高中数学高考二轮复习随机变量及其分布列教案(全国专用)

1．(2014·课标Ⅱ，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

1．A设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由

条件概率可知，P(B|A)＝P（AB）

P（A）

＝

0.6

0.75＝

4

5＝0.8，故选A.

2．(2015·湖南，18，12分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X .求X 的分布列和数学期望．

2．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}， C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．

由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －

2与A －

1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2

＝A 1A －2＋A －

1A 2，C ＝B 1＋B 2.

因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝1

2，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2) ＝25×12＝15， P (B 2)＝P (A 1A －

2＋A －

1A 2) ＝P (A 1A －

2)＋P (A －1A 2) ＝P (A 1)P (A －

2)＋P (A －

1)P (A 2)

＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2) ＝25×⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－25×12＝12.

故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.

(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概

率为15，所以X ～B ⎝ ⎛

⎭⎪⎫3，15.

于是

P (X ＝0)＝C 03

⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭

⎪⎫453＝

64125， P (X ＝1)＝C 13

⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭

⎪⎫452＝

48

125， P (X ＝2)＝C 23

⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝

12

125， P (X ＝3)＝C 33

⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭

⎪⎫450＝

1

125. 故X 的分布列为

X 的数学期望为E (X )＝3×15＝3

5.

3．(2014·山东，18，12分，中)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为1

3；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为3

5.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：

(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

3．解：记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，

则P(A3)＝1

2，P(A1)＝1

3

，P(A0)＝1－1

2

－1

3

＝1

6

；

记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，

则P(B3)＝1

5，P(B1)＝3

5

，P(B0)＝1－1

5

－3

5

＝1

5.

(1)记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，

由事件的独立性和互斥性，得

P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)

＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)

＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)·P(B1)＋P(A0)P(B3)

＝1 2×1

5

＋1

3×

1

5

＋1

6×

3

5

＋1

6×

1

5

＝3

10

，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在

乙上的概率为3

10.

(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得