专题二、分类讨论的几大类型(公开课)
初中数学《专题分类讨论题》公开课优质课PPT课件
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(1)分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法 之一，在研究此类问题的解法时，需认真审题，全面考虑， 对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理 清晰．
(2)分类讨论的一般步骤：①弄清分类原因；②确定分 类标准；③逐类进行讨论；④归纳作出结论．
► 类型之二 根据对称性进行分类讨论
例2如图,直线y=-2x+2与x,y轴分别交于A,B两点，将△AOB绕
点O逆时针旋转90°得到△COD,抛物线 y ax2 bx c(a 0) 经过点A,B,D. （3）若将△AOB绕点O逆时针旋转 一周，记点B的对应点为点E, 连接 EB,ED,在旋转过程中，是否存在 这样的点E,使△EBD为等腰三角形？ 若存在，请求出点E的坐标，若不 存在，请说明理由.
中考数学专题复习——分类讨论
分类讨论思想介绍
在解答某些数学问题时，因为存在一些不 确定的因素，解答无法用统一的方法或结论给 出统一的表述，对这类问题依情况加以分类， 并逐类求解，然后综合求解，这种解题的方法 叫分类讨论法.
► 类型之一 概念、定义中的分类讨论
例1 函数y ax2 ax 3x 1 与x轴只有一个交点，
► 类型之二 几何图形不确定的分类讨论
例2如图,直线y=-2x+2与x,y轴分别交于A,B两点，将△AOB绕
点O逆时针旋转90°得到△COD,抛物线 y ax2 bx c(a 0) 经过点A,B,D. （5）点P是抛物线上一点，点Q 为抛物线对称轴上一点，若以点 C、D、P、Q为顶点的四边形是 平行四边形，求点Q的坐标.
► 类型之三 运动变化之中的分类讨论
例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点M从点
思想02 分类讨论思想(理)(教学案)(含解析)
思想二分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结：将各类情况总结归纳. 【热点分类突破】类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1.已知{}(){}222|40,|2110A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈，如果A B B = ，求实数a 的取值范围.试题分析：化简得{}0,4A =-，由A B B = 得B =∅时，{}{}04B =-或时{}0,4B =-时，解出并验证即可得出结果.综上所述，实数a 的取值范围是1a =或者1a ≤-.点评：本题考查了集合的运算性质、方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.解本题时，通过深刻理解集合表示法的转化及集合之间的关系，把求参数问题转化为解方程之类的常见数学问题，集合A 、B 均是关于x 的一元二次方程的解集，特别容易出现的错误是遗漏了φ=B 的情形，当φ≠A 时，则有φ=B 或φ≠B ，避免出现出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和经验的积累.例2.已知命题:p 指数函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +>+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.试题分析：（1）命题p 为真命题等价于240ax x a -+>在R 上恒成立，分0a =与0a ≠由二次函数的性质讨论即可；（2）命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题等价于命题p 与命题q 一真一假，先分别求出命题p 为真命题、命题q 为真命题时a 的范围，再求“P 真q 假”与“P 假q 真”时a 的范围，再求a 的并集即可.试题解析：（1）由题意：当0a =时，()lg(4)f x x =-的定义域不为R ，不合题意.当0a ≠时，0∆<且0a >，故2a >；（2）若q 为真，则221a x x >-+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立，221y x x=-+为增函数且(,1)x ∈-∞-，故1a ≥.“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p q ，一真一假，故12a ≤≤. 点评：本题考查对数函数的图象与性质、逻辑联结词与命题、全称命题与特称命题，属容易题；当两个命题均为真命题时，“p q ∧”为真命题，其余为假命题，当两个命题均为假命题时，“p q ∨”为假命题，其余为真命题，由此可得“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p q ，一真一假，是解本题的关键.规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论． 举一反三1.设集合{}|(21)(2)0A x x m x m =-+-+<，{}|114B x x =≤+≤． （1）若1m =，求A B ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值集合．2.已知命题:p 函数()()2lg 6f x ax x a =-+的定义域为R ，命题:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于3，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围． 试题解析：若p 真，则00a >⎧⎨∆<⎩，∴3a >，若q 真，令()22321f x x ax a =-++，则应满足()()()22234210399210a a f a a ⎧∆=--+≥⎪⎨=-++>⎪⎩，∴222522a a a a a ⎧⎪≥≤-⎪>⎨⎪⎪<>⎩或或∴52a >，又由题意可得p 真q 假或p 假q 真，若p 真q 假，则352a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩，∴a 无解，若p 假q 真，则352a a ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，∴532a <≤．综上可得，a 的取值范围是5|32a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭。
中考数学复习课件 第41课 分类讨论型问题
解析：设反比例函数解析式为 y＝k，则 x
①若与 BC，AB 平移后的对应边相交，则与 AB 第一次平移后的对应边相交的交点坐标为
(2，1.4)，则 1.4＝k，解得 k＝2.8＝14.故反比例函数的解析式为 y＝14.
2
5
5x
则第 n 次(n＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对
B
3，0 k
.
①当 AC＝BC 时，OA＝OB＝1，
∴点 B 的坐标为(1，0)，3k＝1，∴k＝3.
②当 AC＝AB，点 B 在点 A 的右侧时，∵AC＝ 12＋32＝ 10，则 AB＝AC＝ 10，
∴点 B 的坐标为( 10－1，0)，3＝ 10－1，k＝ 10＋1；
k
3
当 AC＝AB，点 B 在点 A 的左侧时，易得点 B 的坐标为(－ 10－1，0)，3＝－ 10－1，k k
(解图 1)
(解图 2)
②如解图 2，
∵∠ABD＝25°，∠BDA＝90°，∴∠BAD＝65°.
∵AB＝AC，∴∠C＝65°÷2＝32.5°.
答案：57.5°或 32.5°
【预测演练 1－3】 若正比例函数 y＝2kx 与反比例函数
y＝k(k≠0)的图象交于点 A(m，1)，则 k 的值是 ( ) x
20%
4
超过 9000 元至 35000 元的部分
25%
5
超过 35000 元至 55000 元的部分
30%
6
超过 55000 元至 80000 元的部分
35%
7
超过 80000 元的部分
45%
(1)若甲、乙两人的每月工资收入额分别为 4000 元和 6000 元，请分别求出甲、
导数中分类讨论的三种常见 类型
若，符合题意 若，符合题意 若，符合题意 若，不符合题意 若，不符合题意 若，不符合题意 综上所述：p的取值范围为 下面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定的
实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多多指 教。 例6：（海南2010理）
-1
+
0
_
0
+
单调递 极大值 单调递 极小值 单调递
增
减
增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时， 在上恒成立，所以函数的单调递增区间为，没有单调递减区间. 当时，，随的变化情况如下：
-1
+
0
_
0
+
单调递 极大值 单调递 极小值 单调递
增
减
增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上所述， 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确 定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于，所以要 分，，三种情况，这里注意不能漏了的情况. 2.导函数的根的存在性讨论 实例2：求函数的单调区间 分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数进行 求导可以得到导函数，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无 法确定方程是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我 们可以求出根判别式， 若即，方程没有实根，即 在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，方程有两个相等的实根，即在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，则方程有两个不同实根，由求根公式可解得，，显然 此时，随的变化情况如下：
分类讨论类型
分类讨论类型一、专题精讲在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．二、几种常见的分类讨论类型题型1 概念型的分类讨论例题1：已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）。
A、40°B、100°C、40°或100°D、70°或50°变式训练1：（1）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A、12或9B、12C、9D、7（2）一次函数分别交轴、轴于A、B两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的的点C最多有个。
（3）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为抛物线y=x2-7x+10与x轴两个交点的横坐标，且这两圆相切，则两圆的圆心距O1O2为（）A. 3B. 5C. 7D. 3或7例题2.已知是完全平方式，则的值是。
变式训练2：（1）若函数，则当函数值时，自变量的值是（）A. B. 4 C. 或4 D. 或4（2）给出下列四个函数：1；2；3；4.时，随的增大而减少的函数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个题型3含参数型的分类讨论例题3：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形、例如，图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形．（1）求函数y= -34x+3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数y= -34x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．变式训练3：已知抛物线y=x2-2（m+1）x+m2与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为。
思想02 分类讨论思想(文)(教学案)(含解析)
思想二分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结：将各类情况总结归纳. 【热点分类突破】类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1.已知{}(){}222|40,|2110A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈，如果AB B =，求实数a 的取值范围.试题分析：化简得{}0,4A =-，由A B B =得B =∅时，{}{}04B =-或时{}0,4B =-时，解出并验证即可得出结果.综上所述，实数a 的取值范围是1a =或者1a ≤-.点评：本题考查了集合的运算性质、方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.解本题时，通过深刻理解集合表示法的转化及集合之间的关系，把求参数问题转化为解方程之类的常见数学问题，集合A 、B 均是关于x 的一元二次方程的解集，特别容易出现的错误是遗漏了φ=B 的情形，当φ≠A 时，则有φ=B 或φ≠B ，避免出现出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和经验的积累.例2.已知命题:p 指数函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +>+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.试题分析：（1）命题p 为真命题等价于240ax x a -+>在R 上恒成立，分0a =与0a ≠由二次函数的性质讨论即可；（2）命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题等价于命题p 与命题q 一真一假，先分别求出命题p 为真命题、命题q 为真命题时a 的范围，再求“P 真q 假”与“P 假q 真”时a 的范围，再求a 的并集即可.试题解析：（1）由题意：当0a =时，()lg(4)f x x =-的定义域不为R ，不合题意.当0a ≠时，0∆<且0a >，故2a >；（2）若q 为真，则221a x x >-+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立，221y x x=-+为增函数且(,1)x ∈-∞-，故1a ≥.“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p q ，一真一假，故12a ≤≤.点评：本题考查对数函数的图象与性质、逻辑联结词与命题、全称命题与特称命题，属容易题；当两个命题均为真命题时，“p q ∧”为真命题，其余为假命题，当两个命题均为假命题时，“p q ∨”为假命题，其余为真命题，由此可得“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p q ，一真一假，是解本题的关键.规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论． 举一反三1.设集合{}|(21)(2)0A x x m x m =-+-+<，{}|114B x x =≤+≤． （1）若1m =，求A B ；（2）若AB A =，求实数m 的取值集合．2.已知命题:p 函数()()2lg 6f x ax x a =-+的定义域为R ，命题:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于3，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围． 试题解析：若p 真，则00a >⎧⎨∆<⎩，∴3a >，若q 真，令()22321f x x ax a =-++，则应满足()()()22234210399210a a f a a ⎧∆=--+≥⎪⎨=-++>⎪⎩，∴222522a a a a a ⎧⎪≥≤-⎪>⎨⎪⎪<>⎩或或∴52a >，又由题意可得p 真q 假或p 假q 真，若p 真q 假，则352a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩，∴a 无解，若p 假q 真，则352a a ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，∴532a <≤．综上可得，a 的取值范围是5|32a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭。
导数中分类讨论的三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释•几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论1. 导函数根的大小比较实例1：求函数f x 3x3子“ ax a，x R的单调区间-分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数 f x 1 3x 1 a 2xax a进行求导可以得到导函数3 21 f x x2 1 a x a ，观察可知导函数可以因式分解为1 f x x2 1 a x a x a x 1 ，由此可知方程f'x 0有两个实根x1 a，x21，由于a的范围未知，要讨论函数f x 1 x3 - - x2ax a的3 2单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分a 1，a 1，a 1三种情况进行讨论：当a 1时，f x，f' x随x的变化情况如下:所以，函数f x的单调递增区间为，a和1,，单调递减区间为a, 1 当a 1时，f' x 0在R上恒成立，所以函数f x的单调递增区间为,，没有单调递减区间•当a 1时，f x，f' x随x的变化情况如下:所以，函数f x 的单调递增区间为 ，1和a,,单调递减区间为1,a .综上所述，当a 1时，函数f x 的单调递增区间为a, 1 ；当a 1时，函数f x 的单调递增区间为 当a 1时，函数f x 的单调递增区间为1,a .点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两 根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于 a R ，所以要分a 1， a 1，a 1三种情况，这里注意不能漏了 a 1的情况. 2. 导函数的根的存在性讨论实例2:求函数f x x 3ax 2x 的单调区间分析：这道题跟实例1 一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数 f x x 3ax 2x 进行求导可以得到导函数 f ' x 3x 22ax 1，观察可以发 现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程3x 22ax 1 0是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式 4a 2 12，若4a 2 12 0即 3 a 3，方程3x 2 2ax 1 0没有实根，即f ' x 0在R 上恒成立，所以f x 在R 上单调递增； 若 4a 2 12 0即a . 3，方程3x 2 2ax 1 0有两个相等的实根x 1 x 2 -，即f ' x 0在R 上恒成立，所以f x 在R 上单调递增； 3 若4a 212 0即a■^或a -3，则方程3x 22ax 1 0有两个不同实根，,a 和1,，单调递减区间为，没有单调递减区间；1和a,，单调递减区间为由求根公式可解得X i 亠a 3, X 2—a 3，显然X i X 233此时f x ，f ' X 随X 的变化情况如下:综上所述，当.3 a ,3时，f X 的单调递增区间为 ，，没有单调递减区间；当a x 3或a ,3时，f x 的单调递增区间为，一a a 3和3点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情 况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨 论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以 可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两 个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出 来的两根大小已知，所以不用再讨论。
人教版初中数学九年级下册《专题：分类讨论》公开课
所以此时AC=AB-BC=5+3=8
三、经验的积累
【为什么要分类】 在解答某些问题时，因为存在一些不确定的因素 【怎样来分类】 1，分类的情形：代数问题用区间来分类；几何问题 用位置分类；还有其他形，具体的问题具体分析； 2，分类原则：不遗漏、不重复。 【应用分类讨论解决问题的具体步骤】 1，审视问题，确定要不要分类； 2，确定分类的标准，进行具体分类； 3，对各种具体的情况进行讨论； 4，整个问题得到解决。
4
13 p7 (0, 6 )
9 p 8 ( 4 ,0 )
五、学习的升华
1.今天我们学了什么？
2.今天我们悟到什么？
3. 今天的质疑和发现？
六、学习的延续 1、基础性作业 （1）在同一坐标系中，正比例函数与一次函数的 图象的交点的个数是（ ） A．0个或2个 B．1个 C．2个 D．3个
2、拓展性作业 （2）线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一 边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上， 这样的等腰三角形能画多少个?
分类讨论
课件说明
〖教学目标〗 1.体会分类讨论的必要性，知道什么是分类讨论，分类 讨论的原因是什么？ 2.理解分类讨论所遵循的原则，学会应用分类讨论的策 略解决数学问题。 3.感受分类讨论思想在解决相关问题的作用，进一步领 悟分类讨论思想的内涵。
一、面对的问题
问题 1.化简： x 1 x 2
初始化★控制台
二、解决的策略 问题2.已知AB=5,BC=3,那么AC的长度为 。
解：由于点C的位置不确定，点C在点B的左边或在点B的右边， 我们分两种情况进行讨论：
情形一：点C在点B的左边，如图1所示：
A C B
所以此时AC=AB-BC=5-3=2 情形二：点C在点B的右边，如图所示：
专题复习——分类讨论
解析：当PC∥OA时△BPC∽△BOA，
因为点C是AB的中点，所以P为OB的 y
中点，此时P点的坐标（0， 3 ）； B
2
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，因
C
为点C是AB的中点，所以P为OA的中
点，此时P点的坐标为（2，0）； 0 P
Ax
如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），
运动了t秒。
y
4
（1）求点P的坐标
（用含t的代数式表示）；
C3
（2）当t为何值时，
N
B
△NPC是一个等腰三角形？
2
P
1
OM
2
-1
4A
x
P为顶角顶点
y
4
D C3
2
P
1
PC=PN
N
B
O
-1
M2
4A
x
C为顶角顶点
y
4
C3
CP=CN
N
B
2
E
P
1
O
M2
-1
4A
x
N为顶角顶点 NC=NP
y
4
C3
NF
B
2
P
A
A
E
D
E
D
B
(1)
CB
(2)
C
△ADE∽△ABC 或 △ADE∽△ACB
AD AE AB AC
AD AE AC AB
解：①如图（1）作∠ADE=∠B, 即DE∥BC 交AC于E，∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.
A
D
E
∴
AD AB
AE AC
,
2021年中考数学复习专题2 分类讨论思想(教学课件)
分类讨论常见类型： 类型1：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值等 概念的分类讨论； 类型2：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二 次方程求根公式的应用引起的讨论； 类型3：由数学运算要求引起的讨论，如不等式两边同乘一个正 数还是负数的问题； 类型4：由图形的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三 角形中的相关问题引起的讨论。 类型5：由字母的取值引起的分类讨论，如含字母的方程、函数 、不等式，由于字母的取值不同
线 y＝12 x＋12 上，若抛物线 y＝ax2－x＋1(a≠0)与线段 AB 有两个不
同的交点，则 a 的取值范围是( C )
A．a≤－2
B．a＜98
C．1≤a＜98 或 a≤－2
D．－2≤a＜98
重点题型
题题组组训训练练
【解析】分 a＞0，a＜0 两种情况讨论．∵抛物线 y＝ax2－x＋
1(a≠0)与线段 AB 有两个不同的交点，∴令12 x＋12 ＝ax2－x＋1，
解析式为 y＝－13
x＋53
，由y＝－13x＋53 y＝ax2－x＋2
，消去 y 得到，3ax2－2x
＋1＝0，∵Δ＞0，∴a＜13 ，∴14 ≤a＜13 满足条件，综上所述，满
足条件的 a 的值为 a≤－1 或14 ≤a＜13 .
重重点点题题型型
题组训练
重点题型
题题组组训训练练
8．在平面直角坐标系内，已知点 A(－1，0)，点 B(1，1)都在直
重重点点题题型型
题 型 三 由数学运算要求引起的讨论
题组训练
例6.某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成 ．已知儿童10人，成人比少年多12人． (1)求该旅行团中成人与少年分别是多少人？ (2)因时间充裕，该团准备让成人和少年(至少各1名)带领10名儿 童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票 ，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童． ①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元 ？
中考数学专题复习：分类讨论课件
y
.0
x
在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.
(2) 过 P作T y轴的垂线 PA,垂足为 （1 ）点 （t，0）是 x轴上 A. 点T为坐标系中的一点。以点 的一个动点。当 t取何值时， A.O.P.T为顶点的四边形为平行 △TOP是等腰三角形？ 四边形,请写出点T的坐标?
y
情况一： 以OP为对角线
得出结论.
作业
请同学们课后根据今天所学内容每种类型找
一题进行练习.
7 (1.5,0)或(0,2)或 (0, ) 8
B
P A C
在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）. （1）点T（t，0）是x轴上 的一个动点。当t取何值时， △TOP是等腰三角形？ 情况一:OP=OT T1 ( 5,0);T2 ( 5,0) 情况二:PO=PT T3(-4,0) 情况三:TO=TP 5 T4 ( ,0) 4 P
2.性质型：问题中涉及到的数学定理、公 式等有范围或条件限制，或分类给出的. 如讨论一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增 减性，要分k＞0和k＜0两种情况.
例如：已知一次函数y=kx+b，当－３≤ｘ≤１时， 对应ｙ的值为１≤ｙ≤９.则ｋ· ｂ的值（ ） （Ａ）１４ （Ｂ）－６ （Ｃ） －６或２１ （Ｄ） －６或１４ 分析：一、k＞0;二、k＜0 1=-3k+b 9=k+b 1=k+b
类思想．将事物进行分类，然后对划分的 每一类分别进行研究和求解的方法叫做分 类讨论．
分类讨论的几个主要类型
1.概念型：问题所涉及到的数学概念是分
类进行定义的.如|a|的定义分a>0、a＝0、 a<0三种情况..
例如：已知 x 3, y 2, 且x y＜ 0，则x y
专题二、分类讨论的几大类型(公开课)
分类讨论的集中类型
【类型一、与数与式有关的分类讨论】
热点1：实数分类、绝对值、算术平方根 热点2：与函数及图象有关的分类讨论 ：变量取值范围、增 减性 热点3：含参不等式 热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。 热点5：含参方程
【类型二、三角形中的分类讨论】
热点1. 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还 是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、 直角三角形、锐角三角形分别讨论解决． （1） 与角有关的分类讨论 （2） 与边有关的分类讨论 （3） 与高有关的分类讨论 热点2：与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有 指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不 知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解． 热点3：与相似三角形有关的分类讨论 （1） 对应边不确定
中考中常见的分类讨论中考专题二中考专题二每个数学结论都有其成立的条件每一种数学方法的使用也往往有其适用范围在我们所遇到的数学问题中有些问题的结论不是唯一确定的有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的这样字母的取值不同也会影响问题的解决由上述几类问题可知就其解题方法及转化手段而言都是一致的即把所有研究的问题根据题目的特点和要求分成若干类转化成若干个小问题来解决这种按不同情况分类然后再逐一研究解决的数学思想称之为分类讨论思想
8或12 数据的中位数和平均数相等，则 x = _______.
•分析：涉及到中位数，与参数x的排列位置有关. 这样，存在几种，分 别加以讨论. •若x≤8，则中位情况数为9，平均数为9，则x=8 •若8≤x≤10，则中位数为(10+x)/2，平均数为(10+10+x+8)/4, 得(10+x)/2=
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2、等腰三角形的两边为6和8，那么此三角形的周长为
3、如半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2 相切，两圆的圆 心距O1O2＝ cm.
1、直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为
；
2、等腰三角形的一个角的度数为40°，那么此三角形的另两 个角的度数为 ； 。
3、若半径为3和5的两个圆相切，则它们的圆心距为
1 x= a–1
例2、若直线：y = 4x +b 不经过第二象限，那么b的取值范围
为
b≤0
；
（1）不经过第二象限，那可以只经过第一、三象限，此时 b = 0； （2）不经过第二象限，也可以经过第一、三、四象限，此时 b ＜ 0.
y
也可以用图象来直观地解决这问题：
x
某班四个小组的人数如下：10、10、x、8，已知这组
二、图形不确定的分类讨论
例1、在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两 顶点构成等腰三角形.
C 110° 20° 50°
A
B
（1）、对∠A进行讨论
（2）、对∠B进行讨论
（3）、对∠C进行讨论
C
20° 20°
C
65° 65° 50° 35°
C
110°
35°
A C
20° 20°
B A
50°
情况一： 以OP为对角线 T1 (2,0) 情况二： 以PA为对角线
y
.0
P
A
x
T2 (2,2) 情况三： 以OA为对角线
T3 (2,0)
三、运动变化中的分类讨论
例1、A为数轴上表示-1的点，将点A沿数轴平移3个单位到B， 则点B所表示的实数为（ ） A 、2 B 、2 C、-4 D、2或-4
（1）点T（t，0）是x轴上 的一个动点。当t取何值时， △TOP是等腰三角形？ 情况一:OP=OT T1 ( 5,0);T2 ( 5,0) 情况二:PO=PT T3(-4,0) P
y
.0
x
情况三:TO=TP 5 T4 ( ,0) 4
3、在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.
（ 1 ）点 T（t，0 ）是 x轴上 (2) 、过 P 作 y轴的垂线 PA, 垂足为 的一个动点。当t取何值时， A.点T为坐标系中的一点。以点 A、 △ 是等腰三角形？ O、P、 TTOP 为顶点的四边形为平行 四边形，请写出点T的坐标?
分类讨论的集中类型
【类型一、与数与式有关的分类讨论】
热点1：实数分类、绝对值、算术平方根 热点2：与函数及图象有关的分类讨论 ：变量取值范围、增 减性 热点3：含参不等式 热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。 热点5：含参方程
【类型二、三角形中的分类讨论】
热点1. 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还 是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、 直角三角形、锐角三角形分别讨论解决． （1） 与角有关的分类讨论 （2） 与边有关的分类讨论 （3） 与高有关的分类讨论 热点2：与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有 指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不 知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解． 热点3：与相似三角形有关的分类讨论 （1） 对应边不确定
中考专题二
中考中常见的分类讨论
一张矩形纸片有四个角，剪掉一个角后，还剩几个角？
（1）
（2）
（3）
什么是分类讨论思想？
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也 往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结 论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式 进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的， 这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知， 就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题 根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解 决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称 之为分类讨论思想。
以1厘米／秒的速度向右运动（圆心O始终在直线AB上）．已知线段AB＝ 6厘米，⊙O，⊙B的半径分别为1厘米和2厘米．当两圆相交时，⊙O的运 动时间t（秒）的取值范围是_______________.
B
O (A)
2、 如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从A出发，沿AB 以每秒1cm的速度向B运动，同时，点Q从点B出发，沿BC以相 同速度向C运动，问，当运动几秒后，△PBQ为直角三角形？
y
1
P2(2 ,0)
A (1,1)
P1(2,0)
-1
o
-1
P4( 1, 0 )
1 P3(
2
,0) x
1、若直线 y=－x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2， 2或-2 则b的值为 ；
y y
o
x
o
x
2、已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求 ∠A的度数。
C
C
A
O A B
O
B
3、在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.
A
P
B
Q
C
思考：若△PQB为直角三角形，哪些角可能为直角？
∠PQB
A P P B
或
∠QPB
A
Q
H
C
B
H Q
四、含参变量的分类讨论
例1、解关于x 的方程：ax - 1= x；
解： ax – x = 1；
（a – 1）x = 1； （1） 当a =1时；此方程无解； （2） 当a ≠1时；方程的解为：
8或12 数据的中位数和平均数相等，则 x = _______.
•分析：涉及到中位数，与参数x的排列位置有关. 这样，存在几种，分 别加以讨论. •若x≤8，则中位情况数为9，平均数为9，则x=8 •若8≤x≤10，则中位数为(10+x)/2，平均数为(10+10+x+8)/4, 得(10+x)/2=
(10+10+x+8 平均数为10, x=12
BA C
50°
B
A C
80° 20° 80°
B A C
50°
B
50°
A
B
A
B
例2、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=6cm，
CD=8cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为
；
A
B
A C D
B D
O
C
O
例3、在直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（1，1）， 在x轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件 的P点共有 4 个
（2） 对应角不确定
【类型三：圆中的分类讨论】 热点1：点与圆的位置关系不确定 热点2：弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论 热点3：两弦与直径位置 热点4：直线与圆的位置的不确定 热点5：圆与圆的位置的不确定
一、概念中的分类讨论
1、已知|a|=3，|b|=2，且ab＜0，则a - b =
；
例2、如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝300，半径为1cm的⊙P 的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度 沿由A向B的方向移动，那么（ Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．4或6 ）秒种后⊙P与直线CD相切． Ｄ．4或8
D
A
P
B O
C
1、如图，⊙O从直线AB上的点A（圆心O与点A重合）出发，沿直线AB
常见分类讨论对象
【数与代数】 1、 概念分段定义 2、 公式、定理、法则分段表达 3、 实施某些运算引起分类讨论 4、 含参方程或不等式
【几何】 5、 图形位置不确定 6、 图形形状不确定 【其他】 题设本身有分类
分类讨论的步骤
1、 明确分类对象 2、 明确分类标准 3、 逐类分类、分级得到阶段性结果 4、 用该级标准进行检验筛选结果 5、 归纳作出结论