平面与平面垂直的性质(教案)
“平面与平面垂直的判定定理”教案讲义
引入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗？
——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。
问题 问引题2入
判定定理
面面垂直的判定方法：
1、定义法： 找二面角的平面角
求证：直线AB⊥平面β。
α A
D
B C
在平面β内过B点作BE⊥CD
β
E
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
β
B C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论 注
性质定理
1) 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
平面与平面垂直的判定定理
（Excellent handout training template）
引入 问题 问引题2入
判定定理
平面与平面垂直的判定定理是：
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
D
α
B C
判定定定定理理 证明 证明过程 判定方法
引入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗？
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
2、判定定理：
要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
判定定理
另一个平面的一条垂线。 （线面垂直面面垂直）
人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计
2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。
8.6.3平面与平面垂直的性质定理(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
a
探究新知
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
1. 平面与平面垂直的性质定理
面面垂直线面垂直
图形语言：
a
b
探究新知
直线与直线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
例题讲解
例1 定理辨析.
已知平面α⊥平面β，α∩ β＝l下列命题.
（2）垂直于交线l的直线必垂直于平面β（ ）
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例题讲解
课堂练习
4. 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为棱CC'中点， 求二面角A'-BD-E的大小．
课堂练习
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. (2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β. (3) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.
[解析] 如图，在平面 内，作 于点 .
∵平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 平面 .又 平面 ，
.又 平面 ， 平面 ， .又 ， 平面 .又 平面 ， .
课本例10
（1）定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角.
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13Байду номын сангаас
平面与平面垂直的性质(教案)
平面与平面垂直的性质（教案）揭阳第一中学许丹敏教学目的通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力教学目标：1 理解掌握面面垂直的性质定理2 能初步运用性质定理解决问题教学重点难点：重点：理解掌握面面垂直的性质定理难点：运用性质定理解决实际问题教学过程：(一) 复习提问师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问）生：线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.生：面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(二)引入新课师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
1)平面ADD′A′⊥平面ABCD2) DD′⊥面ABCD3)AD′⊥面ABCD师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？（提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略）师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。
（三）新课已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于 B，求证：AB⊥β(让学生思考怎样证明)师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线）证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B,∴AB⊥β1. 面面垂直的性质定理：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于 B，则 AB⊥β师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。
平面与平面垂直的性质教案
一、教学目标1. 让学生理解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 平面与平面垂直的定义2. 平面与平面垂直的性质定理3. 平面与平面垂直的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面垂直的性质定理及其应用。
2. 教学难点：平面与平面垂直的性质定理的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面与平面垂直的定义、性质定理及应用。
2. 利用几何模型和实物模型，直观展示平面与平面垂直的现象，增强学生的空间想象力。
3. 开展小组讨论，让学生互相交流、探讨，加深对平面与平面垂直性质的理解。
4. 运用例题讲解，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
五、教学步骤1. 导入新课：通过展示生活中的实例，引导学生思考平面与平面垂直的现象。
2. 讲解平面与平面垂直的定义，让学生理解垂直的概念。
3. 讲解平面与平面垂直的性质定理，引导学生通过图形进行验证。
5. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关平面与平面垂直性质的习题，巩固所学知识。
2. 课堂练习：设置一些有关平面与平面垂直的应用题，检验学生对性质定理的掌握程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，提高学生的沟通能力。
七、教学拓展1. 探讨平面与平面垂直的其他性质定理。
2. 研究平面与平面垂直在实际工程中的应用。
八、教学反思1. 教师在课后要对课堂进行反思，总结教学过程中的优点和不足。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
九、课后作业1. 习题：完成教材后的相关习题，加深对平面与平面垂直性质的理解。
2. 实践作业：观察生活中的平面与平面垂直现象，拍摄图片，进行简要描述。
十、教学进度安排1. 本节课计划用2课时完成，第1课时讲解平面与平面垂直的定义和性质定理，第2课时进行应用讲解和课后作业布置。
教案 平面与平面垂直的判定和性质
【教学过程】*揭示课题9.4.3 平面与平面垂直的判定和性质*情境导入[实例]建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．*引入新知 平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直． 如图9−51所示，如果AB β⊥，AB 在α内，那么αβ⊥．画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））．β（2）α图9−49 图9−51*例题讲解例1 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1（如图9−52）中，判断平面B 1AC 与平面B 1BDD 1是否垂直．例2 如图，PA 垂直于o 所在的平面，AB 是o 的直径，C 是圆周上异于A ，B 的任意一点，试判断平面PAC 与平面PBC 的位置关系，并说明理由*练习强化1. 判断下列说法是否正确，并说明理由（1）过平面外一点只可作一个平面与已知平面垂直（2）过平面外一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直（3）若两个平面垂直，则一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面2.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，求证：平面111AC CA B D DB ⊥*揭示课题8.4.4 平面与平面垂直的性质定理*情境导入【实验】如图9−53所示，在正方体1A C 的侧面11A ABB 中，作1EE AB ⊥，观察1EE 与底面ABCD 的关系．*引入新知可以看到，由于1EE AB ⊥，故11EE BB ∥，又1BB BC ⊥，因此1EE BC ⊥．这样，1EE 就与底面ABCD 中的两条相交直线AB BC 、都垂直，所以1EE 与底面ABCD 垂直．由大量的观察与实践，归纳出平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．*例题讲解例1 如图9−54所示，平面α⊥平面β， AC 在平面α内，且AC ⊥AB ，BD 在平面β内，且BD ⊥AB ，AC ＝12 cm ，AB ＝3 cm ，BD ＝4 cm ．求CD 的长．图9−54*练习强化1．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，与平面1AB 垂直的平面有 个，与平面1AB 垂直的棱有 条．1A 1D 1C 1B A D D CB图9−53E 1 E A B C D D A B 第1题图2.如图，ABCD 中，AB=3，AD=6,90BAC ∠=,沿对角线AC 折叠，求折后两个顶点B 、D 间的距离*归纳小结 平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．。
平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版
平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版教学设计：一、教学目标：1.知识目标：掌握平面与平面垂直的性质定理，了解平面与平面垂直的判定方法。
2.能力目标：能够正确判断平面与平面是否垂直，并运用性质定理求解问题。
3.情感目标：培养学生对几何知识的兴趣，提高解决几何问题的能力。
二、教学内容：1.平面与平面垂直的性质定理。
2.平面与平面垂直的判定方法。
三、教学步骤：1.导入新知识（10分钟）教师引入本节课的知识内容，告诉学生本节课要学习平面与平面垂直的性质定理和判定方法，并和学生一起回顾正交的概念，引发学生的思考。
2.学习性质定理（30分钟）教师通过多个例子，引导学生观察和总结平面与平面垂直的性质定理。
-性质定理一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。
-性质定理二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。
教师先给出性质定理一的证明过程，再由学生自行推导性质定理二的证明过程。
学生在学习性质定理的过程中，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生互相讨论并分享自己的理解和想法。
3.学习判定方法（30分钟）教师介绍平面与平面垂直的判定方法：-判定方法一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。
-判定方法二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。
教师给出一些实际应用的例子，引导学生通过观察图形来判断两个平面是否垂直。
4.综合练习（20分钟）教师设计一些相关练习题，让学生通过运用刚刚学习的性质定理和判定方法来解决问题。
5.总结和课堂小结（10分钟）教师总结本节课学习的内容，提醒学生注意关键点，并给出总结性的提问，激发学生思维。
四、教学手段：1.教师板书法通过板书法概括和总结平面与平面垂直的性质定理和判定方法。
2.多媒体教学法运用多媒体教学展示相关的图片和视频，帮助学生更好地理解和掌握平面与平面垂直的性质定理和判定方法。
3.讨论和合作学习通过讨论和合作学习的方式，激发学生思维，增加学生的参与感和主动性。
高中数学面面垂直判定教案
高中数学面面垂直判定教案
教学目标：
1. 了解什么是垂直面。
2. 学会判断两个平面是否垂直。
3. 掌握垂直平面的相关性质和定理。
教学准备：
1. 教材：高中数学教科书
2. 教具：黑板、彩色粉笔、几何工具箱、投影仪
3. 辅助教学资料：包含平面垂直判定例题的练习册
教学步骤：
一、导入
1. 显示一个三维图形，引导学生思考其中的平面之间可能存在的关系。
2. 引导学生提出平面的垂直关系，并与垂直直线进行对比。
二、概念讲解
1. 解释垂直平面的定义。
2. 理论性讲解平面垂直的判定方法。
三、例题演练
1. 利用黑板进行示范，解答几个基础的垂直平面判定题目。
2. 让学生自行尝试几道练习题，并及时纠正。
四、深化延伸
1. 引导学生思考：如何用平面方程去判断两个平面是否垂直？
2. 讲解垂直平面的性质及相关定理。
五、课堂小结
1. 复习本节课所学的知识点，并强调重点。
2. 鼓励学生在课后多进行练习，巩固所学内容。
六、作业布置
1. 布置一定量的平面垂直判定练习题作为课后作业。
2. 提醒学生及时复习本节课所学内容。
教学反思：
1. 观察学生的学习情况，及时调整教学步骤和讲解方式。
2. 鼓励学生多提出问题，促进思维的拓展和深入。
3. 关注学生的作业情况，及时纠正错误，巩固学习成果。
高中数学平面垂直教案设计
高中数学平面垂直教案设计
教学内容：平面垂直的概念、性质及相关应用
教学目标：
1. 理解平面垂直的概念和性质；
2. 掌握平面垂直的判定方法；
3. 能够在实际问题中运用平面垂直的知识。
教学重点：
1. 平面垂直的定义和性质；
2. 平面垂直的判定方法。
教学难点：
1. 如何应用平面垂直的知识解决实际问题。
教学准备：
1. 教师：授课PPT、教学视频、教具；
2. 学生：课本、笔记本、讲义。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引入平面垂直的概念，通过生活中的例子引导学生理解平面垂直的意义，并激发学生的兴趣。
二、概念讲解（15分钟）
1. 定义平面垂直，并介绍平面垂直的性质；
2. 根据性质引出平面垂直的判定方法。
三、示例演练（20分钟）
教师通过示例演练，让学生掌握平面垂直的判定方法，并加深对概念的理解。
四、课堂练习（15分钟）
学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。
五、实际应用（10分钟）
教师引导学生运用平面垂直的知识解决实际问题，培养学生的综合应用能力。
六、课堂总结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并布置下节课的预习任务。
教学评价：
1. 学生在课堂练习中的表现；
2. 学生在实际问题应用中的解决能力；
3. 学生对平面垂直概念的掌握程度。
云南省德宏州潞西市芒市中学高中数学教案：平面与平面垂直的性质 必修二
一、内容及其解析１．内容：本节内容是在学习了上节“直线与平面平行的判定”的基础上用同样的思想方法来研究“直线与平面垂直的判定”；包括：直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质。
２．解析：本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认———思辨论证———度量计算”的认识过程展开。
直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理通过具体实例，按照直观感知、操作确认的方式得出，并用精确语言表达；直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理则在观察、操作的基础上作出猜想，然后通过推理论证，得出猜想的正确性。
二、目标及其解析１．目标：（１）探究直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力；（２）掌握直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力；（３）让学生明确直线与平面垂直、平面与平面垂直在立体几何中的地位；２．解析：空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.三、教学问题诊断本节教学中，教师要注意引导学生类比上节内容的研究方法，遵循“直观感知—操作确认———思辨论证———度量计算”的认识过程展开，这个认识过程要让学生充分感受到。
本节的重点是：直观感知、操作确认，概括出判断定理和性质定理；难点是：性质定理的证明。
四、教学支持条件应用基本教学设施教学五、教学过程设计（一）教学基本流程从人类生产实践的需要引入课题构建直线与平面平行的概念探究直线与平面平行的性质定理平面与平面垂直的性质定理的运用课堂小结、作业（二）教学情境１．创设情景，导入新课如图２，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AＤ．平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？图２２．新知探究问题１如图３,若α⊥β,α∩β=CD,AB α,AB⊥CD,AB∩CD=Ｂ．请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.[来源:学*科*网Z*X*X*K]图３师生活动：学生讨论并积极发言，教师引导学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β的关系： 通过学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β垂直,如图３。
高中数学两平面垂直教案
高中数学两平面垂直教案
教学内容：高中数学
教学目标：
1. 理解两平面垂直概念；
2. 掌握两平面垂直的判定方法；
3. 能够应用两平面垂直的性质解决实际问题。
教学重点和难点：
重点：两平面垂直的判定方法；
难点：应用两平面垂直性质解决实际问题。
教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 教学投影仪；
3. 教具：黑板、粉笔、尺子、直角三角尺。
教学流程：
一、引入
通过一个实际问题引入两平面垂直概念，引导学生思考两平面垂直的条件。
二、讲解
1. 通过示意图和几何常识解释两平面垂直的定义；
2. 分别介绍两平面垂直的判定方法：法向量垂直法和两平面交线平行法。
三、练习
1. 给学生几道简单的题目，让他们应用两平面垂直的判定方法来判断两平面是否垂直；
2. 给学生提供应用题，让他们应用两平面垂直性质解决实际问题。
四、拓展
引导学生思考两平面垂直概念在现实生活中的应用，并提出相关问题进行讨论。
五、总结
对本节课所学内容进行总结，强调两平面垂直的重要性和应用价值。
六、作业
布置相关练习题目，巩固学生对两平面垂直概念的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够清楚地理解两平面垂直的概念、掌握两平面垂直的判定方法，并能够灵活应用这些知识解决实际问题。
在教学中，可以通过更多的实例和练习来加深学生的理解，并引导他们思考两平面垂直的应用场景，以提高他们的综合能力。
高二数学面面垂直判定和性质 教案
高二数学面面垂直判定和性质教学目标1.掌握二面角、二面角的平面角的概念；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
（1）正确理解二面角的平面角的概念，能够在图形中找出（作出）二面角的平面角，利用定义证明一个角是二面角的平面角，会求平面角的大小；（2）理解两个平面垂直的判定定理的内容及证明方法，会用此定理证明两个平面的垂直问题；（3）理解两个平面垂直性质定理的内容，了解定理的证明方法（同一法），能运用此定理证明某些直线与平面的垂直问题。
2.通过对二面角的平面角的定义的理解与认识，进一步体会空间图形向平面图形转化的思想和方法。
3.通过对两个平面垂直的判定定理和性质定理的作用的挖掘，进一步体会线线垂直与线面垂直的密切关系，从而从更高的角度把握空间直线与平面的位置关系。
教学建议（1）知识结构（2）重点、难点分析教学重点是二面角的平面角的概念以及两个平面垂直的判定定理和性质定理的运用；教学难点一是对两个平面垂直的判定定理和性质定理的结构、功能的认识，二是对定理的运用．①找二面角的平面角是将二面角这个空间图形转化为平面图形的重要手段，根据空间图形的特点作二面角的平面角，不仅是教学的重点更是学生学习的难点．②两个平面垂直的判定定理是证明两个平面垂直的重要依据，其前提条件是线面垂直；而性质定理则是证明一条直线与一个平面垂直的方法，其前提条件是两个平面垂直.只有明确了定理的题设与结论，才有可能灵活运用．（1）本节内容分为三课时，一是二面角及其平面角的概念及求法，二是两个平面垂直的判定定理和性质定理的推导，三是两个平面垂直的判定定理和性质定理的应用．（2）二面角的引入应从两个平面的位置关系复习开始，当两个平面不平行时，它们的位置关系是相交，相交的度量是研究成角的大小．平面几何中研究两条直线的成角化为研究两条射线所成的角，与此类比，空间两个平面的成角就转化为两个半平面所成的角．在二面角的教学中要注意与平面角的类比、并且向平面角转化．（3）可让学生研究探讨如何给二面角的平面角的下定义，回忆异面直线所成的角以及斜线与平面所成的角的定义，提示这两种空间角是如何转化为平面角的，启发学生寻求平面角的顶点以及两条边，并且这个二面角必须是确定的．另外还可借助实物如打开的课本启发学生观察判断，找到合适的平面角作为二面角的平面角．（4）选择合适的例题习题，解答后让学生归纳求二面角的平面角的常用方法．（5）应在教师的提示下由学生得出两个平面垂直的判定定理．由低级的位置关系可以得到高级的位置关系（如两个平面平行的判定定理，由线面平行推出面面平行），猜想由线面垂直应能推出面面垂直．由学生探讨两种垂直关系的过渡，从而发现结论．两个平面垂直的性质定理的发现与此类似．（6）证明两个平面垂直的判定定理和性质定理时注意分析综合法的运用．注意分析已知与所证的差异，这个差异就是最主要的矛盾，消除了差异，已知与所证就建立了联系，实现了沟通，问题也就解决了．通过证明这两个定理应使学生对分析综合法的认识有进一步的提高．教学设计示例二9.6 两个平面垂直的判定和性质第二课时教学目标：1．理解两个平面垂直的定义．2．掌握面面垂直的判定定理与性质定理．3．能应用面面垂直的判定与性质解决简单问题．教具准备：三角板、投影胶片．教学过程：［设置情境］提问：（1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？（2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容易倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜．（3）我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢？［探索研究］1．平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定定理提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？（教师可鼓励学生结合自己的生活阅历大胆想象、猜测，并可用书作墙面、桌面作为地面进行模拟．学生不管想出何种方法，也不管其是否可行，教师都应给以表扬、鼓励并作出相应的分析．）由上面的讨论分析，教师得出两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．已知：，（图1）．求证：．证明：设，则由知，、共面．∵ ，，∴，垂足为点．在平面内过点作直线，则是二面角是直二面角．∴ ．3．两个平面垂直的性质提问：为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？先让学生思考，然后演示实验：将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书面沿书面与桌面的交线转动时，由物理学原理知，它会倒塌．由此得到启发，让学生思考：如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？先让学生思考一段时间，然后分析：如图2，，，，，求证：．分析：在内作．要证，只需证垂直于内的两条相交直线就行，而我们已经有，只需寻求另一条就够了，而我们还有这个条件没使用，由定义，则为直角，即有，也就有，问题也就得到解决．可由学生写出证明过程．由上面的讨论，我们就得到了两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．下面我们来看一下两个平面垂直的性质的另一个定理，也即课本的例2（P37）．如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．已知：，，，（图3）．求证：．证明：设．过点在平面内作直线，根据上面的定理有．因为经过一点只能有一条直线与平面垂直，所以直线应与直线重合．∴ ．4．例题分析例题如图4，是⊙ 的直径，点是⊙ 上的动点，过动点的直线垂直于⊙ 所在平面，、分别是、的中点，直线与平面有什么关系？试说明理由．解：由垂直于⊙ 所在平面，知，，即是二面角的平面角．由是直径上的圆周角，知．因此，平面平面．由是△ 两边中点连线，知，故．由两个平面垂直的性质定理，知直线与平面垂直．注意：本题也可以先推出垂直于平面，再由，推出上面的结论．［演练反馈］1．如图5，在空间边形中，平面，，，．求证：（1）；（2）平面平面．2．如图6，是△ 所在平面外一点，，，．求证：平面平面．3．如图7，垂直于矩形所在平面，、分别是、的中点，二面角为．求证：平面平面．［参考答案］1．提示：由，，得面，从而面面，又，所以面，所以，得面．2．提示：取中点，连结、．，，得．3．提示：取中点，连结、，证明：，，，，，面，，，面，面．［总结提炼］定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的，理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义．证明面面垂直要从寻找面的垂线入手，课本第37页上的例2也可以当作面面垂直的一条性质定理，在解题时注意应用．布置作业：课本P39习题9.6 8，9，10．板书设计：1．两个平面垂直的判定 3．两个平面垂直性质之二2．两个平面垂直的性质之一 4．例题。
平面与平面垂直的性质教案
2、3.4平面与平面垂直的性质一、教学目标1、知能目标（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能使用性质定理解决一些简单问题；（3）理解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、情感目标通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象水平以及逻辑推理水平。
二、教学重点、难点两个性质定理的证明。
三、学法与用具（1）学法：直观感知、操作确认，猜测与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计（一）课题导入问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
（自然进入课题内容）（二）研探新知1、操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。
如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这个事实的准确性呢？图2.3-4 图2.3-52、推理证明引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，然后师生互动共同完成该推理过程，最后归纳得出：垂直于同一个平面的两条直线平行。
（三）应用巩固例子：课本P.78例4做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。
（四）类比拓展，研探新知类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。
然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
平面与平面垂直的性质教案
平面与平面垂直的性质教案
教学目标：
1. 理解平面与平面垂直的定义。
2. 能够判断两个给定平面是否垂直。
3. 掌握判断平面与平面垂直的性质。
教学步骤：
步骤一：引入话题
教师可以将两本垂直放置的书本放在桌上，并问学生这两本书是不是垂直的。
引导学生思考垂直关系的定义。
步骤二：引入平面与平面垂直的定义
通过上述引入，教师可以引申出平面与平面垂直的定义：两个平面相交且交线为垂直线时，这两个平面称为垂直平面。
步骤三：判断平面与平面是否垂直
教师可以给出一些示例，要求学生根据定义判断两个给定的平面是否垂直。
步骤四：讨论垂直平面的性质
4.1 垂直平面的法线相互垂直
教师可以引导学生思考：如果两个平面是垂直平面，这两个平面的法线是否相互垂直？
4.2 垂直平面的法线在同一平面
教师可以引导学生思考：两个平面是垂直平面，这两个平面的法线是否在同一平面内？
步骤五：实例练习
教师可以给出一些实例让学生判断给定的平面是否垂直，同时让学生根据垂直平面的性质进行论证。
步骤六：总结
教师与学生共同总结平面与平面垂直的定义以及判断垂直平面的性质。
步骤七：作业布置
布置一些作业题，让学生通过练习巩固所学知识。
扩展思考：
1. 如何判断三个平面是否两两垂直？
2. 平面与直线是否可以垂直？如何证明？。
高中数学平面与垂直教案
高中数学平面与垂直教案
教学目标：
1. 理解平面的概念；
2. 掌握平面的表示方法；
3. 理解垂直的概念；
4. 掌握垂直线段的判别方法。
教学内容：
1. 平面的定义；
2. 平面的表示方法；
3. 垂直的定义；
4. 垂直线段的特征。
教学重点：
1. 理解平面的概念；
2. 掌握平面的表示方法；
3. 掌握垂直线段的判别方法。
教学难点：
1. 垂直线段的特征；
2. 垂直线段判别方法的应用。
教学准备：
1. 平面和垂直线段的示意图；
2. 板书、彩色粉笔。
教学过程：
一、导入新知识
通过展示平面和垂直线段的示意图，引导学生了解平面和垂直的概念。
二、学习平面的概念和表示方法
1. 讲解平面的定义和表示方法；
2. 展示不同平面的示意图，让学生理解平面的概念。
三、学习垂直的概念和特征
1. 讲解垂直的定义；
2. 展示垂直线段的示意图，让学生理解垂直线段的特征。
四、学习垂直线段的判别方法
1. 讲解垂直线段的判别方法；
2. 给出一些练习题，让学生动手判断线段是否垂直。
五、巩固练习
通过习题训练和小组讨论，巩固学生对平面和垂直的理解。
六、作业布置
布置相关作业，加深学生对平面和垂直的理解。
教学反思：
本节课主要围绕平面和垂直展开，通过示意图和练习题的训练，帮助学生理解这两个概念的含义和特征。
在教学过程中，要注重激发学生的思维活动，引导他们进行思考和讨论，提高他们的学习兴趣和能力。
面面垂直的性质定理的优选教学案
§平面与平面垂直的性质【学习目的】1.理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；2.进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转变及转变的数学思想. 【学习要点】平面与平面垂直的性质定理；【学习难点】平面与平面垂直的性质定理的应用；【学习过程】一、复习回首：复习 1：面面垂直的定义是什么？复习 2：面面垂直的判断定理是什么？二、新课研究：（一）研究：平面与平面垂直的性质问题 1：察看两垂直平面中, 一个平面内的直线与另一个平面的有哪些地点关系?b问题 2：归纳结论：新知：平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.反省：这个定理实现了什么关系的转变?（二）观点稳固练习：已知平面α ⊥平面β ,α ∩ β ＝l，判断以下命题的正误.(1) 平面α 内的随意一条直线必垂直于平面β （）(2) 垂直于交线 l 的直线必垂直于平面β（）(3) 过平面α 内随意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β （）三、典型例题讲例 1：如图，已知平面,，，直线a知足a，a，求证：a∥面.例 2：如图，四棱锥P ABCD 的底面是个矩形，AB 2, BC 2 ，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB 垂直于底面ABCD.⑴证明：侧面PAB侧面PBC；⑵求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角. PADB C变式练习：如图, 已知 PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC，求证： BC⊥平面 PAB。
PAB 四、总结提高※ 学习小结※ 知识拓展两个平面垂直的性质还有：⑴假如两个订交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；⑵三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直 . ⑶假如两个平面相互垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于此外一个平面的直线个平面内；你能试着用图形和符号语言描绘它们吗?五、讲堂作业课本 73页， A组 5C ,必在这。
【市级公开课教案】《平面与平面垂直的判定》教学设计
《平面与平面垂直的判定》的教学设计学科课题设计理念数学授课班级高一（1）授课教师授课日期平面与平面垂直的判定学生是学习和发展的主体,教师是学习活动积极的组织者和引导者.立体几何的学习主要培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,因此在学习与教学过程中应充分发挥学生在学习中的主动性和创造性,通过探究性的学习方法,使学生在不断的探究学习的过程中积极参与、独立思考.多媒体与教具的应用是教学情景的设置、表现立体几何中丰富多彩的线面关系、加深定理与性质理解的一个重要手段.也是教师调动学生的情感体验、关注学生的学习兴趣和诱导学生积极独立思考的重要方法，为实现学生的主体地位起着重要的作用.教材分析平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系.是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展.这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用.学情分析学生通过学习直线与直线的垂直、直线与平面的垂直,已经初步掌握了线线垂直与线面垂直的判定.这为学生学习平面与平面垂直的判定定理与性质定理打下了良好的基础.但是,有一部分学生的空间象想能力和逻辑思维能力较差，因此，在学习的过程仍有一定的难度教学中必须注意这一点.教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法通过实例让学生直观感知两个平面垂直的判定定理.3．情感、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展过程，使学生理会教学存在于现实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.教学重点平面与平面垂直的判定及应用教学难点平面与平面垂直的判定教学方法本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，讲练结合法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．教学过程教学环节问题情境师生互动设计意图创设情境，引入新课问题1：二面角是怎么定义的？问题2：怎样的二面角是直二面角？师：引导学生复习巩固，回忆上节的内以旧导新。
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平面与平面垂直的性质（教案）
教学目的
通过对面面垂直性质定理的探索、证明，培养学生的观察、分析、论证等思维能力
教学目标：
1 理解掌握面面垂直的性质定理
2 能初步运用性质定理解决问题
教学重点难点：
重点：理解掌握面面垂直的性质定理
难点：运用性质定理解决实际问题
教学过程：
(一) 复习提问
师：请大家回顾一下，怎样判断线面垂直和面面垂直？（提问）
生：线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.
生：面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(二)引入新课
师：今天我们要学习“两个平面垂直的性质”，先来看下面问题：如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
1)平面ADD′A′⊥平面ABCD
2) DD′⊥面ABCD
3)AD′⊥面ABCD
师：我们发现：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′∩平面ABCD = AD，D′是平面ADD′A′内一点，过D′点可作无数条直线，这些直线中有与平面ABCD垂直的，也有不垂直的，那么，满足什么条件的直线能与平面ABCD垂直呢？
（提出问题，引发思维,并引导学生积极寻找这些直线与交线AD的关系）生：（略）
师：平面ADD′A′⊥平面ABCD，平面ADD′A′内的任一点，平面内过该点且垂直于交线的直线垂直于平面ABCD。
（三）新课
已知：面α⊥面β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，
求证：AB⊥β
(让学生思考怎样证明)
师：(分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于
平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，
故可过该直线作辅助线）
证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，
∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，
∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B,
∴AB⊥β
1.面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
（用符号语言表述）若α⊥β，α∩β = a, AB α , AB⊥a于B，则AB⊥β
师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。
这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。
同学们在学习中要认真理解和体会。
2. 例题分析
例1．空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为
正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD
内找一点，使AE⊥面BCD
解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，
连结AE，则AE为BD的中线
∴AE⊥BD
又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD
∴AE⊥面BCD
例2．如图，已知平面α、β，α⊥β，α∩β =AB，直线a⊥β, a α,求证：a ∥α
(引导学生思考)
(分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)
证明：在α内作垂直于α、β交线AB的直线b，
又∵α⊥β,
∴b⊥β 又∵a⊥β
∴a ∥b , a α
∴a ∥α
3．课堂练习：练习P77
4.小结：
①面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
②利用性质定理解决问题
5思考题
1 已知平面α、β，直线a,且α⊥β, α∩β =AB，a ∥α ,
a⊥AB,试判断直线a与平面β的位置关系
(分析:因为直线与平面在平面内、相交、平行三种关系)
解: ∵a ∥α , 过a作平面与α相交于直线b,则 a ∥ b ∵a⊥AB , ∴b⊥AB
又∵a⊥β , α∩β =AB
∴b⊥β (面面垂直性质定理)
∴a⊥β
a b
α
β
A
B
β
A
b
α
a B
2 已知α∩β = c, α⊥γ, β⊥γ, 求证: c⊥γ
(可从多方面思考证明本题)
问题1:能否证明直线c垂直于平面γ内的两条相交直线?
问题2:能否运用两平行直线中的一条垂直于平面γ,那么另一条也和该平面γ垂直?
问题3:能否直接围绕直线本身的特征进行论证?
6.作业：P78 1 , 4。