控制系统稳定性和快速性

( c )
c
相位裕度的含义为：如果系统截止频率ωc信号的相位迟后 再增大 度，则系统处于临界稳定状态，这个迟后角称 为相位裕度。

由于
L )
L(c ) 20 lg A(c ) 20 lg 1 0
L )
正幅值裕度
故在Bode图中，相角裕度
Kg 表现为 L(ω )=0dB处的相 c
闭环系统的特征方程为
a0 s a1 s
n
n 1
a2 s
n2
a n1 s a n 0
特征方程式的根就是系统闭环传递函数的极点。
j
稳 定 区 不 稳 定 区 不 稳 定 区 s平面
系统稳定，则闭环系统 的极点全部分布在s平面 的左半平面； 系统不稳定，至少有一 个极点分布在s平面的右 半平面； 系统临界稳定，在s平 面上的右半平面无极点， 至少有一个极点在虚轴上。
若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化时，
如果Nyquist曲线不包围临界点(-1,j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1,j0)，则系统不稳定。
如果系统的 Nyquist 曲线经过 (-1,j0) 点，则系统处于临界 稳定状态。
Im
(-1,j0) (-1,j0)
Im
5.7 稳定裕度
根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。 但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚好 满足稳定性条件是不够的，还必须留有余地。
稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。
它包括相位裕度和幅值裕度。
1. 幅值裕度Kg
定义为Nyquist曲线与负实轴(-π )交点处的频率所对应的 幅值的倒数，即
2 n
2 (2 n ) 2
在ω=ωc 时，A(ωc )=1
A( c )
解得
2 n
c (2 n )
2 c
2
1
c n
( c )
1 4 4 2 2

1 4 4 2 2 2
arctan c arctan 2 2 n 2
2 γ 、ωc 与ts关系
二阶系统调节时间
t s c 3
ts
2
3
n

6 1 4 2 tan
4
若γ 一定， ωc 与ts 成反比。 ωc 越大， ts 越短。 开环频域指标ωc 可反映系统响应快速性，是频域中的 快速性指标。
二阶系统闭环频域指标与动态性能指标的关系
图示为1类系统所对应的 典型闭环幅频特性。
1) 零频幅值A(0)：
指ω=0时的闭环幅频特性值。
2) 谐振频率指系统产生峰值时对应的频率。 3) 谐振峰值指在谐振频率处对应的幅值。 4)频宽 指系统的频率从0开始，对数幅频特性下降
-3dB(或幅值下降为 A(0) / 2 ) 时所对应的频率范围。
二阶系统的谐振频率
a2 a3 a32 a42 an 2 , 2
特征方程全部为负实部根的充分必要条件是 Routh表中第一列各值为正， 如 Routh 表第一列中出现小于零的数值，系统就 不稳定，且第一列各数符号的改变次数，代表特 征方程式的正实部根的数目。
例5-1 判别特征方程为
s 10s 8s 17 s 16s 5 0
Im
Im
Re
Re
(-1,j0)
Re
(-1,j0)
Re
如果开环系统不稳定，有P个开环极点位于s右半平面， 当从0变化时，开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数为
N(反时针方向为正，顺时针方向为负)和开环传递函数在s
右半平面上的极点个数P的关系为 M=P－2N M：闭环极点在s右半平面的个数
稳 定 区 临界 稳定

5.2 Routh-Hurwitz判据
一. 系统稳定的必要条件
假设特征方程为
a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
根据代数理论中韦达定理所指出的方程根和系数的关系可 知，为使系统特征方程的根都为负实部，其必要条件： 特征方程的各项系数均为正。 含义：1 各项系数符号相同（即同号） 2 各项系数均不等于0（即不缺项）
负幅值裕度
c Kg

角Φ(ω c)与-180度水平线 之间的角度差。
)
)
-
正相位裕度
g

-
负相位裕度
g

L )
Im
正幅值裕度
L )
负幅值裕度
负相位裕度
c

Kg
c
Re G(j ) ) 1 Kg
负幅值裕度
1 Kg Re
)
-1
-
正相位裕度
闭环系统稳定 。
已知P=1 ，在L(ω )≥0时 相频曲线有一次从负到正 穿越-π 线
N 1/ 2
Z P 2N 0
闭环系统稳定 。
已知P=2, 在L(ω )≥0的范 围内,
N 2
N 1
N N N 2 1 1
Z P 2N 0
闭环系统稳定
Z P 2N
若Z=0，则闭环系统稳定，
Z 0
则闭环系统不稳定
Z为闭环特征方程正实部根的个数。
例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳 定性判据, 判断系统的稳定性。 已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，
N 1
N 1
N N N 0
Z P 2N 0
解 系统的开环幅相曲线如图所示。
Im
(-1,j0)
从Nyquist曲线上看到，曲线顺时 针包围(-1,j0)点一圈， 即N= -1， 而开环传递函数在s右半平面的极 点数 P=0 ，因此闭环特征方程正 Re 实部根的个数
M P 2N 2
故系统不稳定。
5.4 Bode图上的稳定性判据
1 Kg G ( j g ) H ( j g )
ω=ωg 称为交点频率。 Kg含义：如果系统的开环传递函数增益增大到原来 的Kg倍，则系统处于临界稳定状态。
Im
正幅值裕度
Im
稳定系统
1 Kg
1 Re
1 负相位裕度 1 Kg
-1 G(j)

正 相 位 裕 度
-1

G(j)
1 Kg
负幅值裕度
符号改变两次，则说明系统有两个正实部的特征根，故系 统不稳定。
三. Routh判据的特殊情况
1. Routh表中某行的第一个元素为零，而其余各元素 均不为零或部分不为零。这时用一个很小的正数来 代替零元素，Routh表继续进行。
2. 如果Routh表中出现全零行，表明特征方程中存在一些绝 对值相同但符号相异的特征根，
第5章 控制系统的稳定性与快速性
5.1 稳定性和快速性的基本概念 5.2 Routh-Hurwitz判据 5.3 Nyquist稳定性判据 5.4 Bode图上的稳定性判据 5.7 稳定裕度 *5.8 二阶系统时域与频域之间的 关系
5.1 稳定性和快速性的基本概念
稳定性指控制系统在外作用消失后自动恢复原有 平衡状态或自动地趋向于一个新的稳定平衡状态的 能力。
5 4 3 2
的某系统稳定性。 解 利用Routh判据
s5 s4 s3 s2 s1 so a0 1 a1 10 a31 6.3 a 41 7.6 a51 19.6 a 61 5 a2 8 a3 17 a32 15.5 a 42 5 a 4 16 a5 5
二阶系统的相位裕度为：
( c ) arctan
2 1 4 4 2 2
1 相位裕度γ与超调量σ%的关系
γ与σ%都只是阻尼比ξ的函数。
( c ) arctan
e

2 1 4 4 2 2

1 2
γ 增加时σ%减小。 相位裕度γ可反映时域中超调量σ%的大小，是频域中的平 稳性指标。 通常为使二阶系统在阶跃函数作用下引起的过程不至于振 荡得太厉害，以及调节时间不致太长 30 ~ 60
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
t sb 3

1 2 2 2 4 2 4 4
给定Mr ， ts与ωb 成反比， 系统带宽越宽，则调节时间越短。
谐振峰值为
r n 1 2 2
Mr 1 2 1 2
1 谐振峰值Mr 与σ%的关系
Mr 增加时， σ%也增加。 系统平稳性较差。 二阶系统Mr=1.2～1.5时, 对 应于σ % =20～30%， 系统 平稳性及快速性均较好。 工程上常用Mr=1.3作为设计 系统依据。
2 Mr 、 ωb 与ts关系
如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定。
m
F
F
单摆系统稳定
a b c d
倒摆系统不稳定
e
设线性控制系统的闭环传递函数为
b0 s m b1s m 1 b2 s m 2 bm 1s bm G ( s) n n 1 n2 a0 s a1s a2 s an 1s an
g

-
负相位裕度
g

1 1 不稳定系统 Kg
0
二阶系统频域与时域的关系
二阶系统开环频域指标与动态性能指标的关系 二阶系统开环频率特性为
2 n G( j ) j ( j 2 n )
开环幅频特性： ( ) arctan 2 2 n

开环相频特性： A( )
L ) Im
(-) (+)
Re ) -