大学物理机械波习题

[D]
2
5. 一平面简谐波的波形曲线如图所示，由此 可知：
a处质元的动能 最小 ,势能 最小 b处质元的动能 最大 ,势能 最大
(填：最大或最小)
y
a
b
o
x
6.一简谐波沿X轴正方向传播，图中所示为 t =T /4 时的波形曲线。若振动以余弦函数表示，
且各点振动的初相取 到 之间的值，则：
（A）0点的初位相为 0= 0; （B）1点的初位相为 1= /2; （C）2点的初位相为 2= （D）3点的初位相为 3= /2;
y 0.06 cos t x / u / 3 0.06 cos t x / 2 / 3 (SI )
（3）波长 uT 4 m
练习2.在下面几种说法中，正确的说法是：
（A）波源不动时，波源的振动频率与波动的 频率在数值上是不同的； （B）波源振动的速度与波速相同； （C）在波传播方向上的任一质点的振动位相 总是比波源的位相滞后； （D）在波传播方向上的任一质点的振动位相 总是比波源的位相超前。
解：
P
r2 r12 l 2 2r1l cos
r1 3m
r2
32 0.07 2 2 3 0.07 cos 30
2.94 m
A
30 B
l 0.07 m
相位差
2
(r2
r1 )
P
2 u /
(r1
r2
)
2
u
(r1
r2
)
r1 3m
r2
A
30 B
l 0.07 m
2 30 (3 2.94 )
（1）该质点的振动方程； （2）此振动以速度 u = 2m/s 沿 x 轴正方向传播 时，形成的平面简谐波的波动方程；
（3）该波的波长。
解：
(1 ) 2
T
s1 ,
A 0.06
/3
振动方程 y0 0.06 cost / 3 (SI )
（2）波动方程，以该质点的平衡位置为坐标原 点，振动的传播速度方向为坐标轴正方向。
[ C]
练习3.一平面简谐波沿正x方向传播，t=0 时刻
的波形如图所示，则 P 处质点的振动在 t=0 时 刻的旋转矢量图是
y
u
A
x
o
P
( A)
o
x
A
(B)
o
x
A
Ao
(C )
x
A
(D)
o x [A]
3、已知一平面简谐波的表达式为
y Acos(at bx) （a、b为正值常
量），则
(A)波的频率为a． (B)波的传播速度为 b/a． (C)波长为 /b． (D)波的周期为2/a ．
5
t
5
2
④. a、b 振动方向
二、波动的能量
熟练掌握
➢任一体积元的动能、势能、总机械能均随 x, t 作周期
性变化，且变化是同相位的. 参看书上公式10-9， 10-9。
Ek、EP、E
同时达到最大 同时达到最小
平衡位置处 最大位移处
y
0
x x+d
x
u 由于质元的振动而有动能； 由于质元的形变而有势能。
解：(1) 由题意
Fm kA A xm k Fm / xm
E
=
1 2
kxm2
=
1 2
Fm xm
=
0.16J
vm A
vm xm
2
rad
/s
由旋转矢量法得：
1 3
x 0.4 cos(2t 1 ) 3
一、波函数
（熟练掌握）
设原点O处波源的振动方程 yo Acost
当 u 沿 x 轴正向时， 波函数:
①.距波源6.0m处的一点的振动方程；
②.该点与波源的相位差； ③.该波的振幅、频率、波长。
解： ①.波函数形式当为 y A cos (t x / u ) y 6 10 2 cos t x
5 2.0
y
6
10 2
cos
5
t
x 2.0
x 6.0 m 处振动方程
y
6
10
2
cos
5
[D]
4.图示一简谐波在t = 0时刻的波形 图，波速 u = 200 m/s，则图中O点
的振动加速度的表达式为
A
a 0.42 cos(t 1 ) 2
B
a 0.42 cos(t 3 ) 2
y (m)
0.1
u
x (m)
O
100 200
C a 0.42 cos(2t )
D a 0.42 cos(2t 1 )
9.一弹簧振子沿x轴作简谐振动（弹簧为 原长时振动物体的位置取作x轴原）．已 知振动物体最大位移为xm = 0.4 m,最大 恢复力为F m = 0.8 N，最大速度为vm = 0.8 m/s，又知t = 0的初位移为+0.2 m， 且初速度与所选x轴方向相反．
(1) 求振动能量； (2) 求此振动的表达式．
u u
vo vs
s
(1)u、vO 、vS分别是波、观察者 O 及波源S 相对介质的运动速度 (2)若波源向观测者运动，则 vS > 0 ；反之，vS < 0 (3) 若观测者向波源靠近，则 vO > 0 ；反之，vO < 0
例4:波源振动方程为 y 6 10 2 cos t (m )
5
它所形成的波以2.0m/s的速度在一直线上传播。 求：
x
思考: 能量最大点: 0、2、4 能量最小点: 1、3
y(m) u
0
2
o
1
3
4
x(m)
三、波的干涉（熟练掌握）
1.相干波条件 ①.两列波振动方向相同；
②.两列波频率相同； ③.两列波有稳定的相位差。
2. 合振幅
A
A12
A
2 2
2
A1 A2
cos
3. 相位差
(2
1
)
2
r2
r1
2k
加强
4. 加强减弱条件
t
3
5
②.该点与波源的相位差；
5
t
3
5
5
t
3
5
③.该波的振幅、波的频率、波长
y 6 10 2 cos t x
5 2.0
振幅 波频
A 6 10 2 m
/ 5 0.1 Hz 2 2
波长 u 2.0 20 m 0.1
练习1.某质点做简谐振动，周期为 2s，振幅为 0.06m，开始计时 (t=0)，质点恰好处在A/2 处 且向负方向运动，求：
k 0,1,2,
x 14 2 k 1
0 x AB 29 m,
取 k 0 ,1,2 ,,7
因干涉而静止的各点之位置为： x 1,3 ,5 ,7 ,,27 ,29 m
A
P
B
o
x 30 x
x
y Acos[2π( t - x ) ] T
O
根据初始条件： t = 0时对于 x = 0点有
y
A
y 0, v y 0 t
可得： π
2
从而： y 1.0 cos[2 ( t x ) ]
22 2
2）求t 1.0s 波形图.
y 1.0 cos[2 π( t x ) π ] 2.0 2.0 2
5. 驻波
自学
驻波方程
y 2 A cos 2 x cos 2 t
T
两相邻波节间的距离： xn1 xn / 2
两相邻波腹间的距离： xn1 xn / 2
两相邻波节与波腹间的距离： / 4
产生半波损失的条件？ 简正模式？
6. 多普勒效应
自学
观察者 O 、波源 S 运动，会使观察者接收到的频率 与波源频率 S 不同。
y
u
0 1 234
x
[D]
7. 沿x轴负方向传播的一平面简谐波在t=2s时的波形 如图所示，设波速u=0.5m/s，求：(1)图中p点的振动 方程；(2)该波的波动方程。
y(m) u
p
o
1
-0.5
解 (1)由图可知， A=0.5, =2，u=0.5, 所 以T=4，= /2。故 p 点的振动方程为
y
A
cos
t
x u
①
y
A cos 2 Tt
x
②
当 u 沿 x 轴负向时，波函数:
y
A
cos
t
x u
③
若 已知x=x0处的振动方程 （熟练掌握）
y Acost
则x处的振动方程即波函数：
y = Acos[ω(t ± x-x0 ) + ] u
其中±当波沿着x轴正方向传播时取—，
反之则反。
y 1.0 cos[π t π]
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
3.已知波形图，求各物理量和波函数。
例3：t=0时平面简谐波波形如图。该波形向右
移动速度 u =0.08 m/s，求：①.波源O的振动方
质点向 y 轴负向运
o
u P
动
/2
0.2m
波源的振动方程为：
y
y
0.04
cos
2
5
t
2
o
②.波函数
y
0.04
cos
2
5
t
x 0.08
2
③. P 点的振动方程
y 0.04 m
a
o
b
u P
x
xP 0.4m
0.2m
y
0.04
cos
2
5
t
0.4 0.08
2
y
0.04
cos
2
y
0.05cos10
t
x
5
2
SI制
2.已知各物理量求波函数
例2、一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播已知振 幅周期波
长分别为 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m 。在t 0 时坐标
原点处的波源位于平衡位置并且沿 O y 轴正方向 运动。 求 1）波函数
解： 写出波动方程即波函数的标准式
t 1.0s
波动方程
y 1.0 cos[ π π x] 2
1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 .
y 1.0 cos[2 π( t x ) π ] 2.0 2.0 2
x 0.5m 处质点的振动方程
x(m) y 0.5cos( t )m
22
(2)该波的波动方程: y Acos[(t
y 0.5cos[ (t x ) ]m
x u
)
o
]
2 0.5 2
练习4：两平面波的波源A、B振动方向相同，相
位相同，相距0.07m， = 30Hz，u = 0.5 m/s。
求：在与 AB 连线成 30°夹角的直线上并距 A 为 3m处，两列波的相位差。
程；②.波函数；③. P 点的振动方程；④. a、b
两点振动方向。
解：①.波源振动方程
y 0.04 m a
b
y A cos(t ) o
u P
x
2 0.2 0.4m
0.2m
T /u 2 /T 2u / 2 0.08 / 0.4 2 / 5
x
y
t = 0 时，o点处的 0.04 m a b
0.5
7.26
练习5.同一介质中两相干波源位于 A、B 两点，
其振幅相等，频率均为 100Hz，位相差为 ，若
A、B 两点相距 30m，且波的传播速度 u = 400m·s-1，若以 A 为坐标原点，试求 AB 连线上 因干涉而静止的各点的位置。
解：wenku.baidu.com
A
o
u/ 4m
B
P
x
x AB :
A
(2k 1)
减弱
四、两个原理
1.惠更斯原理
（理解）
①.介质中波动到的各点，都可看成发射子波的 子波源（点波源）。
②.任意时刻这些子波的包络面就是新的波前。
2.波的叠加原理
①.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、 波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰。 ②.在相遇区域内任一点的振动为各列波在该点 所引起的振动位移的矢量和。
关于波函数知识的运用
1.已知波函数求各物理量。
（
熟
2.已知各物理量求波函数。
练 掌
握
）
3.已知波形图，求各物理量和波函数。
1.已知波函数求各物理量
例1、 已知波动方程即波函数为：
y 0.05sin10t 2x SI制
求：1、波长、频率、波速和周期； 2、波源振动的初相位最大速度和加速度。
解： 先将波函数改写成标准形式之一如下：
B
P
o
r1
r2
x
2 1 2 r2 r1/
2[x AB x ]/
16
该区域无干涉静止点
同理， x 0 :
2 AB x x / 14
该区域也无干涉静止点
A
P
B
0 x AB
o x 30 x
x
2 AB x x / x 14
满足干涉静止，则 2k 1