仰角、俯角 方位角概要
仰角俯角和方位角
·
F
·
12
11
10
30°
9
B
·
如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里内有 暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东 航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的 方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得 灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?
问题的本质：
？
C
B
被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 60°, 斜边AB=30,求AC的长
问题本质是 直线与圆的关系
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
D 45°
β
x
C
x
A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
O
45°
B
L U D
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
北
P·
40
30° 30°
20√2
B
M N
东
C
A
针对性习题2：A、B两镇相距60km，小山C在A镇的 北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经 探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有 大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房 修路．现计划修筑连接A、B两镇的一条笔直的 公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
九年级下册数学仰角和俯角知识点
九年级下册数学仰角和俯角知识点九年级下册数学知识点: 仰角和俯角在九年级的数学学习中，仰角和俯角是两个重要的概念。
仰角和俯角是与水平线之间的夹角，用于描述物体在垂直方向上的视角。
在日常生活中，我们经常会用到仰角和俯角的概念，比如测量高楼的高度、确定飞机的飞行高度等等。
接下来，让我们深入了解仰角和俯角吧。
一、仰角和俯角的定义仰角和俯角是与水平线之间的夹角，用来描述物体在垂直方向上的视角。
仰角是指从水平线向上看时，视线与水平线之间的夹角；俯角则相反，是指从水平线向下看时，视线与水平线之间的夹角。
例如，当我们仰望一棵树时，我们所看到的视线与水平线之间的夹角就是仰角；而当我们低头俯视地面时，视线与水平线之间的夹角就是俯角。
二、仰角和俯角的计算方法我们可以通过三角函数来计算仰角和俯角的数值。
一般来说，我们会用正切函数来求取夹角的数值。
例如，假设一架飞机在空中低飞，飞机和地面之间的夹角为35度。
我们可以通过计算正切函数来求得仰角（从地面向上看时的夹角）和俯角（从飞机向下看时的夹角）的数值。
正切函数的公式为：tanθ = 对边 ÷邻边在这个例子中，飞机和地面之间的夹角为35度，我们可以假设对边（飞机在地面上的高度）为x，邻边（飞机离开地面的水平距离）为1。
代入公式，我们就可以求得正切值。
通过反函数，我们可以得到对应夹角的数值，也就是仰角和俯角。
三、仰角和俯角的应用仰角和俯角的应用非常广泛。
比如在航空领域，飞行员需要准确测量飞机与地面之间的仰角或俯角来确保飞行的安全。
而在建筑领域，工程师需要计算仰角和俯角来确定大楼的高度和斜坡的陡峭程度。
此外，仰角和俯角也在数学的几何和三角学中有着重要的应用。
它们是理解和计算立体图形、三角形、锥体等形状的关键概念之一。
四、总结仰角和俯角是九年级下册数学中的重要知识点。
通过了解仰角和俯角的定义、计算方法和应用，我们可以更好地理解和运用这一概念。
无论是在生活中还是学习中，仰角和俯角都有着广泛的应用价值。
九下数学课件仰角、俯角和方向角有关的问题(课件)
(参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93) A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
题型一 仰角、俯角问题
解：过点E作EF⊥CD于点F，过点E作EM⊥AC于点M，如图． ∵斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1:2.4，∴设EF＝x米，则DF＝2.4x米． 在Rt△DEF中，DE＝78米，∵EF2＋DF2＝DE2，∴x2＋(2.4x)2＝782， 解得x＝30(负值舍去)，∴EF＝30米，DF＝72米．∴CF＝DF＋DC＝72＋78＝150(米)． ∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形．∴EM＝CF＝150米， CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°， ∴AM＝EM·tan 43°≈150×0.93＝139.5(米)， ∴AC＝AM＋CM≈139.5＋30＝169.5(米)． ∴AB＝AC－BC≈169.5－144.5＝25(米)． 故选D.
为50°，则建筑物AB的高度约为( D )
(参考数据：sin 50°≈0.77；cos 50°≈0.64；tan 50°≈1.19) A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
题型一 仰角、俯角问题
【变式2】如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操
作：
①在点C处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角∠ACE＝α； ②量得测角仪的高度CD＝a；
题型一 仰角、俯角问题
【变式4】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的
俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为__________米(结果保留根
仰角与俯角概述[文字可编辑]
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8
如图：
α
A
1200m
B
C
解：在RtΔABC中，
sinB=AC/AB,
∴AB=AC/sinB=AC/sin16°31′
≈1200/0.2843
=4221（米）
答：飞机A到控制点B的距离为4221米。
90度 B
1.5米.
C
24米
30度 E 5D
解： 在 Rt ? ABE 中 ,
? tan? AEB? AB
BE
A
? AB ? BE ?tan ? AEB
24 B 90
1.5
C
30
E
D
? BE ?tan 30? ? 24? 3
3 ? 8 3(米)
AC ? AB ? BC
? 8 3 ? 1.5 ? 15.4(米)
答：旗杆的高为15.4米。
6
例2.河的对岸有水塔AB, 今在C处测得塔
顶A的仰角为30°，前进 20米到D处，
又测得塔顶A的仰角为60°.
求塔高AB.
解： ? ? ADB是? ACD的外角
? ? ADB ? ? C ? ? CAD
示意图
? ? C ? 30?, ? ADB ? 60? A ? ? CAD ? 30?
? CD ? AD
? CD ? 20米
? AD ? 20米
30
C
60
D
B 又 ? ? B ? 90?
AB ? sin 60? ?
AD
? AB ? AD sin 60? ? 10 （3 米
仰角和俯角的意思
仰角和俯角的意思仰角和俯角是物理学中常用的概念，用于描述物体或光线与地平面的夹角。
在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛。
本文将详细介绍仰角和俯角的概念、计算方法及实际应用。
1. 仰角仰角是指物体或者观测点朝天空方向偏离地面的角度，通常用竖直线与视线的夹角来表示。
在天文学中，仰角通常用于描述天体在天空中的位置。
在观测卫星时，需要知道卫星的仰角，以便调整观测仪器的朝向和位置。
2. 俯角二、仰角和俯角的计算方法1. 计算方法（1）在地理测量中，仰角和俯角可以通过测量两点之间的水平距离和垂直距离来计算。
假设A点比B点高h米，则A点到B点的俯角为atan(h/d)，其中d为A点到B点的水平距离。
如果B点比A点高，则仰角为90度减去俯角。
（2）在天文学中，仰角可以通过观测天体时测量天顶角（垂直于地面的角度）和天体高度角（天体与地平面的夹角）来计算。
仰角=90度-天体高度角。
俯角=天体高度角。
（3）在航空航天领域中，仰角和俯角需要通过仪器进行测量。
无人机上装有摄像头，可以通过调整仰角和俯角来改变拍摄视角。
2. 测量仪器（1）测距仪：可以测量两点之间的水平距离和垂直距离。
（2）全站仪：可测量目标物体的仰角、方位角和距离等参数。
三、仰角和俯角的实际应用1. 航空航天在航空航天中，仰角和俯角的应用非常广泛。
飞机、无人机等航空器需要根据目标物体的仰角和俯角来选择飞行高度，调整拍摄角度等。
在航天探测中，也需要测量行星、卫星等目标物体的仰角和俯角。
在地理测量中，仰角和俯角用于计算两点之间的高度差，确定地形高低等。
地面的地形特征对于城市规划、农业种植等方面有着重要的参考价值。
3. 天文观测在天文观测中，仰角和俯角通常用于描述恒星、行星等天体在天空中的位置。
天文观测对于了解宇宙的物理特性和演化历史具有重要的意义。
四、小结仰角和俯角是物理学中重要的概念，在导航、航空航天、地理测量等领域有着广泛的应用。
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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目录
01.
02.
26方位角与仰俯角
高考第一轮复习
• 4．(2013·梅州模拟)如图3－8－3，为 了测量河的宽度，在一岸边选定两点A， B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°， ∠CBA＝75°，AB＝120 m．则这条河的 宽度为________m.
台山市李谭更开纪念中学数学组
高考第一轮复习
【解析】 因为∠ CAB＝ 30° ，∠CBA＝ 75°， 则∠ ACB＝ 180°－ 30°－ 75°＝ 75°， 所以 AC＝ AB＝120 m， 1 1 1 所以 S△ ABC＝ · AC· AB· sin A＝ ×120× 120× ＝3 2 2 2 600， 1 设这条河的宽度为 h，则S△ ABC＝ × AB·h， 2 1 ∴ h＝ AC· sin A＝ 120× ＝ 60(m)． 2
【答案】
60
台山市李谭更开纪念中学数学组
高考第一轮复习 • 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作
直线（如图）．1号救生员在A处的瞭望台 上观察海面情况，发现东北方向海中的B处 有人求救．他有两种方案进行救助，方案 一：向前跑300米到离B最近的D点,再跳入 海中游到B点救助；方案二：从A处入海， 沿AB方向径直前往救援．1号救生员选择了 方案一。若每位救生员在岸上跑步的速度 是6米/秒，在水中游泳的速度是2米/秒。 (1)请问1号救生员的做法是否合理? (2)若2号救生员从A跑到C, B在C的北偏东 25°方向，再跳入海中游到B点救助,请问 谁先到达B? （参考数据：sin65°≈0.9， cos65°≈0.4，tan65°≈2，）
sin6509cos6504tan652台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习?如图某校的教室a位于工地o的正西方向且oa200m一台拖拉机从o点出发以每秒5m的速度沿北偏西53方向行驶设拖拉机的噪声污染半径为130m试问教室a是否在拖拉机的噪声污染范围内
方位角与仰俯角
测量设备
罗盘
罗盘是一种常用的测量方位角的 工具，通过磁针指示方向，可以
测量出目标物的方位角。
陀螺仪
陀螺仪可以测量出物体的仰俯角和 方位角，其原理是利用高速旋转的 陀螺在空间中的进动和自转来测量 角度。
全站仪
全站仪是一种集成了测距、测角、 数据处理等多种功能的测量仪器， 可以测量出目标物的三维坐标、仰 俯角和方位角等参数。
环境因素
环境因素如磁场干扰、温度变化等也会影响测量精度，需要在测量 时尽量减少这些因素的影响。
操作误差
操作人员的技能水平和经验也会影响测量精度，正确的操作方法和 熟练的操作技能可以提高测量精度。
05 2 3
定位目标
在军事领域，方位角和仰俯角是确定目标位置的 重要参数，有助于精确制导和射击。
导航
在复杂的地形和气象条件下，通过测量方位角和 仰俯角，可以确定军用车辆、飞机和舰艇的准确 位置，进行导航。
情报侦察
通过测量和分析不同地点的方位角和仰俯角，可 以获取敌方阵地、装备部署等信息，为军事决策 提供依据。
航空应用
飞行控制
01
在飞机导航和控制系统，方位角和仰俯角是重要的飞行参数，
用于确定飞行方向和高度，确保安全飞行。
方位角与仰俯角
目录
• 方位角 • 仰俯角 • 方位角与仰俯角的转换关系 • 方位角与仰俯角的测量工具 • 方位角与仰俯角的实际应用
01
方位角
定义
• 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，范围是 0°到360°。
计算方法
01
02
03
计算公式
方位角 = arctan((y坐标 值/x坐标值)×tan(北向角 度))。
在定位系统中的应用
方位角和俯仰角的定义
方位角和俯仰角的定义方位角和俯仰角是天文学和航海学中常用的两个概念，它们在测量和导航中具有重要的意义。
方位角和俯仰角分别用于描述天体或目标的水平方向和垂直方向的位置，这两个参数相互配合可以准确地确定目标的位置和方向。
首先，方位角是指目标相对于参考点的水平方向角度。
通常来说，参考点是指观察者所在的位置，也可以是导航设备上设定的目标位置。
方位角的测量通常是以北方为参照，顺时针方向称为东方，逆时针方向称为西方，这样可以将角度限制在0到360度之间。
方位角的测量可以通过使用罗盘或方位仪等导航设备来完成。
方位角的准确测量对于导航和定位非常重要，例如在航海中确定船只与陆地或其他船只之间的相对位置。
另外，俯仰角是指目标相对于水平面的垂直方向角度。
俯仰角通常用于描述天空中的天体，例如太阳、月亮和星星等。
俯仰角的测量从水平面开始，向上垂直方向为正值，向下为负值。
俯仰角的测量可以通过天文仪器如望远镜或者倾斜传感器等来完成。
在航天、航空等领域，俯仰角的准确测量对于目标的追踪和导航非常重要。
方位角和俯仰角在实际应用中有着广泛的应用。
在天文学中，方位角和俯仰角可以用于确定星体的位置，帮助天文学家观测和研究星体的运动和特性。
在航空航天领域，方位角和俯仰角可以用于飞行器的导航和自动控制系统，实现准确和安全的飞行。
在地理测量和地图制作中，方位角和俯仰角可以用于确定地点之间的方向和相对位置，帮助人们进行定位和导航。
为了准确地测量方位角和俯仰角，在实际操作中我们需要注意一些要点。
首先，需要选择合适的参照点和参考面，确保测量的准确性和一致性。
其次，需要使用精准的仪器和测量方法，避免误差和偏差的积累。
最后，要根据具体的应用需求和情境，选择合适的坐标系统和单位，使测量结果更易于理解和应用。
总而言之，方位角和俯仰角是描述目标水平和垂直方向位置的重要参数。
它们在天文学、航海学和导航等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，准确测量和理解方位角和俯仰角对于定位和导航至关重要。
方位角俯角仰角课件
从而
答：这根电线杆与这座楼的距离约为112m.
实际问题
建立几何模型
转化
B
数学问题
A
75° · D
C
1.5m 28.5m
解直角三角形
例3 ： 如图，河对岸有一铁塔AB,测角器的高
度为1m,在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前 进16m到达D,在D处测得塔顶A的仰角为45°, 求铁塔AB的高。 A 分析： 解决此题的关键是什么？ 根据题意画出 几何模型
布置作业：
1、为了测量顶部不能到达的建筑物AB的高度，现在地 平面上取一点C,用测量仪器测得A点的仰角为45°,再向 前行走20m取一点D，使点D在BC的延长线上,此时测得 A点的仰角为30°,已知测角仪器的高为1.5m,求建筑物 A AB的高度。
F D
30º E
45º
G B
C
布置作业：
2、如图，在一座山的山顶处用高为1m的测角器望地面 C、D两点，测得俯角分别为60°和45° ，若已知DC长 为20m,求山高。
答： AC = 2400 tan 60
= 4157(m ) .
A B
图4-27
2400m
C
2、A港在B地的正南方10千米处，一艘轮船由A 港开出向西航行，某同学第一次在B处测得该 船在南偏西30°，半小时后又测得该船在南偏 西60°，求该船速度.
例2 如图4-26，在高为28.5m的楼顶平台D处，用仪 器测得一路灯电线杆底部B的俯角为 15 ，仪器高度 AD为1.5m.求这根电线杆与这座楼的距离BC(精确到 1m).
视线 铅 直 线 视线 仰角 俯角 水平线
例1 如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸 成 30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸 的距离.
仰角、俯角和方位角
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
A
300
D 60° F x
E
30°
C
x
B
3、在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已 知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
30米30°
①弄清已知条件及要求解的问题。 ②画图将实际问题转化为数学问题。 ③寻找解题途径。 ⑷解、答
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂 线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为 解直角三角形问题。 （3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知 数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设 图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三 角形联系密切的特殊线段为未知数。
·
F
·
12
11
10
30°
9
B
·
如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里内有 暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东 航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的 方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得 灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?
问题的本质：
？
C
B
被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 60°, 斜边AB=30,求AC的长
问题本质是 直线与圆的关系
例2.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
26.4 解直角三角形的应用 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件课件
1.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点
A,B在同一水平面上)．为了测量A、B两地之间的距离，一
架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观 察B地的俯角为α，则A,B两地之间的距离为( D )
A. 800sinα米 C．s8in00 米
B. 800tanα米 D．t8an00 米
解：过点C作CD⊥AB于点D，
,
∵AD＋BD＝AB，
,
在Rt△BCD中，
,
在Rt△ACD中，
,
,
747－600＝147 km.
答：飞机的飞行路程比原来的路程600 km远了
147 km.
解 直
仰角、俯ห้องสมุดไป่ตู้： 当从低处观测高处的目
标时，视线与水平线所成的
角
锐角叫做仰角；当从高处观
三
测低处的目标时，视线与水
2024年秋季 数学 冀教版 九年级上册
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念. 2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
重点 运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
难点 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系， 从而解决问题.
知识点2 方向角 方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫 做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角 分别表示_北__偏__东___60°，_南__偏__东___45°(或__东__南__方__向__)， __南__偏__西___80°及__北__偏__西___30°.
AD
tan 30
AD BD AB，AB 30 40 20， 60
解直角三角形(2)仰角与俯角、方位角、坡角(比)问题(知识讲解)2022-2023学年九年级数学下册
专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。
方位角和俯仰角的取值范围
方位角和俯仰角的取值范围
方位角和俯仰角是空间中位置和方向的两个重要参数。
方位角指
的是某一点相对于某一基准点的方向角度，通常用度数表示，数值范
围为0-360度。
在天文学中，方位角指的是某一恒星相对于地球观测
者的方向角度。
例如，在北半球，北极点的方位角为0度，东方的方
位角为90度，南方的方位角为180度，西方的方位角为270度。
俯仰角是指某一点或某一物体相对于水平面的仰角或俯角。
在天
文学中，俯仰角通常指的是天空中某一恒星或行星相对于地平线的仰
角或俯角。
俯仰角一般用度数表示，其数值范围为-90度到90度。
例如，在北半球观测到的天空中，天顶的俯仰角为90度，地平线的俯仰
角为0度，而南方的天空中某一星座的俯仰角则需要具体情况具体分析。
方位角和俯仰角的测量是天文学研究和定位的重要工具。
通过测
量一个天体的方位角和俯仰角，就可以确定其在天空中的位置。
同时，方位角和俯仰角也被广泛应用于导航、航空、地质、军事等领域。
在
实际使用过程中，为了避免混淆，通常将方位角和俯仰角分别用不同
的符号表示，例如方位角用“Az”表示，俯仰角用“Alt”表示。
这样
就方便人们在探索和研究天文学、地质学、军事等领域时更有效地使
用这些参数。
方位角和俯仰角的取值范围
方位角和俯仰角的取值范围方位角和俯仰角是天文学中常用的两个角度参数，用于描述天体在天空中的位置。
方位角指的是天体相对于北极点的方向角度，俯仰角则是天体相对于地平面的高度角度。
在天文观测中，方位角和俯仰角的取值范围对于观测的准确性和有效性具有重要意义。
方位角的取值范围通常是0°到360°之间，以北极点为基准，顺时针方向为正。
北极点的方位角为0°，东方为90°，南方为180°，西方为270°。
在实际观测中，方位角的取值范围可以根据观测场地的位置和观测目标的运动轨迹进行调整。
例如，在地球表面观测行星运动时，方位角的取值范围会随着行星的位置和运动方向而变化。
俯仰角的取值范围通常是0°到90°之间，以地平面为基准，垂直于地面为正。
观测目标的俯仰角越高，其在天空中的位置就越高。
在实际观测中，俯仰角的取值范围也会随着观测场地的位置和观测目标的高度而变化。
例如，在赤道地区观测天体时，俯仰角的取值范围可以达到90°，而在北极地区观测时则可能只有20°左右。
方位角和俯仰角的取值范围对于天文观测的准确性和有效性具有重要意义。
首先，正确设置方位角和俯仰角的取值范围可以确保观测目标在天空中的位置被准确地确定和记录。
其次，合理地设置方位角和俯仰角的取值范围可以提高观测的效率和准确性，避免观测误差和重复观测的浪费。
最后，方位角和俯仰角的取值范围还可以帮助天文学家更好地理解天体在天空中的运动规律和变化趋势，为天文学研究提供更加准确和全面的数据支持。
综上所述，方位角和俯仰角是天文学中常用的两个角度参数，其取值范围对于天文观测的准确性和有效性具有重要意义。
正确设置方位角和俯仰角的取值范围可以确保观测结果的准确性和完整性，为天文学研究提供重要的数据支持。
方位角和俯仰角的定义[001]
![方位角和俯仰角的定义[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/0581da27640e52ea551810a6f524ccbff121caab.png)
方位角和俯仰角的定义
方位角和俯仰角是天文学中常用的两个概念，用来描述天体在观测者视线方向上的位置。
方位角描述了天体与观测者的连线与北方向的夹角，而俯仰角则描述了天体相对于观测者视线的高度角。
方位角通常以度数来表示，从0度开始逆时针旋转，一直到360度。
当方位角为0度时，表示天体位于正北方向；90度表示东方；180度表示正南方；270度表示西方。
方位角的计算可以借助罗盘或者通过天体在天球上的坐标计算得到。
而俯仰角则表示了观测者视线与天体间的垂直夹角。
当俯仰角为0度时，表示天体位于观测者正上方；90度则表示天体在地平线上；当俯仰角超过90度时，表示天体在地平线以下。
掌握方位角和俯仰角的概念对于天文观测是至关重要的。
在进行天体观测时，观测者需要准确地确定天体在视线方向上的位置，才能精确测量其位置和运动。
方位角和俯仰角的测量也是天文仪器设计和编程的基础，帮助观测者确定观测目标的位置和朝向。
在实际观测中，观测者通常会使用专业的天文仪器来测量方位角和俯仰角。
例如，望远镜、天文定位仪等设备可以测量出星体在天球上的坐标，然后根据观测者所处地理位置，计算出相应的方位角和俯仰角。
除了天文观测，方位角和俯仰角的概念也在其他领域有所应用。
例如，无人机、导航系统、航空航天等领域都需要确定目标的方位角和俯仰角，以便准确控制和引导。
总结来说，方位角和俯仰角是天文学中用于描述天体位置的重要概念。
准确测量方位角和俯仰角对于天文观测和其他领域的定位和导航都是至关重要的。
学习和掌握方位角和俯仰角的概念将有助于我们更好地理解天文现象，并在实践中应用这些知识。
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A 30˚ 60˚ D X
N1
N
60˚ 30˚
24海里
C
B
答：货轮无触礁危险。
1 某海防哨所(O)发现在它的北偏西30°,距离500m的 Ａ处有一艘船．该船向正东方向航行，经过３分钟到达 哨所东北方向的Ｂ处．求这船的航速是每时多少km?
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
A
B
D
40
C
例２ 河对岸有水塔ＡＢ．在Ｃ处测得塔顶的仰角为 ３０°，向塔前进１２m到达Ｄ，在Ｄ处测得Ａ的仰 角为４５°，求塔高．
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α =60o，在塔底D测得点A的俯角β =45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
D
β
C
A
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题 如下：(1）沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
C
D
x B
旗用的绳子（绳子足够长），王同学拿了 一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300 的三角板去度量旗杆的高度。 （ （ 3）此时他的数学老师来了一看，建 2 ）若王同学分别在点C、点D处将 （ 1 ）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角 0、 议王同学只准用卷尺去量，你能给王 旗杆上绳子分别拉成仰角为 60 为 600，如图用卷尺量得BC=4 米，则 同学设计方案完成任务吗？ 300，如图量出 CD=8米，你能求出 旗杆 AB的高多少？ 旗杆AB的长吗？
考题再现
1、 （2007旅顺）一个钢球沿坡角31 °
的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的
高度是(单位：米)（ B ）
A. 5cos31 ° B. 5sin31 °
5米 310
C. 5tan31 °
D. 5cot31 °
2、 (2008年温州)如图:在Rt△ABC中,CD 是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3.则
sinB= 3
4 解:在Rt△ABC中 ∵ CD是斜边AB上的中线, ∴ AB=2CD=4, AC sinB= AB 3 = 4
直角三角形斜边 上的中线等于斜 边的一半
A
D
C
B
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线
仰角
俯角 视线
5、学校操场上有一根旗杆，上面有一根开
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA A
D
300
60
0
B
8 m
600 4m
B
2.如图，AB和CD是同一地面上的两座 相距36米的楼房,在楼AB的楼顶A点测得 楼CD的楼顶C的仰角为450，楼底D的俯 角为300，求楼CD的高？(结果保留根号)
C
A
450 300
B
36
D
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
解：过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24
二、例题赏析
在Rt△ADC中， AD ∵ tan∠DCA=-----DC ∴AD= tan600x= 3 x 在Rt△ADB中， AD √ 3 x ∵ tan30˚= ---- = -------BD X+24 X=12 AD≈12×1.732 =20.784 > 20
视线 铅 直 线 仰角 俯角 视线 方向角 水平线
西 O 东 北 30°
A
45°
B 南
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？
60°
P
A C
80
30°
B
如图:一艘轮船由海平面上A地出发向南 偏西400的方向行驶40海里到达B地,再 由B地向北偏西200的方向行驶40海里到 达C地,则A,C两地的距离为 ____ 40海里 北
C
400
A 北
20
有一个角是600的三 角形是等边三角形
D 0
B
1.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航 行，有没有触礁的危险？
水平线
例:热气球的探测器显
示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高 楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
B
30 ° 120 60°
A
D
C
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度。
A
30°
60°
B
12
D
F
3.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里 以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和 B 之间的距离为150海里，海岸线是过A、B的一条 直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450， 同时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国 船只发出警告，令其退出我国海域.
P
A
B
王英同学从A地沿北偏西60º 方向走100m到B地， 再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英 同学离A地多少距离？
北 E B 西 D
100m 600
东 A
200m
南 C
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货 轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海 里到C，见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无 触礁的危险？