微积分——多元函数及二重积分知识点

第四章 矢量代数与空间解析几何

微积分二大纲要求

了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图

形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.

会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、

垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程.

理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，

平面方程和直线方程及其求法.

第一节 矢量代数

一、内容精要 （一） 基本概念 1.矢量的概念

定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。

定义4.2两个矢量a 与b

，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a .

换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改 变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。

k a j a i a a

3211( 称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a 称为坐标式。

.||2

32221a a a a 若,0 a 记|

|0a a a

。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a 。

因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a

方向一致的单位矢量0

a ，则

.||0a a a 若},{321a a a a

，知

},cos ,cos ,{cos },

,

{

2

3

2

22

13

2

3

2

22

12

2

3

2

22

11

0 a a a a a a a a a a a a a

其中 ..是a

分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而

,cos ,cos ,cos 2

3

2

22

13

2

3

2

22

12

3

3

22211

a a a a a a a a a a a a

且.1cos cos cos 2

2

2

2.矢量间的运算

设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a

).0||,0|(||

|||cos ),0(cos |||| b a b a b

a b a b a

.cos ,

2

3

22212

3

2

22

13

32211332211b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a

a a a a a a a a 知,0cos 2

的确定（1）,sin |||||| b a b a （2）b a 与b a

,所确定的平面0,0||,||,( b a b a b a b a 即知若，方向可任意确定）垂直，且b a b a

,,构成右手系若

,, 用坐标式给出，则

b b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a

()()(121133123323

21321

由行列式的性质可知.a b b a

b a 的几何意义：b a

表示以b a ,为邻边的平行四边形

的面积，即.||sin ||||||s h a b a b a

容易知道以b a

,为邻边的三角形面积为

||2

1b a s .

图4-1

sin ||b

容易验证

.||||||2

222b a b a b a

3

2

13213

21)(c c c b b b a a a c b a

c b a

)(的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。 c b a )(的几何意义 |)(|c b a 表示以c b a

,,为邻边的平行六面体的体积，即

cos |||||)(|c b a c b a

.||cos ||||v sh h b a c b a

容易知道以c b a

,,为邻边的四面

体的体积为.|)(|6

1c b a V

b a 的应用特别重要，既若直线L 既垂直矢量a

，也垂直矢量b a b ,且不平行，则L 与b a ,确

定的平面垂直，又b a

也与b a ,确定的平面垂直，由两直线与同一平面垂面，则两直线平行.知L 与b a 平行，换句话说b a

是直线L 的方向向量，是b a ,确定平面的法矢量，这对于求直线方程

与平面方程显得非常重要。

3.矢量间的关系

1.00332221 b a b a b a b a b a

.

2.b a b a b a

,0|| 的分量对应成比例0 b 若，总存在唯一的常数 ，使

b a

。

以上是我们在实际中判断两矢量垂直与平行的常用方法，请记住.

3.c b a ,,共面c b c b a

,0)(若 不共线总存在唯一的两个实数m ,n ，使c n b m a .

4.设三个矢量321,,e e e 不共面，则对空间任一矢量a

，总存在唯一的三个常， m ,n ,使

.321e n e m e l a

a

a 图4-3 c

b 图4-4

c