均值不等式常见题型整理

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均值不等式常考题型精编版

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

专题3：均值不等式

16.16专题3：均值不等式
一．【知识要点】
1.均值不等式
二．【经பைடு நூலகம்例题】
1.阅读理解：对于任意正实数a、b, ≥0, ≥0, ≥ ,只有当a=b时，等号成立。
结论：在 ≥ (a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则 ≥ ,只有当a=b时,a+b有最小值 .
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
【D】
1.如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别与对角线BD相交于点E，F．记PM= ，PN=b，当点P运动时，
（1）求证：；
（2）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．
(2)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1．已知正数a和b，有下列结论：
(1)若a＝1，b＝1，则；(2)若，则；
(3)若a＝2，b＝3，则；(4)若a＝1，b＝5，则．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab≤______．

(完整版)均值不等式专题20道-带答案

均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

均值不等式常考题型

均值不等式及其应用之樊仲川亿创作一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,Rb a ∈，则ab ba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）0>ab ，则2≥+a bb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式总结

4 求y x 2 的最大值.
2x+5
5求y x2 +5 的最大值.
x2 4
利用基本不等式求最值常见类型
类型三：定值“自造”型.
已知x 0, y 0, 且3xy x y 1则
1 x y的最小值是_________; 2 x y的最小值是_________;
利用基本不等式求最值常见类型
（2）变形应用
（1）已知a,b R ,且满足2a b 4,则a b的最大值为 _____
（2）已知x, y R ,且满足 x y 1,则x y的最大值为 ________ 34
(3)已知a 0,b 0,且满足a2 b2 1,则a 1 b2的最大值为 _____ 2
(4)若a,b,c 0且2a b c 6，求aa b c+bc的最大值
2已知 a b =1(x, y, a,b R )，求mx ny(m, n 0)的最小值._______
xy
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（4）“上二下一，或上一下二的分式“型
x 0, 求 x2 x 4 的最小值 x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（1）直接利用型
(1) y sin x 2 sin x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（2）配、凑系数或常数用型
(1)已知x 2，求y x＋ 4 的最小值； x2
2已知x 5 ,求函数y=4x 2 1 的最大值。
变式：
(1)已知0 x 1,则y 4 9 的最小值为 ________ x 1 x

均值不等式的题型和方法

均值不等式的题型和方法
- 题型一：配凑定和。

通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，配凑定和，求积的最大值。

- 题型二：配凑定积。

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。

- 题型三：配凑常数降幂。

- 题型四：配凑常数升幂。

- 题型五：约分配凑。

通过“1”变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。

- 题型六：引入参数配凑。

某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”和“定”的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径。

- 题型七：引入对偶式配凑。

根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。

- 题型八：确立主元配凑。

在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式。

均值不等式常考题型

.均值不等式2 21. ( 1)若 a,b R ，则 a 2b 22ab (2)若a,b R ，则 ab a-(当且仅当 a b 时取“=”)22. (1)若 a,b R *，则-_b、ab (2) 若 a,bR *，则 a b 2. ab (当且仅当 a b 时取“=”)22(3)若a,b R *，则ab 乞上 (当且仅当a b 时取“=”)2113.若x 0，则x —2 （当且仅当x 1时取“=”）；若x 0，则x —2 （当且仅当xxx右X0，则X1 X2即x 1 亠 -2或xX 1 -2 （当且仅当a b 时取“=”）X3.若 ab0，则 a b2 (当且仅当ab 时取“=”）b a若ab0，则 a b 2即a -2或 a b -2 （当且仅当a b 时取“=”）b ab a b a4.若 a,b R ，则 (a b )2 a2b 2（当且仅当 a b 时取“=”）2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值例1 :求下列函数的值域(2) y = x + -xX•••值域为（一8，— 2] U [2，解题技巧：技巧一：凑项均值不等式及其应用解：(1) y = 3x 2 + +2x22； 2 =，•值域为[6，+（8l ）(2)当 x >0 时，y = x + 1 >2飞1x • = 2;x x -1)<-2 + 8)例1 ：已知x 4，求函数y 4x 2的最大值。

4x 5解：因4x 0，所以首先要“调整”符号，又（4x4x 0， y4x 21 5 4x 5• 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, 4x 54x32 3 15 4x2)1丄，即x 1时， 5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

均值不等式及其应用课件-2025届高考数学知识点题型及考项复习

x−5
+
13
5
≥2
36
25
+
13
5
=5
（转化配凑成分子不含变量的形式）
,当且仅当3 x −
3
5
=
12
3
25 x−5
,y =
x
,即x
5x−3
1
2
= 1,y = 时取等号.故3x + 4y的最小值为5.
（方法1易想，但计算量大，且需要两次对式子进行转化配凑.下面我们来研究另一
种方法）
方法2 （常数代换）
+ (y +
=
x2
+
=
[x 2
+
1 2
]
2x
x2 =
[y 2
+
1 2
]
2y
x=y=
故 x+
2
2
1 2
2y
+
y
x
+
x
y
≥2⋅x⋅
1
2x
+2⋅y⋅
1
2y
+2
y x
⋅
x y
= 4，当且仅当 y 2 =
y
x
x
y
1
,
4x2
1
,
4y2
+
即
= ,
时取等号.（【明易错】多次使用基本不等式时,要注意等号成立的一致性）
min
= 16.
+ 10,且y − 9 > 0，
例10 (2024·河南省开封市期末)当0 < x <
1
1时，
x
A.8

均值不等式题型汇总

均值不等式题型汇总一．均值不等式：（一正，二定，三相等，积定和最小，和定积最大） 1.原始形式：（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2) 若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. 二维形式：(1)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(2)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 三维形式：(1)若*,,R c b a ∈，则33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）(2)若*,,R c b a ∈，则33⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤c b a abc (当且仅当c b a ==时取“=”）方法一：凑项 1. 求函数1x 16x 4)x (f 22++=的最小值。

解：原函数化为41x 16)1x (4)x (f 22-+++= 因为1x 16)1x (422+++161x 16)1x (4222=+⋅+≥ 所以12416)x (f =-≥。

当且仅当1x 16)1x (422+=+即x=1，x=－1时，12)x (f min =。

2. 设x<－1，求函数51x 4)1x (y ++++=的最值。

解：因为1x -<，即01x <+，所以0)1x (>+-，则])1(4)1([14)1(+-++--=+++x x x x 4)1(4)]1([2-=+-⋅+--≤x x 。

当且仅当)1x (4)1x (+-=+-，即3x -=时，y 有最大值，且154y max =+-=，y 无最小值。

3. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

均值不等式基础方法15类总结-(原卷版)

专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型 (2)【题型二】添加常数构造“对勾型” (3)【题型三】“和定求积”型 (3)【题型四】“积定求和”型 (4)【题型五】单元（单变量）分离常数型 (4)【题型六】“常数”因子法： (5)【题型七】“单分母”构造因子法 (6)【题型八】“双分母”构造法 (6)【题型九】有和有积无常数型 (7)【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 (8)【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型 (8)【题型十二】多元分离型 (9)【题型十三】反解消元型 (9)【题型十四】换元型 (10)【题型十五】较简单的三元均值 (11)培优第一阶——基础过关练 (11)培优第二阶——能力提升练 (13)培优第三阶——培优拔尖练 (14)知识点综述：1.基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；2.常用不等式：ab ≤a ＋b2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：a 2＋b 22≥ a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b；【题型一】对勾型【典例分析】（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x -2y ）+12x y -≥2成立的前提条件为（） A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【提分秘籍】基本规律对勾型：1t t +，bat t+ 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如1.2sin sin θθθ+，其中锐角（第五章会学习到）2.221x 5x 5+++1.（2022·全国·高一专题练习）若0x >，0y >，则1122x y x y+++的最小值是（） A ．32B ．42C ．4D ．22.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（）A ．19B ．16C ．13D ．3【题型二】添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022·吉林延边·高一期末）已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是（） A ．22B ．222 C ．2 D 2【提分秘籍】基本规律对于形如1cx+d ax b ++，则把cx+d 转化为分母的线性关系：c 1ax+b)ax b cd a a ++-+（可消去。

均值不等式常见题型整理

均值没有等式之阳早格格创做一、基原知识梳理1.算术仄衡值：如果a ﹑b ∈R +，那么喊干那二个正数的算术仄衡值.2.几许仄衡值：如果a ﹑b ∈R +，那么喊干那二个正数的几许仄衡值3.要害没有等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时，与“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b≥(当且仅当a=b 时，与“=”)均值定理可道述为： 4．变式变形：5.利用均值没有等式供最值，“战定，积最大；积定，战最小”，即二个正数的战为定值，则可供其积的最大值；积为定值，则可供其战的最小值.注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或者各果式非背；（2）战或者积为定值；（3）各项或者各果式皆能博得相等的值.6.若多次用均值没有等式供最值，必须脆持屡屡与“=”号的普遍性.偶尔为了达到利用均值没有等式的条件，需要通过配凑﹑裂项﹑转移﹑分散常数等变形脚法，创建一个应用均值没有等式的情景.二、罕睹题型：1、分式函数供最值，如果)(x f y =可表示为B x g Ax mg y ++=)()(的形式，且)(x g 正在定义域内恒正或者恒背，,0,0>>m A 则可使用均值没有等式去供最值.例：供函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x aa ax x x ax ax x x ax y 当1)1(+=+x ax a 即x=0时等号创造，1min =∴y2、题正在给出战为定值，供战的最值时，普遍情况皆要对于所供式子举止变形，用已知条件举止代换，变形之后再利用均值没有等式举止供最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且，供b a +的最小值.解法一：169210991=+≥+++=+b aa b b a思路二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 而后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a不妨考证：二种解法的等号创造的条件均为12,4==b a .此类题型可扩展为：设321a a a 、、均为正数，且m a a a =++321，供321111a a a S ++=的最小值.m m 9)2223(1=+++≥，等号创造的条件是321a a a ==.3、题中所供的式子中戴有根式，而且没有克没有及曲交用均值没有等式去供解，则可采与顺背思维去供解，对于没有等式顺背变换，原类题型普遍情况皆给出去x 的与值范畴，根据与值范畴去举止顺背变换. 例：供函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思路：由于所给函数的形式为无理式，曲交供解较艰易，从所给区间]3,21[∈x 进脚，可得一个没有等式)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或者3=x 时与等号），展启此式计划即可.解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2min =y4、没有等式的变形正在说明历程中或者供最值时，有广大应用，如：当0>ab 时，ab b a 222≥+共时除以ab得2≥+b aa b 或者b a ab -≥-11.例：已知a,b,c 均为，供证：cb a ac c b b a ++≥++222.说明：c b a ,, 均为正数，ac a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222，总之，均值没有等式是下中数教的要害真质之一，它是供多项式的最值以及函数的值域的时常使用要领.正在应用均值没有等式时，没有管何如变形，均需谦脚“一正二定三相等”的条件. 【坚韧训练】1、若,0,0>>b a 供函数bax xy +=2最值. 问案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2、供函数)0(132<++=x x x xy 的值域. 问案：[-3，0]3、已知正数y x ,谦脚,12=+y x 供yx 11+的最小值.问案：223+4、已知z y x ,,为正数，且2=++z y x ，供2111++=y x S 的最小值.问案：295、若)0](,1[>∈a b a x ，供xbx ab y -+=)1(的最小值.问案：a6、设c b a ,,为整数，供证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++.三、利用没有等式解题的典型例题剖析：题型一：利用均值没有等式供最值（值域）例1、（1）已知0>x ，供x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ，供x x x f +-=34)(的最大值变式1： 1、若R x ∈，供x x x f +-=34)(的值域2、函数()022>-=x x x y 的最大值为变式2：1、已知0,0>>y x 且191=+y x ，供y x +的最小值2、R x ∈，供1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3、当b a x ,,10<<为仄常数时，供x b x a y -+=122的最小值变式3：1、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定面，若面A 正在曲线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则n m 21+的最小值为2、供2)3(222++=x x y 的最小值为3、已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1、已知y x ,皆是正真数，且053=+-+xy y x（1）供xy 的最小值（2）供y x +的最小值题型二：利用均值没有等式说明没有等式例2、已知R c b a ∈,,，供证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222（3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1、已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 没有齐相等，供证：c b a c abb ac a bc ++>++2、已知R c b a ∈,,，且1=++c b a ，供证：31222≥++c b a3、已知1,0,0=+>>b a b a ，供证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。

均值不等式常见题型及解析

均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。

比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。

这时候就可以直接用均值不等式啦。

由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。

这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。

就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。

这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。

二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。

比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。

这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。

那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。

因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。

根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。

均值不等式常考题型---精品模板

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“="） (3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3。

若0x >,则12x x +≥ （当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或（当且仅当b a =时取“="） 3.若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4。

若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”) 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域(1）y ＝3x 2＋12x 2 （2)y ＝x ＋错误! 解：（1)y ＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为[错误!，+∞）(2）当x ＞0时，y ＝x ＋错误!≥2错误!＝2；当x ＜0时, y ＝x ＋错误!= －（－ x －错误!）≤－2错误!=－2∴值域为（－∞,－2］∪［2，+∞）解题技巧：技巧一:凑项例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号,又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立,故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

均值不等式常见题型整理

均值不等式一、基本知识梳理1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时，取“=”)均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b +≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为：4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。

注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式都能取得相等的值。

6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。

有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。

二、常见题型：1、分式函数求最值，如果)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++=)()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。

例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值。

解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211)1(=-+≥-++++=a a a x a x a当1)1(+=+x a x a 即x=0时等号成立，1min =∴y 2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。

均值不等式常见题型

均值不等式一．基础知识：1．重要不等式：如果，那么2．基本不等式：如果是正数，那么注意：（1）成立的条件是不同的：（2）取等号“=” 的条件是（3）可以变形为：，可以变形为：.（4）一正，二定，三相等。

题型一：a ，b 均为负项求)0(1)(.≠+=x x x x f 最值题型二：凑项已知45x > ，求函数14245y x x =-+-的最大值。

变式：1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

变式2. 设a ＞b ＞0，且ab =2，则a 2+)(1b a a -的最小值是3.设0a b ＞＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4题型四：分离常数1.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

2. 152224+++=x x x y ,求最小值3. 求13++=x x y （x>0）的最小值变式：1.)1(11)(2>+--=x x x x x f ,求其最大值2.若对任意0x >，231x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是。

题型五：若无去等条件，结合函数()a f x x x=+的单调性。

)4(11)(≥-+=x x x x f变式：1.24sin ,(0,)sin y x x x π=+∈（），求最小值2.求函数2y =的值域题型六: 1的巧用1.已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

变式：1已知0,0x y >>且满足x y +=2,求y x 82+的最小值.2.已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

3.已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为4.若正实数a ，b ，c 满足a +b +c =1，则+的最小值为 ______题型七：和积共存的等式，求解和或积的最值若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是______a+b 的取值范围变式：1.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.2.已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是（）A. 3B. 4C. 92D. 112 题型八：平方求函数152152()22y x x x =-+-<<的最大值。