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第1章集合与简易逻辑

§1–1集合

一、集合的概念

1.1.1在“①难解的题目；②方程x2＋1＝0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是()．

(A) ②③(B) ①③(C) ②④(D) ①②④

解析由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合，答案为A．

1.1.2下列集合中，有限集是()．

(A) {x|x<10，x∈N} (B) {x|x<10，x∈Z}

(C) {x|x2<10，x∈Q} (D) {x|x＝y＋10，y∈R}

解析由N表示自然数集得{x|x<10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}是有限集，答案为A．

1.1.3若集合M＝{x|x≤6}，a＝√5，则下列结论中正确的是()．

(A) {a}M(B) a M(C) {a}∈M(D) a∉M

解析因为√5<6，则√5∈M，{a}M，所以，答案为A．

1.1.4已知集合A＝{0，1}，B＝{y|y2＝1－x2，x∈A}，则A与B的关系是()．

(A) A＝B(B) A B(C) A∈B(D) A B

解析由已知得集合B＝{－1，0，1}，所以，A B，答案为B．

1.1.5下列四个关系中，正确的是()．

(A) ∅∈{0} (B) 0∉{0} (C) {0}∈{0，1} (D) 0∈{0，1}

解析∅与{0}，{0}与{0，1}是两个集合间的关系，这种关系不应用表达元素与集合

间关系的“∈”来表达；而0∈{0}，又0是集合{0，1}中的元素，所以，0∈{0，1}是正确的，答案为D．

1.1.6设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，b

a，b}，则b－a＝()．

(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －2

解析由已知得0∈{1，a＋b，a}，而a≠0，于是，只能a＋b＝0，则b

a＝－1，又

－1∈{1，a＋b，a}，所以，a＝－1，b＝1，b－a＝2，答案为C．

1.1.7用适当的方式写出下列集合：

(1) 组成中国国旗的颜色名称的集合；

(2) 不大于6的非负整数所组成的集合 ；

(3) 所有正奇数组成的集合 ；

(4) 方程x 3＋6＝0的实数解构成的集合 ；

(5) 不等式x 2－5x ＋4<0的解集 ；

(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合 ；

(7) 直角坐标平面中，直线y ＝2x －1上的所有点组成的集合 ．

解析 (1) 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红，黄}．

(2) 不大于6的非负整数所组成的集合是{0，1，2，3，4，5，6}．

(3) 所有正奇数组成的集合是{x |x ＝2k ＋1，k ∈N}．

(4) 方程x 3＋6＝0的实数解构成的集合是{x |x 3＋6＝0，x ∈R}．

(5) 不等式x 2－5x ＋4<0的解集{x |x 2－5x ＋4<0}或写成{x |1

(6) 直角坐标平面中，第一象限内的所有点组成的集合是{(x ，y )|x >0且y >0}．

(7) 直角坐标平面中，直线y ＝2x －1上的所有点组成的集合是{(x ，y )|y ＝2x －1}．

1.1.8 已知集合A ＝{1，3，x }，集合B ＝{1，x 2}，若有B A 且x ∉B ，则A ＝ ． 解析 由x 2∈A 及x ∉B 得x 2＝3，解得x ＝±√3，经检验此x 的值符合集合中元素的互异性，所以，集合A ＝{1，3，√3}或{1，3，－√3}．

1.1.9 集合A ＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{x |2m －1≤x ≤2m ＋1}，若B ⊆A ，则m 的取值范围是 ．

解析 由已知可得{2m －1≥－3，2m ＋1≤2，

解得－1≤m ≤12．

1.1.10 若集合M ＝{0，1，2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M }，则N 中元素的个数为( )．

(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2

解析 将点(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)

的坐标代入不等式组{x －2y ＋1≥0，x －2y －1≤0，

可知只有点(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四个点在集合N 内，所以，答案为C ．

1.1.11 定义集合运算：A ☉B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0，1}，B ＝{2，3}，则集合A ☉B 的所有元素之和为( )．

(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18

解析 由已知可得A ☉B ＝{0，6，12}，所以，A ☉B 中所有元素之和为18，答案为D ．

1.1.12 设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )．

(A) 自然数集 (B) 整数集 (C) 有理数集 (D) 无理数集 解析 任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数，任意两个无理数的积不一定是无理数，而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数，所以，有理数集对加

法，减法，乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的，答案为C ．

1.1.13 集合M ＝{x |a 1x >b 1}，N ＝{x |a 2x >b 2}，其中常数a 1b 1a 2b 2≠0，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“M ＝N ”的( )．

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件 (C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件 解析 若a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝－1，则有a

1a 2＝b 1b 2，此时，M ＝{x |x >1}，N ＝{x |x <1}，

M ≠N ；

若M ＝N ，则必有a 1a 2>0，于是，M ＝{x |x >

b 1a 1}，N ＝{x |x >b 2a 2}， 或者，M ＝{x |x

， 所以，“a 1a 2＝b 1b 2

”是“M ＝N ”的必要不充分条件，答案为B ．

1.1.14 已知集合M ＝{x |x ≤a 2＋b 2}，其中a ，b 是常数．给出下列四个命题：

① 2ab 一定属于M ② 2ab 一定不属于M

③ －2ab 一定属于M ④ －2ab 一定不属于M

其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)．

解析 由(a －b )2≥0和(a ＋b )2≥0对任意a ，b ∈R 恒成立可得2ab ≤a 2＋b 2，－2ab ≤a 2＋b 2，所以，2ab ∈M ，－2ab ∈M ，在上述四个命题中，①和③是正确的．

1.1.15 已知集合A 是非零实数集的子集，并且有如下性质：对任意x ∈A ，必有3－2x

∈A ．问： (1) 集合A 可否有且仅有一个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A ；若不可以，则说明理由；

(2) 集合A 可否有且仅有两个元素?如果可以，求出所有满足要求的集合A ；若不可以，则说明理由．

解析 (1) 若集合A 中有且仅有一个元素x ，则3－2

x ＝x ，即x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2，所以，集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集．

(2) 集合{1，2}是满足要求的二元集．若集合A ＝{a ，b }是满足要求的二元集，并且{3－2a ＝b ，3－2b ＝a ，即{3a －2＝ab ，3b －2＝ab ，则a ＝b ，矛盾，所以，满足要求的二元集只能是{1，2}．

1.1.16 同时满足{1}A ⊆{1，2，3，4，5}，且A 中所有元素之和为奇数的集合A 的个数是( )．

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

解析 若A 为二元集，则A 可为{1，2}、{1，4}；若A 为三元集，则A 可为{1，2，