中国余数定理

定義(1)︰令Φ(n)為小於n，且與n互質的所有整數的個數。即Φ(n)為模n縮剩餘系中所有元素的 個數，此Φ(n)稱為尤拉商數(Euler Quotient Function)。
定理(6)︰ 若ac = bd mod n且 c = d mod n及 (c, n) = 1，
則 a = b mod n。 ( (c, n)表示c及n之最大公因數，(c, n) = 1表示c與n互質)。 証︰由(a - b)c + b(c - d) = ac - bd = 0 mod n可得n|(a - b)c。 因為(c, n) = 1，故得n|(a - b)。因此a = b mod n。 (注意：定理(6)中，若c與n不互質，則此定理不成立。) 例如，3 × 2=1× 2 mod 4 且 2 = 2 mod 4，但 3 1( mod 4)。
A B 0 × 1 1 2 × 3 7 4 × 5 × 6 × 7 3 8 × 9 9
其中"× "表示"無意義"。若ab = 1 mod n，則稱b為a在模n之乘法反元素，b可表示為a-1。定理(7) 說明上述之敘述為正確。 定理(7)︰若(a, n) = 1，則存在唯一整數b，0<b<n，且(b ,n)=1，使得ab = 1 mod n。 証：由定理(6)知，若(a, n) = 1，且i j mod n，則ai aj mod n。因此，集合{ai mod n}i=0,1,…,n-1 為集合{0,1,2,…,n-1}之一排列(Permutation)。因此b為ab = 1 mod n唯一解。此外，因ab - 1 = kn， k為整數，若(b, n) = g則g|(ab - 1)。因為 g|ab，∴g|1。因此 g = 1。故b亦與n互質。
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剩餘類
在模n的完全剩餘系中，若將所有與n互質的剩餘類形成一集合，則此集合稱為模n之縮剩餘 * 系(Reduced Set of Residues)，以 Z 表示之。 n
例如n = 10時，{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 為模10之完全剩餘系；
而 {1,3,7,9} 為模10之縮剩餘系。在模n中取縮剩餘系之原因，為在模n之縮剩餘系中取一整 數a，則必存在另一整數b(屬於此縮剩餘系)使得ab = 1 mod n且此解唯一。例如
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定理(5)︰ (a + b) mod n=[(a mod n) + (b mod n)] mod n， (a - b) mod n=[(a mod n) - (b mod n)] mod n， (a × b) mod n=[(a mod n) × (b mod n)] mod n。
定理(1)： a = a mod n(反身性)。 定理(2)： 若a = b mod n，則b = a mod n(對稱性)。 定理(3)︰ 若a = b mod n且b = c mod n，則a = c mod n(遞移性)。 定理(4)︰ 若a = b mod n且c = d mod n，則a + c = b + d mod n，a - c = b - d mod n，ac = bd mod n。
第三章 數學基礎
1. 例如 數論(Number Theory)，資訊理論(Information Theory)，複雜度理論 (Complexity Theory)，組合論(Combinatoric Theory)，機率(Probability)及線性代數 (Linear Algebra)等 等數學理論 數論應是近代密碼學中(尤其是公開金匙密碼系統中)最重要的數學基礎。
為n所整除之數為一剩餘類，以n整除餘數為1之數為一類，餘2之數為一剩餘類，以此類推。 若將每一剩餘類中取一數為代表，形成一集合，則此集合稱為模n之完全剩餘系(Complete Set of Residues)，以Zn表示之。很明顯地，集合{0,1,2,…,n-1}為模n之一完全剩餘系。
5. 在同餘的基本運算中，存在以下之基本定理
3) 一個場F，若其元素個數為無限多個，F稱為無限場(Infinite Field)。反之， 若F之元素為有限個，則稱為有限場(Finite Field)。
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同餘及模運算
1. 2. 3. 4. 令三整數a, b及n 0，我們稱a在模n時與b同餘， a與b的差為n的整數倍。即a-b = kn，其中k為任一整數。 若a與b在模n中同餘，我們可寫成a ≡ b mod n。 由上述定義可知：若a與b在模n中同餘，則n必整除a與b之差，即n整除(a-b)，在 符號上我們寫成 n|(a-b)。 剩餘類(Residue Class):
2.
2.0 群 (Group): (G, *) G: a set; *: an operation
1.
2. 3.
Associativity: a*(b*c) = (a*b)*c
Identity: 1G, a G , such that 1*a=a*1=a Inverse: every element has inverse element. a G , a-1G, such that a* a-1 =1 2. (R-{0}, *)
Example: 1. (Z, +), I=0,
3. (Zp*, *),
4. …..

* Abelian group(Communicative group) 交換群 a*b=b*a or a+b=b+a
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有限場(Finite Field)
1) 正式的定義為，若一集合F在已定義的兩個運算“+”及“·”中， 具有下列性 質者， 則F稱為一個場： 2) F=(F, +. *)
1. F在運算"+"中為一交換群(Abelian Group)，且具有單位元素0。
2. F- {0} 非零的元素在"·"中亦為交換群。(注意，交換群有反元素存在)。 3. F中"·"對"+"運算滿足分配律(Distributed Law)。即對於所有a, b, c, 滿足 a · ( b + c )=a · b + a · c。 F，