静电场的基本方程

0
V

(r')
r
1
r'
dV
'
需要注意，积分是对源点 r'进行；梯度
是对场点 r 进行，因此算子可以移到积分外
N
W楠 E
S

E
(r)



1
4
0
V
(r')
r
1 r'
dV '

【结论】：
梯度的旋度为零，因此


E
(r)

0
可以总结出静电场的第二个特性：静电场是 无旋场
微波技术基础
静电场的基本方程
主讲人：王楠
N
W楠 E
S
两个带电物体互不接触，然而人们发现
它们能互相吸引或排斥。现在已清楚，因为 带电物体能够激发一种物质弥漫于空间，通 过这种物体交换使这两个带电物体产生相互 作用。我们把此种物质称为电场。
静电场是指由相对观察者静止且带电量 不随时间变化的电荷产生的电场。静电场的 特点是不随时间变化仅是空间坐标的函数。
我们首先从静电场着手研究不仅因为
简单，而且也符合物理史发展的实际。
N
W楠 E
S
如何研究静电场？这是摆在我们面前的首要问 题。所幸Maxwell，Hertz和Helmhdtz等一大批著名 学者已经我们理清了研究思路。
在学者眼中，静电场仅仅是一种特殊的矢量场：
可以利用物理实验定律分析这种矢量场 的特点；

1 r1

r 2

l2 4

rlcosθ 1/2
r 2 rlcosθ 1/2 1 1 l cosθ 1/2 r r
1 1 1 l cos
积分形式

E

dl

0
l
N
W楠 E
S
总结
静电场的基本方程：


E


0


E
(r)

0
静电场是一个无旋、有源的矢量场，电 荷是电场的源。
电力线从正电荷出发，到负电荷终止
上述特性是由静电场的本性所决定的。
我们再次强调，只要有这两个性质，静电场 N
作为矢量场的所有特性都已确定。
W楠 E
极性分子的正负电荷中心不重合，本身具有一 个固有极矩的份子，如H2O分子
N
W楠 E
S
绝缘体放在电场
E
(r)
中，可能有两类情况：
一类是原来分子所等效的各个 方向都有的电偶极子排列整齐了；
另一类是原来是中性的分子，被 电场“拉出”整齐的电偶极子。
总之，它的宏观效果都使得介 质分子等效的电偶极子顺外场方向 整齐排列。
从宏观上研究静电场的环量和通量；
从微观上研究静电场的旋度和散度
要研究静电场的特性，其思路可根据 库伦定律和相应定义的电场强度得到对应 的度量。
N
W楠 E
S
高斯定理 （静电场的散度）
N
W楠 E
S
高斯定律描述通过一个闭合面的电场强度的通 量与闭合面内电荷之间的关系。（通量和源）
电场强度是矢量场，根据定义，给出点电荷
N
W楠 E
S
在外电场作用下，或者电介 质中的分子产生附加电矩，或者 固有偶极矩取得了外电场的取 向，这种现象就称为介质的极化
从微观角度看，电介质的极 化可以分为两种：非线性分子的 极化叫做位移极化，极性分子的 极化叫做取向极化。
N
W楠 E
S
【定义】：电偶极子是指由间距很小的两个等量异号 电荷组成的系统
N
W楠 E
S
静电场的旋度
N
W楠 E
S
再次写出电场强度

E
(r)

1
4 0
V

(r')
(r r') r r' 3
dV
'

1 r r'


r r'
r r' 3

1
4 0
V
(r')
r
1 r'
dV '



1
4

EdV

1
dV
V
0 V
高斯定理的微分形式


E


0
N
W楠 E
S
高斯定理

E

dS

Q
S
0


E


0
积分形式的高斯定理和微分形式的高斯定 理说明了通过闭合曲面的电场强度与闭合面内的 电荷之间的关系。
已知源电荷可以求电场强度
可以总结出静电场的第一个特性：静 电场是有源场，它的源就是电荷
(r )

q
4 0

1 r1

1 r2

余弦定理
1 r1

1 r1


r2

l2 4

2r
l 2
cos
1
/
2
1 r2

1 r2


r2

l2 4

2r
l 2
cos
1
/
2
N
W楠 E
S
在实际当中我们感兴趣的是远场，也即 l r
做近似
1 r1
S
前面我们所讨论的是真空情况下静电场的 特性和规律。实际上，场不可避免地要与物质 相互作用。根据物质的电特性，最简单的分 类，与电场相互作用的物质可以分类为导电物 质和绝缘物质两类，通常称前者为导体，后者 为电介质。
导电物质内部拥有大量的自由电荷；而绝 缘物质的内部则只有束缚电荷。
我们所讨论的是宏观电磁场，即并不研

q
4 0

如果取闭合曲面包围所有的源电荷，可以得 到高斯定理的积分形式
E

dS

Q
S
0
Ｑ是闭合曲面内的总电荷，如果是分布电荷， 令闭合面内电荷密度为ρ，则
Q dV
V
N
W楠 E
S
E

dS

Q

1
dV
S
0 0 V
根据散度的性质，使用高斯公式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

究物质的分子等微观结构在电场作用下所发
生的变化，而只考虑介质中大量分子极化宏 N
观效果所产生的介质附加电场。
W楠 E
S
电介质中的场方程
N
W楠 E
S
电介质的极化
任何物质的原子都是由带负电的电荷和带正电 的原子核组成。依其特性可分为极性分子和非极性 分子。
非极性分子的正负电荷中心重合，如H2、N2、 CCl4分子等
【数学定义】：通常用电偶极矩表
示 定电义偶为极电子荷的q大与小有和向空距间离取l 向的，它乘
积，也即
p

ql
电偶极矩是一个矢量，方向 由负电荷指向正电荷，方向的模 值是正负电荷之间的距离。
真空中的电偶极子的电场和电位可以用 来分析电介质的极化问题。
N
W楠 E
S
电偶极子在空间任意一点的电位
取电偶极子的轴和ｚ轴重合，电 偶 矢径极子r 处的Ｐ中点心的在电坐位标原点。可得
电场穿过任意闭合曲面Ｓ的通量
S
E

dS

q
4 0
s
(r

r
')

dS
r r ' 3

q
4 0

如果电荷ｑ位于Ｓ内部，则Ω＝４π
如果电荷ｑ位于Ｓ外部，则Ω＝０
N
W楠 E
S
S
E

dS

q
4 0
s
(r

r
')

dS
r r ' 3