单位脉冲函数
单位脉冲函数
在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac ）函数，简记为δ一函数，便是用来描述这种集中量分布的密度函数.下面我们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.1在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流)(t i , 以)(t q 表示上述电路中的电荷函数, 则)(t q =⎩⎨⎧=≠,0,1,0,0t t 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即)(t i =dt t dq )(=0lim →∆t tt q t t q ∆-∆+)()(, 所以, 当0≠t 时, )(t i =0;当0=t 时,由于)(t q 不连续, 从而在普通导数意义下, )(t q 在这 一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 得)0(i =0lim→∆t tq t q ∆-∆+)0()0(=0lim →∆t (t ∆-1).∞=, 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.1 单位脉冲函数的定义定义1 如果函数)(t δ称满足)i )(t δ0=,（当0≠t 时） )ii()1=⎰∞∞-dt t δ，或者()⎰=Idt t 1δ，其中I 是含有0=t 的任何一个区间，则称)(t δ为δ一函数.. 更一般的情况下,如果函数满足)i )(a t -δ0=,（当a t ≠时） )ii()1=-⎰∞∞-dt a t δ，或者()⎰=-Idt a t 1δ，其中I 是含有a t =的任何一个区间，则称为)(a t -δ函数.在现实生活中,这种函数并不存在,它只是如下特殊规律的数学抽象;在某定点非常狭小的区域内，所讨论的问题取非常的值；在这个领域之外，函数值处处为0.如函数⎪⎩⎪⎨⎧+><+<<=-,,,0;,1)(h a t a t h a t a ha t h δ 则脉冲函数)(a t h -δ的极限为lim →h )(a t h -δ=)(a t -δ,而把)(a t -δ的积分理解为lim→h dt a t h ⎰∞∞--)(δ=dt a t ha ah h ⎰+→-)(lim 0δ=11=⎰+dt hha a. 特殊情况下,0=a 时有⎪⎩⎪⎨⎧><<<=,,0,0;0,1)(h t t h t ht h δ 于是lim →h )(t h δ=)(t δlim→h dt t h ⎰∞∞-)(δ=dt t h h h ⎰→00)(lim δ=110=⎰dt hh.一般工程上都称δ一函数为单位脉冲函数,将δ一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示δ一函数的积分值,称为δ一函数的强度.下面我们推出δ一函数的一个重要结果,称为δ一函数的筛选性质:若()t f 为连续函数,则有()dt t f t ⎰∞∞-)(δ=()0f . (1)更一般情况,有()dt t f a t ⎰∞∞--)(δ=()a f (2)其中()t f 在a t =处连续.由(1)可以求出单位脉冲函数的傅氏变换. )(a t -δ)(a t -δ()=ωF F (){}t δ=()⎰∞∞--dt e t t i ωδ=1|0==-t t i e ω可见, 单位脉冲函数)(t δ与常数1构成了一傅氏变换对；同理, )(a t -δ和ti e ω-亦构成了一个傅氏变换对.同时，若()()ωπδω2=F 时，则由傅氏逆变换得()()ωωπωd e F t f ti ⎰∞∞-=21=()ωωπδπωd e t i ⎰∞∞-221=1|0==t t i e ω故1和()ωπδ2也构成了一个傅氏变换对。
第三节(脉冲函数)
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
7
第一和三项为零， 第一和三项为零，对中间一项应用中值定理得
∫
∞
即可。 上的某个值， 其中 ξ 为区间 (t0 − ε ,t0 + ε ) 上的某个值，令 ε → 0 即可。 (4) 连续分布的质量、电荷或持续力也可用 连续分布的质量、 划分为许多小区间段，某个 [τ ,τ 划分为许多小区间段，
ρl ( x)dx = ∫
m dx = m l
∞
∞
−∞
4
如果不求积分，而先求极限， 如果不求积分，而先求极限，则有
m x 0 ρ ( x) = lim ρ l ( x) = lim rect ( ) = l →0 l →0 l l ∞
( x ≠ 0) ( x = 0)
对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的 对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的 质点 某个瞬时时刻的抽象模型， 某个瞬时时刻的抽象模型，物理学中引入 δ 函数描述
3
（一）
δ
函数
质量m均匀分布在长为 的线段 质量 均匀分布在长为l的线段 均匀分布在长为 的线段[-l/2,l/2]上，则线密度 ρ l (x ) 上
0 ρl ( x)＝ m / l
(|x| > l/ 2) (|x| ≤ l/ 2)
l 2 l − 2
m x ρl ( x) = rect ( ) l l
∫∫∫
1 δ (r − c)e − ik ⋅r dxdydz r
化成球坐标计算，以k的方向作为球坐标系的极轴方向 化成球坐标计算， 的方向作为球坐标系的极轴方向
∞ π 2π 1 1 1 δ (r − c) = δ (r − c)e −ikr cosθ ⋅ r 2 sin θdrdθdϕ 3 ∫r = 0 ∫ = 0 ∫ = 0 r θ ϕ r (2π ) ∞ π 1 = δ (r − c)e −ikr cosθ rd (− cosθ )dr (2π )2 ∫r =0 ∫θ =0 ∞ 1 1 = δ (r − c) (eikr − e −ikr )dr ik (2π )2 ∫r =0 1 1 ikc −ikc = (e − e ) 2 11 (2π ) ik
1.2_单位冲激函数
0
方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz) 单位脉冲函数 (t t0 ) 满足 (t t0 ) (t )d t (t0 ),
(t ) C 称为检验函数。 其中，
(返回)
n
T
2
f ( ) cn
n
e
j n0t
e j t d t
2π cn ( n0 ).
n
18
4
§1.2 单位脉冲函数 第 二、单位脉冲函数的概念及性质 一 章 1. 单位脉冲函数的概念 (t t0 ) 并不是经典意义下的函数，而是 注 (1) 单位脉冲函数 傅 里 一个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下 叶 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 变 换 来使用它。
t
16
§1.2 单位脉冲函数 第 一 章 傅 里 叶 变 换
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
e
j 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
e j t d t
j ( 0 ) t e d t 2 π (0 ) 2 π ( 0 ) .
§1.2 单位脉冲函数 第 一 章 傅 里 叶 变 换
§1.2 单位脉冲函数
一、为什么要引入单位脉冲函数 二、单位脉冲函数的概念及性质 三、单位脉冲函数的 Fourier 变换 四、周期函数的 Fourier 变换
1
§1.2 单位脉冲函数 第 一、为什么要引入单位脉冲函数 一 章 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 傅 里 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。 叶 变 (2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否
单位脉冲函数
单位脉冲函数
单位脉冲函数（Unit Impulse Function）是数学中常用的一类函数，它经常用于信
号处理，特别是在数字信号处理中，主要用于滤波、卷积等操作。
它具有以下几个特点：
一、定义：单位脉冲函数δ(t)表示一类特殊的函数，它在t=0处具有无穷大的数值，其他任何时刻t处的值都为零，即：
δ(t)=
\begin{cases}
无穷大,& t=0 \\
0,& t\neq0
\end{cases}
二、表示：单位脉冲函数的图形表示如下：
三、性质：
1. δ(t)的定义域和值域都为R；
2. 在t=0处，函数δ(t)的定义极限为∞，而一般函数的定义极限为有限数值；
3. δ(t)的积分（积分不可分的绝对值）在所有t处都为1，即
$$∫_{-∞}^{+∞}\delta(t)dt=1$$
四、应用：
1. 单位脉冲函数δ(t)被广泛用于电路分析、信号处理、滤波和统计分析中；
2. 主要用在滤波器中，用单位脉冲函数来进行滤波操作，可以将信号函数通过一定
的滤波操作，滤除噪声或其它有害的因素，从而可以使信号函数变得清楚；
3. 在傅里叶变换中，单位脉冲函数δ(t)是一个核心概念，δ(t)可以通过一个无穷
级数表示，这也是傅里叶变换的基础；
4. 在现代电路理论中，单位脉冲函数也可以用来表示一类电磁波。
在无线电信号传
输中，当我们需要传输一个电磁波时，可以用这个单位脉冲函数来表示，从而可以高效地
传输电磁波信息，方便利用。
常用序列的z变换
常用序列的z变换序列的Z变换是一种重要的信号分析工具，它通常用于将离散时间序列在复平面上表示。
在通信、控制、图像处理等领域都有广泛的应用。
常用序列的Z变换包括单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数序列、正弦序列以及单位样值序列等。
我们来介绍单位脉冲函数的Z变换。
单位脉冲函数是一个离散时间序列，定义为:δ(n)={1, n=00, n≠0}它的Z变换可以表示为:Z{δ(n)}= 1这表示单位脉冲函数在Z域中的变换为常数1。
接下来，我们来介绍单位阶跃函数的Z变换。
单位阶跃函数是一个离散时间序列，定义为:u(n)={1, n≥00, n<0}它的Z变换可以表示为:Z{u(n)}= 1/(1-z^(-1))这表示单位阶跃函数在Z域中的变换为1除以(1-z的负1次方)。
接下来，我们来介绍指数序列的Z变换。
指数序列是一个离散时间序列，定义为:x(n)=a^n其中，a为常数，n为非负整数。
它的Z变换可以表示为:Z{x(n)}= 1/(1-az^(-1))这表示指数序列在Z域中的变换为1除以(1-a乘以z的负1次方)。
接下来，我们来介绍正弦序列的Z变换。
正弦序列是一个离散时间序列，定义为:x(n)=sin(ωn)其中，ω为角频率，n为非负整数。
它的Z变换可以表示为:Z{x(n)}= (z*sin(ω))/(z^2 - 2z*cos(ω) + 1)这表示正弦序列在Z域中的变换为z乘以sin(ω)除以(z的平方减2z乘以cos(ω)再加1)。
我们来介绍单位样值序列的Z变换。
单位样值序列是一个离散时间序列，定义为:x(n)= 1, n=0x(n)= 0, n≠0它的Z变换可以表示为:Z{x(n)}= 1+z^(-1)这表示单位样值序列在Z域中的变换为1加上z的负1次方。
除了上述常用序列的Z变换，还有许多其他类型的序列也可以进行Z变换，如矩形序列、三角波序列等。
Z变换是离散时间序列分析中的重要工具，可以帮助我们更好地理解和处理离散时间信号。
离散数学冲激函数
离散数学冲激函数冲击函数是离散数学中的一种重要函数，也称为脉冲响应函数或单位脉冲函数。
它常用符号δ(n)或δ[n]表示。
冲激函数具有以下特点：1.冲激函数在离散时间n=0时取值为1，其他时刻取值为0。
即δ(0)=1，δ(n)=0，n≠0。
2.冲激函数的取值是一个理想化的信号，它在瞬间时间内具有无限大的振幅和无限短的时间宽度。
冲激函数的定义可以通过极限的方式来理解。
当我们得到一个脉冲宽度为0、振幅趋近于无穷大的函数时，我们可以将其逼近为冲激函数。
冲激函数在离散时间系统中具有重要的作用，可以用于描述信号的性质、系统的响应以及信号的滤波特性。
它可以用来表示信号的单位样本，在系统的输入中起到触发输出的作用。
在信号处理中，冲激函数通常被用来表示单位冲激信号，即在一些特定时间发生的瞬时脉冲。
通过将冲激信号与待处理的信号进行卷积运算，我们可以得到系统对输入信号的响应。
此外，冲激函数还可以用于构造信号的频谱表示。
根据频谱分析理论，任意一个信号都可以表示为一系列冲激函数的叠加。
这种表示方式被广泛应用于数字信号处理、图像处理等领域。
在离散控制系统中，冲激函数用于描述系统的动态性能。
通过对冲激函数进行观测和分析，我们可以得到系统的传递函数、阶跃响应以及频率特性等关键参数。
总结起来，冲激函数在离散数学中具有重要的意义。
它是描述信号和系统性质的重要工具，可以用于构造信号的频谱表示，描述系统的动态性能，以及解决各种实际问题。
在实际应用中，冲激函数被广泛应用于数字信号处理、图像处理、控制系统和通信系统等领域。
复变函数与积分变换 第8.2 单位脉冲函数
∫
+∞
∞
2π i nδ ( n ) (ω )e iω t dω
= ( 1)n i n ( it )n = t n ,
所以 F [t ] = 2π i δ
n n
(ω ).
例5 计算 F [cos ω 0 t ] 和 F [sin ω 0 t ]. 函数Fourier变换的 根据δ 函数 变换的时移和频移性质 变换的 解 运行下面的 变换的时移和频移性质 , 可得
1 1 e iω0t + F e iω0t F [cos ω 0 t ] = F 2 2
当t≠0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的 从而在 ≠ 时 由于 是不连续的, 是不连续的 普通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 普通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
如果我们形式地计算这个导数, 如果我们形式地计算这个导数 则得
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个 函数能够表示这样的电流强度. 函数能够表示这样的电流强度 为了确定这样的电 流强度, 引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数 简单 的函数, 流强度 引进一称为狄利克雷 的函数 函数: 记成δ-函数 函数
1 = 2π
1 ∫∞ [πδ (ω )] e dω + 2π
jω t +∞
+∞
∫
+∞
∞
1 jωt jω e dω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫∞ ω dω = 2 + π ∫0 ω dω 2 2π
单位脉冲函数的频谱
单位脉冲函数的频谱$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt = 1$$$$\mathcal{F}[\delta(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j2\pi ft}dt$$由于单位脉冲函数在$t=0$处取无限大的值，并且在其他时刻取零，所以单位脉冲函数的傅立叶变换可以简化为：$$\mathcal{F}[\delta(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j2\pi ft}dt = e^{-j2\pi f \cdot 0} = 1$$因此，单位脉冲函数的频谱为一个常数1、这意味着单位脉冲函数的频谱中存在着所有频率分量。
从傅立叶变换的性质来看，单位脉冲函数在频域中的频谱可以视为为一个常数乘以全部频率。
这种常数乘以所有频率可以理解为单位脉冲函数在时域中的振幅乘以一个常数。
因此，单位脉冲函数的频谱在所有频率上都有一个非零的振幅。
需要注意的是，单位脉冲函数的频谱是一个常数，但这并不意味着在所有频率上都有能量分布。
单位脉冲函数在时域上的振幅为无限大，但它的能量集中在一个极小的时间间隔上，即在$t=0$时刻。
由于能量和频率的关系是通过傅立叶变换来描述的，所以单位脉冲函数在频域中并不具有有限的能量。
单位脉冲函数的频谱可以通过傅立叶变换的性质推导得到。
具体来说，可以使用尺度性质和平移性质来计算单位脉冲函数的频谱。
尺度性质表示在时域中信号的缩放会导致频域中频谱的相应缩放。
对于单位脉冲函数，可以将其视为一个时间上的瞬时信号，并且进行时间缩放不会影响其性质。
因此，单位脉冲函数的频谱在所有频率上都具有相同的振幅。
平移性质表示在时域中信号的平移会导致频域中相应频谱的相位变化。
对于单位脉冲函数来说，它在时域中只有一个非零的值，即在$t=0$时刻。
这意味着在频域中，单位脉冲函数的频谱相位在所有频率上都会有一个相位偏移。
7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)
F t I (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i t q (t -t0 )
3、-函数的筛选性：
(t ) f (t )d t f (0)
或 (t t0 ) f (t )d t f (t0 ) . （f t 为连续函数）
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数来表示.
eg1： 在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为： x m ( x x0 )
eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
5、广义傅氏变换
——利用与-函数相关的广义积分来求傅氏变换 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏
积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t ) | d t
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用 与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏
变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对
于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原 像函数f(t) 和像函数F() 构成一个傅氏变换对.
例1 证明：1和2 ()构成一个傅氏变换对. 证法1：利用广义积分
F 1 1 e
it
dt s t eis ds 2 .
4、-函数的傅氏变换:
于是 (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 (t ) F [1] 2
1
为什么单位越阶函数是单位脉冲函数的和
为什么单位越阶函数是单位脉冲函数的和单位阶函数（也称为单位阶跃函数）是一种在某个特定点上突变的函数，其定义如下：
如果 x > a，则单位阶函数的值为1；
如果 x < a，则单位阶函数的值为0；
如果 x = a，则单位阶函数的值为0.5。
而单位脉冲函数（也称为狄拉克函数）是一种理想化的函数，其定义如下：
当 x = 0 时，单位脉冲函数的值为无穷大；
当x ≠ 0 时，单位脉冲函数的值为0。
根据这两个函数的定义，我们可以将单位阶函数表示为单位脉冲函数的和。
具体地说，单位阶函数可以看作是无穷多个单位脉冲函数的叠加。
对于单位阶函数 f(x)，我们可以将其表示为：
f(x) = ∑ δ(x - n)
其中，n 是一个整数，δ(x) 是单位脉冲函数。
这样的叠加可以使得当 x 大于某个特定值 a 时，单位阶函数的值为1，而当 x 小于 a 时，单位阶函数的值为0。
因此，单位阶函数可以看作是单位脉冲函数的和。
单位脉冲函数及傅里叶变换的性质
5.积分性： 5.积分性： 积分性
设F [ f (t )] = F (ω )，若 lim ∫ F [∫
复习：
F (ω ) = ∫
1 f (t ) = 2π
+∞ −∞
f (t )e
− iωt
dt
傅氏变换
∫
+∞
−∞
F (ω )eiωt dω
傅氏逆变换
傅氏变换对
F → F (ω ) f (t ) ← F −1
f (t ) ↔ F (ω )
若F [ f (t )] = F (ω ), 则F −1[ F (ω )] = f (t )； 若F [ F (ω )] = f (t ), 则F [ f (t )] = F (ω )
∫
+∞
sin ω t
0
ω
dω
1 1 = + 2 2π
∫
+∞
−∞
1 1 sin ω t ω dω = 2 + π
∫
+∞
sin ω t
0
ωБайду номын сангаас
dω
∫
+∞
sin ωt
0
ω
π 2 , t > 0 dω = ⇒ − π 2 , t < 0
1 1 π 2 + π − 2 = 0, t < 0 1 −1 1 F + πδ (ω ) = , t = 0 = u (t ) jω 2 1 1 π 2 + π 2 = 1, t > 0
−1 −1 −1
2. 位移性质 位移性质:
delta函数与采样信号
(
)
−T
0 T
−ωs
0 ωs
e jω0t + e − jω0t cos (ω0t ) = 2
0处的
e jω0t + e − jω0t 1 FT ( cos (ω0t ) ) = FT = FT e jω0t + FT e − jω0t 2 2 1 = 2πδ (ω − ω0 ) + 2πδ (ω + ω0 ) × 2 = πδ (ω − ω0 ) + πδ (ω + ω0 )
Delta函数与采样信号 Delta函数与采样信号
Delta函数（单位脉冲函数）的定义： Delta函数（单位脉冲函数）的定义： 函数
0 t ≠ 0 δ (t ) = ∞ t = 0
且
∫
+∞
−∞
δ ( t )dt = 1
非常规的函数，“无限变大”、“积分值不为零”，但是又 积分值不为零” 非常规的函数， 无限变大” 是切实存在的，例如： 是切实存在的，例如：
FT δ ( t ) = ∫ δ ( t ) e − jωt dt = e − jωt
−∞
=1
FT −1 (1) = δ ( t )
FT δ ( t − t0 ) = ∫ δ ( t − t0 ) e − jωt dt = e − jωt
−∞
单位脉冲函数详解
f (k ) (k ) f (0) (k )
而当 f(k)与δ(k-m) 相乘时，有
单位脉冲序列 的筛选性质
f (k ) (k m) f (m) (k m)
根据定义，可看出ε(k)与δ(k) 之间满足以下关系：
f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)
δ函数的筛 选性质
[ f (t ) (t (t ( )dt tt )0 )) dt f (0) (0) f)] ( t ) t t0 ) f(( )f(t () t (t0
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.3 广义函数和δ
常规函数，在间断点处的导数是不存在的；除间断点外，
自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。
单位阶跃信号ε(t) 在间断点处的导数为单位冲激信号、冲
激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数
奇异函数（或广义函数）：非常规函数。
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.4 阶跃序列和脉冲序列
1. 单位阶跃序列 离散时间单位阶跃序列定义为
1 (k ) 0
k0 k0
1
(k )
… －2－1 0 1 2 3 4 k
Feng
2019/4/4
电子与通信工程系
第 1 章 信号与系统的基本概念
(2)冲激信号的物理意义： f ( t ) f ( ) ( t ) d f ( k ) ( t k ) 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型
单位脉冲响应函数
单位脉冲响应函数
单位脉冲响应函数是一个系统对于单位脉冲输入信号所产生的响应函数。
在信号处理和系统控制中，单位脉冲响应函数起着非常重要的作用，
它可以用于求解系统的响应，得到系统的传递函数，进行系统分析与设计等。
具体地说，对于一个线性时不变系统，其单位脉冲响应函数可以表示
为系统对于单位脉冲输入信号的响应，即：
h(t)=L{δ(t)}。
其中，L表示拉普拉斯变换，δ(t)表示单位脉冲函数。
根据卷积定理，该系统对于任意输入信号f(t)的响应可以表示为f(t)与h(t)的卷积：y(t)=f(t)*h(t)。
其中，*为卷积运算符。
因此，如果已知系统的单位脉冲响应函数
h(t)，就可以由上式求得系统对于任意输入信号的响应。
dimpulse函数
dimpulse函数Dirac脉冲函数，又称单位脉冲函数，是一种理想化的数学工具，其在物理学、工程学、数学等领域都有广泛应用。
该函数定义为：$$\delta(x)=\begin{cases}\infty, & x=0 \\0, & x\neq0\end{cases}$$其具有“脉冲”一样的形状，但其宽度为0，且在所有点上积分值为1，即：$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1$$Dirac脉冲函数具有以下重要性质：1. 脉冲面积为1Dirac脉冲函数在任何一点的值都为无穷大，因此其图像看起来像一根无限高、宽度为0的线。
由于Dirac脉冲函数在所有点上的定积分为1，因此可以认为它的面积为1。
2. 脉冲积分为1由于Dirac脉冲函数的面积为1，因此在任何区间内对其进行积分都等于1。
这意味着该函数可以用来对信号进行加权平均。
3. 脉冲卷积Dirac脉冲函数在数学上可以视为单位脉冲函数的推广，其在卷积运算中的应用也十分广泛。
当一个信号与一个单位脉冲函数进行卷积时，其结果就是该信号本身。
同样地，当一个信号与Dirac脉冲函数进行卷积时，其结果也是该信号在脉冲处的值。
这个特性被广泛应用于信号处理和通信工程中。
4. 线性组合由于Dirac脉冲函数在所有点上的值都为0，因此可以将多个Dirac脉冲函数进行线性组合，得到一个新的脉冲函数。
可以使用以下公式来定义Dirac脉冲函数的线性组合：$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(x-n)$$其中$x$是自变量，$a_n$是常数。
这个公式定义了一种在整个实数轴上的离散脉冲函数。
除了上述性质之外，Dirac脉冲函数还具有一些其他有用的特性，如：5. 时间反演对于一个信号$f(t)$，将其通过Dirac脉冲函数进行卷积可以得到一个脉冲响应$h(t)$。
如果将$h(t)$再次与Dirac脉冲函数进行卷积，则会得到$f(t)$本身。
单位脉冲函数拉氏变换
单位脉冲函数拉氏变换
拉氏变换是一种常见的数字信号处理技术，又被称为脉冲函数拉氏变换（Pulse-Fourier Transform，PFT）。
它是一种基于数字信号处理技术，用于将信号拉成信号频谱，以及将信号分解和分析复杂的多种信号通道结构。
拉氏变换的基本思想是把原始的时域信号弱化到脉冲函数，然后就可以将它乘以拉氏变换中的各种基本函数，它们统称为PFT激励函数或基函数，如正弦函数、余弦函数或正弦波等。
最后，把这些基函数乘以对应的时域信号，通过拉氏变换即可得到信号频谱。
拉氏变换将时域信号转换为频域，并从其中提取出特征。
它可以帮助我们获得更多更准确的信号信息，代表原始信号三维空间时域频域信息。
因此，它是一种实用且非常有用的数字信号处理技术。
拉氏变换可以应用于许多领域。
例如，在雷达系统中，它可以在混合脉冲宽度的情况下，对脉冲的特性进行精确分解，从而获得数值更小、意义更明确的雷达信号特性。
另外，拉氏变换在视频处理领域中的应用也非常成熟，它可以有效降低视频的压缩比率，大大改善视频的质量。
总而言之，脉冲函数拉氏变换是一种用于原始信号多维数据分析的有效数字信号处理技术，它已被广泛应用于多个领域，发挥着重要的作用。
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(t)dt=1 其面积为1。
2) 冲激信号的图形表示
(t)
(t t0 )
(1)
(1)
t
3)冲激信号实例
t t0
单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流
i C (t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。
说明： (1)冲激信号具有强度：
其强度就是冲激信号对时间的定积分值。 在图中用括号注明，以区分信号的幅值。
广义函数 g(t)：对试验函数集{φ(t)}中的每个函数φ(t)，按 一定运算规则 Ng 分配(或指定)一个数值 Ng[φ(t)] 的过程。
广义函数g(t)的定义为: g(t)(t)d tNg[(t)]
广义函数与普通函数的对应关系
广义函数的基本运算： (1) 相等
若 Ng1[(t)]Ng2[(t)]则,定义 g1(t)g2(t)
(2) 相加
若 N g[(t) ]N g1[(t) ]N g2[(t)]则 , 定义
g(t)g1(t)g2(t)
(3) 尺度变换
(4) 微分
2. δ函数的广义函数定义
按广义函数理论，δ函数定义为
(t)(t)dt(0)
上式说明： δ函数与试验函数φ(t)作用后，能指定φ(t)在t＝0处的值 φ(0)。 或者说，广义函数δ(t) 的作用效果是从φ(t) 中筛选出数 值φ(0)。 通常称此性质为δ 函数的筛选性质。
3. δ
性质1 δ函数的微分和积分
(t)(t)d t( 1 )(t)(t)d t(0 )
式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在 t=0 时的值。
通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。
′( t )
(1 )
o
t
(－ 1 )
δ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：
当t，由上面两式可得
单位冲激偶 的性质之一
性质2 δ函数与普通函数f(t)相乘
普通函f数(t)f(t)(与t)广d义t函f数(δ0()t)的乘积(t)，d有t:
f (0)
δ函数的筛 选性质
[f(t)(tf)(]t)(t)(dt t t0) f((tt)0)f(t()t(tt0))dtf(0)(0)
1
1
1
oΔ
t
o
t
o t0
t
0 t 0
(a)
(b)
(c)
(t)
1
t
0
t
图 1.4-1 单位阶跃信号
1
t
应用单位阶跃信号可以简化某些时域信号的表示。例如：
f1(t) 1
sin0t
f2(t) 1
sin 0t
f3(t) 1
o
t
o
t0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
－2 －10 1 2 3 t
f(0f)(t )((tt)(tt0))ddttf ( t0)f(0)(t)(t)dt
根据广义函数相等的定义，得:
f(t)(t)f(0)(t)
例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
f(t)(t)f(0)(t) f(t)(t t0 ) f(t0 )(t t0 )
(2)冲激信 号的物理意义：
表f(征t)作 用 时f间(极)短(t， 作) 用d 值 很大的f物(k 理 现)象(t的 数k 学模) 型 k
(3)冲激信号的作用：
A. 表示其他任意信号； B. 表示信号间断点的导数。
冲 关(tt)系激(：信lx i)号0m dp与 t(t阶)1跃0li m(信(t0t号ddt0的0))(t)(tdd)tli m0(δt函)位数阶阶的数跃跃积为信信分δ号号函为的数单导
自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。 单位阶跃信号ε(t) 在间断点处的导数为单位冲激信号、冲
激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数 奇异函数（或广义函数）：非常规函数。
1.
普通函数 y=f(t)：对定义域中的每个自变量t， 按一定的 运算规则 f 指定一个数值 y 的过程;
－1
－1
－1
(a)
(b)
(c)
1.4.2 连续时间冲激信号
(t)l i0mp(t)
1
p
(t)
d dt
(t)
0
0t 其他
图 1.4-3 单位冲激信号 （δ函数）
1)冲激信号的定义
(t)l i0 m p(t)
狄拉克(Dirac)定义式：(t)=0 , t0 表明δ函数除原点以 (t)= , t=0 外，处处为零，但
δ
函
(t)lim 1
t2
e
d (t)
dt
数
0
的
(高斯函数序列 ）
其 他 定
(t)limsint/() 0 t
(取样函数序列)
义 ：
(t)lim
1
t
e
0 2
(双边指数函数序列)
1.4.3 广义函数和δ 常规函数，在间断点处的导数是不存在的；除间断点外，
性质3 δ’(t)函数与普通函数 f(t) 相乘
根据广义函数相等的定义， 有
f( t)'( t) f( 0 )'( t) f'( 0 )( t)
对上式两边在(-∞, ∞)区间取积分
f( t )'( t ) d f( t 0 ) '( t ) d f't ( 0 ) ( t ) d t f'( 0 )
1它.4(们t.1)在阶连信l跃续 i号信时0m 与号间系和(阶t)统冲跃分激信析信10号中号((tt具是有描00))重述要一意类义特。定物(t理现t0象) 的数10学tt模型tt ，00
注意Δ：(t) 信号ε(t) 在 t=0 处和ε((tt)-t0) 在 t=t0 处都是不连续(t－的t0)。
上次课程回顾
1.0信号与系统 信号、系统的概念
1.1信号的描述和分类
确定信号与随机信号；连续信号与离散信 号；周期信号与非周期信号；能量信号 与功率信号
1.2信号的基本特性 时间、频率、能量和信息特性
上次课程回顾
1.3信号的基本运算 相加和相乘 翻转、平移和展缩 导数和积分 差分和迭分
1.4 阶跃信号和冲激信号