一个新的多涡卷混沌系统的设计与硬件实现

Design and Har dwar e Realizat ion of a New Mult i - scr oll Chaotic System
PANG Qin g2 fan g , WANG Guang2yi
( School of Electronics Information , Hangzhou Dianzi University , Hangzhou Zhejiang 310018 , China )
(λ ) 必有两个共轭的复特征根 。显然 ,只有当 Re ( λ ) = 0 时 , 不稳定性才可能出现 。此时有λ ω。 j 1 ,2 = ±
ω 为实数 。同时 , 系统的 3 个特征根之和为λ λ 1 +λ 2 + 3 = - a , 即在稳定性的临界点 ,有 : λ ωλ j , 3= - a 1 ,2 = ± 把λ opf 分叉点 a h = 1 。 3 = - a 代入式 2 可得到 H 根据 Shil’ nikov 定理 , 如果式 1 的平衡点有一对共轭复特征值和一个实特征值 , 如 a = 0. 8 时 , 系统 的特征值分别为 λ , 1 ,2 (a) = 0. 049 7 ± 0. 941 8i , λ 3 = - 0. 899 4 。则式 1 的矢量场满足产生鞍焦点的条件 。 同时 ,如果系统的参数适当 , 则可满足形成奇异鞍环的条件 , 因而可产生混沌振荡 。前一条件保证混沌 振荡增幅或衰减 , 从而形成涡卷 , 后一条件保证了键相轨簇的出现。 (5)
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图4 混沌吸引子及时域波形 利用开关函数可以实现多涡卷混沌系统 , 不仅降低了电路实现的成本 , 而且在产生方面也更为容易 。该 方法在电路中的实现 , 有利于多涡卷混沌系统在保密通信中的应用 。
- a - a 于是得到其特征方程为 :
3 2 ) =λ λ λ+ a = 0 f (λ +a +a
根据 Routh - Hurwitz 条件可知 , 系统稳定的充分必要条件是 a > 1 。 若 a > 0 时 ,式 4 的系数均为正 ,对任意的λ> 0 , 有 f (λ) > 0 。因此 , 若两区域的平衡点不稳定时 , f
摘要 :为 了产 生复 杂的 混沌 信号 ,通过在三维系统中引入两个阶跃 函数设计了 一个新的混 沌系统 , 并对该系统的基本特性进行了分析 。该系统能够产生一种新的多 涡卷混沌吸 引子 , 设计了一个 模 拟电路对其进行了实验验证 ,实 验与 仿真 结果 完全 吻合 。 关键词 : 多涡 卷混 沌吸 引子 ; 阶跃函数 ;电 路实 现 中图分类号 :TN401 文献标识码 :A 文章编号 :1001 - 9146 (2009) 03 - 0024 - 04
第 29 卷第 3 期 2009 年 06 月
杭州电子科技大学学报
Journal o f Hangzh ou Dianzi Univer sity
Vol . 29 ,No . 3 Jun . 2009
一个新的多涡卷混沌系统的设计与硬件实现
庞青芳 ,王光义
(杭州电子科技大学电子信息学院 ,浙 江 杭州 310018)
参考文献
[ 1] Yuxia Li , G uanrong Chen. C ontrolling a Unified chaotic system to hyperchaoic[J ] . IEEE Transactions on C ircuits and Systems II : Express Briefs , 2005 , 52 (4) :204 - 207. [2 ] Yalcin M E , Qzoguz S. N - scroll chaos generators: a simple circuit model[J ] . Electronics letters ,2001 ,37(3) :147 - 148. [3 ] 刘明华 ,禹思敏. 多涡卷高阶广义 Jerk 电路 [J ] . 物理学报 ,2006 ,55 (11) :5 707 - 5 713. [4 ] 王光义 ,郑艳. 一个超混沌 Lorenz 吸引子及其电路实现[J ]. 物理学报 ,2007 ,56(6) :3 113 - 3 120. [5 ] 张刚 , 杨士中. 一类 n 涡卷混沌发生器[ J ] . 重 庆大 学来自百度文库 报 ,2008 ,31(4) :442 - 446.
Abstr act :This paper designs a new chaos system via introducing tw o step functions in a three dimensional system
for generating complex chaos signals . Basic properties of this system , which can generate a new multi - scroll chaot2 ic attractor , are analyzed in detail. Moreover , an analog circuit i s designed for testing the system. The experimental results are in accordance with computer simulations. Key wor ds :multi - scroll chaotic attractor ; step f unction ; circuit realization
3 分岔图分析
虽然目前对于混沌的设计与实现没有现成的理论方法 ,但可以通过研究系统的分岔情况来判断系 统是否处于混沌状态 。以三个涡卷为例 , 如图 2 所示 。图 2 可以得出 , 当参数 a < 1 时 , 系统处于混沌状 态 , 但参数 a > 1 时 ,系统渐渐的从长周期变为短周期。
4 电路设计及验证
1 一个新的混沌系统
在蔡氏系统的基础上构造的新混沌数学模型如下 : x = y + f ( x) - f ( y) � � y =z
( 1)
z = - a ( x + y + z) � 式中 ,a 为可调参数 , f ( x ) , f ( y ) 为用开关函数实现的分段线性函数 。当 a = 0. 8 时式 1 为混沌 。分 段线性函数的表达式为 :
为了验证该系统的混沌特性 ,设计了一个模拟电路来实现该混沌系统 ,如图 3 所示。该电路为双涡
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图2 变量 x 随参数 a 变化的分岔图 卷混沌电路 , 其电路主要有积分放大器 、 比较器 、 反相器等组成。为了减少可调参数 , 除 R2 、 R3 和 R 16 外 , Ω 。其中开关函数由比较器 T 其余电阻都为 10k L082 来获得 , 并通过可变电阻 R2 , R3 进入放大器输入 端 , 其中 R2 = R 3 = 150k Ω ;系统参数 a 的值由 R13 、 R14 、 R 15 和 R16 组合决定 , 其中 R1 3 = R1 4 = R15 = 10k Ω ,R1 6 Ω 。系统的积分放大器通过 10nF 的电容和 10k Ω 。如图 4 所示示波器中观测得到的吸引子相图 = 7. 5k 及时域波形 。
0 引 言
混沌科学与现代科学广泛结合是目前混沌的发展趋势 。尤其在保密通信领域 , 混沌序列的随机性 和非周期很好的满足了扩频通信对扩频码的要求 , 为此 , 近些年来 , 如何产生复杂的混沌序列一直是人 们关注的焦点 [1 ] 。基于 Chua 电路在双涡卷吸引子基础上 , 通过增加非线性函数中的转折点获得了多涡 卷吸引子来提高混沌系统的复杂度一直混沌系统的一个重要方面[ 2 - 5 ] 。本文利用开关函数实现了另一 种多涡卷混沌吸引子 。这种吸引子的结构具有更好的复杂性 。随着开关函数 i 值的变化 , 系统可产生 ‘i + 2’ 涡卷的系统结构 。同时通过电路实验表明 , 利用该方法可便捷 、 高效的实现多涡卷电路。
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图1 随参数 i 变化的 x - y 吸引子相图
2 系统的基本动力学行为
以产生奇数个涡卷为例 , 明显可以看出 , 式 1 存在 3 个平衡点 S0 ( 0 , 0 , 0) ,S1 ( - 2i , 2i , 0) ,S2 ( 2i , 2i , 0) 。且在所有平衡点的 J acobian 矩阵相同 ,因而它们具有相同的稳定性 , 且其稳定性与参数 a 有关 。 在平衡点对式 1 线性化 , 得其 J acobian 矩阵为 : 0 J = 0 1 0 0 1 - a ( 4) ( 3)
图3 混沌电路图 对比图 4 ( a) 与图 1 ( a ) 可以看出两者相似。从而从实验上证明了本系统的可行性与准确性。对于 多涡卷系统 , 只需增加电路中比较器的个数就可以很方便的得到实现 。
5 结 论
本文利用一个开关函数实现了双涡卷的混沌系统 , 并在实验中得到了验证 。同时 ,可以清晰的看到
i =1
式中 , u ( t) 为开关函数 , 当 t > 0 时取 1 , 否则取 0 。式 1 用于产生奇数个涡卷 , 式 2 用于产生偶数个 涡卷 。如图 1 所示 , 显示了参数 i 在变化时系统涡卷个数的变化。图 1 中可以看出 ,利用开关函数可以 简便的实现任意涡卷的混沌系统。
收稿日期 :2008 - 09 - 26 作者简介 : 庞青芳 (1984 - ) , 女 ,山西运城人 ,在 读研 究生 ,混沌理论及应用 .
M
f ( x) = ∑[ u ( x - ( wu - 1) ) - u ( - x - (2 i - 1) ) ]
i =1
M
( 2)
f ( x ) = 0 . 5 [ u ( x) - u ( - x ) ] + ∑ [ u ( x - 2 i ) - u ( - x - ( 2 i) ]