高中数学选修2-1优质课件1：2.1.2 求曲线的方程
人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
人教B版高中数学选修2-1第二章 2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线性质课件(共18张PPT)
( x 1)2 ( y 1)2 ( x 3)2 ( y 7)2
所以 x +2y －7 = 0
例2 已知A（15,0）点P是圆 x2 y 2 9 上的 动点，M为线段PA的中点，当点P在圆上运动时， 求动点M的轨迹方程。
设动点M x, y , Px0 , y0
（B）|x－y|=1
（C）|x|－|y|=±1
（D）|x±y|=1
2．方程(x+a)(y－a)=0表示的曲线是
（A
）
（A）两条相交的直线
（B）一个点(－a，a)
（C）与方程组
xa 0
y
a
0
的图形相同
（D）第一、三象限的角平分线
3.已知一条曲线是与两个定点 O ( 0 , 0 ),
A ( 3 , 0 ) 的距离之比为 1 的点的轨迹，求这
复习：曲线的方程，方程的曲线的概念
解析几何主要讨论以下两个问题:
(1) 根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2) 通过曲线的方程,研究曲线的性质.
例 设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等
于1，求点M的轨迹方程并用方程研究轨迹(曲线)
的性质.
解: 求动点M的轨迹方程：
(1)建立直角坐标系.取已知的两条互相垂直的直线为坐标
4.解：设点M (x, y), A(x0 ,0), B(0, y0 ) M为AB的中点
x
y
x0 2 y0 2
整理得
x0 y0
2x 2y
l1与l2互相垂直，且kl1
-4 x0 2 , kl2
y0 4 2
l1 l2
1,即
-4 x0 2
y0 4 2
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
高中数学选修2-1精品课件：2.1.2求曲线的方程
规律与方法
(1)求解曲线方程时： ①第一步在具体问题中有两种情况：a.所研究的问题中已给定了坐标系， 直接在给定的坐标系中求方程；b.原题中没有确定的坐标系，需先建立适 当的坐标系，选取特殊点为原点. ②第二步为求方程最重要的一步，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐 含条件，抓住曲线上任意点满足的等量关系，列出几何关系式，但在具 体解题的过程中经常不出现这一步(被省略). ③第三步将几何关系式转化为代数中的方程.
解析答案
2.到点(1,2)的距离等于 3的动点 Q 的轨迹方程是( C )
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝3
B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝9
1 2345
C.(x－1)2＋(y－2)2＝3
D.(x－1)2＋(y－2)2＝9
解析 由圆的定义知动点 Q 的轨迹是以点(1,2)为圆心，以 3为半径的圆，
④化简过程中，注意运算的合理性与准确性，避免增解与漏解，第五步 从理论上讲很有必要，但在没有特殊情况的时候，常省略，有特殊情况 时则不能省，可以说是对第四步的完善. (2)很多时候在求出曲线方程后，第五步直接省略了，没将特殊情况进行 说明，该剔除的没剔除，该补充的没补充，因此出现错误.
返回
第二章 §2.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
关知识和观点，感受曲线的实际 背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用. 2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题. 3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解 “曲线的方程、方程的曲线”的概念.
解析答案
类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点 例 3 过点 M(1,2)的直线与曲线 y＝ax(a≠0)有两个不同的交点，且这两个 交点的纵坐标之和为 a，求 a 的取值范围.
高中数学人教版选修2-1：2.1.1 曲线与方程(共16张PPT)
证明:(1)如图，设M(x0,y0 )是轨迹上的任意一点， 因为点M与x轴的距离为 y0 ,与y轴的距离为 x0 , 所以 x0·y0 = k,即(x0,y0 )是方程xy = ±k的解.
三、精典例题
(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy = ±k的解， 即x1y1 = ±k,即 x1·y1 = k. 而 x1 ,y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的积是常数k, 点M1是曲线上的点.
2.证明已知曲线的方程的方法和步骤：
第一步：设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是f(x,y)=0的解.
第二步：设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.
五、巩固提升
课堂练习 第37页练习第1、2题 课堂作业 第37页习题2.1A组第1、2题
由(1)、(2)可知，xy = ±k是与两条坐标轴的距离 的积为常数k(k > 0)的点的轨迹方程.
四、课堂小结
1.曲线与方程的概念：
如果满足下列两个条件： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线.
一、新知探究
1.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线
m的方程是__x_-y_=__0_.
2.①点M(1,1)在x-y=0的解吗？
y x-y=0 m
②(1,1)是方程x-y=0的解，则点M(1,1)在 直线m上吗？
M(1,1)3.①若点M(x0,y0)在直线m上，则点M的坐标
二、曲线的方程和方程的曲线的含义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：2.1.2求曲线的方程课件(11张)
P M MF MB 2
由两点间距离公式，点 M 适 合的条件可表示为： 2 2 x ( y 2 ) y 2 1 2 化简得 y x 8 因为y>0,所以曲线的方程是
y
F.(0, 2)
O
.M
l
B
(x, y)
x
1 2 y x（x 0) 8
曲线的方程 那么，这个方程叫做_______________ ；这条曲线叫做
方程的曲线． __________________
2、坐标法与解析几何 在平面中建立坐标系，用坐标表示点，把曲 线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线 上点的坐标（x，y） 所满足的方程 f (x，y)=0表 示曲线, 通过研究方程的性质间接地来研究曲线 的性质，这就是坐标法.
M A x 1 y 1 8 2 y y 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 5 y 6 y 1 3 ; 1 1
M A x 1 y 1 8 2 y y 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
M
பைடு நூலகம்
课堂小结 1、本节我们学习了求曲线方程的一般步骤： 建系设点、列方程、化简. 2、关注两点： （1）障碍点：根据几何条件寻求等量关系 （2）易错点：化简的过程是否是同解变形 3、数学思想： 数形结合、转化思想
谢谢观看！
谢谢指导
2 x y 2( x 1)
2 2
练习3、过点P (2,4) 作两条互相垂直的直线分别 交x轴、y轴于A、B两点，求线段AB的中点M的 轨迹方程．
解：设 M 的坐标为 (x， y)，则 A、 B 两点坐标分别是(2x, 0)、 (0,2y)，连接 PM，如图． ∵ l1⊥ l2，∴ 2|PM|＝ |AB|. 而 |PM|＝ x－ 2 ＋ y－ 4 ， |AB|＝ 2x ＋ 2y ， ∴ 2 x－ 2 ＋ y－ 4 ＝ 4x ＋ 4y . 化简，得 x＋ 2y－ 5＝ 0，即为所求轨迹方程．
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
高中数学选修21圆锥曲线与方程市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
顶点 A 可在直线 BC 上方，也可在下方. 1 分
若点 A 在 BC 上方，设 H(x，y)，则 A(x,2)．
当 x≠±1 时，kAC＝x－2 1，kBH＝x＋y 1，
4分
由 AC⊥BH，得 kAC·kBH＝－1，即x－2 1·x＋y 1＝－1，化简
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求曲线方程的普通环节
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
对的认识求曲线方程的普通环节 求曲线方程的五个环节构成一种有机的整体，每一步都 有其特点和重要性．第一步在具体问题中有两种状况． (1)所研究的问题中已给定了坐标系，此时就在给定的 坐标系中求方程即可；
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)对称性：用－y 代 y 方程不变，曲线关于 x 轴对称．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)单调性：设 0≤x1≤x2<1,0≤x21<x22， ∴1－x1>1－x2>0，故1－x12x1<1－x22x2， 即 y21<y22. ∴曲线在第一象限单调递增，在第四象限单调递减，如 图所示．
(2)已知方程 x2＋y2＝5 表示的曲线 F 经过点 A( 2，m)， 求 m 的值．
高中数学选修2-1人教A版：.1抛物线及其标准方程ppt课件
．
OF
x
四、点与抛物线的位置关系
y
F
.
o
x
五、抛物线定义的应用
1，求抛物线标准方程 2，涉及抛物线的最值问题
五、抛物线的通径、焦半径、焦点弦
1、通径：
y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
F
O
x
B (x2, y2)
焦点弦公式： ABx1x2p
焦点弦的性质
y 1、抛物线的焦点弦AB的长是否存
A
在最小值？若存在，其最小值为
多少？
O Fx B
垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛 物线的通径，其长度为2p．
2、A、B两点的坐标是否存在相关关
系？若存在，其坐标之间的关系如
何？
yA
O Fx B
2
p 1
1 k2
p tan
d 2
1 tan 2
1 1 tan 2
S 2p 2
tan 2
p tan
2
p2
1 tan 2 2 sin
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0), l的 方 程 为 ： yx1 yy2x4x1x26x10
高中数学新课标人教A版选修2-1：2.1《求曲线的方程》(第二课时)课件
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的 定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好 的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y
2)2
(y
2)2,化简得 y Nhomakorabea1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件， 选择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰
在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为
直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出
一个方程吗？
南沙群岛风光视频
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识 形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数 方法研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
高二数学选修课件：2-1-2由曲线求它的方程、由方程研究曲线
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
5 当 λ＝1 时，方程化为 x＝4，它表示一条直线，该直线 5 与 x 轴垂直且交 x 轴于点(4，0)；当 λ≠1 时，方程化为(x 1＋3λ2 2λ2 2 － 2 ) ＋y2 ＝ 2 ，它表示圆，该圆的圆心坐标为 λ －1 (λ －1)2 1＋3λ2 2λ2 ( 2 ，0)，半径为 2 . λ －1 |λ －1|
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
1．曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上，用坐
标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的特征来研究 曲线的性质． 求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标 系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为
人 教 B 版 数 学
方程，建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所
人 教 B 版 数 学
第二章
圆锥曲线与方程
[说明] 在求轨迹方程时，要注意：
① 全面、准确地理解题意，弄清题目中的已知和结论， 发现已知和未知的关系，进行知识的重新组合． ②合理的进行数学语言间的转换，数学语言包括文字 语言、符号语言和图形语言，通过审题画出必要的图形和
人 教 B 版 数 学
示意图， 将不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处
得的方程也较简单．
第二章
圆锥曲线与方程
根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重
要一环，在这里常用到一些基本公式．仔细审题，分析已 知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等 关系结合基本公式列出等式，并进行化简．
高二数学选修2-1 求曲线的方程(一) ppt
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
1
方程的曲线和曲线的方程: 一、
⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性) 就说这条曲线是这个方程的曲线 ,这个方程是 这条曲线的方程.形成
二、坐标法
解析几何
y
在平面上建立直角坐标系: 一一对应 坐标(x,y) 点 坐标化 曲线的方程 曲线
平面解析几何研究的主要问题是：
研究
f(x,y)=0
x
0
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 (1) 解:∵ kAB 2 ,∴所求直线的斜率 k = 3 (1) 2 1 3 1 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x ( y 4)
2 2
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
∴ y = x ( y 4)
2
2 2 2
2
∴ y x y 8 y 16 2 ∴ x 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
√
3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) 0 ; √ 4.化简方程 f ( x, y) 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂 ). √
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P ( M ) ;
人教版高中数学选修2-1第二章椭圆及其标准方程(二)(共19张PPT)教育课件
圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什 么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，
则 x＝x0，y＝y20.因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
高中数学(人教A版)课件 选修2-1：2.1.2求曲线方程
则这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。
4
2.解析几何有两类问题:
一是利用曲线求方程;
二是利用方程研究曲线的性质.
其中最基本的方法是坐标法.
5
二.新课
1. 如何求曲线(点的轨迹)方程？
在直角坐标系下：
点M
Ex2.△ABC顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(4,0)， BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。
(x－2)2+y2=9
(x≠5且x≠-1) y
A
以这个方程的解为坐标的点是否都在 曲线上？
B
D
C
x
9
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； 2.寻找条件:写出适合条件P的点M的集合;
Ex1.已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点 的距离相等，求动点P的轨迹方程。
7
求曲线方程的一般步骤： 1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数 对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （如果题目中已确定坐标系就不必再建立） 2.寻找条件:写出适合条件 P的点M的集合; P={M︱p(M)}, zxxkw 学 科网 3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0； 4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； 5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 8
3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出 方程f(x,y)=0；
4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点。 检验是否产生增解或漏解 10
高中数学选修2-1精品课件7：2.1.2 求曲线的方程
表示出点P的坐标.
【解析】1.设OQ为过O的一条弦,P(x,y)为其中点,Q(x1,y1),
则
x
x1 2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
y
y1 2
⇒
x1 2x,
y1
2y.
又∵(x1-1)2+y12=1,∴(2x-1)2+4y2=1(0<x≤1).
答案:(2x-1)2+4y2=1(0<x≤1)
2.如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为
2.题2哪些点的坐标已知,哪些点满足已知曲线的方徎,借助什么方法
可用这些点表示点P的坐标?
探究提示:
1.据中点坐标公式知中点P的坐标为( x1 x2 , y1 y2 ).
2
2
2.从题目的已知条件可知,点M与点O的坐标已知,点N满足已知曲线
的方程,可借助中点坐标公式,OP的中点坐标与MN的中点坐标相同
化简得:
x2
x2 x2
+y2=1(x≠±2).
4
4
【拓展提升】 1.直接法求点的轨迹方程的两个关键 关键一:建立恰当的平面直角坐标系. 关键二:找到所求动点满足的关系式.
2.“轨迹方程”与“轨迹”的辨析
【变式训练】已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2 倍,求点M的轨迹方程. 【解析】设动点M的坐标为(x,y),则点M到x轴、y轴的距 离分别为|y|,|x|.由题意知 |y|=2|x|,整理得y=±2x. ∴点M的轨迹方程为y=±2x.
二、求曲线方程的一般步骤
有序实数对(x,y)
{M|p(M)}
坐标 最简
曲线上
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已经 建立了平面直角坐标系.( ) (2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.( ) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( )
高中数学人教A版选修2-1：2.2.2求曲线方程 第2课时 课件
∴x0=2x-4，y0=图2形y-上3,相关点的坐标；（O设坐标） x
即A(2x-4，2y-（3)3）根据条件用所求轨迹上任意一点 ∵A在2x-y2=4上的坐标将已坐知标图代形入上法点的(相坐关标点表法示)出 ∴2(2x-4)+(2y-来3)。2=（4,求坐标）
即4y 2 -4x+12y知（+图42）形1=将的0已方知程图并形化上简点。的（坐代标入代化入简已） ∴线段AB的中点M（的5轨）迹验方证程有为无4特y2殊-4情x况+1（2验y证+2）1=0
D=-8,E=6,F=0. ∴有x2+y2-8x+6y=0.
待定系数法
又∵此圆弧在x轴及其上方
∴此圆弧的方程的为:x2+y2-8x+6y=0 （（0y≤≥x0≤）8）?
例O(20.,已0)知,M在1(x1轴,1及),M其2上(4方,2的)，圆求弧此C大（过圆致1点弧）用步的建待骤方立定：程适系。当数的法直求角方坐程标的 解：设圆弧所在的圆的方程为x系2+(无y2坐+标Dx系+时Ey)+；F（=建0（系其）中
例3.已知线段归A纳B的: 端点B的坐标是(4,3)，端点A曲
线C:2x-y2=4上运动，用求坐线标段代AB入的法中点(相M关的点轨法迹)求方方程程
解：设点M为(x,y的),点大A致为步(x骤0,：y0)
由中点坐标公（式1）得建立适当的直角坐y标系（无.B坐(4标,3)
x=
x 0 +4 2
,y=系 （y2时）0）2+设；3出（所建求系轨）迹上(xA0任.,y0意) 一(Mx.点,y)和已知
参数法。
三、用直译法求曲线方程的一般步骤：
1.建系设点： 建立适当的直角坐标系（无坐标系时）， 用（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；
高二数学选修2-1课件抛物线及其标准方程新人教A版1.ppt
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.