九年级数学上册第二章一元二次方程

一、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”） 1、5x 2+1=0 ( ) 2、3x 2+x1+1=0 ( )3、4x 2=ax (其中a 为常数) ( )4、2x 2+3x =0 ( ) 5、5132+x =2x ( )6、｜x 2+2x ｜=4 ( ) 二、填空题7、一元二次方程的一般形式是__________.8、.将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.9、将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________. 10、方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________.11、方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.12、若ab ≠0，则a1x 2+b1x =0的常数项是__________. 13、如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.14、关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程. 三、选择题15、下列方程中，不是一元二次方程的是( ) A.2x 2+7=0 B.2x 2+23x +1=0 C.5x 2+x1+4=0 D.3x 2+(1+x )2+1=016、方程x 2－2(3x －2)+(x +1)=0的一般形式是( )A.x 2－5x +5=0B.x 2+5x +5=0C.x 2+5x －5=0D.x 2+5=017、一元二次方程7x 2－2x =0的二次项、一次项、常数项依次是( )A.7x 2,2x ,0B.7x 2,－2x ，无常数项C.7x 2,0,2xD.7x 2,－2x ,0 18、方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是( )A.2B.－2C.32-D.3221-+19、若关于x 的方程（ax +b ）(d －cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为( )A.mB.－bdC.bd －mD.－(bd －m ) 20、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是( )A.2B.－2C.0D.不等于2 21、若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则( )A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =0 22、关于x 2=－2的说法，正确的是( )A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 四、解答题23、现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。

§2.1.1花边有多宽一、填空题1.某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_________.2.某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________.3.小明将500元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x，则方程为_____________.4.已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为_____________.5.某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x，则方程为___________.6.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，且不考虑利息税，到期后本息共计1320元，若设年利率为x，根据题意可列方程_____________.7.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_____________.8.方程(4－x)2=6x－5的一般形式为_____________，其中二次项系数为_________，一次项系数为_________，常数项为_________. 9.如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________.10.如图，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为_____________，解得x=_________.二、选择题11.某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（）A.5(1+x)=9B.5(1+x)2=9C.5(1+x)+5(1+x)2=9D.5+5(1+x)+5(1+x)2=912.下列叙述正确的是（）A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程B.方程4x2+3x=6不含有常数项C.(2－x)2=0是一元二次方程D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为013.两数的和比m少5，这两数的积比m多3，这两数若为相等的实数，则m等于（）A.13或1B.－13C.1D.不能确定14.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程应为（）A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000三、解答题15.某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？16.如图2，所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度.17.直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，求此直角三角形的面积.§2.1.2花边有多宽一、填空题1.方程x 2=16的根是x 1=________,x 2=_______.2.若x 2=225，则x 1=________,x 2=________.3.若x 2－2x =0，则x 1=_________,x 2=________. 4.若(x －2)2=0，则x 1=________,x 2=_________.5.若9x 2－25=0，则x 1=________,x 2=________.6.若－2x 2+8=0，则x 1=_________,x 2=_________.7.若x 2+4=0，则此方程解的情况是__________.8.若2x 2－7=0，则此方程的解的情况是_______.9.若5x 2=0，则方程解为____________.10.由7，9两题总结方程ax 2+c =0(a ≠0)的解的情况是：当ac ＞0时__________________；当ac =0时__________________；当ac ＜0时__________________.二、选择题11.方程5x 2+75=0的根是( )A.5B.－5C.±5D.无实根 12.方程3x 2－1=0的解是( )A.x =±31 B.x =±3C.x =±33D.x =±313.方程4x 2－0.3=0的解是( ) A.075.0=xB.30201-=xC.27.01=x 27.02-=xD.302011=x 302012-=x4.方程27252-x =0的解是( )A.x =57B.x =±57 C.x =±535D.x =±57 5.已知方程ax 2+c =0(a ≠0)有实数根，则a 与c 的关系是( )A.c =0B.c =0或a 、c 异号C.c =0或a 、c 同号D.c 是a 的整数倍 6.关于x 的方程(x +m )2=n ,下列说法正确的是( )A.有两个解x =±nB.当n ≥0时，有两个解x =±n －mC.当n ≥0时，有两个解x =±m n -D.当n ≤0时，方程无实根 7.方程(x －2)2=(2x +3)2的根是( )A.x 1=－31,x 2=－5B.x 1=－5,x 2=－5C.x 1=31,x 2=5 D.x 1=5,x 2=－5三、解方程1.x 2=02.3x 2=33.2x 2=64.x 2+2x =05.21 (2x +1)2=3 6.(x +1)2－144=0§2.2.1直接开平方法一、填空题1.2a =________，a2的平方根是_________.2.用配方法解方程x2+2x－1=0时①移项得__________________②配方得__________________即（x+__________）2=__________③x+_______=_______或x+_______=_______④x1=__________,x2=__________3.用配方法解方程2x2－4x－1=0①方程两边同时除以2得__________②移项得__________________③配方得__________________④方程两边开方得__________________⑤x1=__________,x2=__________二、解答题1.将下列各方程写成(x+m)2=n的形式（1）x2－2x+1=0(2)x2+8x+4=0(3)x2－x+6=0 2.将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x+m)2=n的形式（1）2x2+3x－2=0(2)41x2+x－2=03.用配方法解下列方程(1)x2+5x－1=0(2)2x2－4x－1=0(3)41x2－6x+3=0§2.2.2配方法一、填空题1.填写适当的数使下式成立.①x2+6x+______=(x+3)2②x2－______x+1=(x－1)2③x2+4x+______=(x+______)22.求下列方程的解①x2+4x+3=0___________②x2+6x+5=0___________③x2－2x－3=0___________3.为了利用配方法解方程x2－6x－6=0，我们可移项得__________，方程两边都加上_________，得___________，化为__________.解此方程得x1=________，x2=________.4.将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x 的4个小矩形，剩余部分的面积为12，则剪去小矩形的宽x为_________.5.如下左图，在正方形ABCD中，AB是4 cm，△BCE的面积是△DEF面积的4倍，则DE的长为_________.6.如上右图，梯形的上底AD=3 cm，下底BC=6 cm，对角线AC=9 cm，设OA=x，则x=_____ cm.7.如右图，在△ABC中，∠B=90°点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，_______秒后△PBQ的面积等于8cm2.二、选择题8.一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）A.(x－1)2=m2+1B.(x－1)2=m－1C.(x－1)2=1－mD.(x－1)2=m+19.用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（）A.加41 B.加21 C.减41 D.减2110.已知xy=9，x－y=－3，则x2+3xy+y2的值为（）A.27 B.9 C.54 D.18三、解答题11.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？12.两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.13.如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上，若矩形铁板的面积为5 m2，则矩形的一边EF长为多少？§2.2.3配方法一、填空题1.配方法解一元二次方程的基本思路是：（1）先将方程配方（2）如果方程左右两边均为非负数则两边同时开平方，化为两个__________（3）再解这两个__________2.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时：∵a≠0,方程两边同时除以a得__________________，移项得__________配方得__________即（x+__________）2=__________当__________时，原方程化为两个一元一次方程__________和__________∴x1=__________,x2=____________3.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a,b,c的值代入公式，x1，2=____________求得方程的解.4.方程3x2－8=7x化为一般形式是________，a=__________,b=__________,c=__________,方程的根x1=__________,x2=__________.二、选择题1.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是A.x1、2=24 312122⨯-±B.x1、2=24 312122⨯-±-C.x1、2=24 312122⨯+±D.x1、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯---±--2.方程x2+3x=14的解是A.x=2653± B.x=2653±-C.x=2233± D.x=2233±-3.下列各数中，是方程x2－(1+5)x+5=0的解的有①1+5②1－5③1 ④－5A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.方程x2+(23+)x+6=0的解是A.x1=1,x2=6B.x1=－1,x2=－6C.x1=2,x2=3D.x1=－2,x2=－3三、用公式法解下列各方程1、5x2+2x－1=02、6y2+13y+6=03、x2+6x+9=7四、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x －1与B=3x2－2相等吗？§2.3公式法一、填空题1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.2.方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x1=__________,x2=__________.3.填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程解：3x(x+5)__________=0(x+5)(__________)=0x+5=__________或__________=0∴x1=__________,x2=__________4.用因式分解法解一元二次方程的关键是（1）通过移项，将方程右边化为零（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）分别解这两个________，求得方程的解5.x2－(p+q)x＋qp=0因式分解为____________.6.用因式分解法解方程9=x2－2x+1(1)移项得__________；（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________；（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________；（4）分别解这两个一次方程得x1=__________,x2=__________.二、选择题1.方程x2－x=0的根为A.x=0B.x=1C.x1=0,x2=1D.x1=0,x2=－12.方程x(x－1)=2的两根为A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=－1C.x1=1,x2=－2D.x1=－1,x2=23.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是A.(2x－2)(3x－4)=0 ∴2－2x=0或3x－4=0B.(x+3)(x－1)=1 ∴x+3=0或x－1=1C.(x－2)(x－3)=2×3 ∴x－2=2或x－3=3D.x(x+2)=0 ∴x+2=04.方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是A.x1=b,x2=aB.x1=b,x2=a1C.x1=a,x2=b1 D.x1=a2,x2=b25.已知a2－5ab+6b2=0，则abba等于三、解方程1、x2－25=0 2.(x+1)2=(2x－1)23、x2－2x+1=44、x2=4x四、求证如果一个一元二次方程的一次项系数等于二次项系数与常数项之和，则此方程必有一根是－1.§2.4.1分解因式法一、填空题1.关于x 的方程(m －3)x 72 m －x =5是一元二次方程，则m =_________. 2.2x 2－2x －5=0的二根为x 1=_________，x 2=_________.3.当x =______时，代数式x 2－3x 的值是－2.4.方程x 2－5x +6=0与x 2－4x +4=0的公共根是_________.5.已知y =x 2+x －6，当x =_________时，y 的值等于0；当x =_________时，y 的值等于24.6.2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________.7.已知方程ax 2+bx +c =0的一个根是－1，则a －b +c =___________.8.已知x 2－7xy +12y 2=0，那么x 与y 的关系是_________.9.方程2x (5x －3)+2 (3－5x )=0的解是x 1=_________，x 2=_________.10.方程x 2=x 的两根为___________. 二、选择题11.下列方程中不含一次项的是（ ） A.3x 2－8=4x B.1+7x =49x 2 C.x (x －1)=0 D.(x +3)(x －3)=0 12.2x (5x －4)=0的解是（ ）A.x 1=2，x 2=54B.x 1=0，x 2=45C.x 1=0，x 2=54D.x 1=21，x 2=54 13.若一元二次方程(m －2)x 2+3(m 2+15)x +m 2－4=0的常数项是0，则m 为（ ） A.2 B.±2 C.－2 D.－10 14.方程2x 2－3=0的一次项系数是（ ）A.－3B.2C.0D.3 15.方程3x 2=1的解为（ ）A.±31B.±3C.31 D.±3316.下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）A.x 2+x +1=0B.2x 2－3x +5=0C.x 2+(1+2)x +2=0D.x 2+6x +7=0 17.若代数式x 2+5x +6与－x +1的值相等，则x 的值为（ ）A.x 1=－1，x 2=－5B.x 1=－6，x 2=1C.x 1=－2，x 2=－3D.x =－1 18.已知y =6x 2－5x +1，若y ≠0，则x 的取值情况是（ ）A.x ≠61且x ≠1 B.x ≠21C.x ≠31D.x ≠21且x ≠3119.方程2x (x +3)=5(x +3)的根是（ ）A.x =25B.x =－3或x =25C.x =－3D.x =－25或x =3三、解下列关于x 的方程20.x 2+2x －2=0 21.3x 2+4x －7=022.(x +3)(x －1)=5 23.(3－x )2+x 2=924.x 2+(2+3)x +6=025.(x －2)2+42x =0 26.(x －2)2=327.随着城市人口的不断增加，美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某城市计划到2004年末要将该城市的绿地面积在2002年的基础上增加44%，同时要求该城市到2004年末人均绿地的占有量在2002年的基础上增加21%，当保证实现这个目标，这两年该城市人口的年增长率应控制在多少以内.（精确到1%）§2.4.2分解因式法一、填空题1.一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，则矩形的宽x （厘米），应满足方程__________.2.有一张长40厘米、宽30厘米的桌面，桌面正中间铺有一块垫布，垫布的面积是桌面的面积的21，而桌面四边露出部分宽度相同，如果设四周宽度为x 厘米，则所列一元二次方程是__________. 3.在一块长40 cm ，宽30cm 的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形，剩下部分的面积刚好是矩形面积的32，则剪下的每个小正方形的边长是__________厘米.4.一个两位数，十位上的数字是a ，个位上的数字是b ，则这个两位数可以表示为__________.5.两个连续整数，设其中一个数为n ，则另一个数为__________.6.两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x ，则所列方程为__________.7.增长率问题经常用的基本关系式： 增长量=原量×__________新量=原量×（1+__________）8.产量由a 千克增长20%，就达到_______千克. 二、选择题1.用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形，则其长和宽分别是A.3米和1米B.2米和1.5米C.（5+3）米和（5－3）米D.米米和21352135-+2.如果半径为R 的圆和边长为R +1的正方形的面积相等，则 A.11--=ππRB.11-+=ππR C.112--+=ππR D.112-++=ππR 3.一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x ，则所列方程为 A.x 2+(x +4)2=10(x －4)+x －4 B.x 2+(x +4)2=10x +x +4C.x 2+(x +4)2=10(x +4)+x －4D.x 2+(x －4)2=10x +(x －4)－4 4.三个连续偶数，其中两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是 A.－2，0，2或6，8，10B.－2，0，2或－8，－8，－6C.6，8，10或－8，－8，－6D.－2，0，2或－8，－8，－6或6，8，105.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二、三月份平均每月增长率是多少？设平均每月增长率为百分之x ，则A.50（1+x ）2=175B.50+50(1+x )2=175C.50(1+x )+50(1+x )2=175D.50+50(1+x )+50(1+x )2=1756.一项工程，甲队做完需要m 天，乙队做完需要n 天，若甲乙两队合做，完成这项工程需要天数为 A.m +n B.21(m +n ) C.mnn m +D.nm mn +三、请简要说出列方程解应用题的一般步骤。