P(四章第四讲)狄拉克符号课件
mathtype狄拉克符号
mathtype狄拉克符号狄拉克符号是量子力学中的一种数学表示方法，由英国物理学家狄拉克（Paul Dirac）于1927年提出。
它是一种用于描述量子力学中粒子的状态和性质的符号表示法，具有简洁、直观和高效的特点。
在狄拉克符号中，我们可以用一对尖括号来表示一个量子态，例如|ψ⟩，其中ψ表示量子态的名称。
狄拉克符号的核心思想是将量子力学中的物理量（如态矢量、算符等）表示为抽象的数学对象，而不是具体的数值。
这种抽象的表示方法使得我们可以更方便地进行计算和推导，同时也更加符合量子力学的基本原理。
在狄拉克符号中，态矢量用右矢表示，记作|ψ⟩，而其对偶态则用左矢表示，记作⟨ψ|。
这两种符号分别代表了量子态的列矢量和行矢量表示。
通过内积运算，我们可以将右矢和左矢相互转换，从而得到它们之间的关系。
狄拉克符号中的内积运算是一种重要的数学操作，用于计算两个量子态之间的相似度。
内积运算的结果是一个复数，表示两个量子态之间的相对相位和强度。
内积运算的表达式为⟨ψ|φ⟩，其中ψ和φ分别表示两个量子态。
除了内积运算，狄拉克符号还可以表示其他一些重要的物理量和操作。
例如，算符可以用希腊字母表示，如哈密顿算符H、动量算符p 等。
我们可以用算符作用于量子态，得到新的量子态。
这种操作可以用狄拉克符号表示为H|ψ⟩和p|ψ⟩，分别表示对量子态|ψ⟩进行哈密顿算符和动量算符的作用。
狄拉克符号还可以表示量子态的叠加和叠乘。
叠加表示将两个量子态相加，叠乘表示将两个量子态相乘。
这种表示方法使得我们可以更方便地描述量子态之间的相互作用和演化。
狄拉克符号在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
例如，在量子力学的基本原理中，狄拉克符号可以用来表示量子态的叠加和叠乘，描述量子态的演化和测量过程。
在量子力学的算符理论中，狄拉克符号可以用来表示算符的作用和性质，进行算符的运算和推导。
在量子力学的量子力学中，狄拉克符号可以用来表示量子力学中的物理量和操作，进行量子力学的计算和分析。
4-1 狄拉克符号
，
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(13)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
将(19)式定义的泛函记为 Fx ，并将所有 Fx 的集合记为 B X
。根据 Riesz 定理，
B X
包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，按照(2)式定义的加法和数乘成为
X 的对偶空间，记为 X ，即
X Fx x X
按照加法和数乘的定义(2)， x X ， (20)
4-1 狄拉克符号
~6~
线性子空间， 但 C a, b 根据由内积导出的度量不完备， 因此不是希尔伯特空间。 将 L2 a, b 中的泛函的定义域限制在 C a, b 上，确实可以得到新的泛函。比如，考虑如下分段函数
i 1
n
(12)
n
这是一个将
n
的映射，由内积的性质 Fx x 可知它是
上的线性泛函。将所有这样
n
的线性泛函的集合记为 B
n
。同样，我们很快会知道，B
n
包含了
n
n
上所
有的连续线性泛函。因此， B
按照(2)式定义的加法和数乘成为
n
的对偶空间。
按照加法和数乘的定义(2)， x
(17)
n
或写为 T x Fx 。与 线性的
的情况不同，根据(16)式可知这个映射不是线性的，而是复共轭
T ax by Faxby a Fx b Fy
22狄拉克符号
ˆ nHψ =E nψ
∑
m
ˆ n H m mψ =E nψ
即
∑H
m
nm
a m = Ea n
七、平均值公式的狄拉克符号表示
在 Q 表象下
* ˆ ˆ F = ψ F ψ = ∑ ψ m m F n n ψ = ∑ am Fmn an
mn
mn
八、表象变换的狄拉克符号表示
表象、 设 A 表象、 B 表象的基矢分别为 m 、α ，则 α = ∑ m m α = ∑ Smα m
m m
其中， 其中，Smα = m α 。 ψ 在 A 表象、 B 表象的表示 表象、
am = m ψ
有
m
bα = α ψ
m
bα = α ψ = ∑ α m m ψ = ∑ Sα m am
其中， 其中，Sα m = α m 。
一般表示与狄拉克符号表示对照表
ψ ψ
xψ ˆ Fψ = φ
ψ ( x)
ˆ Fψ ( x) = φ ( x)
§4-4 狄拉克符号
一个量子态相当于一个态矢量。 一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基 即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（ 矢，即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（即矢量的 分量）表示，这就是波函数。 分量）表示，这就是波函数。与数学中表示一个矢量可以不引入坐 标系不用它的分量而直接用矢量表示相似， 标系不用它的分量而直接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个 量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。 量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。这就是狄 拉克符号。 拉克符号。
一、右矢和左矢
量子力学体系的一切可能状态构成一个希尔伯特空间 希尔伯特空间即 1 ． 量子力学体系的一切可能状态构成一个 希尔伯特空间 即 态 空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间 右矢空间和一个相应的左矢空间。 空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间。 右矢空间中矢量 A 写成 A ，左矢空间的矢量 B 写成 B 。 表示坐标的本征态， 如： x ′ 表示坐标的本征态，对应的本征值为 x′ ； p′ 表示动量的本征态，对应的本征值为 p ′ ； 表示动量的本征态，
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac 符号系统与表象一、Dirac 符号1. 引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。
2. 态矢量（1）. 右矢空间力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。
右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。
例如：=n na n ψ∑（2）. 左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。
右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。
<p ’ |, <x ’ |, <Q n | 组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。
（3）. 伴矢量<ψ | 和 |ψ>的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开：|ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：12n a a a ψ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭<ψ| 按 Q 的左基矢 <Q n | 展开：<ψ| = a*1 <Q 1 | + a*2 <Q 2 | + ... + a*n <Q n | + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：ψ+= (a*1, a*2, ..., a*n , ... )同理 某一左矢量 <φ| 亦可按 Q 的左基矢展开：<φ| = b*1 <Q 1 | + b*2 <Q 2 | +... + b*n <Q n | + ... 定义|ψ>和 <φ|的标积为：*n n nb a ϕψ=∑。
狄拉克符号
= b*j j k k b*j jk ak
jk
jk
= bk*ak
k
（4.5.15）
4.5 狄拉克符号
③ 算符的狄拉克符号表示
算符 Fµ作用在态矢量 中，得出另一个态矢量
Fµ
（4.5.16）
现在在 Q 表象中将算符 Fµ用狄拉克符号表示，由
bk k k Fµ k Fµ j j Fkja j （4.5.17）
B A anbn*
n
（4.5.1）
显然，标积满足： B A * A B
（4.5.2）
若 B A 0，则称态矢量 A 和 B 正交。归一条件为
A A 1
（4.5.3）
4.5 狄拉克符号
若 A 、 B 为某一线性厄米算符Fµ对应于本征值 i和 j的
本征态，将 A 和 B 分别记为 i 和 j ，则其正交归一条
ak k
k
展开系数 ak 为 ak k
代入（4.5.7）式得： k k
k
（4.5.7） （4.5.8） （4.5.9）
定义算符 Pk 为 Pk k k
（4.5.10）
4.5 狄拉克符号
它对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 k 上 去，使它变成在基矢 k 方向上的分量，即
Fµ
薛定谔方程
一般表示
(x)
Fµ(x, ih ) (x) (x)
x
狄拉克符号表示
x
Fµ x Fµ x
ih (x) Hµ (x)
t
ih
Hµ
t
ih x x Hµ
狄拉克方程PPT精品文档
.
18
其中 a(a1,a2,a3)β是待定系数。不过它们不是一般的系
数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。 比较(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下对应关系
（3.6）
(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵的 不可对易性）
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
.
4
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
.
5
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律 薛定谔方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
.
1
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程 3.狄拉克方程
相对论的
.
2
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
.
3
2. 玻恩统计解释
电子源 感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
中就应该包含动量算符Pˆ 。
.
16
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是
4.5狄拉克符号
狄拉克符号
优点： （1）运算简捷 （2）不用在具体表象中讨论问题 一.态的描述 1. 左矢（bra）与右矢（ket）
x表象
Q表象
无表象 右矢
左矢
本征态，常用本征值或相应量子数标记
完备性：
若： 2. 内积—— x表象 与
则
Q表象
无表象 是一个数
显然:
3.本征态的正交归一条件
例如：坐标的本征矢
动量表象
影算符，对任一矢量运算后，把该矢量 变为它的基矢 方向上的分矢量，或者说 的作
用是把任意态矢量在 4. 单位算符
方向上的分量挑选出来。 同理，连续谱：
迪拉克符号表示的本征矢 分立谱 连续谱
四、算符和态在具体表象中的表示
1.算符具体表象中的表示
无表象
Q表象，
而
——算符的狄拉克表示
2.任意态函数在具体表象中的狄拉克表示
例如：1. 坐标在自身表象中的本征函数 无表象
动量在坐标表象中的本征函数 动量在自身表象中的本征函数
坐标在动量表象中的本征函数
坐标表象 坐标算符 动量算符 对易式 坐标算符 本征函数 动量算符 本征函数
* u l ( x ' )u l ( x)dl = d ( x ' - x)
二、基本公式的狄拉克表示
1.本征方程
x表象 Q表象 无表象
2. 薛定谔方程
Q表象 无表象：
3．平均值公式 x表象 Q表象
无表象：
三、态矢量在具体表象中的狄拉克符号表示
1. 任意态矢量 由完备性：
分立谱
连续谱
狄拉克表示：
2. 展开系数
：
展开系数
是态矢在
上的分量。当所有的
P四章第四讲狄拉克符号
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号
定义：左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
A *(rr )Aˆ (rr )drr ( , Aˆ ) Aˆ
t
ih m m Hˆ
t
m Hˆ 1
m Hˆ n n n
ih t am n Hmnan
平均值公式1的矩阵形式
F Fˆ 1 Fˆ 1
m m Fˆ n n mn
am* Fmnan mn
平均值公式2的的矩阵形式
( , ) 2 d 3r * d 3r 1
本征矢的正交归一化
x | x
x | x ' ( x', x ) (x x ') pr | pr ') ( pr ', pr ) ( pr ' pr )
n | n m n (um , un ) mn
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第四章：表象与矩阵力学
第四讲：狄拉克(Dirac)符号
引入：一对奇妙的组合
狄拉克：沉默寡 言，追求精确。
剑桥大学同事 定义了“一个小 时说一个字”为 一个“狄拉克” 单位
海森堡：活泼开 朗，喜唱歌跳舞， 是团队中的开心 果。
F | an |2 fn n n Fˆ n
4.5狄喇克符号
∑
n
a n ( t )un ( x )
an (t ) =
∫u
n
n
* ( x ) Ψ ( x . t ) dx
即为
| ψ >= ∑ an | u n >
an = un Ψ
所以
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
所以
∑
n
| un >< un |= 1
上式即为本征矢的封闭性.
B | 。刃和
刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加， 刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种
态矢量在Q表象中的分解是 态矢量在 表象中的分解是
ψ = ∑ cnun
n
ψ = ∑ cn n ,
n
基δ mn
*
m n = δ mn ,
平均值公式是: 平均值公式是:
|
微观体系的状态可以用一种矢量来表示， 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 称为刃矢 右矢） 简称为刃 刃矢（ ，称为刃矢（右矢），简称为刃，表示某一确定的刃 称为刁矢 左矢） 刁矢（ | ，称为刁矢（左矢），
矢A，可以用符号 | A 。微观体系的状态也可以用另一种 ， 矢量来表示， 矢量来表示，这种矢量符号是 简称为刁 表示某一确定的刁矢 可以用符号 简称为刁。表示某一确定的刁矢B可以用符号 表象中的相应分量互为共厄复数。 表象中的相应分量互为共厄复数。
§4.4 狄喇克(Dirac)符号
量子力学第四章 第5节Dirac 符号
因为|ψ> 在 x 表象的表示 是ψ(x, t)，所以显然有：
x | (x,t) | x x | * * (x,t)
3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算。
4 本征函数的封闭性
I 分立谱
展开式
两边左乘 <m| 得:
| an | n
n
| | n n |
n
m | an (t) m | n an (t)mn am (t)
n
n
将 a n 代回原式得：
aq (t) (q'q) dq
| | q dq q |
因为 |ψ > 是任意态矢，所以有
| q dq q | 1
同理，对于 |x'> 和 |p' > 分别 有
aq'(t)
| x' dx' x'| 1 | p' dp' p'| 1
由于
这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
| n n | 1
n
| q' dq' q'| 1
| x' dx' x'| 1
所以它们也称为单位算符，在运 算中可插入到（乘到）公式任何地方而 不改变原公式的正确性。
例如：在 |ψ > 左侧插入算符
| n n |
右矢空间和左矢空
间称为伴空间或对偶空
间，<ψ | 和 |ψ> 称 为 伴 矢 量 。 <p’ |, <x’|, <Qn| 组 成 左 矢
空间的完备基组， 任
量子力学教程 第二版 4.5 狄拉克符号
ˆ H n E n n ；没表象
ˆ x , x , t dx ；基本公式的通常写法 4 F x, t F i x ˆ x F x F x dx ； 表象的 Dirac 表示
ˆ F F ； 没表象
5 u m x u n x dx mn ；基本公式的通常写法
表示为 m ，其正交归一性为： , m ' , m ' ' mm'
4.封闭性 (a)连续谱情况：任何一态矢 A 在坐标表象中用波函数 x ' , t
描写， x ' , t x ' A 就是刃 A 在 x 表象中的分量。
ˆ 由于 x 在自身表象中的基矢 x ' x x ' 组成完全系，则 A
ˆ B m m B mFA
n
n
ˆ mFn
nA
ˆn nA m F n
ˆ ˆ A n n F m A F m
F
nm
Fmn
而 m 是任意的
ˆ 所以 B A F ˆ 此即为 B F A 的共轭式。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 注：当F 为厄米算符，即F F 时， B A F 写为 B A F 。
n n
解释：将刁矢 x 左乘、刃矢x '
右乘 n n 1 两边得：
n
n
x n n x' x x' x x'
即： u x ' u n x x x ' n
n
P(四章第四讲)狄拉克符号
ˆ (t ), H ˆ ˆ (t )] A 则 d A(t ) 1 [ A dt i t
(4)
上式称为Heisenberg方程。
3）狄拉克（Dirac）绘景与狄拉克方程 也称相互作用绘景（I绘景），他把哈密顿量 分解成两部分（比如：能精确求解的和含微扰的 哈密顿量；也称不含时的和含时的哈密顿量）
展开系数构成坐标矩阵
3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有 不同的矩阵形式，却可相互转换（幺正变换）
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号 定义： 左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
ˆ (r )dr ( , A ˆ) A ˆ A (r )A
定义波函数演化算符：
ˆ (t , t ) (t ) (t ) U 0 0
分析： ˆ (t , t ) I （1） U 0 0
(1)
作用于 t0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
ˆ (t , t ) (t ) (t ), U 0 0 0 0
（2）求它的具体形式 ˆ (t ) i (t ) H t ˆ ˆ ˆ (t , t ) (t ) i U (t , t0 ) (t0 ) HU 0 0 t
*量子力学到经典力学的过渡
在海森堡绘景中，只是算符随时间深化，现考察自由粒子的位 置算符随时间的演化
现令t0=0
d 1 1 iHt / 2 iHt / r (t ) [ r (t ), H ] e [ r , p / 2 m]e dt i i p iHt / p iHt / e e m m
量子力学课件：4.5 狄拉克符号
*(x)F (x,
i
) (x
x
x) (x)dxdx
*(x)Fˆ (x)dx
四、表象变换
设 A表象：基矢为 n, 任一量子态 an n
n
B表象：基矢为 , 同一量子态 b
n
A表象 → B表象
量子态 an n
b
因为 b n n Snan
n
n
故 b Sa
n
封闭性
uq* ( x)uq ( x)dq ( x x)
公式
( x, t ) Fˆ ( x, pˆ x )( x, t )
本征方程
Fˆ
(r ,
pˆ )
(r )
(r )
平均值
F *Fˆdx
矩阵元 S 方程
Fmn
* m
Fˆ
n
dx
i
(r , t)
Hˆ (r,i)(r, t )
t
Dirac 符号
（1）F^算符
设 B Fˆ A 取 Q 表象：
①设Q具有分立本征谱,则基矢 Qn 或 n
B n n B bn n
n
n
A n n A an n
n
n
n n B Fˆ n n A
n
n
以 m左乘上式 ，再利用 m n mn
m n n B m Fˆ n n A
n
n
m B m Fˆ n n A
具体的态矢量： A , , En
③ 左矢与右矢的关系
是A 的A共轭矢量，即它们在同一表象中的 相应分量互为共轭复数
是 的共轭矢量
En 是 En的共轭矢量
2．左矢与右矢的标积
①定义： B A a1b1 a2b2 anbn anbn
9第4章概念1-狄拉克符号、矩阵表示、表象变换
则 因此
ˆ ψ 1 F ψ 2 = λ2 ψ 1 ψ 2
ˆ ψ 1 F ψ 2 = λ1 ψ 1 ψ 2
ψ1 ψ 2 = 0
7.基矢组
1 、 、 、 、 为态矢空间中一组正交归一完备基矢组，则 2 ⋯ n ⋯ 为态矢空间中一组正交归一完备基矢组，
k n = δ kn
ψ = ∑ an n
n
n
ˆ A∑ cn ψ n
ˆ ˆ 都没有意义。 A ψ 和 ψ A都没有意义。
n
ˆ ψ B= Ψ ˆ = ∑ cn A ψ n
n
4.左矢和右矢互为共轭 + ψ = ψ
+
ψ
+
=ψ
* cn ψ n = ∑ cn ψ n ∑ n n
因为 又 所以
(
ˆˆ BA ψ
) ( ) ˆˆ ( BA ψ ) = ψ
n n
ˆ Lkn = k L n
ˆ 表象中的矩阵元。 即 L 在F表象中的矩阵元。 表象中的矩阵元 表象中， 在F表象中，对任意态矢 ψ ，有 表象中
ak Lkn an L= ψ L
k ,n
k ,n
* = ( a1
* a2
L11 ⋯) L21 ⋯
ˆ Fkn = Fnδ kn = k F n
ˆ 表象中的矩阵表示如何？ 另一力学量算符 L 在F表象中的矩阵表示如何？ 表象中的矩阵表示如何 ˆ ˆ 若 L ψ = Φ 且 F n = Fn n 有
ψ = ∑ an n
n
an = n ψ
bk = k Φ
Φ = ∑ bk k
k
则算符方程的矩阵表示为 L11 L12 ⋯ ⋯ Lk1 Lk 2 ⋯ ⋯ 所以
狄拉克符号
狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有∑=nn n u a ψ （1）n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= n a a a 21ψ (),,,,**2*1n a a a =+ψ （2）微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u 表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为()∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n B Ab a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3） 注意：A B B A ψψψψ++≠1.1.3狄拉克符号的引入态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间⇒伴随空间引入符号>，称为右矢 [Ket 矢，Bra 矢（Bracket 括号><）]微观体系的一个量子态ψ用>ψ表示，>ψ的集合构成右矢空间，>ψ在右矢空间中的分量表示可记为矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=> n a a a 21ψ （4）约定：右矢空间的态矢 ,,,B A ψψψ一律用字母 ,,,>>>B A ψψψ表示力学量的本征态矢一律用量子数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表示 引入符号 <，称为左矢 微观体系的一个量子态ψ也可用ψ<表示，但在同一表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ （5）ψ<的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢>>B A ,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=<nnn n n b a b a b a A B ***11| （6） 这里*||>>=<<B A A B >>λ|,|n 仍为抽象的本征矢 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱力学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征矢>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归一化的完全系，可 以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 0011| ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>= 0102| …… ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 010|n 第n 行 （7）（1）基矢具有正交归一性 mn n m δ>=<| （8） （2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ （9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=<nm mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把>=<ψ|n a n 代入>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以 1||=<>∑n n n（11）称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为{}>λ|（1）正交归一性 )(|λλδλλ'->='< （12） （2）展开定理 ⎰'>'>=λλψλd a || （13） >=<ψλλ|a （14） （3）封闭性 1||=<>⎰λλλd （15）注意： >>>λ|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢，例如>'x |只表示本征值为x '的力学量x 的本征矢，而具体的基矢形式为：x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p -=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>=<n n ),,(|ϕθψr nlm x nlm >=< px ie p x2/1)2(1|π>=< 1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱基矢为{}>n |，态矢记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，用基矢展开><>>=⋅>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛><><><=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= ψψψψ||2|1|21n a a a n （17） 相应的左矢 ∑><<=<nn n |||ψψ （18）()()><><><==<n a a a n |2|1||**2*1ψψψψ （19）1.3.2 连续谱⎰><>>=ψλλλψ|||d （20） 或 ⎰<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表示一个抽象的态矢，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用1.4.1 离散谱（1）算符作用在基矢上∑∑>>=><>=∧∧nnnm n F m F n n m F ||||| （22）算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （24） 即有 >>=<<∧ϕψ|||n F n （25） 或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψϕ||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，><><ϕψ|,|n m 是算符作用前、后的态矢在{}>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
§4.5-4.6 狄拉克符号 占有数表象
ˆ |ψ >=F | φ >
<ψ | Qm >=<
=∑
n
n
ˆ Qm |ψ > *= ∑ < Qm | F | Qn >< Qn | φ n
* * > = ∑ Fmn < Qn | φ > n
因为 |ψ > 是任意态矢， 是任意态矢，所以有 同理， 同理，对于 |x’ |x > 和 |p' > 分 别 有
< q' | ψ >= ∫ a q ( t ) < q' | q > dq
= ∫ aq ( t ) δ (q'−q) dq
∫
| q > dq < q |= 1
= aq ' ( t )
∫
| x ' > dx ' < x ' |= 1
ψ=Fφ
Q 表象
平均值公式
ˆ F =<ψ | F |ψ >
插入 单位算符
ˆ F = ∑ <ψ | Qm ><Qm | F | Qn ><Qn |ψ >
mn
∑ | Q ><Q |
m m m
和 ∑ | Qn ><Qn |
n
=
∑
mn
* a m F mn a n
（2）共轭式（左矢空间） ）共轭式（左矢空间）
右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一 完备基矢展开。 完备基矢展开。
例如： 例如：
| ψ >=
∑
n
an | n >
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n
n
n
( na*nbn n )* *
n
P(四章第四讲)狄拉克符号
波函数归一化
(,)2d3r*d3r1
本征矢的正交归一化
x | x
x|x' (x',x)(xx') ' （-'）
p |p ') (p ',p )(p ' p ) qq' （q-q'）
n | n
mn(um,un)m n lm |l'm ')(Y l'm ',Y lm )ll' m m '
t
P(四章第四讲)狄拉克符号
定义波函数演化算符：
U ˆ(t,t0)(t0)(t) (1 )
作用于 t 0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
分析：
（1） Uˆ(t0,t0)I
U ˆ(t0,t0)(t0) (t0),
（2）求它的具体形式
i (t) H ˆ(t)
t
i tU ˆ(t,t0 ) (t0 ) H ˆU ˆ(t,t0 ) (t0 ) P(四章第四讲)狄拉克符号
算符的矩阵
设态矢 经算符 F ˆ 的作用后变成态矢 ,即
Fˆ
|1|nn n
F ˆ n n n
mmF ˆnn n
Fmn mFˆ n
bm Fmnan n
b1 F11 F12
b2
F21
F22
P(四章第四讲)狄拉克符号源自a1 a2Schrödinger方程的矩阵形式
P(四章第四讲)狄拉克符号
态矢量在具体表象中的表示 (x) x (p) p
本征态上的展开系数（投影）
n | n
a n * n d ( n , ) n
a * n n* d (,n ) n
P(四章第四讲)狄拉克符号
投影算符
a nn n a n nn
n
n
n
定义： Pn n n
i tU ˆ(t,t0)H ˆU ˆ(t,t0) U ˆ(t,t0)eiH ˆ(tt0)/
(2)
（3） 是幺正算符
U ˆ(t,t0)eiH ˆ(tt0)/
U ˆ†(t,t0)eiH ˆ(tt0)/
U ˆ† (t,t0 )U ˆ(t,t0 ) U ˆ(t,t0 )U ˆ† (t,t0 )
eiHˆ (tt0)/ iHˆ (tt0)/
=e0 I
海森堡矩阵力学基本内容：
1、量子体系的状态用波函数（态矢量）描述，所有态矢 量构成一个Hilbert空间,
2、波函数可以在任一力学量本征函数系（表象）上展开， 展开系数构成坐标矩阵
3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有 不同的矩阵形式，却可相互转换（幺正变换）
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
• 共轭态矢量（共轭波函数）用左矢表示：, eg. *
P(四章第四讲)狄拉克符号
2.狄拉克(Dirac)符号表述的量子力学 展开式：
| a nn, | b nn
n
n
标积
(,)* d
1
nbn*an n bn*an n n bn*an
n
n
n
anbn* anbn* n n nanbn* n
F |a n |2fn nn F ˆn
n nF ˆ mmn mn
mnn nF ˆ m mn
m(nn n)F ˆm
m
n
ˆn n nn n|a n|2n
mˆnFˆ m m
n
n
概率密度矩阵
F tr(ˆnFˆ)
平均值公式3
P(四章第四讲)狄拉克符号
两算符之积的平均值
GF GF
1G1F1
m m G l lF n n n ,m ,l
Pnn n1
n
n
P nnnann
ann P n
n
n
P(四章第四讲)狄拉克符号
3. 应用于计算 波函数的矩阵
an n n an n
a1 a2
t t
1
2
........ ......
an t
n
.........
. . . . . .
P(四章第四讲)狄拉克符号
狄拉克
，)年出版 1930(》量子力学原理《 他一生著作不少．他的 一直是该领域的权威性经典名著，甚至有人称之为“量子力 学的圣经”。
“在所有的物理学家中，狄拉克拥有最纯洁的灵魂。” --玻尔
“ 狄拉克的文章给人以“秋水文章不染尘”的感受，没有任
何渣滓，直达宇宙的奥秘”
P(四章第四讲)狄拉克符号
杨振宁--
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
P(四章第四讲)狄拉克符号
第四章：表象与矩阵力学
P(四章第四讲)狄拉克符号
第四讲：狄拉克(Dirac)符号
P(四章第四讲)狄拉克符号
引入：一对奇妙的组合
狄拉克：沉默寡 言，追求精确。
剑桥大学同事 定义了“一个小 时说一个字”为 一个“狄拉克” 单位
P(四章第四讲)狄拉克符号
1. 狄拉克(Dirac)符号
定义：左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
A*(r)A ˆ(r)dr(,A ˆ)A ˆ
• 态矢量用右矢表示： , eg.
也可以在右矢内填上具体力学量算符的本征值或量子数， 以具体表示某个量子态，如：
En , x' , p' , lm
am *GmlFlnan mln
P(四章第四讲)狄拉克符号
4. 量子力学三种绘景
1） Schrödinger绘景
dAA 1[Aˆ,Hˆ] dt t i
在薛定谔的世界里，算符不是时间的函数，波函 数是时间的函数。算符的平均值发生变化的原因是 波函数随时间在演化，
波函数按薛定谔方程进行演化：
i (t) H ˆ(t)
海森堡：活泼开 朗，喜唱歌跳舞， 是团队中的开心 果。
海森堡与狄拉克
P(四章第四讲)狄拉克符号
狄拉克其人
狄拉克（Dirac，1902年8月8日～1984年 10月20日），英国理论物理学家，量子力学 的奠基者之一，因1928年发表相对论量子力学 之狄拉克方程获1933年诺贝尔物理学奖。他的 三篇科研论文奠定了“量子物理”“量子场论” 以及“粒子物理”的基础。
i H ˆ
t i m m Hˆ
t
m Hˆ 1
m Hˆ n n n
i t a m n H m n a n
P(四章第四讲)狄拉克符号
平均值公式1的矩阵形式 F Fˆ 1Fˆ1
m m Fˆ n n mn
am* Fmnan mn
P(四章第四讲)狄拉克符号
平均值公式2的的矩阵形式