平面与平面垂直的性质(教案)
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平面与平面垂直的性质(教案)
教学目的
通过对面面垂直性质定理的探索、证明,培养学生的观察、分析、论证等思维能力
教学目标:
1 理解掌握面面垂直的性质定理
2 能初步运用性质定理解决问题
教学重点难点:
重点:理解掌握面面垂直的性质定理
难点:运用性质定理解决实际问题
教学过程:
(一) 复习提问
师:请大家回顾一下,怎样判断线面垂直和面面垂直?(提问)
生:线面垂直判定定理:
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面.
生:面面垂直判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
(二)引入新课
师:今天我们要学习“两个平面垂直的性质”,先来看下面问题:如图,长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,判断下面结论的正误。
1)平面ADD′A′⊥平面ABCD
2) DD′⊥面ABCD
3)AD′⊥面ABCD
师:我们发现:平面ADD′A′⊥平面ABCD,平面ADD′A′∩平面ABCD = AD,D′是平面ADD′A′内一点,过D′点可作无数条直线,这些直线中有与平面ABCD垂直的,也有不垂直的,那么,满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢?
(提出问题,引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系)生:(略)
师:平面ADD′A′⊥平面ABCD,平面ADD′A′内的任一点,平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。
(三)新课
已知:面α⊥面β,α∩β = a, AB α , AB⊥a于B,
求证:AB⊥β
(让学生思考怎样证明)
师:(分析:要证明直线垂直于平面,须证明直线垂直于
平面内两条相交直线,而题中条件已有一条,
故可过该直线作辅助线)
证明:在平面β内过B作BE⊥a,又∵AB⊥a,
∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角,又∵α⊥β,
∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B,
∴AB⊥β
1.面面垂直的性质定理:
两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
(用符号语言表述)若α⊥β,α∩β = a, AB α , AB⊥a于B,则AB⊥β
师:从面面垂直的性质定理可知,要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明,而前面我们知道,面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。
2. 例题分析
例1.空间四边形ABCD中,ΔABD与ΔBCD都为
正三角形,面ABD⊥面BCD,试在平面BCD
内找一点,使AE⊥面BCD
解:在ΔABD中,∵AB=AD,取BD的中点E,
连结AE,则AE为BD的中线
∴AE⊥BD
又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD
∴AE⊥面BCD
例2.如图,已知平面α、β,α⊥β,α∩β =AB,直线a⊥β, a α,求证:a ∥α
(引导学生思考)
(分析:因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)
证明:在α内作垂直于α、β交线AB的直线b,
又∵α⊥β,
∴b⊥β 又∵a⊥β
∴a ∥b , a α
∴a ∥α
3.课堂练习:练习P77
4.小结:
①面面垂直的性质定理:
两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
②利用性质定理解决问题
5思考题
1 已知平面α、β,直线a,且α⊥β, α∩β =AB,a ∥α ,
a⊥AB,试判断直线a与平面β的位置关系
(分析:因为直线与平面在平面内、相交、平行三种关系)
解: ∵a ∥α , 过a作平面与α相交于直线b,则 a ∥ b ∵a⊥AB , ∴b⊥AB
又∵a⊥β , α∩β =AB
∴b⊥β (面面垂直性质定理)
∴a⊥β
a b
α
β
A
B
β
A
b
α
a B
2 已知α∩β = c, α⊥γ, β⊥γ, 求证: c⊥γ
(可从多方面思考证明本题)
问题1:能否证明直线c垂直于平面γ内的两条相交直线?
问题2:能否运用两平行直线中的一条垂直于平面γ,那么另一条也和该平面γ垂直?
问题3:能否直接围绕直线本身的特征进行论证?
6.作业:P78 1 , 4