2020-2021年新课标高考理科数学中档大题46分规范培优突破(32张)
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：2202k a a b k ，解得：22k .故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z ，则12||z z =__________.【答案】23【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ， 122cos cos 2sin sin 3z z i i ，2cos cos 32sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i224cos cos 4sin sin 88cos cos sin sin 8423 故答案为：23.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323 .【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：23AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC 周长323L AC AB BC ，ABC 周长的最大值为323 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni i i i i n n i i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()ii i i i i i x x y y r x x y y 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()i i i i i i i x x y y r x x y y （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c ，3b c ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 6033ON m 故：3ON AP m∵//EF BC AP EP AM BM3333EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得： 222226210PQ QN PN m m m 210sin 10210QN m QPN PQ m 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x 232333333sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020-2021年新课标高考文科数学二轮中档大题46分规范讲练真题一(6页)
2020-2021年新课标高考文科数学二轮中档大题46分规范讲练真题一17．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c cos B ＝(3a －b )cos C .(1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)解法1：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ， 所以由正弦定理得sin C cos B ＝(3sin A －sin B )cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ， 所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ， 则sin A ＝3sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13. 因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.解法2：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由余弦定理得 c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab ， 化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.(2)解法1：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24， 即(a －b )2＋43ab ＝24.因为b －a ＝2，所以ab ＝15.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2. 解法2：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24. 又b －a ＝2，所以a ＝3，b ＝5.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.18．(12分)清华大学中学生标准学术能力诊断性测试分线上测试和线下测试两种方式进行，某学校从该校参加某次线下测试的学生中随机抽取了100名学生的成绩(单位：分)，这100名学生的成绩均不低于560，不高于660，按成绩分组，得统计表如下：示)；(2)为了让学生更出色，学校招生办决定从第4,5组中用分层抽样的方法抽取5名学生进行自主招生模拟面试，并从这5名学生中随机抽取2名学生接受考官M 的面试，求第4组中恰好有1名学生接受考官M 面试的概率．解：(1)第1组的频数为100×0.10＝10，第3组的频数为100×0.25＝25，第5组的频数为100×0.05＝5，所以100－(10＋25＋20＋5)＝40.因此①处填40.因为20100＝0.20，所以②处填0.20. 频率分布直方图如图所示．(2)因为第4,5组共有25名学生，所以利用分层抽样的方法在这25名学生中抽取5名学生进行自主招生模拟面试，则第4组抽取学生525×20＝4(名)，第5组抽取学生525×5＝1(名)．记第4组的4名学生分别为a，b，c，d，第5组的1名学生为e，则从这5名学生中随机抽取2名学生的可能情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，其中第4组中恰好有1名学生接受考官M面试的情况有(a，e)，(b，e)，(c，e)，(d，e)，共4种．所以第4组中恰好有1名学生接受考官M面试的概率为410＝2 5.19．(12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥PABD的体积V＝34，求点A到平面PBC的距离．解：(1)证明：设BD交AC于点O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB，又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解法1：V＝16P A·AB·AD＝36AB，由V＝34，可得AB＝32.作AH⊥PB交PB 于H .由题设易知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，又AH ＝P A ·ABPB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313.解法2：V ＝16P A ·AB ·AD ＝36AB ，由V ＝34，可得AB ＝32.由题设易知BC ⊥平面P AB ，得BC ⊥PB ，设点A 到平面PBC 的距离为d ， 因为PB ＝P A 2＋AB 2＝132，所以V 三棱锥A PBC ＝13×12×3×132×d ＝3912d . 又V 三棱锥P ABC ＝13×12×32×3×1＝34， V 三棱锥A PBC ＝V 三棱锥P ABC ，所以d ＝31313.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin 2t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sin θ－a cos θ)＝12(a ∈R )．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，求a 的取值范围． 解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρ(sin θ－a cos θ)＝12，得 直线C 2的直角坐标方程为y －ax ＝12，即ax －y ＋12＝0.(2)解法1：由直线C 2：ax －y ＋12＝0，知直线C 2恒过点M (0，12)．由y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，知当y ＝0时，x ＝±1， 所以曲线C 1过点P (－1,0)，Q (1,0)． 则直线MP 的斜率为k 1＝0－12－1－0＝12，直线MQ 的斜率为k 2＝0－121－0＝－12.因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．解法2：由⎩⎨⎧y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，ax －y ＋12＝0，消去y 得x 2＋ax －12＝0，依题意，得x 2＋ax －12＝0在[－1,1]上有两个不相等实根．设f (x )＝x 2＋ax －12，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a 2＋2>0，－1<－a 2<1，f (－1)＝12－a ≥0，f (1)＝12＋a ≥0，解得－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]． 23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|x ＋a |－|2x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若a >0时，不等式f (x )<1对x ∈R 都成立，求a 的取值范围． 解：(1)解法1：当a ＝1时，f (x )>0，即|x ＋1|－|2x －1|>0，得|x ＋1|>|2x －1|，两边平方得(x ＋1)2>(2x －1)2，得3x (x －2)<0，解得0<x <2. 所以不等式f (x )>0的解集为{x |0<x <2}．解法2：当a ＝1时，f (x )>0，即|x ＋1|－|2x －1|>0，①当x ≤－1时，得－(x ＋1)－(1－2x )>0，解得x >2，故无解； ②当－1<x <12时，得(x ＋1)－(1－2x )>0，解得x >0，故0<x <12； ③当x ≥12时，得(x ＋1)－(2x －1)>0，解得x <2，故12≤x <2. 综上所述，不等式f (x )>0的解集为{x |0<x <2}． (2)解法1：由于a >0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x <－a ，3x ＋a －1，－a ≤x ≤12，－x ＋a ＋1，x >12.由于函数f (x )在(－∞，12]上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减，所以当x ＝12时，f (x )取得最大值，其值为f (12)＝a ＋12.若f (x )<1对x ∈R 都成立，则a ＋12<1，即a <12. 所以a 的取值范围为(0，12)．解法2：f (x )＝|x ＋a |－|2x －1|＝|x ＋a |－|x －12|－|x －12|≤|x ＋a －x ＋12|－|x －12|＝|a ＋12|－|x －12|≤|a ＋12|.若f (x )<1对x ∈R 都成立，则|a ＋12|<1， 由于a >0，所以0<a <12. 所以a 的取值范围为(0，12)．。
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分培优突破六(11张)
所以 E(ξ)＝1＋12＋212＋…＋218－219×9＋219×10a ＝1＋12＋…＋219a＝11－－211210a＝21－2110a ＝1501223a(元)．
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解：(1)因为该同学通过各校考试的概率均为 p， 所以该同学恰好通过 m(1≤m≤10)所高校自主招生考试 的概率为 f(p)＝Cm10pm(1－p)10－m， f′(p)＝Cm10[mpm－1(1－p)10－m－(10－m)pm(1－p)9－m] ＝Cm10pm－1(1－p)9－m[m(1－p)－(10－m)p] ＝Cm10pm－1(1－p)9－m(m－10p)， 当 0<p<1m0时，f′(p)>0，f(p)单调递增； 当1m0≤p<1 时，f′(p)≤0，f(p)单调递减， 所以当 p＝1m0时，f(p)取得最大值．
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(2)设该同学共参加了 i 次考试的概率为 Pi(1≤i≤10，i∈
Z)．因为 Pi＝2211i9，，1i＝≤1i≤0，9，i∈Z，
所以该同学参加考试所需费用 ξ 的分布列如下：
10 ξ a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a
a
P
1 2
1 22
1 23
1 24
1 25
1 26
压轴大题24分提高练(六)
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20．(12 分)已知函数 f(x)＝ex(1＋alnx)，其中 a>0，设 f′(x) 为 f(x)的导函数．
(1)设 g(x)＝e－xf′(x)，若 g(x)≥2 恒成立，求 a 的取值范围； (2)设函数 f(x)的零点为 x0，函数 f′(x)的极小值点为 x1， 当 a>2 时，求证：x0>x1.
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优一(3页)
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优一压轴大题24分提高练(一)20．(12分)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：①在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5；P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.解：(1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．①P (X >μ－σ)≈12＋0.682 72≈0.841 4，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．②由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)≈0.5＋0.954 52≈0.977 3，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (103，p )，其中p ＝0.977 3，于是恰好有k 位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P (ξ＝k )＝C k 103p k (1－p )103－k ，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1 001－k )×p k ×(1－p )>1，得k <1 001p ， 而1 001p ＝978.277 3，所以，当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)<P (ξ＝k )，当979≤k ≤1 000时，P (ξ＝k －1)>P (ξ＝k )，由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.21．(12分)已知函数f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2(a ∈R ，a 为常数)在(0,2)内有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：x 1＋x 2<2(1＋ln a )．解：(1)由f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2，可得f ′(x )＝(2－x )(e x －1－ax )x 3，记h (x )＝e x－1－ax ，x >0，由题意，知y ＝h (x )在(0,2)内存在两个零点．∵h ′(x )＝e x －1－a ，则当a ≤0时，h ′(x )>0，h (x )在(0,2)上单调递增，h (x )至多有一个零点，不合题意．当a >0时，由h ′(x )＝0，得x ＝1＋ln a ，由1＋ln a >0，得a >1e .①若1＋ln a <2且h (2)>0，即1e <a <e 2时，h (x )在(0,1＋ln a )上单调递减，在(1＋ln a,2)上单调递增，则h (x )min ＝h (1＋ln a )＝－a ln a ，当1e <a ≤1时，h (x )min ＝－a ln a ≥0，不合题意，舍去．当1<a <e 2时，h (x )min ＝－a ln a <0，且h (2)>0，x →0时h (x )>0，从而h (x )在(0,1＋ln a )和(1＋ln a,2)上各有一个零点．∴y ＝h (x )在(0,2)上存在两个零点．②若1＋ln a ≥2，即a ≥e 时，h (x )在(0,2)上单调递减，h (x )至多有一个零点，舍去．③若1＋ln a <2且h (2)≤0，即e 2≤a <e 时，h (x )在(0,1＋ln a )上有一个零点，而在(1＋ln a,2)上没有零点，舍去．综上可得，1<a <e 2，即实数a 的取值范围为(1，e 2)．(2)证明：令H (x )＝h (x )－h (2＋2ln a －x )，0<x <1＋ln a ，则H ′(x )＝h ′(x )＋h ′(2＋2ln a －x )＝e x －1－a ＋e 2＋2ln a －x －1－a ＝e x －1＋a 2ex －1－2a ≥2a －2a ＝0， ∴H (x )在(0,1＋ln a )上单调递增，从而H (x )<0，即h (x )－h (2＋2ln a －x )<0，∴h (x 1)－h (2＋2ln a －x 1)<0，而h (x 1)＝h (x 2)，且h (x )在(1＋ln a,2)上单调递增， ∴h (x 2)<h (2＋2ln a －x 1)，x 2<2＋2ln a －x 1，∴x 1＋x 2<2(1＋ln a )．。
2020年全国高考(新课标I、II、III卷)真题 理科数学试卷(+答案+全解全析,共3套)
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
∵
【详解】
f
(x)
=
x4
−
2x3
，∴
f
′(x)
=
4x3
−
6x2
，∴
f
(1)
=
−1 ，
f
′(1)
=
−2
，
因此，所求切线的方程为 y +1 = −2( x −1) ，即 y = −2x +1.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
（）
A. 5 −1 4
【答案】D
B. 5 −1 2
C. 5 +1 4
D. 5 +1 2
【分析】
设 CD = a, PE = b ，利用 PO2 = 1 CD ⋅ PE 得到关于 a,b 的方程，解方程即可得到答案. 2
6
（1）证明： PA ⊥ 平面 PBC ； （2）求二面角 B − PC − E 的余弦值．
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛 的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优突破二(3页)
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优突破二压轴大题24分提高练(二)20．(12分)某车床生产某种零件的不合格率为p(0<p<1)，要求这部车床生产的一组5个零件中，有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润，现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件)，得到的条形统计图如下．现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率．(1)设平均每天可以生产n个零件，求n的值；(2)求p的最大值p0；(3)设每个零件的不合格率是p0，生产1个零件的成本是20元，每个合格零件的出厂价为120元，不合格的零件不得出厂，不计其他成本．假设每天该机床生产的零件数为n，X表示这部车床每天生产零件的利润，求X的数学期望E(X)．(参考数据：0.924×1.32的取值为0.95)解：(1)由题意知每天生产14组，15组，16组，17组零件的频率分别是0.2,0.3,0.4和0.1，所以n＝(14×0.2＋15×0.3＋16×0.4＋17×0.1)×5＝77.(2)记ξ为一组零件中不合格品的个数，则P(ξ≥2)＝1－[P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)]≤0.05，即1－[(1－p)5＋C15·p·(1－p)4]≤0.05，整理得(1－p)4(1＋4p)≥0.95.记f (p )＝(1－p )4(1＋4p )，0<p <1，则f ′(p )＝(－4)(1－p )3(1＋4p )＋4(1－p )4＝－20p (1－p )3<0，所以f (p )在(0,1)上单调递减．又0.924×1.32的取值为0.95，即(1－0.08)4×(1＋4×0.08)＝0.95，所以f (0.08)＝0.95，因此(1－p )4(1＋4p )≥0.95等价于f (p )≥f (0.08)，所以p ≤0.08，故p 0＝0.08.(3)设生产一个零件的利润为Y 元，由题意，得Y 的可能取值是100和－20，则P (Y ＝100)＝1－p 0＝0.92；P (Y ＝－20)＝p 0＝0.08.所以Y 的分布列为E (Y )＝100×0.92＋所以E (X )＝77E (Y )＝77×90.4＝6 960.8(元)．21．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x e x ，其中x ∈(0，＋∞)，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意的x >0，f (x )<1e x －1恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ax e x －(ax ＋1)(e x ＋x e x )(x e x )2＝－ax 2－x －1x 2e x . 当a ≥0时，f ′(x )＝－ax 2－x －1x 2e x<0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 当a <0时，对于方程－ax 2－x －1＝0，Δ＝1－4a >0，方程－ax 2－x －1＝0有两个不相等的实数根，记为x 1，x 2，解方程得x 1,2＝1±1－4a －2a，不妨令x 1＝1－1－4a －2a ，x 2＝1＋1－4a －2a，易知x 1<0，x 2>0，令f ′(x )>0，则x >x 2，令f ′(x )<0，则0<x <x 2，所以f (x )在(0，1＋1－4a －2a )上是减函数，在(1＋1－4a －2a，＋∞)上是增函数．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；当a <0时，f (x )在(0，1＋1－4a －2a )上是减函数，在(1＋1－4a －2a，＋∞)上是增函数．(2)f (x )<1e x －1可化为ax ＋1x e x <1e x －1，因为x >0，所以e x －1>0，所以(ax ＋1)(e x －1)<x e x ，即(ax ＋1)(e x －1)－x e x <0.令g (x )＝(ax ＋1)(e x －1)－x e x ，则对任意的x >0，有g (x )<0恒成立．g ′(x )＝a (e x －1)＋(ax ＋1)e x －e x －x e x ＝[(a －1)x ＋a ]e x －a ，令h (x )＝[(a －1)x＋a ]e x －a ，则h ′(x )＝[(a －1)x ＋2a －1]e x ，令⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤0，2a －1≤0，得a ≤12，则h ′(x )<0， 此时h (x )在(0，＋∞)上是减函数，当x >0时，h (x )<h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上是减函数，当x >0时，g (x )<g (0)＝0，符合题意． 当a ≥1时，a －1≥0,2a －1>0，当x >0时，有(a －1)x ＋2a －1>0，所以h ′(x )>0，h (x )在(0，＋∞)上是增函数，当x >0时，h (x )>h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，当x >0时，g (x )>g (0)＝0，这与g (x )<0矛盾，不符合题意．当12<a <1时，令h ′(x )>0，则(a －1)x ＋2a －1>0，得x <1－2a a －1，所以h (x )在(0，1－2a a －1)上是增函数，当0<x <1－2a a －1时，h (x )>h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )>0，所以g (x )在(0，1－2a a －1)上是增函数，当0<x <1－2a a －1时，g (x )>g (0)＝0，这与g (x )<0矛盾，不符合题意．因此实数a 的取值范围为(－∞，12]．。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。
2020-2021年新课标高考文科数学二轮中档大题46分规范讲练真题六(18张)
年宣传费 x(万
元)
38 48 58 68 78 88
年销售量 y(吨) 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5
第7页
经电脑模拟，发现年宣传费 x(万元)与年销售量 y(吨)之间 近似满足关系式 y＝a·xb(a，b>0)．对上述数据作了初步处理， 得到相关的值如下表：
6
i＝1
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 是 x＝1＋ 2cosα， y＝ 2sinα (α 为参数)，以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 3ρsinθ－ ρcosθ＋m＝0.
(lnxi·lnyi)
6
6
(lnxi) (lnyi)
i＝1
i＝1
6
i＝1
(lnxi)2
75.3 24.6 18.3 101.4
(1)根据所给数据，求 y 关于 x 的回归方程；
第8页
(2)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z＝ 2y－1e4x. 若想在 2019 年达到年利润最大，请预测 2019 年的宣传费用是 多少万元？
中档，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对 的边，已知2sinsAi－nBsinC＝2co1sC.
(1)求角 B 的大小； (2)若 a＝1，b＝ 7，求△ABC 的面积． 解：(1)由2sinsAi－nBsinC＝2co1sC及 sinA＝sin(B＋C)， 得 2sinBcosC＝2sin(B＋C)－sinC＝2sinBcosC＋2cosBsinC－ sinC，所以 2cosBsinC＝sinC， 又因为在△ABC 中，sinC≠0，所以 cosB＝12，
统考版2021高考数学二轮复习46分大题保分练3理含解析
46分大题保分练(三)(建议用时：40分钟)17．(12分)(2020·岳阳二模)新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心. 某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新型冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[)15，35和[]35，75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”. 经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为19∶21. 其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2∶1.(1)求图中a ，b 的值；(2)现采取分层抽样在[)25，35和[)45，55中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？了解全面了解不全面合计 青少年人 中老年人 合计附表及公式：K 2＝n ()()a ＋b ()c ＋d ()a ＋c ()b ＋d ，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P ()K 2≥k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828[解] (1)由题意得⎩⎨⎧()b ＋0.03×10＝1940()a ＋0.02×10＝2140，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.0325b ＝0.0175 .(2)由题意得在[)25，35中抽取6人，在[)45，55中抽取2人，从8人中任选2人，记事件A 表示的是2人中至少有1人是“中老年人”，则P ()A ＝C 16C 12＋C 22C 28＝1328. (3)由题意可得2×2列联表如下：所以K 2＝200()95×105×110×90≈12.157>10.828.所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识． 18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝13，a na n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n a n 的前n 项和T n .[解] (1)证明：依题意，由a na n ＋1＝2a n ＋1，可得a n ＝2a n a n ＋1＋a n ＋1，即a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1， 两边同时除以a n a n ＋1，可得 1a n ＋1－1a n＝2(n ≥2)． ∵1a 2－1a 1＝3－1＝2，也满足上式． ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)得，1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，则3na n＝(2n －1)·3n . ∴T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ，3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －3)·3n ＋(2n －1)·3n ＋1， 两式相减，可得－2T n ＝3＋2×32＋2×33＋…＋2·3n －(2n －1)·3n ＋1， ＝3＋18×(1＋3＋32＋…＋3n －2)－(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋18×1－3n －11－3－(2n －1)·3n ＋1＝2(1－n )·3n ＋1－6. ∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.19．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，侧面P AB ⊥底面ABCD ，∠BAP ＝90°，AB ＝AC ＝P A ＝2.(1)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(2)过AC 的平面交PD 于点M ，若平面 AMC 把四面体P ACD 分成体积相等的两部分，求二面角P -MC -A 的正弦值．[解] (1)证明：因为∠BAP ＝90°，所以P A ⊥AB ，又侧面P AB ⊥底面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．又BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD ．又∠BCD ＝120°，四边形ABCD 为平行四边形，所以∠ABC ＝60°，又AB ＝AC ，所以△ABC 为等边三角形，所以ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面P AC ． (2)由平面AMC 把四面体P ACD 分成体积相等的两部分，知M 为PD 的中点．取BC 的中点N ，连接AN ，由AB ＝AC 知AN ⊥BC ．由(1)知P A ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，AN ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，M (0,1,1)，PM →＝(0,1，－1)，PC →＝(3，1，－2)．设平面MPC 的法向向量为v 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ PM →·v 1＝0PC →·v 1＝0，可取v 1＝⎝⎛⎭⎫33，1，1.设平面MAC 的法向量为v 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧AM →·v 2＝0AC →·v 2＝0，可取v 2＝(1，－3，3)． 设二面角P -MC -A 的大小为θ， 则|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪v 1·v 2|v 1|·|v 2|＝17，所以二面角P -MC -A 的正弦值为437.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫7，π2且经过极点的圆． (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ＝π3(ρ≥0)分别与曲线C 1，C 2交于点A ，B (点B 异于坐标原点O )，求线段AB 的长．[解] (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，消去参数φ得x 24＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入x 24＋y 2＝1得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝41＋3sin 2θ.由曲线C 2是圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫7，π2且经过极点的圆， 可得其极坐标方程为ρ＝27sin θ，从而得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－27y ＝0.(2)将θ＝π3(ρ≥0)代入ρ＝27sin θ得ρB ＝27sin π3＝21，将θ＝π3(ρ≥0)代入ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ得ρA ＝4cos 2π3＋4sin 2π3＝41313，故|AB |＝ρB －ρA ＝1321－41313.23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝k －|x －2|，k ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1，求证：19a ＋29b ＋13c ≥1.[解] (1)因为f (x )＝k －|x －2|，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且其解集为{x |－k ≤x ≤k }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故k ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c 是正实数，所以由基本不等式得a ＋2b ＋3c＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋a 2b ＋a 3c ＋2b a ＋2b 3c ＋3c a ＋3c2b＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c 2b ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝2b ＝3c 时取等号． 即19a ＋29b ＋13c ≥1.。
2020-2021年新课标高考理科数学中档大题46分规范培优练二(5页)
2020-2021年新课标高考理科数学中档大题46分规范培优练二中档大题46分规范练(二)17．(12分)已知等差数列{a n }的公差d >0，其前n 项和为S n ，且a 2＋a 4＝8，a 3，a 5，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a 2n －1·a 2n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为a 2＋a 4＝8，则a 3＝4，即a 1＋2d ＝4，①因为a 3，a 5，a 8为等比数列，则a 25＝a 3a 8，即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，化简得：a 1＝2d ，②联立①和②得：a 1＝2，d ＝1.所以a n ＝n ＋1，n ∈N *.(2)因为b n ＝1a 2n －1·a 2n ＋1＋n ＝12n (2n ＋2)＋n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋n . 所以T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－1n ＋1＋n (n ＋1)2＝n 4(n ＋1)＋n (n ＋1)2. 18．(12分)如图在直角梯形BB 1C 1C 中，∠CC 1B 1＝90°，BB 1∥CC 1，CC 1＝B 1C 1＝2BB 1＝2，D 是CC 1的中点．四边形AA 1C 1C 可以通过直角梯形BB 1C 1C 以CC 1为轴旋转得到，且二面角B 1CC 1A 1为120°.(1)若点E 是线段A 1B 1上的动点，求证：DE ∥平面ABC ；(2)求二面角B AC A 1的余弦值．解：(1)证明：如图所示，连接B 1D ，DA 1.由已知可得BB 1綊12CC 1綊CD ，∴四边形B 1BCD 是平行四边形，∴B 1D ∥BC .又BC ⊂平面ABC ，B 1D ⊄平面ABC ；∴B 1D ∥平面ABC .同理可得DA 1∥平面ABC .又A 1D ∩DB 1＝D ，∴平面B 1DA 1∥平面ABC .且DE ⊂平面B 1DA 1，∴DE ∥平面ABC .(2)作C 1M ⊥C 1B 1交A 1B 1于点M ，分别以C 1M ，C 1B 1，C 1C 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则C 1(0,0,0)，A 1(3，－1,0)，B (0,2,1)，C (0,0,2)，A (3，－1,1)．CA →＝(3，－1，－1)，CB →＝(0,2，－1)，C 1C →＝(0,0,2)．设平面ABC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CA →＝0，m ·CB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0. 取m ＝(3，1,2)．设平面A 1ACC 1的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CA →＝0，n ·C 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－y 2－z 2＝0，2z 2＝0. 取n ＝(1，3，0)．∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝238×4＝64. ∴二面角B AC A 1的余弦值是64. 19．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，长半轴与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意得，c ＝3，a b ＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM →·BN →＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1＋(m －1)2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－35. 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α，得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，∴曲线C 的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12.(2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 由⎩⎨⎧ ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝215.23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|x －a |＋2|x －1|.(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )>5的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≤|a －2|有解，求实数a 的取值范围． 解：(1)a ＝2时，不等式为|x －2|＋2|x －1|>5，若x ≤1，则－3x ＋4>5，即x <－13，若1<x <2，则x >5，舍去，若x ≥2，则3x －4>5，即x >3，综上，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞)．(2)因为|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，所以f (x )＝|x －a |＋2|x －1|≥|a －1|＋|x －1|≥|a －1|，当且仅当x ＝1时取“＝”，得到f (x )的最小值为|a －1|，又|a －1|≤|a －2|，解得a ≤32.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.。
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分培优突破三(4页)
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分培优突破三压轴大题24分提高练(三)20．(12分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望．(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值．解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C27C13C310＝2140，P(ξ＝2)＝C17C23C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C310＝1120，故ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X 户，则X ～B (10，35)，可知P (X ＝k )＝C k 10(35)k (25)10－k (k ＝0,1,2,3，…，10)， ⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10(35)k (25)10－k ≥C k ＋110(35)k ＋1(25)9－k ，C k 10(35)k (25)10－k ≥C k －110(35)k －1(25)11－k ，解得285≤k ≤335，k ∈N *，∴当k ＝6时用电量为第一阶梯的可能性最大，∴k ＝6.21．(12分)已知函数f (x )＝e 2x －ax 2，a ∈R .(1)若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)若f (x )在(0，＋∞)上存在极大值M ，证明：M <a 4.解：(1)解法1：因为f (x )＝e 2x －ax 2，所以f ′(x )＝2e 2x －2ax .因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤e 2x x 在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝e 2x x ，则g ′(x )＝2x e 2x －e 2x x 2＝(2x －1)e 2x x 2. 当0<x <12时，g ′(x )<0，g (x )在(0，12)上单调递减；当x >12时，g ′(x )>0，g (x )在(12，＋∞)上单调递增．故当x ＝12时，g (x )取得最小值，其值为g (12)＝2e.所以a ≤2e.所以a 的取值范围为(－∞，2e]．解法2：当a ≤0时，函数f (x )＝e 2x －ax 2在(0，＋∞)上单调递增． 当a >0时，f ′(x )＝2e 2x －2ax ，令h (x )＝2e 2x －2ax ，则h ′(x )＝4e 2x －2a ，①若0<a ≤2，则x >0时，h ′(x )>4－2a ≥0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时，h (x )>h (0)＝2>0，即f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a >2，令h ′(x )＝4e 2x －2a ＝0，得x ＝12ln a 2，当0<x <12ln a 2时，h ′(x )<0，h (x )在(0，12ln a 2)上单调递减；当x >12ln a 2时，h ′(x )>0，h (x )在(12ln a 2，＋∞)上单调递增．当a －a ln a 2≥0，即a ≤2e 时，h (x )≥0，即f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故2<a ≤2e.综上所述，所求a 的取值范围为(－∞，2e]．(2)证明：由(1)知，当a ≤2e 时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不存在极大值．当a >2e 时，12<12ln a 2，ln a >12ln a 2，由(1)知函数f ′(x )在(0，12ln a 2)上单调递减，在(12ln a 2，＋∞)上单调递增．又f ′(0)＝2>0，f ′(12)＝2e －a <0，f ′(ln a )＝2e 2ln a －2a ln a ＝2a (a －ln a )>0(易证明a －ln a >0)，故存在x 1∈(0，12)，使得f ′(x 1)＝2e 2x 1－2ax 1＝0，存在x 2∈(12，ln a )，使得f ′(x 2)＝0.则x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．。
2020高考理科数学二轮专题提分全国通用中难提分突破试题三及答案详解(8页)
2020高考理科数学二轮专题提分全国通用中难提分突破试题三1．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∠B1BC＝60°，B1C1⊥AB1.(1)证明：AB＝AC；(2)若AB⊥AC，且AB1＝BB1，求二面角A1－CB1－C1的余弦值．解(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO，OB1.因为BC＝BB1，∠B1BC＝60°，所以△BCB1是等边三角形，所以B1O⊥BC，又BC∥B1C1，B1C1⊥AB1，所以BC⊥AB1，所以BC⊥平面AOB1，所以BC⊥AO，由三线合一可知△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC.(2)设AB1＝BB1＝2，则BC＝BB1＝2.因为AB⊥AC，所以AO＝1.又因为OB1＝3，所以OB21＋AO2＝AB21，所以AO⊥OB1.→的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直以O为坐标原点，向量OB角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，C (－1,0,0)，A 1(－1，3，1)，B 1(0，3，0)，CA 1→＝(0，3，1)，CB 1→＝(1，3，0)，设平面A 1B 1C 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧CA 1→·n ＝0，CB 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋z ＝0，x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，－1，3)， 由(1)可知，平面CB 1C 1的法向量可取OA →＝(0,0,1)， 所以cos 〈OA →，n 〉＝OA →·n |OA →||n |＝217， 由图示可知，二面角A 1－CB 1－C 1为锐二面角， 所以二面角A 1－CB 1－C 1的余弦值为217. 2．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)锐角△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，AD ＝2BD ＝2，求边a .解 (1)∵f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴f (x )＝2sin x sin x ·12＋2sin x cos x ·32＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得 －π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)∵x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2A －π6＝π2＋k π，k ∈Z .∴A ＝π3＋k π2，k ∈Z . 又△ABC 是锐角三角形，∴A ＝π3.在△ABD 中，∠BAD ＝π6，BD ＝2，AD ＝2， 由正弦定理，得212＝2sin B ，∴sin B ＝22.∴B ＝π4.∴C ＝π－π3－π4＝5π12.∠CDA ＝π4＋π6＝5π12. ∴AC ＝AD ＝2.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin60°＝2sin45°， ∴BC ＝a ＝ 6.3．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．参考公式和数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解 (1)x －＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元． (2)列联表如下：K 2＝100×(10×30－20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． (3)若选方案一：则需付款10×12－10＝110元；若选方案二：设付款X 元，则X 的可能取值为84,96,108,120. P (X ＝84)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， P (X ＝96)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38，P (X ＝108)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (X ＝120)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以E (X )＝84×18＋96×38＋108×38＋120×18＝102. 因为102<110，所以选择方案二更划算．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．解 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. (2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2，又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ， 则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3. 又∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12×2×23＝2 3. 5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式：f (x )<4－|x －1|；(2)已知m >0，n >0，m ＋n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0，不等式|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．解 (1)由题意得不等式为|3x ＋2|＋|x －1|<4.①当x ≥1时，原不等式化为4x ＋1<4，解得x <34，不符合题意；②当－23<x <1时，原不等式化为2x ＋3<4，解得x <12，∴－23<x <12； ③当x ≤－23时，原不等式化为－4x －1<4，解得x >－54，∴－54<x ≤－23. 综上可得－54<x <12，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12.(2)∵m >0，n >0，m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn ≥2＋2n m ·m n ＝4.当且仅当m n ＝nm 且m ＋n ＝1，m >0，n >0，即m ＝n ＝12时等号成立，∴⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4.由题意得|x －a |－|3x ＋2|≤4(a >0)恒成立，①当x ≥a 时，可得x －a －3x －2≤4恒成立，即－a ≤2x ＋6恒成立，∴－a ≤(2x ＋6)min ＝2a ＋6，由a >0，可得上式显然成立；②当－23<x <a 时，可得a －x －3x －2≤4恒成立，即a ≤4x ＋6恒成立，∵4x ＋6>103，∴a ≤103；③当x ≤－23时，可得a －x ＋3x ＋2≤4恒成立，即a ≤2－2x 恒成立，∴a ≤(2－2x )min ＝103.综上可得0<a ≤103，∴正数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103.。
2020版高考理科数学突破三轮复习新课标通用解答题规范练小题分类练(四)图表信息类
V＝V
＋
S－ A1B1C1D1
11． 解析： 选 A ．观察可知阴影部分的面积 y 的变化情况为：①当 0＜ x≤ 1 时， y 随 x
33 A ． 2－ π
63 B． 4－ π
C．13－
3 2π
2 D． 3
7．(2019 ·湖南省湘东六校联考 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正十边形 A1A2A3…
A10 的中心， A1 在 x 轴正半轴上，任取不同的两点 Ai，Aj(其中 1≤ i ，j ≤10，且 i∈ N，j ∈ N )，
() (附： X～ N(μ， σ2)，则 P(μ－ σ<X≤ μ＋ σ)≈ 0.682 7，P(μ－ 2σ<X≤ μ＋ 2σ)≈ 0.954 5)
A ． 906
B． 2 718
C．1 359
D． 3 413
5．某网店在 2018 年 1 月的促销活动中， 随机抽查了 100 名消费者的消费情况， 并记录 了他们的消费金额 (单位：千元 )，将数据分成 6 组： (0， 1]， (1，2] ，(2 ，3]， (3， 4]， (4，
C 210＝
45(种)，满足 2O→P＋ O→Ai＋O→A j＝ 0，且点 P 落在第二象限的不同取法有 ( A1， A7)，(A1， A8)，
(A1 ， A9)， (A1，A10)，( A2， A8)， (A2， A9)， (A8， A10)， (A9， A10)，共 8 种，所以点 P 落在第
二象限的概率为 8 ，故选 B． 45
σ＝ 2. 因 为 P(μ－ σ<x≤μ＋ σ) ＝ P( － 4< x≤ 0)≈ 0.682 7 ， P(μ－ 2σ<x ≤ μ＋ 2σ) ＝ P( －
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在 Rt△ABD 中，有12AE·BD＝12AB·AD，得 BD＝ 3AD，
因为 BD＝ 6，所以 AD＝ 2，
又
BD2＝AB2＋AD2，所以
AB＝2.则
AE＝2 3 3，ED＝
6 3.
以 E 为坐标原点，以向量E→C，E→D的方向分别为 x 轴，y
轴的正方向，以过点 E 垂直于平面 BCD 的直线为 z 轴，建立
BCD. 连接 OD，则∠ADO 为直线 AD 与平面 BCD 所成的角．
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在 Rt△AEO 中，∠AEO＝60°，所以 AO＝ 23AE＝1，
sin∠ADO＝AADO＝
2 2.
所以直线
AD
与平面
BCD
所成角的正弦值为
2 2.
解法 2：如图，作 CE⊥BD，垂足为 E，连接 AE.因为 Rt
中档大题46分规范练(一)
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17．(12 分)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 ccosB＝(3a－b)cosC.
(1)求 sinபைடு நூலகம் 的值； (2)若 c＝2 6，b－a＝2，求△ABC 的面积．
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解：(1)解法 1：因为 ccosB＝(3a－b)cosC，
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又 b－a＝2，所以 a＝3，b＝5. 所以△ABC 的面积 S＝12absinC＝12×15×232＝5 2.
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18．(12 分)如图，在三棱锥 A-BCD 中，△ABC 是等边三 角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点 P 是 AC 的中点，连接 BP， DP.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 BDP； (2)若 BD＝ 6，且二面角 A-BD-C 为 120°，求直线 AD 与 平面 BCD 所成角的正弦值．
△ABD≌Rt△CBD，所以 AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC 为二面
角 A-BD-C 的平面角．
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由已知二面角 A-BD-C 为 120°，知∠AEC＝120°. 在等腰三角形 AEC 中，由余弦定理可得 AC＝ 3AE， 因为△ABC 是等边三角形，则 AC＝AB，所以 AB＝ 3AE.
空间直角坐标系 E-xyz，则 D(0， 36，0)，A(－ 33，0,1)，向量
A→D＝( 33， 36，－1)，
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平面 BCD 的一个法向量为 m＝(0,0,1)，
设直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 θ，
则
cos〈m，A→D〉＝
→ m·AD
→
＝
|m||AD|
－2×11＝－ 22，
sinθ＝|cos〈m，A→D〉|＝
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在 Rt△ABD 中，有12AE·BD＝12AB·AD，得 BD＝ 3AD，
因为 BD＝ 6，所以 AD＝ 2.
又
BD2＝AB2＋AD2，所以
AB＝2.则
AE＝2 3 3，ED＝
6 3.
由 CE⊥BD，AE⊥BD 可知 BD⊥平面 AEC，则平面 AEC
⊥平面 BCD.
过点 A 作 AO⊥CE，交 CE 的延长线于 O，则 AO⊥平面
因为 0<C<π，所以 sinC＝
1－cos2C＝2
3
2 .
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解法 2：因为 ccosB＝(3a－b)cosC，所以由余弦定理得 c×a2＋2ca2c－b2＝(3a－b)×a2＋2ba2b－c2，
化简得 a2＋b2－c2＝23ab，
2 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝32aabb＝13.
所以由正弦定理得 sinCcosB＝(3sinA－sinB)cosC，
即 sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosC，
所以 sin(B＋C)＝3sinAcosC，
由于 A＋B＋C＝π，所以 sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，
则 sinA＝3sinAcosC.
因为 0<A<π，所以 sinA≠0，cosC＝13.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 过点(－1,0)，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求 △F2PQ 的内切圆面积的最大值．
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解：(1)设椭圆 C 的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， ∵点 M 在直线 y＝32x 上，且点 M 在 x 轴上的射影恰好是 椭圆 C 的右焦点 F2(c,0)，∴点 M(c，32c)． ∵M→F1·M→F2＝(－2c，－32c)·(0，－32c)＝94， ∴c＝1.
2 2.
所以直线
AD
与平面
BCD
所成角的正弦值为
2 2.
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19．(12 分)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上， 直线 y＝32x 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M，点 M 在 x 轴 上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2，椭圆 C 的另一个焦点是 F1，且M→F1·M→F2＝94.
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解：(1)证明：因为△ABC 是等边三角形，∠BAD＝∠BCD ＝90°，
所以 Rt△ABD≌Rt△CBD，可得 AD＝CD. 因为点 P 是 AC 的中点，则 PD⊥AC，PB⊥AC， 因为 PD∩PB＝P，PD⊂平面 PBD，PB⊂平面 PBD，
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所以 AC⊥平面 PBD. 因为 AC⊂平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDP. (2)解法 1：如图，作 CE⊥BD，垂足为 E，连接 AE. 因为 Rt△ABD≌Rt△CBD，所以 AE⊥BD，AE＝CE，∠ AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角． 由已知二面角 A-BD-C 为 120°，知∠AEC＝120°. 在等腰三角形 AEC 中，由余弦定理可得 AC＝ 3AE， 因为△ABC 是等边三角形，则 AC＝AB，所以 AB＝ 3AE.
因为 0<C<π，所以 sinC＝
1－cos2C＝2
3
2 .
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(2)解法 1：由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC， 及 c＝2 6，cosC＝13，得 a2＋b2－23ab＝24， 即(a－b)2＋43ab＝24.因为 b－a＝2，所以 ab＝15. 所以△ABC 的面积 S＝12absinC＝12×15×232＝5 2. 解法 2：由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC， 及 c＝2 6，cosC＝13，得 a2＋b2－23ab＝24.
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∴a12＋49b2＝1 a2＝b2＋1
，解得ab22＝ ＝43 ，
∴椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.