第5章 数字滤波器的基本结构

第５章 数字滤波器的基本结构 直接型（ 一、 直接型（Ⅰ型） 一个N阶的IIR滤波器的N阶的差分方程为：
y ( n ) = ∑ bi x ( n − 1) + ∑ ai y (n − i )
i =0 i =1
M
N
第５章 数字滤波器的基本结构 从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出y(n)由两部分 构成：第一部分
i =1 i =1 N
M
式中：A为常数，ci 和di 分别表示H(z)的零点和极点。由于H(z)的 分子和分母都是实系数多项式，而实系数多项式的根只有实根和 共轭复根两种情况。将每一对共轭零点（极点）合并起来构成一 个实系数的二阶因子，并把每两个的实根因子合成一个二阶因子， 则可以把H(z)表示成多个实系数的二阶数字网络Hj(z)的连乘积形 式。
M
第５章 数字滤波器的基本结构 如果系统输入、输出服从N阶差分方程:
y (n ) = ∑ bi x ( n − i ) + ∑ ai y (n − i )
i =0 i =1
M
N
为了用专用硬件或软件实现对输入信号的处理，需要把系 统函数变换成一种算法。 观察上式可知，可以用三种基本的运算单元：乘法器、加 法器和单位延时器来实现。这三种基本运算单元的常用流图表 示方法如图５-1 所示。
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§5-2 无限长单位冲激响（IIR）滤波器的 基本结构
一、IIR滤波器的特点： 1、单位冲激响应h(n)是无限长的。 2、系统函数H(z)在有限Z平面( 0 < Z < ∞ )上有极点存 在。 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。
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N阶IIR滤波器的输入输出关系可以用下式表示的N 阶的差分方程来描述：
y ( n ) = ∑ bi x ( n − 1) + ∑ ai y (n − i )
i =0 i =1
M
N
系统函数为：
Y(z) H(z) = = X(z)
∑b z
i =0 N i i =1
M
−i
1 − ∑ ai z
−i
第５章 数字滤波器的基本结构 • I I R 数字滤波器的结构分类 直接I型 直接 型 直接Ⅱ型 直接Ⅱ 级联型 并联型 转置型
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…
…
图5-11并联型结构 并联型结构
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并联型结构的特点： 并联型结构的特点： • 并联型结构使用的加法器，乘法器，延 时单元基本与级联结构相同。它的每个 一阶节单独确定一个实数极点，每个二 阶节确定一对共轭极点，各条支路互不 影响；它只能独立的调整各极点的位置， 不能单独调整零点的位置；此外，由于 各基本节是并联的，故并联结构的误差 比级联结构的运算误差小。
第５章 数字滤波器的基本结构 三、 级联型 若把N阶IIR滤波器的系统函数H(z)的分子和分母分别进行因 式分解，得到多个因式连乘积的形式
H ( z) =
bi z −i ∑ 1 − ∑ ai z −i
i =1 i =0 N
M
=A
(1 − ci z −1 ) ∏ (1 − d i z −1 ) ∏
A1 −1 1 − p1 z
γ0 + γ1 z −1 −2 1 − α1 z − α2 z
−1
第５章 数字滤波器的基本结构 由上式可知，滤波器可由E个一阶网络、F个二阶网络和
一个常数支路并联构成， 其结构如图5-11所示。 并联型结构也可以单独调整极点位置，但对于零点的调 整却不如级联型方便，而且当滤波器的阶数较高时，部分分 式展开比较麻烦。在运算误差方面，由于各基本网络间的误 差互不影响， 没有误差积累， 因此比直接型和级联型误差 稍小一点。
i) ∑ b x(n − 是一个对输入x(n)的M阶延时链结
i =0 i
M
构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络。 第二 部分
∑ a y(n − i ) 是一个对输出y(n)的N阶延时链的横向结构网
i =0 i
N
络，是由输出到输入的反馈网络。 由这两部分相加构成输出， 如图5-4。从图上可以看出，直接 Ⅰ型结构需要M+N个延时器和 M+N+1个乘法器。
A
11
… …
z-1
11
z-1
1K 1K
z-1
21 21
z-1
2K 2K
图 5-8 级联型 结构
第５章 数字滤波器的基本结构 在级联型结构中，每一个一阶网络只关系到滤波器的一个 零点、一个极点；每个二阶网络只关系到滤波器的一对零点和 一对极点。调整系数β0j、β1j和β2j只会影响滤波器的第j对零点， 对其他零点并无影响；同样, 调整分母多项式的系数α1j和α2j也只 单独调整了第j对极点。因此，与直接型结构相比， 级联型结构 便于准确地实现滤波器零、极点的调整。此外，因为在级联结 构中，后面的网络的输出不会流到前面，所以其运算误差也比 直接型小。
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x(n)
h(n)
y(n)
数字滤波器是离散时间系统，所处理的信号是离散时间信号。 一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系 统函数进行描述。滤波器的传递函数为:
Y(z) H(z) = = X(z)
bi z −i ∑ 1 − ∑ ai z −i
i =1 i =0 N
图 5-5 直接Ⅰ型的变形结构
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x(n) a1 a2
b0
y(n)
z-1 z-1
b1 b2 b M-1 bM
…
…
a
-
z-1 z-1
aN
图 5-6直接Ⅱ型结构
…
…
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比较图5-4和图5-6可知: 直接Ⅱ型比直接Ⅰ型 结构延时单元少，用硬件实现可以节省寄存器， 比直接Ⅰ型经济；若用软件实现则可节省存储单 元。但对于高阶系统直接型结构都存在调整零、 极点困难，对系数量化效应敏感度高等缺点。
第５章 数字滤波器的基本结构
第５章 数字滤波器的基本结构
５.1 数字滤波器结构的表示方法 ５.2 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构 无限长单位冲激响应（ ） 有限长单位冲激响应（ ５.3有限长单位冲激响应（FIR）滤波器的结构 有限长单位冲激响应 ）
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概
X (e
jω
d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以 上输入的节点。图中1、5为相加节点。 *支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1；任何一节点 支路不标传输系数时，就认为其传输系数为 ； 支路不标传输系数时 值等于所有输入支路的信号之和。 值等于所有输入支路的信号之和。
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• 对于不同结构的滤波器，其所需要的存 储单元及乘法次数是不同的，前者影响 复杂性，后者影响运算速度。此外在有 限精度（有限字长）的情况下，不同的 运算结构的误差、稳定性是不同的。 • 下面分别就IIR和FIR的结构进行讨论。
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H ( z ) = A∏ H j ( z )
j =1
−1
K
且：
−2
H j( z ) =
1 + β1 j z + β2 j z
1 − α1 j z −1 − α2 j z − 2
第５章 数字滤波器的基本结构 若每一个实系数的二阶数字网络的 系统函数Hj(z)的网络结构均采用前 面介绍的直接Ⅱ型结构，则一个二 阶子系统的结构为： 则可以得到系统函数H(z)的级联型结构，如图5-8所示。 x(n) y(n)
M
= H 1 ( z )H 2 ( z )
假设所讨论的IIR数字滤波器是线性非时变系统，显然交换 H1(z)和H2(z)的级联次序不会影响系统的传输效果，即
H ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) = H 2 ( z ) H1 ( z )
其结构如图5-5所示。
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第５章 数字滤波器的基本结构 ５.1 数字滤波器结构的表示方法
数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分。数字滤 波实际上是一种运算过程，其功能是将一组输入的数字序列通 过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列，因此它本身就 是一台数字式的处理设备。数字滤波器一般可以用两种方法实 现：一种是根据描述数字滤波器的数学模型或信号流图，用数 字硬件装配成一台专门的设备，构成专用的信号处理机；另一 种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让 计算机来执行， 这也就是用软件来实现数字滤波器。
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三、转置定理（对线性移不变系统） 如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入 和输出交换，其系统函数仍不改变。如直接II型：
y(n)
x(n)
（原网络） 原网络）
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…
…
…
… …
（转置后的网络） 转置后的网络）
第５章 数字滤波器的基本结构 • IIR 数字滤波器几种结构的比较 直接I型 直接 直接II型 ① 直接 型和直接 型实现起来具有简单直观的特点。需 要(M+N)个加法器和(M+N)个乘法器，直接II型比直接I型 节省M个延时单元，在M=N的情况下，需要N个延时单元。 直接性的主要缺点在于差分方程的系数ak，bk对滤波器的性 能控制不直接，同时由于其高度反馈性，容易出现不稳定 或产生较大误差。 级联型结构的特点是每个二阶节是相互独立的，可分 ② 级联型 别通过调整各个 “ 零极点对 ” 来对滤波器性能进行较 好的控制，且各二阶节的顺序可重排，能有效的减少有限 字长效应。实现需要(M+N)个加法器、(M+N)个乘法器和 N个延时单元。该结构应用最广泛。