P(四章第四讲)狄拉克符号课件

• 共轭态矢量（共轭波函数）用左矢表示：, eg. *
P(四章第四讲)狄拉克符号
2.狄拉克(Dirac)符号表述的量子力学 展开式：
| a nn, | b nn
n
n
标积
(,)* d
1
nbn*an n bn*an n n bn*an
n
n
n
anbn* anbn* n n nanbn* n
Pnn n1
n
n
P nnnann
ann P n
n
n
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3. 应用于计算 波函数的矩阵
an n n an n
a1 a2
t t
1
2
........ ......
an t
n
.........
. . . . . .
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量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
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第四章：表象与矩阵力学
P(四章第四讲)狄拉克符号
第四讲：狄拉克(Dirac)符号
P(四章第四讲)狄拉克符号
引入：一对奇妙的组合
狄拉克：沉默寡 言，追求精确。
剑桥大学同事 定义了“一个小 时说一个字”为 一个“狄拉克” 单位
算符的矩阵
设态矢 经算符 F ˆ 的作用后变成态矢 ,即
Fˆ
|1|nn n
F ˆ n n n
mmF ˆnn n
Fmn mFˆ n
bm Fmnan n
b1 F11 F12
b2
F21
F22
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a1
a2
Schrödinger方程的矩阵形式
i H ˆ
t i m m Hˆ
t
m Hˆ 1
m Hˆ n n n
i t a m n H m n a n
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平均值公式1的矩阵形式 F Fˆ 1Fˆ1
m m Fˆ n n mn
am* Fmnanห้องสมุดไป่ตู้mn
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平均值公式2的的矩阵形式
海森堡：活泼开 朗，喜唱歌跳舞， 是团队中的开心 果。
海森堡与狄拉克
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狄拉克其人
狄拉克（Dirac，1902年8月8日～1984年 10月20日），英国理论物理学家，量子力学 的奠基者之一，因1928年发表相对论量子力学 之狄拉克方程获1933年诺贝尔物理学奖。他的 三篇科研论文奠定了“量子物理”“量子场论” 以及“粒子物理”的基础。
F |a n |2fn nn F ˆn
n nF ˆ mmn mn
mnn nF ˆ m mn
m(nn n)F ˆm
m
n
ˆn n nn n|a n|2n
mˆnFˆ m m
n
n
概率密度矩阵
F tr(ˆnFˆ)
平均值公式3
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两算符之积的平均值
GF GF
1G1F1
m m G l lF n n n ,m ,l
t
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定义波函数演化算符：
U ˆ(t,t0)(t0)(t) (1 )
作用于 t 0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
分析：
（1） Uˆ(t0,t0)I
U ˆ(t0,t0)(t0) (t0),
（2）求它的具体形式
i (t) H ˆ(t)
t
i tU ˆ(t,t0 ) (t0 ) H ˆU ˆ(t,t0 ) (t0 ) P(四章第四讲)狄拉克符号
P(四章第四讲)狄拉克符号
1. 狄拉克(Dirac)符号
定义：左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
A*(r)A ˆ(r)dr(,A ˆ)A ˆ
• 态矢量用右矢表示： , eg.
也可以在右矢内填上具体力学量算符的本征值或量子数， 以具体表示某个量子态，如：
En , x' , p' , lm
am *GmlFlnan mln
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4. 量子力学三种绘景
1） Schrödinger绘景
dAA 1[Aˆ,Hˆ] dt t i
在薛定谔的世界里，算符不是时间的函数，波函 数是时间的函数。算符的平均值发生变化的原因是 波函数随时间在演化，
波函数按薛定谔方程进行演化：
i (t) H ˆ(t)
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态矢量在具体表象中的表示 (x) x (p) p
本征态上的展开系数（投影）
n | n
a n * n d ( n , ) n
a * n n* d (,n ) n
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投影算符
a nn n a n nn
n
n
n
定义： Pn n n
i tU ˆ(t,t0)H ˆU ˆ(t,t0) U ˆ(t,t0)eiH ˆ(tt0)/
(2)
（3） 是幺正算符
U ˆ(t,t0)eiH ˆ(tt0)/
U ˆ†(t,t0)eiH ˆ(tt0)/
U ˆ† (t,t0 )U ˆ(t,t0 ) U ˆ(t,t0 )U ˆ† (t,t0 )
eiHˆ (tt0)/ iHˆ (tt0)/
狄拉克
，)年出版 1930(》量子力学原理《 他一生著作不少．他的 一直是该领域的权威性经典名著，甚至有人称之为“量子力 学的圣经”。
“在所有的物理学家中，狄拉克拥有最纯洁的灵魂。” --玻尔
“ 狄拉克的文章给人以“秋水文章不染尘”的感受，没有任
何渣滓，直达宇宙的奥秘”
P(四章第四讲)狄拉克符号
杨振宁--
n
n
n
( na*nbn n )* *
n
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波函数归一化
(,)2d3r*d3r1
本征矢的正交归一化
x | x
x|x' (x',x)(xx') ' （-'）
p |p ') (p ',p )(p ' p ) qq' （q-q'）
n | n
mn(um,un)m n lm |l'm ')(Y l'm ',Y lm )ll' m m '
=e0 I
海森堡矩阵力学基本内容：
1、量子体系的状态用波函数（态矢量）描述，所有态矢 量构成一个Hilbert空间,
2、波函数可以在任一力学量本征函数系（表象）上展开， 展开系数构成坐标矩阵
3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有 不同的矩阵形式，却可相互转换（幺正变换）
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。