有限元静力学及动力学分析(第六章)

– 猜想m个向量 {δi}构造初始振型{δ0} – 确定初始固有频率ω0 – 确定迭代振型{δ0}1 – 确定迭代固有频率ω1 – 终止判断|（ω1 -ω0 ）/ ω0 |<e
{0}1 [K ]1[M ]{0}0

2

{0}T [K ]{0} {0}T [M ]{0}
3. ANSYS模态分析步骤
列车交会瞬态冲击压力
图4 轨道车辆门体位移和应力瞬态响应曲线
（4）谱分析
谱分析用谱值-频率分析替代时间－历程分析，主要用于确定结构对随 机载荷或随时间变化载荷(如地震、风载、海洋波浪、等等)的动力响应情 况。
变幅变频载荷下的幅频响应分析。
– 位于地震多发区的房屋框架和桥梁应该设计应当能够承受 地震载荷要求.
– 太空船和飞机的部件必须能够承受持续一段时间的变频率 随机载荷。
– 喷气发动机推力、火箭发动机振动响应 解决办法：进行谱分析来确定结构对地震载荷的影响。
第二节 模态分析
1. 术语和概念 2.模态分析方法 3. ANSYS模态分析步骤 4.模态分析实例
1. 基本方程和术语
通用运动方程： 假定为自由振动并忽略阻尼：
成40人死亡，其中包括18名年轻武警战士，
直接经济损失628万余元。
美国塔可马吊桥坍塌之谜
重庆綦江彩虹桥-新彩虹桥
2)动力学有限元分析引例
二系悬挂轨道交通车辆浮沉振动.
离散系统： 质量（包括转动惯量）模型只具有惯性 弹簧模型只具有弹性，本身质量忽略不计 阻尼模型不具有弹性，也不具有惯性，是耗能元件，相对运动时产生阻力 连续系统： 弹性体元件组成，典型的有杆、梁、轴、板壳等
在很小的η下，液压减振器的作用不明显；在共振时 （η=1），受迫振动的振幅受到明显的抑制。这说明液 压减振器除用来衰减固有振动外，还用来控制共振时的 振幅。
2、基本方程和术语
通用运动方程：
M u Cu Ku F
[F]矩阵和 {u}矩阵是简谐
的，频率为 :
[C] =[0]；
震散。那么，怎样才能避免这种结果呢?
[M ]{}[K]{} {0}
– 答案：进行 模态分析 来确定结构的振动特性
（2）谐响应分析
什么是谐响应分析？ 确定一个结构在已知频率的正弦（简谐）载荷作用下结构响应的技术。
为什么要作谐响应分析？ – 确保一个给定的结构能经受住不同频率的各种正弦载荷（例如：以 不同速度运行的发动机）； – 探测共振响应，并在必要时避免其发生（例如：借助于阻尼器来避 免共振）。
读结果 列固有频率 绘振型 制作振型动画
加谐载荷
选谐响应 设分析法 定加载法
求解简谐运动方程的三 种方法：
完整法
– 为缺省方法， 是最容易的 方法；
– 缩减法*
使用完整的 结构矩阵， 且允许非对 称矩阵（例 如：声学矩 阵）。
– 使用缩减矩 阵，比完整 法更快；
– 需要选择主 自由度，据
主自由度得 到近似的 [M] 矩阵和[C]矩 阵。
M1-69
(3) 振动方程解
增幅系数(受迫
振动与轨面正弦曲 线波幅的比值)


Z a

1 4D 2 2 (1 2 )2 4D 2 2
无阻尼时 D=0，则


Z a

1
1 2
式 中 ， η 为 频 率 比 ， η=ωp/ω ， 线 路 激 励 频 率 ωp 与结构固有频率ω之比。D为相对阻尼率，等于实 际阻尼系数C与临界阻尼系数qc之比。
自然频率 fi = i /2π 。
2. 相应的向量是 {u0} ， 即特征向量，质点振幅列矩阵，表示结构以频率 fi振动时的形状，称为振型。
2. 模态分析方法
目前常用的求解方法有广义雅可比法、逆迭代法和子空间迭代法。 （1）瑞商法 （2）子空间迭代法
（1）瑞商法
方程 M u Ku 0
波形线路的简谐激励:
Z k a sin pt
式中，ωp=2πV/L为波形线路对车轮荷重 系统的激振圆频率，V为列车速度，L为 波形线路的波长，a为波形线路的波幅， 高速线路a＝3～5 mm。
(2) 数学模型
由牛顿第二定律或达朗贝尔原理可建立振动方程。式 中 P为车体重量；M为车体质量；g为重力加速度；k为弹 簧刚度；Z为车体位移；f0位弹簧静挠度。因为静态时，车 体处于静力平衡状态，即P=Mg=kf0。
谐响应分析：用于确定横幅变 频简谐激励Pf（t）下的响应。
[M ]{} [C]{} [K ]{} {Pt}
t 1 ~ 2
[M ]{} [C]{} [K ]{} {a0 sin tt}
M1-28
（3）瞬态动力学分析
–一个网球排框架应该设计得能承受网球的冲击，但会稍 稍发生弯曲 .
1．建模 2．加载求解 3．检查分析结果
2.1动力学有限元分析原理
1) 动力学分析的原因 2) 动力学有限元分析引例 3) 动力学分析的定义和目的 4) 动力学分析类型
1) 动力学分析的原因
静力分析也许能确保一个结
构可以承受稳定载荷的条件，但 这些还远远不够，尤其在载荷随 时间变化时更是如此。
qc 2 MK ωp=2πV/L
由增幅系数与频率比η的关系曲线可见：
在o＜ η ＜1之间， η大，即运行速度高，则受迫振动 振幅大；在η ＞1时， η 大，即运行速度高，则受迫振 动振幅小。
无阻尼时，当η＝1，即自振频率等于激扰频率时， 受迫振动振幅趋于无穷大，这就时共振。共振时的机车 车辆速度称为共振临界速度Vc。Vmax<Vc，机车车辆处于 亚临界速度，V>Vc，机车车辆处于超临界速度运行。
[M]{(t)}[C]{(t)}[K]{ (t)}{Pf (t)}
3）动力学分析的定义和目的
1.什么是动力学分析? 动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和阻尼起着
重要作用时结构或构件动力学特性的技术。
2.“动力学特性”分析的目的 – 寻求结构振动特性（固有频率和主振型）以便更好地利 用或减小振动。 – 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时的动力响 应和动位移的大小及其变化规律。
F1 = 实部, Fmaxcos F2 = 虚部, Fmaxsin
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
umax= 位移幅值 =位移函数的相位角 u1 = 实部, umaxcos u2 = 虚部, umaxsin
3、 ANSYS谐响应分析步骤
频率 影响
要输 密度
前处理：定类型，画模型，设属性，分网格。 求 解：添约束，加载荷，查错误，求结果。 后处理：列结果，绘图形，显动画，下结论。
固有 频率
要输 密度
均匀 网格
前处理：定类型，画模型，设属性，分网格。 求 解：添约束，加载荷，查错误，求结果。 后处理：列结果，绘图形，显动画，下结论。
读结果 列固有频率 绘振型 制作振型动画
无需 添加
选模态 设阶次 算结果
不添约束时，前6阶振型为刚体位移，固有频率均为0.
第三节 谐响应分析
ke ke

Z Z
i j
(t） (t）
Fi (t）e [K ]e{ (t)}e
（3）整体分析
（4）通用运动方程
1.结构离散 与静力分析相同，选用适当的单元类型将连
续的弹性体离散成有限多个单元和节点。 2.单元分析
从离散的弹性体中任 意取出一个单元。利用给 定的位移插值方式表示单 元 内 任 一 点 的 位 移 {δ(t)}e, 进而确定节点的速度和加 速度。 3.整体分析 利用各节点处的变形协调条件和动力平衡条件即达朗贝尔原理，建立整体刚 度方程；
静力分析是用来计算结构在固定不变载荷作用下的响应，如位 移、应力、应变等，也就是探讨结构受到外力后变形、应力、应变的 大小。与固定不变的载荷对应，结构静力分析中结构的响应也是固定 不变的。静力分析中固定不变的载荷和响应是一种假定，即假定载荷 和结构的响应随时间的变化非常缓慢。一般来讲，静力分析所处理的 载荷通常包括
建议： 在准备进行其它动力分析之前首先
要进行模态分析。
[M ]{} [C]{} [K ]{ } {Pt} 请看下面的一些例子:
– 模态分析确定系统的固有特性，即与 – 在工作中，汽车尾气排气管装配体的固有频 外载荷，阻尼无关。则Pf（t）=0 ， 率与发动机的固有频率相同时，就可能会被
– 解决办法 ：进行 瞬态动力学分析 来计算结构对随时 间变化载荷的响应. 什么是瞬态动力分析? 它是确定随时间有确定变化关系的载荷作用下结构响应
的技术； 输入数据：作为时间函数的载荷 输出数据：随时间变化的位移和其它的导出量，如：应力和应变。
[M ]{} [C]{} [K ]{} {Pt}
4）动力学分析类型
（1）模态分析 （2）谐响应分析 （3）瞬态动力学分析 （4）谱分析
（1）模态分析
什么是模态分析?
模态分析是用来确定结构的振动特性（固有频 率和振型）的一种技术。 模态分析的好处：
– 使结构设计避免共振或以特定频率进行振动 （例如扬声器）；
– 使工程师可以认识到结构对于不同类型的动 力载荷是如何响应的；
1.定义和目的 2.术语和概念 3.谐响应分析求解方法 4.谐响应分析步骤 5. 实例-弹簧质量系统谐响应分析
1、定义与目的
1、定义与目的
1、引例-货车有阻尼受迫振动
(1) 力学模型 (2) 数学模型 (3) 振动方程解
(1) 力学模型
设波形线路简化为正弦曲线，受力分析可建立振动力学模型 (图)。
位移载荷（如支座位移等）； 稳定的惯性力（重力和离心力等）； 外部施加的作用力(集中力、面力和体力)； 温度载荷（对于温度应变）； 能流载荷（对于核能膨胀）。