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。
0< x<l 0 xl
19
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
弯曲内力—单跨静定梁的内力图(材料力学课件)
FA
FB
ql 2
()
(2)列剪力方程和弯矩方程
FS (x)
FA
qx
1 2
ql
qx
(0< x l)
M (x)
FA x
1 2
qx 2
1 2
qlx
1 2
qx 2
(0 x l)
(3) 绘制剪力图和弯矩图
两端支座处： 梁跨中：
ql FSmax 2
M max
ql 2 8
q
A C
x
FA
l
1 ql
2
1 ql 2 8
剪力为常数，FS图为
平直线；弯矩为一次
FaFS图FS图(b) (b) 函数，M图为斜直线。
l
Fa
M图
l (c)
M图 (c)
集中力F处，剪力图 发生突变，弯矩图
有尖角。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
A
解：(1)求支座约束力
FA
由梁的整体平衡条件可求得：
M l
e
()
FA
(2)列剪力方程和弯矩方程
单跨静定梁的内力图
1. 剪力方程和弯矩方程 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化的规律，以沿梁轴线的横坐标x表示梁横
截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按剪力方程和弯矩方程绘出 图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。
剪力方程
FS FS (x)
正剪力画在x轴上方负 剪力画在x轴下方,并在
图中标明“ ”、x轴下方负 剪力画在x轴上方,并在
图中标明“ ”、“ ”。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
材料力学第四章弯曲内力优秀课件
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
材料力学课件之弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 弯曲的概念与实例 4.2 剪力和弯矩 4.3 剪力图和弯矩图 4.4 剪力、弯矩和分布载荷集度的关系
1
第4章 弯曲内力 工程实际中的弯曲问题
P
P
x
x
P
P
P
P
M=Px
2
第4章 弯曲内力 4.1 平面弯曲的概念与实例
弯曲的概念
弯曲是最常见的一 种基本变形，以弯曲为 主要变形的构件称为梁。
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
P
P外
伸
梁
P
P
9
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的分类
第4章 弯曲内力 简 支 梁
10
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的பைடு நூலகம்类
车床上的刀架和车刀
B
第4章 弯曲内力
P
悬
臂
A
梁
P B
A
11
第4章 弯曲内力
§4.2 剪力和弯矩
外力计算
c
4.2 剪力和弯矩 第4章 弯曲内力
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
解得 18
总结:剪力等于截面左侧(或右侧)所有外力的投影代数和, 截面左侧向上(右侧向下)的外力前面取正号;
弯矩等于截面左侧(或右侧)所有外力矩的代数和, 截面左侧顺时针(右侧逆时针)的外力矩前面取正号;
B x 轴线
R1
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
4.1 弯曲的概念与实例 4.2 剪力和弯矩 4.3 剪力图和弯矩图 4.4 剪力、弯矩和分布载荷集度的关系
1
第4章 弯曲内力 工程实际中的弯曲问题
P
P
x
x
P
P
P
P
M=Px
2
第4章 弯曲内力 4.1 平面弯曲的概念与实例
弯曲的概念
弯曲是最常见的一 种基本变形，以弯曲为 主要变形的构件称为梁。
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
P
P外
伸
梁
P
P
9
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的分类
第4章 弯曲内力 简 支 梁
10
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的பைடு நூலகம்类
车床上的刀架和车刀
B
第4章 弯曲内力
P
悬
臂
A
梁
P B
A
11
第4章 弯曲内力
§4.2 剪力和弯矩
外力计算
c
4.2 剪力和弯矩 第4章 弯曲内力
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
解得 18
总结:剪力等于截面左侧(或右侧)所有外力的投影代数和, 截面左侧向上(右侧向下)的外力前面取正号;
弯矩等于截面左侧(或右侧)所有外力矩的代数和, 截面左侧顺时针(右侧逆时针)的外力矩前面取正号;
B x 轴线
R1
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
材料力学弯曲内力课件
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
0 x l
23
2. 列剪力方程和弯矩方程
FS x
FA
qx
ql 2
qx
0 x l
M
x
FA x
qx
x 2
qlx qx2 0 x l
22
3. 作剪力图和弯矩图
24
例4-5 已知:简支梁如图 。求：剪力方程，弯矩 方程，并作剪力图和 弯矩图。
RAx x
RA Fs
80 kN
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
RC
x
40 kN
x
120 kN.m
M
160 kN.m
39
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
Fs Fs
弯矩 使梁产生上凹 (下凸)变形的 弯矩为正。
19
2、 剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的
横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函 数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置 的变化规律。显示这种变化规律的图形则分 别称为剪力图和弯矩图。
研究CB梁， 受力如图
12
研究CB梁， 受力如图
MC 0
20 103 N m 3 m 2.5 m 5103 N m FBy 5 m 0
材料力学课件 第五章弯曲内力
V
1 2
M e
全梁的弯曲应变能则可通过积分求得为
M 2(x)
V l 2EI dx
§5–6 平面刚架和曲杆的内力图
一、平面刚架 1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相
互刚性连接而组成的结构。 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。
2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正
R
P
极轴，表示截面m–m的位置。
A
B
O
x
M() Px P(R Rcos) PR(1 cos) (0 ) Q( ) P1 Psin (0 ) N( ) P2 Pcos (0 )
R
P
A
B
O
x
A
2PR
O
+
Q -diagram
M-diagram
B N-diagram
–
值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
l P1 P1a
[例6] 试作图示刚架的内力图。
P2
a
P1
B
C
P2 A
+
+ Q图
P1
– N图
P1a
M图 P1a+ P2 l
二、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例7] 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。
解：建立极坐标，O为极点，OB
（1） 计算支座反力，由平衡方程 M B (F) 0 ， FAl Me 0
解得 FA
Me l
FB
（2） 列剪力方程和弯矩方程
根据梁的受力情况，以集中力偶作用处C为界，分段列剪
材料力学弯曲内力ppt课件
受均布载荷
8
§4–2 梁的剪力和弯
矩F
F
A
a l
B
A
FAx
FAy
B FB
Fx 0; FAx 0
mA 0; FBl Fa 0,
FB
Fa l
Fy 0; FAy FB F 0,
FAy
F (l a) l
荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。
9
x
31
根据M、 Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载两端，支座处都应 取作分段点；
⒊ 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由Fs = 0确定弯矩抛物线顶 点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；
M1 2kN.m
17
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
2 C2
FA m
m
B
FB
m1 A
FA
2 2
M2
Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2 m1 FA 2 0
M 2 8kN.m
10
Fs ⊕
Fs Fs
○ － Fs M
⊕
MM
○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
Fs M
Ⅰ
Fy 0; FAy Fs 0,
8
§4–2 梁的剪力和弯
矩F
F
A
a l
B
A
FAx
FAy
B FB
Fx 0; FAx 0
mA 0; FBl Fa 0,
FB
Fa l
Fy 0; FAy FB F 0,
FAy
F (l a) l
荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。
9
x
31
根据M、 Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载两端，支座处都应 取作分段点；
⒊ 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由Fs = 0确定弯矩抛物线顶 点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；
M1 2kN.m
17
m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
23 23
2 C2
FA m
m
B
FB
m1 A
FA
2 2
M2
Fs2
M3
3 3
B
Fs3
FB
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 3kN
m2 0; M 2 m1 FA 2 0
M 2 8kN.m
10
Fs ⊕
Fs Fs
○ － Fs M
⊕
MM
○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
Fs M
Ⅰ
Fy 0; FAy Fs 0,
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内力
2 —2 2F -Fa
FS M
2、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值 = 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷 载集度为q0，试求截面C上的内力。 y q0l/2 q0 A FA a B C l x FB
解：先求支反力
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
FAy 50 20 3 29 0
M
FAy 81kN
A
M A 50 10 3 1 5 10 3 20 10 3 4 3 0 M A 96.5kN m
§4-2
一. 梁的剪力与弯矩 F a b
例 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
A l x B
解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力 列剪力方程和弯矩方程： M(x) B FS x qx0 x l x FS(x) 2
x qx 0 x l M x qx 2 2
q( x)
M ( x)
M ( x) dM ( x)
q( x)
x
dx
FS ( x )
FS ( x) dFS ( x)
F
y
0, FS ( x) dFS ( x) FS ( x) q( x)dx
d FS ( x) q( x) dx
M
C
0,
d M ( x) FS ( x) dx
思考：
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§4-3 梁的内力方程
剪力图和弯矩图
1. 剪力和弯矩方程 一般情况下：FS=FS（x） 剪力方程 M=M（x） 弯矩方程 2. 剪力图和弯矩图： 以x轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面 上的剪力FS、弯矩M，称为剪力图、弯矩图。 表示FS、M沿梁轴线变化情况。
q0l 2l M A 0 FBl 2 3 0 q0 l l M B 0 FAl 2 3 0
q0 l FB 3 q0 l FA 6
截面C的内力 a/3 FA A
MC FSC
a
q0 x q( x) l
2
a q0 a q0 l q0 l FSC FA 2 l 6 2l q0 a 3 a q0 a a q0 l M C FA a a 2 l 3 6 6l
FS 3 FS 2 RA qa qa / 4
Fs3
3qa FS 4 qa RB 4
M3 2aRA qa a 3qa /22
2
,
5qa M4 4
例 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4 横截面上的剪力和弯矩。 y Me =3Fa F B 1A2 3 4 1 2 3 4 x a a FB FA 2a
解：支反力为
M F
y
A
0
FB 2a 3Fa F a 0
FB 2 F ()
0
FB FA F
FA 3F ()
y
F a 1A2 1 2 FA
Me =3Fa
3 4 3 4 B a
y
x FB
2a
FS1 F M1 F a 0 M1 C1 M 1 Fa ( 顺 ) 1 FS1 截面2—2 Fy 0 FS2 FA F 0 F FS2 FA F 2 F C2 2 M 2 MC2 0 M2 F a 0 FA 2 F S2 M 2 Fa ( 顺 )
作剪力图和弯矩图 A
ql l B FS
FS x qx
qx2 M x 2
ql2 2
ql2 8
x
FS,max ql
ql 2
2
x 注意：
l/2
M max
M 弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在 弯曲时梁的受拉侧)。
q
A
x
FA
FS
B
ql / 2
ql / 2
[例]简支梁受均布荷载,求 内力方程并画内力图
Mb L
M FS 2 ( x ) F B L M 2 ( x ) FB ( L x ) M ( L x) L
M
Ma L
讨论: 集中力偶M作用点C处：
M M c Mc M
思考：对称性与反对称性 FA F A
l/2 Fs F/2 C l/2
FB B
x F/2 x M Fl/4
FA
A
Me C l/2 l/2
Me l
FB B
Fs
x
Me/2 M x
Me/2
结论： • 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
§4-4 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
一、剪力和弯矩与载 荷 集度间的微分关系
a.求支反力
ql FA FB 2
l
FB
ql / 2
b.求内力方程
ql FS ( x) FA qx qx 2 (0 x l )
ql / 2
M
ql x M ( x) x qx 2 2
q l x 2 2
2
q l2 8
ql 2 / 8
FS M
1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或 右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。
剪力值= 截面左侧（或右侧）所有外力的代数和 弯矩值= 截面左侧（或右侧）所有外力对该截 面形心的力矩代数和
F
FA=3F 1 2 A1 2 1—1 -F -Fa
Me =3Fa FB =-2F 3 4 B 3 4 x 3 —3 2F Fa 4 —4 2F -2Fa
d M ( x) FS ( x) C M ( x) Cx D dx
C<0
弯矩图斜率为常量C，M（x）图为 斜直线。 M 2、梁上作用有均布荷载q（x）=C
C>0
C<0
由：
dFS ( x) q( x) C FS ( x) Cx D dx
剪力图斜率为q（常量），FS（x）斜直线。
截面1—1 F 1 C1
F 0 M 0
y F
a 1A2 1 2 FA
Me =3Fa
3 4 3 4 B a x FB
2a
截面3—3 F
M3 3 C3 FA 3F
S3
FS3 FA F 0 FS3 FA F 2F M 3 F a FA a 0 M 3 Fa ( 逆 )
㈩
㈠
上压下拉(上凹下凸)为正
C
[例]求梁1-1、2-2、3-3和44截面上的剪力和弯矩。 解： （1）求支座反力 5 由 M B 0得 R A qa
Fs1
Fs4
4 7 由 M A 0得 RB qa 4
（2）求剪力与弯矩
FS 1 RA 5qa / 4
Fs2
M 2 M 1 R A a 5qa2 / 5
1m 0.5m
q=20kN/m D
3m
C
1m
K
1m
Me=5kN· m B
C FCx F D Cy
q =20kN/m
Me=5kN· m K
FBy
3
M
C 0 20 10 Nhomakorabea3
3 2.5 5 10
FBy 5 0
FBy 29kN
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
(0 x l )
[例]简支梁受集中力作用, 写出内力方程并画内力图
Fb Fa FA ,FB l l
A
FA
x a
x
F
C
B
Fb AC段： FS ( x) FA l
l
b
FB
(0 x a )
Fb M ( x) F A x x l Fa CB段： FS ( x) FB l Fa M ( x) FB (l x) (l x) l
滑动铰支座 固定铰支座 固 定 端
二、梁的分类
1.按支座情况分为： 简支梁 外伸梁 悬臂梁
2.按支座数目分为： 静定梁 超静定梁
3.按跨数分为： 单跨梁 多跨梁
跨
——梁在两支座间的部分
跨长——梁在两支座间的长度
例 试求梁AB的支反力。 F=50kN q=20kN/m A E
1m
0.5m
C
1m
1 M ( x) dM ( x) M ( x) FS ( x)dx q( x)dx 2 0 2
剪力、弯矩和载荷集度 的微分关系:
d FS ( x) q( x) dx d M ( x) FS ( x) dx
d 2 M ( x) d x2 d FS ( x ) q ( x) dx
D
3m
K
1m
Me=5kN· m B
解： 整体分析梁的受力如图。 q =20kN/m F MA C A FAx D E K FAy
Me=5kN· m B FBy
未知支反力： 4个 整体独立平衡方程：3个 关键在于中间铰不能传递力矩的特性，因而不论 AC段或CB段均有 MC 0
F=50kN A E
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴 所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均 位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成 一条位于纵向对称面内的曲线。