平面与平面垂直的性质(教案)

平面与平面垂直的性质（教案）

教学目的

通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力

教学目标：

1 理解掌握面面垂直的性质定理

2 能初步运用性质定理解决问题

教学重点难点：

重点：理解掌握面面垂直的性质定理

难点：运用性质定理解决实际问题

教学过程：

(一) 复习提问

师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问）

生：线面垂直判定定理：

如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.

生：面面垂直判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

(二)引入新课

师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。

1)平面ADD′A′⊥平面ABCD

2) DD′⊥面ABCD

3)AD′⊥面ABCD

师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？

（提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略）

师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。

（三）新课

已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，

求证：AB⊥β

(让学生思考怎样证明)

师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于

平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，

故可过该直线作辅助线）

证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，

∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，

∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B,

∴AB⊥β

1.面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

（用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，则AB⊥β

师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。

2. 例题分析

例1．空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为

正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD

内找一点，使AE⊥面BCD

解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，

连结AE，则AE为BD的中线

∴AE⊥BD

又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD

∴AE⊥面BCD

例2．如图，已知平面α、β，α⊥β，α∩β =AB，直线a⊥β, a α,求证：a ∥α

(引导学生思考)

(分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)

证明：在α内作垂直于α、β交线AB的直线b，

又∵α⊥β,

∴b⊥β 又∵a⊥β

∴a ∥b , a α

∴a ∥α

3．课堂练习：练习P77

4.小结：

①面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

②利用性质定理解决问题

5思考题

1 已知平面α、β，直线a,且α⊥β, α∩β =AB，a ∥α ,

a⊥AB,试判断直线a与平面β的位置关系

(分析:因为直线与平面在平面内、相交、平行三种关系)

解: ∵a ∥α , 过a作平面与α相交于直线b,则 a ∥ b ∵a⊥AB , ∴b⊥AB

又∵a⊥β , α∩β =AB

∴b⊥β (面面垂直性质定理)

∴a⊥β

a b

α

β

A

B

β

A

b

α

a B

2 已知α∩β = c, α⊥γ, β⊥γ, 求证: c⊥γ

(可从多方面思考证明本题)

问题1:能否证明直线c垂直于平面γ内的两条相交直线?

问题2:能否运用两平行直线中的一条垂直于平面γ,那么另一条也和该平面γ垂直?

问题3:能否直接围绕直线本身的特征进行论证?

6.作业：P78 1 , 4