第六章 晶格动力学

第六章 晶格动力学 6.1 密度泛函微扰理论
固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。

事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。

晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。

这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。

直到1970年才系统地研究了这些联系。

一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。

现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。

在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。

密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。

感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。

由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。

1 基于电子结构理论的晶格动力学
从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。

在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值ε
和本征函数()ΦR 决定。

()()()2
22
2I I I E M εΦΦ⎛⎫∂-+= ⎪∂⎝⎭
∑R R R R (6.1.1) 这里I R 是第I 个原子核的坐标，I M 是相应原子核的质量，{}I ≡R R 是所有原子核坐标的集合，()E R 是
系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer 能量表面。

()E R 是在固定原子核场中运动的相互作用电子系统的基态能量。

他们依赖参量R 作用在电子变量上的哈密顿量为
()()22
2221
22I BO N i j iI i I i i j Z e e H E m ≠∂=-+-+-∂-∑∑∑R R r R r r r (6.1.2) 这里I Z 是第I 个原子核的电荷数，e -是电子电荷，()N E R 是不同核之间的静电相互作用：
()2
2
I J
N I J
I J
Z Z e E ≠=
-∑
R R R (6.1.3)
系统的平衡几何排布由作用在每一个原子核上为零决定：
()0I I E ∂≡-=∂R F R
(6.1.4)
而振动频率ω由Born-Oppenhermer 能量的Hassian 本征值决定，由原子核的质量标度为：
20ω= (6.1.5)
这样系统平衡几何排布和振动性质的计算实际是计算Born-Oppenhermer 能量表面的一阶和二阶微分。

实现这一目标的基本工具是Hellmann-Feynman 定理：依赖于参数λ哈密顿量H λ本征值的一阶微分由哈密顿量微分的期待值给出：
E H λλ
λλψψλλ
∂∂=∂∂ (6.1.6) λψ是对应于本征值E λ哈密顿量H λ的本征函数：H E λλλλψψ=。

在Born-Oppenhermer 中原子核的坐标作
为方程（2）中电子哈密顿量的参数。

在电子基态作用在第I 个原子核上的力为
()()
()()BO I I
I
E H ψψ∂∂=-
=∂∂R R F R R R R (6.1.7)
(),ψr R 是Born-Oppenhermer 哈密顿量的电子基态波函数。

这个哈密顿量通过电子－离子相互作用依赖
于R ，电子－离子相互作用仅仅通过电子电荷密度耦合到电子自由度。

在这种情况下Hellmann-Feynman
定理表述为
()
()()N I I
I
V E n d ∂∂=--
∂∂⎰R R r R F r r R R (6.1.8)
这里()V R r 是电子和原子核之间的相互作用
()2
I iI
i I
Z e V =--∑
R r r R (6.1.9)
()n R r 是对应于原子核排布R 的基态电子电荷密度。

在方程（5）中出现的Born-Oppenhermer 能量表面的
Hessian 是通过Hellmann-Feynman 力相对于原子核坐标的微分得到的：
()()()()()()222N I
I J J J I I J I J E n V V E d n d ∂∂∂∂∂∂≡-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰R R R R R r r r R F r +r r +R R R R R R R R R (6.1.10)
方程 (6.1.10) 说明Born-Oppenhermer 能量表面的Hessian 计算需要计算基态电子电荷密度()n R r 和原子核几何排布变形的线性响应()I n ∂R r R 。

这个Hessian 矩阵通常称为原子间力常数矩阵。

2 密度泛函理论
Hohenberg-Kohn 定理
根据前面的讨论，相应于原子核坐标的Born-Oppenhermer 能量表面微分的计算需要电子电荷密度分布的知识。

这实际上是 Hohenberg-Kohn 定理描述的相互作用电子系统一般性质的特例。

根据这个定理，不可能有两个不同的势作用在给定系统上给出相同的基态电子电荷密度。

这个性质和标准的量子力学的 Reyleigh-Ritz 变分原理一起显示存在电子电荷密度普适泛函，这个泛函
[][]()()E n F n n V d =+⎰r r r (6.1.11)
在()n r 的积分等于总电子数的约束下相应于外加势()V r 的基态的电子电荷密度的情况下取极小值。

这个极小值就是基态能量。

这个定理提供了现行的密度泛函理论的基础。

这允许对探求具有相互作用的电子系统基态性质的量子力学问题进行巨大的概念的简化，传统的依赖于N 个电子，3N 独立变量的波函数的描述，被易处理的只有3个变量的电荷密度代替。

妨碍这个不平常的简单结果直接应用的两个主要问题是：(1) F 函数的形式是不知道的，(2) 满足()n r 作为一个可接受的基态电荷分布和F 函数的域的条件很不清楚。

这第二个问题几乎不被强调，通常是利用拉格朗日乘子使电荷密度适当正交化的内容。

第一个问题可以通过将系统变换到一个没有相互作用的电子系统（Kohn-Sham ）。

Kohn-Sham 方程
Hohenberg-Kohn 定理说明了相互作用电子系统的所有物理性质都唯一地由此电子系统的基态电荷密度分布决定。

这个性质不依赖于电子电子相互作用的精确的形式。

特别是当电子电子相互作用强度消失时，[]F n 定义为无相互作用电子系统的动能[]0T n ，作为基态电荷密度分布的泛函。

这个事实1965年被Kohn-Sham 用来将一个相互作用的电子系统变换到一个等价的无相互作用的系统。

结果这个不知道的泛函[]F n 投射为
[][]()()[]2
0''2
'
XC n n e F n T n d d E n =+
+-⎰
r r r r r r (6.1.12)
第二项是电子电荷密度分布的经典静电自相互作用。

由 (6.1.12) 式定义的[]XC E n 被称为交换相关能。

在电子数不变的条件下能量泛函相对于()n r 的变分在形式上导致一个相同的方程，这个方程对无相互作用电子系统成立，这些电子感受到一个有效势，也称为自洽场势，他的形式为：
()()()
()2'''SCF XC n V V e d υ=++-⎰r r r r r r r (6.1.13)
其中
()()
XC
XC E n δυδ≡
r r (6.1.14) 是交换相关能的泛函导数。

也称为交换相关势。

这个技巧的威力在于，如果知道了有效势()SCF V r ，无相互作用多电子问题就可以很一般地解出，不需要知道无相互作用动能泛函0T 的形式。

最后，简单地解单电子薛定谔方程：
()()()2
222SCF n n n V m ψψ⎛⎫∂-+= ⎪∂⎝⎭
r r r r ε (6.1.15)
基态电荷密度分布和无相互作用动能泛函借助于辅助的Kohn-Sham 轨道()n ψr 得到：
()()2
2
1
2N n n n ψ==∑r r (6.1.16)
[]()()
22
20212
2N n n
n T n d m ψψ*=∂=-∂∑⎰
r r r r (6.1.17) N 是电子数。

系统假定为非磁的。

在最低的2N 个轨道的每一个轨道上容纳自旋相反的两个电子。

在周
期系统中，指数n 可以通过两个指标取遍所有的占据态：{},n υ≡k ，υ指明一组价带，k 是属于第一布里渊区的波矢。

在方程 (6.1.11) 和 (6.1.12) 中给出的基态能量可以按照Kohn-Sham 本征值等价地表示出来：
[]()()
[]()()21'2'2'N n XC XC n n n e E n d d E n n n d υ==-+--∑⎰⎰r r r r r r r r r ε (6.1.18)
方程 (6.1.15) 有非线性薛定谔方程的形式，他的势通过电子电荷密度分布依赖于自己的本征函数。

一旦交换关联能的明确的形式可以得到，这个方程可以用种种方法以自恰的方式解出。

局域密度近似和超出
如果交换关联能有一个精确的合理的容易使用的近似，Kohn-Sham 方案建立了一个实用的途经实现密度泛函理论[]XC E n 。

1965年Kohn 和Sham 在他们的原始论文中提出一个假定：系统的每一个电荷密度被认为是常数的小体积，贡献一个和相同体积相同密度均匀电子气相同的交换关联能。

依照这个假定，交换关联能泛函和势为：
[]()
()
()XC XC n n E n n n d ==⎰r r r ε (6.1.19)
[]()()()()
XC XC XC n n d n n n n
dn υ=⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭r r εε (6.1.20) ()XC n ε是密度为n 的均匀电子气中每一个粒子的交换关联能。

这个近似称为局域密度近似（LDA ）。

()XC n ε的近似形式已经知道很长时间了。

由Ceperley 和Alder 给出的从几乎精确的Monte Carlo 计算得
到的均匀电子气的数值结果，被Perdew 和Zunger 用简单的解析形式参数化了。

最近Ortiz 和Ballone 提
出了更精确的参数化形式。

所有这些不同的形式在和凝聚态物质应用相关的电子密度范围内是非常相似的并产生非常类似的结果。

LDA 在高密度极限和缓慢变化电荷密度分布的情况下是精确的。

尽管这个近似极其简单，已经取得了比原来期待的更为成功。

对于弱关联的材料，如半导体和简单金属，LDA 近似精确地描述了结构和振动性质：正确的结构往往具有最低的能量。

而键长、体积模量和声子频率精确到百分之几之内。

LDA 也具有一些共知的缺点。

基态内聚能和分子键能的过分高估（～20％）可能是这个近似的最坏的失败。

同时也不能恰当地描述强关联系统如过渡金属氧化物。

已经作了寻找比LDA 更好泛函的努力。

对于LDA 的梯度修正是近年来普遍采用的。

梯度修正改善在有限和半无限系统中电子关联的重要性。

如分子和表面，而在无限晶体中没有什么用处。

一般说，LDA 是一个基态理论，而Kohn-Sham 本征值和本征矢没有一个很好的定义。

不过，在没有更好的同样普遍的方法情况下，Kohn-Sham 本征值常常用来估算激发能。

用此方法得到的固体中的低能带的特征一般认为至少定性的是正确的，尽管事实上都知道LDA 充分地低估了绝缘体中的光学能隙。

3 声子
晶态固体中的振动态
在晶态固体中，出现在原子间力常数定义方程 (6.1.5) 中的原子核的位置通过指数I 来标注。

它指明单胞l 及其中给定原子的位置{},I l s ≡。

第I 个原子的位置为：
()I l s s l ≡++R R τu (6.1.21)
l R 是第l 个单胞在布拉菲格子中的位置。

s τ是原子在这个单胞中的平衡位置。

()s l u 是原子核位置从平
衡位置的偏离。

由于平移不变性，方程 (6.1.10) 中的原子间力常数矩阵仅仅通过差l m ≡-R R R 依赖于
()()()
()2,st
st l m s t E C l m C u l u m αβ
αβ
αβ
∂≡=-∂∂R R (6.1.22) 上标希腊字母指明笛卡尔分量。

()st C αβ
R 相对于R 的傅里叶变换()st
C αβq 可以视为Born-Oppenhermer 能量表面相对于确定波矢晶格变形幅度的二阶微分：
()()()()
21i st
st
c s t E
C e
C N u u αβ
αβ
α
β-⋅*∂≡=∂∂∑q R
R
q R q q (6.1.23) c N 是晶体中的单胞数。

矢量()s q u 由变形模式定义：
()()I
i I s I s s e
⋅⎡⎤=++⎣⎦q R R q R q τu u (6.1.24) 声子频率是久期方程的解：
()(
)20st αβ
ω-=q q (6.1.25)
在此上下文中，平移不变性可以二者择一地表述为在'≠q q 时波矢q 的晶格变形不会在晶体中引起一个力响应。

由于这个性质，原子间力常数很容易在倒易空间计算。

当它们需要在实空间时，很容易从傅里叶
变换得到。

原子间力常数矩阵方程 (6.1.10) 的倒易空间表达式为电子和离子贡献之和：
()()()el ion st st st C C C αβαβαβ=+q q q (6.1.26) 其中
()()()()()()()()()21ion ion el
st
c s t s t n V V C
d n d N u u u u αβ
αβαβ*
*⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎢⎥=+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰⎰r r r q r r r q q q q (6.1.27) ()()ion s l s s ls
V l υ⎡⎤=---⎣⎦∑r r R τu (6.1.28)
s υ是相应于第s 种原子核素的离子赝势。

所有的导数必须计算()0s =q u 。

离子感谢来自离子－离子相互
作用能，不依赖于电子结构。

周期系统的精确表达式见附录。

使用方程 (6.1.24) 和 (6.1.28)，方程 (6.1.27) 中出现的势的微分为：
()()()l s l s ion i l
s V e u α
υ⋅∂--∂=-∂∂∑q R r R r r q τ (6.1.29)
(1) Stefano Baroni et al., “Phonon and related crystal properties from density-functional perturbation theory ”, Review of Modern Physics, 73 (2001) 515
6.2 晶格振动
布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。

只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。

由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。

通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。

1 简谐近似和简正坐标
势能和动能函数 设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为μn (t )，则
原子的位置为()()R R n n n t t '
=+μ。

将位移矢量μn (t )用分量表示，写成μi ( i = 1, 2, ..., 3N )。

N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：
⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=∑
∑
==j i N
i N j i j i i i V V V V μμ∂μ∂μ∂μ∂μ
∂0
3131,20021 (6.2.1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。

可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：
0 0
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛i V ∂μ∂ (6.2.2)
忽略二阶以上的非简谐项可得：
j i N j i j i V V μμ∂μ∂μ∂0
31,221∑
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
(6.2.3) N 个原子体系的动能函数为：
∑==
N
i i
i m T 31
22
1
μ
(6.2.4)
简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标
N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅ (6.2.5) 简正坐标和原子的位移坐标 μi 之间通过正交变换相互联系：
∑==
N
j j
ij i i Q
a m 31μ (6.2..6)
引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为： ∑==
N
i i
Q
T 3122
1
(6.2.7)
∑==
N
i i
i Q
V 31
222
1
ω (6.2..8)
由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。

势能系数为正值，写成ωi 2。

由拉格朗日函数L = T - V 可得正则动量为：
i i
i Q Q L p
== ∂∂ (6.2.9)
体系的哈密顿量为：
()
∑=+=
N
i i i i Q p
H 31
2222
1
ω (6.2.10)
应用正则方程得到：
N i Q Q i i i 3 , ,2 ,1= 02⋅⋅⋅=+ω (6.2.11) 这是3N 个线性无关的方程，表明各简正坐标描述独立的简谐振动，根据经典的哈密顿量，很容易将体系
处理为3N 个相互独立的量子谐振子。

对于任意一个简正坐标的本征方程为：
()()i i i i i i Q Q Q Q ϕεϕω∂∂=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-2222221 (6.2.12) 本征值为：
i i i n ωε ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=21 (6.2.13)
本征函数为：
()()i ni i i
i ni H Q ξξωϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2exp 2 (6.2.14) 其中i i i Q
ωξ=
，n H 表示厄米多项式。

而体系的本征态为：
()()∏==•••N
i i ni
N Q Q 31
321Q , ,Q , ϕ
ψ (6.2.15)
体系能量的本征值为：
i N
i i N
i i n E ωε ∑
∑
==⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
=
3131
21 (6.2.16)
因此晶格上原子微振动问题可以简化为3N 种不同声子的统计问题。

2 一维单原子链
运动方程 考虑一维单原子链晶格振动问题时，通常有两点基本假设，一是原子间的相互作用势能只考虑到平方项，即简谐近似；另一个是只考虑相邻原子间的相互作用。

设每个原子具有相同的质量m ，平衡时原子间距即晶格常数为a ，用x n 代表第n 个原子离开平衡位置的位移，第n 个原子和第n + 1个原子间的相对位移为δ = x n +1-x n ，则两个原子间的相互作用势能为：
()()()222221 21 βδδδδ+≈⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a V x d V d x d V d a V a V a
a (6.2.17) 相互作用力为：
βδδ
-=-=d dV
F (6.2.18)
图6.2.1 一维单原子链的振动
考虑第n 个原子所受的相邻原子的总作用力为：
()()()n n n n n n n x x x x x x x 21111-+=----+-+βββ (6.2.19) 第n 个原子的运动方程为：
()n n n n
x x x dt
x d m 21122-+=-+β 1, 2, , n N •••= (6.2.20)
对于N 个原子有N 个完全类似的运动方程。

格波解和周期性边界条件 我们寻找具有下列波动形式的解：
()t qna i nq Ae x ω-= (6.2.21)
其中A 为振幅，ω为简谐振动的角频率，q =2πλ/为波数，如果n 为波的传播方向的单位矢量，则n q q =为波矢。

格波和连续介质波
()()
t x i
t qx i Ae Ae ωωλπ--=2 (6.2.22) 有完全类似的形式，区别于连续介质波中x 表示空间任意一个质点的位置，在格波中，如果将坐标原点取在某一格点上，则只有在x = na 的位置才有原子。

相邻原子间的位相差为qa ，显然相邻原子间的位相差为qa 加上2π 的整数倍描述的是完全相同的格波运动，即对相同的格波x nq 波数q 的取值是多值的，当然也对应地有多个波长 λ 的取值。

例如波长λ = 4a (q = π /2a ) 和λ = 4a /5 (q = 5π /2a )的格波描述完全相同的原子振动。

图6.2.2 波长为4a 和4a/5的格波等价
为了保证格波波函数的单值性，对于一维布拉伐晶格，波数q 的取值限制在：
a
q a π
π
≤
<-
(6.2.23)
这正是一维布拉伐晶格的第一布里渊区。

波矢q 的取值还要受样品边界条件的限制。

设想在一长L = Na 的一维有限单原子晶体之外，仍然有无穷多个相同的晶体，这些一维晶体内相应的原子运动情况完全一样，即第n 个原子和第n + tN 个原子的运动情况完全相同，其中t 为整数。

考虑到原子间的相互作用主要是短程的，因此实际的有限晶体中只有极少数边界上原子的运动才受到相邻的假象晶体的影响。

这样的边界条件称为玻恩－卡曼 (Born －V on Karman) 周期性边界条件。

根据周期性边界条件可得： ()()[]t a N n q i t qna i Ae Ae ωω-+-=， 1=iqNa e (6.2.24) 也就是波数q 的取值必须满足：
L
h Na h
q π
π22== h 为整数 (6.2.25) 即描述晶格振动的格波的波数q 只能取一些分立值。

由于q 的取值限制在第一布里渊区，因此h 的取值被限制在：
2
2N
h N ≤<- (6.2.26)
共有N 个不同的取值，每个q 值对应一种格波，共有N 种不同的格波。

N 就是一维单原子链的自由度数，因此这N 种格波是一维单原子链的全部振动模。

色散关系 在确定了波数q 的取值后，格波解具有明确的物理意义。

将格波解代入运动方程可得：
[]⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=2sin 4cos 1222qa m qa m ββω (6.2.27)
通常写成：
⎪⎭
⎫
⎝⎛=
2sin 4qa m βω (6.2.28) 注意上式和具体原子的标记n 无关，表明N 个联立的方程归结为同一个方程，只要上式成立，格波解就
有物理意义。

通常将ω和q 之间的关系称为色散关系。

图6.2.3 一维单原子链的色散关系
简正坐标和声子 第n 个原子的总位移为所有格波的叠加： ()∑
∑
-==q
t qna i q q
nq n e A x x ω (6.2.29)
引入简正坐标：
()t
i q q e A Nm q Q ω-= (6.2.30)
则
()∑=
q
iqna
n q Q e Nm
x 1
(6.2.31)
可以将N 个原子的动能和势能表示为：
()∑
=q q Q
T 221 (6.2.32) ()∑=
q
q
q Q V 2
22
1ω
(6.2.33)
由拉格朗日函数L = T - V 可得正则动量为： ()
()q Q q Q L
p q == ∂∂ (6.2.34) 体系的哈密顿量为：
()(
)
∑=+=N
q q q q Q p H 1
2
2221ω (6.2.35)
应用正则方程得到：
()N q q Q Q q q , ,2 ,1= 02⋅⋅⋅=+ω (6.2.36) 这是N 个线性无关的方程，表明各简正坐标描述独立的简谐振动，根据经典的哈密顿量很容易将体系处
理为N 个相互独立的量子谐振子。

对于任意一个简正坐标的本征方程为：
()()()()()()q Q q Q q Q q Q q q ϕεϕω∂∂=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+-2
22
2221 (6.2.37) 本征值为：
q q q n ωε ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=21 (6.2.38)
其中波数为q 的格波的量子称为声子，其能量为 ωq 。

一个格波表示一种振动模式，对应一种声子，当格波的能量本征值为εq 时，共有n q 种声子。

当电子或光子与晶格振动相互作用时，交换的能量以 ωq 为单位，若电子从晶格振动获得 ωq 的能量，称为吸收一个声子；若电子给晶格振动 ωq 的能量，称为发射一个声子。

声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原子集体运动的激发单元。

多体系
统集体运动的激发单元称为元激发，声子是一种典型的元激发。

例题6.2.1 单原子线型晶格：考虑一个纵波()ska t u u s -=ω cos ，在原子质量为M 、晶格常数为a 和最近邻力常数为C 的单原子线型晶格中传播。

(1) 试证该波的总能量为()∑∑
+-+⎪⎭
⎫
⎝⎛=s
s s
s
s u u
C
dt du M
E 212
212
1。

其中求和指标s 遍历所有的原子。

(2) 将u s 代入这个表达式，证明每个原子的时间平均总能量为
()22222
1
cos 12141u M ka C u M ωω=-+ 其中最后一步采用了一维布拉伐晶格的色散关系式。

解:
(1) 第s 个原子的动能为： 2)(21
dt du M s ,
第s 个原子的势能为：2121)(21
)(21-+-⋅+-⋅s s s s u u C u u C 。

一维原子链的总动能为 ∑
s
s dt du
M
2)(21。

一维原子链的总的势能为： ∑∑+++-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+
-212121)(2
)(2)(22
1
s s
s
s s s s
u u
C u u C u u C
一维原子链的总能量为：∑∑
+-+=
s
s s
s
s t u u
C
dt du M
E 212)(2
)(
2
(2) 一个原子的时间平均动能为：
()()()()()}
202222
220
22222 cos cos cos 22
2 2cos cos cos 422t t s s E E dt
M C u t sKa t sKa t sKa Ka t sKa t sKa Ka dt
N N N
M u Cu Cu Ka π
ω
π
ω
ωπωωωωωπ
ωωω=
⎧⎡=
-+-+--⎨⎣⎩----⎤⎦=
+-⎰∑∑⎰
其中：
()()()()()()()2cos cos cos cos cos sin sin t sKa t sKa Ka t sKa Ka t sKa t sKa Ka ωωωωω---=-+-- 每个原子的时间平均总能量为
222222222222221111111cos sin 42242442
t E Ka M E M u Cu Cu Ka M u Cu M u Cu M u N C ωωωωω==+-=+=+=
注意有色散关系C
M ka 42sin 2
2
ω=。

例题6.2.2 连续统波动方程：证明对于长波长，一维布拉伐格子晶体的运动方程约化为连续统弹性波的波
动方程：2
22
22x u
t u
∂∂=∂∂υ
，其中υ为声速。

解：一维单原子链的运动方程为： ()()()[]∑∑>-++-+-=
-=
2
2p s p s s p s p p
s p
s p s u u u u C u u
C dt u d M
对于长波长，p s u +和s u 之间的差很小，可以作Taylor 展开：
()()()()⋅
⋅⋅+∂∂+∂∂-=⋅⋅⋅+∂∂+∂∂+=-+22
222
22121x u pa x u pa u u x
u pa x u pa u u s
s s p
s s
s s p s
()
∑>∂∂=
02
22
2
2p s p
s x
u pa C
dt
u d M
()
2
22
2
22
2
21
x
u x
u pa C
M
dt
u d s p s p
s ∂∂=∂∂=∑>υ
其中：()∑>=
221p p
pa C
M
υ
例题6.2.3 孔氏异常 (Kohn anomaly) 在立方晶体中，沿[100]、[110]、[111]方向传播的格波，整个原子平面作同位相的运动，其位移方向平行或垂直于波矢方向。

可用一单一坐标u s 来描述平面s 离开平衡位置的位移。

假定由于平面s + p 的位移在平面s 上引起的力正比于它们的位移之差，则作用在平面s 上总力为
()
∑-=+p
s p
s p s u u
C F
假定力常数C p 取如下形式
pa
a
pk A
C p 0 sin = 其中A 和k 0是常数，a 为原子平面间距，p 遍取所有的整数值。

这种形式是对于金属的预期结果，(1) 求平面s 的运动方程；(2)运动方程具有具有格波解 ()t ska i s ue u ω-=
求色散关系和k /2∂∂ω的表达式；(3)证明k k =0时，k /2∂∂ω是无穷大。

于是在k 0处ω2对k 或ω对k 的图形有一条垂直的切线：即在k 0处色散关系()ωk 有一扭折。

W.Kohn, Phys. Rev. Lett. 2 (1959) 393曾预
言了与此有关的一个效应。

解: (1) ∑-=
+p
s p s p s u u C
dt u d M
)(2
2
）iksa Mu t ksa i u u s exp()](exp[2⋅--⋅=ωωu iska ka p s i C p p )}exp(])({exp[∑-+=
]1)[exp(2--
=∑p
p ipka C M ωp p
C C
-=并有
]2)exp()[exp(0
2--+-
=∑>ipka ipka C M p p ω])cos(1[20
2
∑>-=p p pka C
M
ω
])cos(1[20
2∑>-=
p p pka C
M
ω
pa
a
pk A
C p 0sin = ])cos(1[sin 2002∑
>-=p pka pa a pk M A
ω
求上式对k 的微商有： ()()[]∑∑>>---=
=∂∂0
00
02cos cos )
sin()sin(2)(p p pa k k pa k k
M
A
pa k
kpa M
A
k ω
0k k =时 ()∞→-=
∂∂∑>=0
022cos 1)(0
p k k pa
k
M
A k
ω
3 一维双原子链
运动方程和格波解 考虑基元由质量为m 、M 两种原子构成的一维复式晶格，相邻同种原子的间距为2a ，质量为m 的原子位于⋅⋅⋅2n -1, 2n +1, 2n +3,⋅⋅⋅各点；质量为M 的原子位于⋅⋅⋅2n -2, 2n , 2n +2,⋅⋅⋅各点。

仍然采用简谐近似和最近邻近似，其运动方程为：
()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+=+++++++22123222221222221222 2n n n n n n n n x x x dt x d M x x x dt x d m ββ (6.2.39)
图6.2.4 一维双原子链的振动
假设M > m ，方程组也有如下的格波解：
()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧==-++-++t a n q i n t a n q i n Be x Ae
x ωω222
21212 (6.2.40) 一般来说，两种不同原子的微振动的振幅是不同的。

因为一维复式晶格的晶格常数为2a ，波数q 的取值
限制在第一布里渊区⎪⎭⎫
⎝
⎛-a a 2,2ππ，由周期性边界条件可得波数q 的取值为：
Na
h q 22π
= (6.2.41)
h 为整数，只能取由-
N 2到N
2
一共有N 个不同的值。

这里N 为原胞数。

声学波和光学波 将格波解代入运动方程可得：
()
()()()
⎩
⎨⎧=-+=--02 cos 20
cos 222
2B M A qa B qa A m ωβββωβ (6.2.42) 这是关于振幅A 、B 的线性齐次方程组，振幅A 、B 有非零解的条件为其系数行列式必须等于零：
02 cos 2 cos 222
2=----ωβββωβM qa
qa m (6.2.43)
此方程通常称为久期方程。

由此久期方程解得：
()()[]
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧++±+=2/12
222 cos 2qa mM M m M m mM βω (6.2.44)
因此得到两种色散关系：
()()[]⎭⎬⎫⎩
⎨⎧++-+=-2/12
222 cos 2qa mM M m M m mM βω (6.2.45)
()()[]
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧++++=+2/12
222cos 2qa mM M m M m mM βω (6.2.46)
属于ω-的格波称为声学波；属于ω+的格波称为光学波。

因此，由N 个原胞组成的一维双原子链，波数
q 可以取N 个不同的值，每个波数q 对应有两种不同的色散关系，总共有2N 个不同的格波，格波数正好等于系统的自由度数，这些就是一维双原子链的全部振动模。

图6.2.5 一维双原子链的色散关系
波数q = a 2π
±
时声学波有最高频率
M
β
2，波数q = 0时声学波有最低频率0。

对于声学波有：
()02cos 22
≥-=⎪⎭⎫
⎝⎛-
-ωββm qa B A (6.2.47) 表明相邻两种不同原子的振幅同号，相邻原子都是沿着同一方向振动的。

图6.2.6 声学波示意图
波数q = a
2π
±
时光学波有最低频率
m
β
2，波数q = 0时光学波有最高频率μβ2，其中M m mM +=μ。

对于光学波有：
()0cos 222
<-=
⎪⎭⎫
⎝⎛++
qa M B A βωβ (6.2.48) 表明相邻两种不同原子的振幅异号，振动方向是相反的。

图2.1.7 光学波示意图
长波近似 对声学波0→q 时A B =，声学波实际上描述原胞质心的振动，即整个原胞一起运动，由此可见声学波描述不同原胞之间的相对运动。

对于长声学波色散关系可以简化为：
()qa M m 2
1
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≈-βω (6.2.49)
频率和波数之间是线性色散关系。

格波的相速等于群速，波速为一常数。

这些特征和晶体中的弹性波完全一致。

晶体可以看作连续介质，长声学波可以近似地作为弹性波处理。

对于长光学波，0→q ，()1cos →qa ，μβω22
=
+，得到m M B A -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+。

因此0=+MB mA ，即原胞的质心保持不动，由此可以定性地了解光学波描述原胞中两个不同原子的相对振动。

4 三维晶格振动
运动方程 考虑包含N 个原胞，每个原胞中含有n 个原子的复式晶格，n 个原子的质量分别为m 1, m 2,•••, m n 。

第l 个原胞位于格点
()332211a a a R l l l l ++= (6.2.50) 原胞中各原子的平衡位置为：
l n l l R R R , , ,21⋅⋅⋅ (6.2.51) 偏离平衡位置的位移为：
l n l l μμμ , , ,21⋅⋅⋅ (6.2.52) 仿照双原子链的情况，写出一个典型原胞中各原子的运动方程： •••=l k k m αμ, (6.2.53) 其中下脚标k = 1, 2, ••• , n 标明原胞中的各原子，α =1, 2, 3表示原子位移的三个分量。

方程右边是原子
位移的线性齐次函数，方程有类似的格波解：
[]t i k l
k
l
k e ω-•
=q R A μ (6.2.54) 色散关系 同样可以通过关于振幅()
kz ky kx k A A A ,,A 的久期方程： ∑⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
β
βαβαω
,2 ,k k k k A k k C A m q (6.2.55)
得到关于ω2的3n 个解，其中有3个声学波解，3n -3个光学波解。

波矢的取值 同样应用周期性边界条件可以确定波矢332211b b b q x x x ++=的取值：
⎪⎩
⎪
⎨⎧===•••π
ππ222333222111h N h N h N a q a q a q (6.2.56)
其中a 1, a 2, a 3 和b 1, b 2, b 3分别为晶格基矢和倒格子基矢；N 1, N 2, N 3为沿3个基矢方向的原胞数，321,,h h h 为整数。

显然原胞总数N = N 1 N 2 N 3 。

由此得到：
333222111N h N h N h b b
b q ++= (6.2.57)
波矢q 对应倒格子空间均匀分布的点子，注意不是倒格点。

每个点子在倒格子空间占据的体积为：
*Ω⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯•N
N N N 133221
1
b b b
(6.2.58)
其中Ω*为倒格子原胞的体积。

同样考虑到格波为波矢的单值函数，波矢的取值必须限制在第一布里渊区。

因此不同波矢的总数为N 。

每个波矢对应3n 个不同色散关系的格波，因此不同的格波总数为3nN 。

正好等于晶体中nN 个原子的总自由度数。

表明3nN 个格波是3维晶体的全部振动模。

习题
6.2.1 正方晶格的横振动：考虑一个全同原子排列的平面正方晶格的横振动，令u l m ,表示与第l 列和第m
行原子的晶面垂直的位移，每个原子的质量为M ，C 为最近邻原子的力常数, a 为最近邻原子间距。

(1) 证明运动方程为
()()[]
m l m m l m l m l m l m
l u u u u u u C dt u d M
,1,1,,,1,12
,222-++-+=-+-+ (2) 设运动方程的格波解为()()[]
t a mk a lk i u u y x m l ω-+=exp 0,，试证：如果
()
a k a k C M y x cos cos 222--=ω
则运动方程得到满足。

这是本题的色散关系。

(3) 试证存在独立解的k 空间的区域可以取作边长为2π /a 的正方形。

这就是正方晶格的第一布里渊区。

对于k k x =和k y =0以及321,,h h h ，画出色散关系曲线。

(4) 对于ka <<1证明 (
)(
)()
k M Ca
k k M
Ca y
x 2
12
12
1//2
222
=+=ω
因此在这个极限情况下速度是常数。

6.2.2 由两个不同原子构成的基元：求一维双原子链在k a =π/处声学波和光学波的振幅比。

其中a 为晶
格常数。

证明在这个k 值下，两个晶格的行为仿佛是去
6.2.3 双原子链。

考虑一个线型链的简正模式，链上最近邻原子间的力常数交错地等于C 和10C 。

令两种
原子的质量m 相等，最近邻原子间距为a /2，试求在k = 0 和k = π /a 处的色散关系()ωk 。

粗略地画出色散关系。

本题模拟双原子分子的晶体，例如H 2。

6.2.4 金属中的原子振动。

在简单金属中我们可以构想一个粗略的德拜频率的模型：考虑沉浸在均匀超导
电子海中的质量为M ，电荷为e 的点状离子。

想象这些离子在正常格点上时处于稳定平衡。

如果一个离子相对于它平衡位置移动一个小距离r ，那末回复力多半来自以平衡位置为中心、以r 为半径的球内的电荷。

把离子（或传导电子）的粒子数密度取为343/πR ，此式定义了R 。

(1) 证明进行振
动的单个离子的频率为(
)
ω=e MR
23
12
/。

(2) 对钠粗略地估计这个频率的值。

(3) 根据(1)和(2)及某
种普通常识，估计金属中声速的量级。

6.2.5 软声子模式。

考虑一个由离子构成的直线，离子的质量都相等，但电荷交错变化，即e p = e (-1)p 为
第p 个离子上的电荷。

离子间的势是两种贡献之和：力常数C 1R = γ 的短程相互作用，这仅仅在最近邻离子之间才有效；其二是一切离子之间的库仑作用。

(1) 证明库仑相互作用对离子力常数的贡献是：
()332/12a p e C p
pC -=
其中a 是离子之间平衡最近邻距离。

(2) 证明色散关系可以写成： ()()∑
∞
---+=1
= p 32
20
2 cos 112sin /p pka ka
p σ
ωω
其中ωγσγ0223
4==/,/M e a 。

(3) 试证，如果σ>0475.或()473/ζ，则在布里渊区边界k a =π/处ω2为负（不稳定模式），这里ζ是黎曼ζ函数。

其次证明，如果()721.02 ln 21=>-σ,那么在小
ka 下声速为虚值.因此,如果04750721..<<σ则对于区间 (0, π) 内ka 的某个值，ω2趋于零并且晶格不稳定。

注意，声子谱不是双原子晶格的声子谱，因为任一离子与其近邻的相互作用同任一其它离子与其近邻的相互作用是一样的。

6.3 晶体热学性质
在热力学中固体的定容比热定义为：
V
V T
E
C ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛= ∂∂ (6.3.1)。