复旦版数学分析答案全解ex7-4

20
3
∫ ( ) （9）面积 A = 1 2π a 2e2θ dθ = 1 e4π − 1 a 2 。
20
4
∫ ∫ （10）面积 A = 1 2π (a cosθ + b)2 dθ = 1 2π (a 2 cos2 θ + 2ab cosθ + b2 )dθ
20
20
∫ = a 2 2π 1 + cos 2θ dθ + b2π = 1 πa 2 + πb2 。
π
4 a 2 cos2 2θdθ = 2a 2
π 4
(1 +
cos 4θ )dθ
=
1 πa 2
。
20
0
2
（14）解一：令 y = tx ，则 x = 3at ， y = 3at 2 ， t : 0 → +∞ 。
1+ t3
1+ t3
于是面积
∫ ∫ A =
+∞ 3at 2 0 1+t3
⎜⎛ ⎝
3at 1+ t3
20
2
2
（11）面积
∫ ∫ A = 1
2
π
3 −π
[(3
cos
θ
)
2
3
− (1 + cosθ )2 ]dθ
=
1 2
π
3 −π
(3
+
4 cos
2θ
−
2 cosθ
)dθ
3
=π 。
∫ （12）面积 A = 4 ⋅ 1
π
4 a 2 cos 2θdθ = a 2 。
20
∫ ∫ （13）面积 A = 8 ⋅ 1
=
2
02⎜⎜⎝⎛ (1 −
y2 4
)−( y2 4
− 1) ⎟⎟⎠⎞dy
=
2
2
(2 −
0
y2 2
)dy
=
16 。
3
（3）面积
A
=
π
∫0
sin 2
xdx
=
1 2
π
∫0
(1 −
cos 2x)dx
=
π 2
。
231
∫ （4）面积 A = 1 (e x − e−x )dx = e + 1 − 2 。
0
e
∫ ∫ ∫ （5）面积 A =
设过焦点的弦的极角为α ，则它与抛物线所围的面积为
∫ A(α ) = 1 α +π 4a 2 dθ 。
2 α (1 − cosθ )2
233
由
A' (α )
=
2a
2
⎜⎜⎝⎛
(1
+
1 cosα
)
2
−
⎟⎞′ dt ⎠
= 9a2
+∞ (1 − 2t 3 )t 2 dt ，
0 (1 + t 3 )3
令 u = t 3 ，则
232
∫ ∫ A = 3a2
+∞ (1 − 2u) du = 3a 2 0 (1 + u)3
+ 0
∞
⎜⎜⎝⎛
(1
2 + u)
2
−
3 (1 + u)3
⎟⎟⎠⎞du
=
3 a2 2
。
解二： 将 x = r cosθ , y = r sinθ 代入 x3 + y3 = 3axy 中，得到
r = 3a sinθ cosθ ，θ ∈[0, π ] ，
sin 3 θ + cos3 θ
2
于是面积
∫ ∫ A = 9a2
π 2
sin 2 θ cos2 θ
dθ = 9a 2
π 2
tan 2 θ
d tanθ
2 0 (sin 3 θ + cos3 θ )2
2 0 (tan3 θ + 1)2
= − 3a 2 ⋅
2πa 2 。
⒉ 求由抛物线 y2 = 4ax 与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。
解 选取焦点 (a,0) 为极点, x 轴为极轴，建立极坐标。 则由
x = r cosθ + a, y = r sinθ 代入抛物线的方程 y 2 = 4ax 中，可得抛物线的极
坐标方程为 r = 2a 。
1 − cosθ
10
ln x dx =
10
ln xdx −
1 ln xdx = x(ln x − 1) 10 − x(ln x − 1) 1
0.1
1
0.1
1
0.1
= 99 ln10 − 81 。
10
10
∫ ∫ （6）面积 A =
2
(2t
2
− t 3 )(2 − 2t)dt
=
2
2
(2t
2
− 3t 3
+ t 4 )dt
习 题 7.4
⒈ 求下列曲线所围的图形面积： ⑴ y = 1 ， y =x ，x = 2；
x
⑵ y 2 = 4( x + 1) ， y 2 = 4(1 − x) ；
⑶ y = x ， y = x + sin2 x ， x = 0 ， x = π ；
⑷ y = ex ， y = e−x ， x = 1；
⑸ y = | ln x | ， y = 0 ， x = 0.1 ， x = 10 ；
⑹
叶形线
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
2t 2t 2
− t2, − t3,
0≤t ≤2；
⑺
星形线
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
a a
Fra Baidu bibliotek
cos3 sin 3
t, t,
0 ≤ t ≤ 2π ；
(8) 阿基米德螺线 r = aθ, θ = 0, θ = 2π ；
(13) 四叶玫瑰线 r = a cos 2θ 。
(14) Descartes 叶形线 x3 + y3 = 3axy ；
(15) x 4 + y 4 = a 2 ( x 2 + y 2 ) .
∫ 解（1）面积 A =
2
(x
−
1 )dx
=
(1
x2
−
ln
x)
2
=
3
−
ln
2。
1
x
2
12
∫ ∫ （2）面积
A
1
π 2
=
3
a2
。
2 tan 3 θ + 1 0 2
（15）将 x = r cosθ , y = r sinθ 代入 x 4 + y 4 = a2 ( x 2 + y 2 ) 中，得到
于是面积
r2 =
a2
，
sin 4 θ + cos4 θ
∫ ∫ A = 4 ⋅ 1
π 2
a2
dθ = 2a 2
π 2
tan 2
=
8。
0
0
15
π
π
∫ ∫ （7）面积 A = 4 2 a cos3 t ⋅ 3a sin 2 t costdt = 12a2 2 (cos4 t − cos6 t)dt
0
0
= 12a 2 ⎜⎛ 3 π − 15 π ⎟⎞ = 3 πa 2 。
⎝16 96 ⎠ 8
∫ （8）面积 A = 1 2π a 2θ 2dθ = 4 π 3a 2 。
θ
+1d
tan θ
，
2 0 sin 4 θ + cos4 θ
0 tan 4 θ + 1
令 t = tanθ ，则
∫ ∫ A = 2a2
+∞ t 2 + 1 dt = 2a 2 0 t4 +1
+∞ d (t − t −1 ) 0 (t − t −1 )2 + 2
=
2a 2 arctan t − t −1 +∞ = 20
(9) 对数螺线 r = a eθ , θ = 0, θ = 2π ；
(10) 蚌线 r = a cos θ + b （ b ≥ a > 0 ）；
(11) r = 3cos θ ， r = 1 + cos θ ( − π ≤ θ ≤ π )；
3
3
(12) 双纽线 r 2 = a 2 cos 2θ ；