天津大学自动化原理 第四章 频域分析方法2 夏超英
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T1 T2
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1 j T2 1 10 T1 1
1 B : ( ) T2 1 A : ( ) T2
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稳定
（a）
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（b）
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（c）
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p0
p 1
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稳定
稳定
不稳定
（d）
（e） 几个应用奈奎斯特判据判稳的例子
（f）
3、系统开环传递函数有虚轴上的极点时的奈氏判据 若系统开环传递函数有虚轴上的极点，则开环传递函数的幅相频率特性在这些 点上没有定义。在这种情况下，必须对奈氏路径略作修改，以避开这些开环极点， 修改后的奈氏路径记为闭曲线 s ，如下图（a） 、 （b）所示。 对奈氏路径做上述修改后，替代开环幅相频率特性曲线无定义（间断）点的， 是 s 平面上围绕虚轴上开环极点的半径无穷小半圆映射到 G( s) H ( s) 平面上半径为 无穷大的圆弧。 当 s 按图中所示的方向沿半径为无穷小半圆转过 180 时， G( s) H ( s) 平面上半径为无穷大的圆弧所转过的角度，等于半径无穷小半圆所绕的开环极点的 重数 180 ，即半径为无穷大的圆弧总是顺时针方向旋转的。
j
[s]
F ( s1 )
j
[ F ( s)]
z2 z1 s1 p3 p2 p1
F
z3
s
2、奈氏稳定性判据 用开环传递函数 G( s) H ( s) 构造辅助函数 F (s) 1 G(s) H (s) ，显 然 F ( s ) 的极点即开环传递函数的极点， F ( s ) 的零点即闭环传递函数的 极点。当 F ( s ) 在右半闭复平面上没有零点时，闭环系统就是稳定的。 设开环传递函数 G( s) H ( s) 在右半开复平面不稳定极点的个数为 p ，且没有虚轴上的开环极点。将 s 复平面的虚轴和右半 s 复平面中半 径为无穷大的半圆取为闭曲线 s ，称为奈氏路径，如下左图所示。当 s 沿闭曲线 s 顺时针方向变化一周时，辅助函数 F ( s ) 曲线绕原点逆时针 方向旋转的圈数 n 等于 F ( s ) 在右半开平面的极点数 p 减去 F ( s ) 在右半 开平面的零点数。
0
A
0
在 上 图
A 、 B
弧 段 上 ，
G(s) H (s) G0 (0) ( e j ) ke j
s e j 。 0 时 有 。当 s 在奈氏路径上由 A 到 B 点变化
时， : 0 2 变化，即从实轴上开始逆时针方向转 90 ，像函数 G( s) H ( s) 从实轴上 G0 (0) k 的方向开始，顺时针方向沿半径无穷大圆弧转过 90 。 当开环传递函数有虚轴上的极点时，处理方法相似。 经过上述修改和补充后，将开环传递函数在原点和虚轴上的极点看成是位 于左半平面稳定的极点，则奈氏稳定性判据仍然成立。
L(dB)
20
20 40
0.1
0.5
1
10
60
45
90
180 270
例题：设系统开环传递函数为
G ( s) H ( s)
10 (2s 1)( s 1)(0.1s 1)
试应用对数频率特性判定稳定性。若系统开环增益增大 10 倍又如何？ 解：系统对数频率特性如下左图所示。在 L( ) 0 范围内，相频特性曲线对 180 线 没有穿越，即 N N 0 0 p 2 0 2 0 ，故闭环系统稳定。 开环增益增 10 倍，幅频特性上移 20dB ，相频特性不变，对数频率特性如下右图 所示，此时 N N 0 (1) 1 ，故闭环系统不稳定。
j
j
[s]
O 0
[G ( s ) H ( s )]
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B
'
'
[G ( s ) H ( s )]
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
1
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A'
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A
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（a）
（b）
（c）
例题：设系统开环传递函数为
G( s) H ( s)
k ( 1s 1) (T1s 1)(T22 s 2 1)
设 k 0 ，试用奈氏判据判定系统的稳定性。 解：奈氏路径如下左图所示。映射曲线分 1 T1 和 1 T1 两种情况。1 T1 时，幅 相特性曲线不包围 (1, j0) 点， 闭环系统稳定； 幅相特性曲线包围 (1, j0) 1 T1 时， 点，闭环系统不稳定，如下图所示。
j
[s]
j
[ F ( s)] p0
R
0
0
1
0
s
因为总有 G( j)H ( j ) 0 ，只需考虑奈氏路径中沿虚轴变化这一部分 的映射曲线就可以了。 而且， 开环传递函数的分子、 分母多项式都是实系数的， 故 从 到 0 变化时和 从 0 到 变化时， F ( j ) 映射曲线关于实轴是 对称的。故有下面的奈奎斯特稳定性判据： 设负反馈系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) ，G( s) H ( s) 在右半复平面上 极点个数等于 p ，则当 : 0 变化时相角增量
180
0
A
L( )
40
20 lg k
60
1
1 T
180 线 穿 越 1 次 ， 没 有 正 穿 越 ， 于 是 有 N N 0 (1) 1，因此，无论 k 0 、T 0
[1 G( j) H ( j)] p
则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 因 为 1 G (s ) H (s ) 复 平 面 上 的 原 点 相 当 于 G( s) H ( s) 复 平 面 上 的
(1, j 0) 点，故奈氏判据也可以表示成： 设负反馈系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) ，G( s) H ( s) 在右半复平面上 极点个数等于 p ，则当 : 0 变化时，像函数 G( s) H ( s) 平面上的频率特 性曲线 G( j ) H ( j ) 逆时针方向绕 (1, j 0) p 2 周，则闭环稳定，否则不稳
例题：设单位反馈系统开环传递函数为
G(s)
k s (Ts 1)
设 1, 2 ， k 0 ，试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。 解： 1 时，开环幅相频率特性曲线如下图（b）所示。因为开环传递函数没有 右半平面的极点， p 0 ，映射曲线 AB O 不包围 (1, j0) 点，故闭环系统稳定。 在 2 时，开环幅相频率特性曲线如下图（c）所示。因为系统开环传递函数没 有右半平面的极点， p 0 ，映射曲线 AB O 包围了 (1, j0) 点，故闭环系统不 稳定。
定。 若出现 G( j ) H ( j ) 曲线穿过 (1, j 0) 的情况，则相应的频率值 1 必满 足方程 1 G( j1 ) H ( j1 ) 0 ，即闭环传递函数有纯虚根 j1 ，闭环系统至 多只是临界稳定的。
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不稳定
稳定
§4－4 奈奎斯特稳定性判据 奈奎斯特稳定性判据 （简称奈氏判据） 将开环传递函数的频率特性和 闭环极点在右半复平面的个数联系起来， 即根据系统开环传递函数的频率 特性来判定闭环系统的稳定性。奈氏判据的特点是： （1）开环频率特性曲线可以由实验方法获得，因此，当系统的开环传 递函数表达式不知道时，应用奈氏判据判稳很方便。 （2） 在指出系统是否稳定的同时， 还可以给出关于系统稳定程度的信 息和改善系统稳定性的办法， 便于研究系统参数和结构对系统稳定性的影 响。 （3）当包含有时间延迟环节时，容易得到系统稳定性的分析结果。 1、幅角定理
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[s]
j
[s]
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R
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s
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s
（a）
（b）
以开环传递函数有 个积分环节的情况为例，设 G(s) H (s) G0 (s) s ，
G0 (0) k ，即 G0 (s) 不含积分环节。只考虑奈氏路径的上半部分，s 的变化的
路径如下图所示。
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40 L(dB)
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例题：设系统的开环传递函数为
j
G ( s) H ( s)
k s 2 (Ts 1)
[s]
B
式中， k 0 ，用对数频率特性判定稳定性。 解：因为开环传递函数含有两个积分环节，奈氏路径 在原点附近为第Ⅰ象限半径无限小的 1 4 圆， 如右上图 所示， 奈氏路径起始点在正实轴上并且无穷靠近原点， 它的映象为无穷大的正实数， 当沿上述 1 4 圆逆时针方 向旋转至正虚轴上时，它的映象从正实轴方向开始沿 半径无穷大的圆弧顺时针方向旋转 2 90 。上述事实 反映在右图中是对数相频特性曲线中虚线所示的部 分，当开环传递函数含有积分环节，应用对数频率稳 定判据判稳时，此虚线部分不能遗漏。 这样，补充虚线部分后的对数相率特性曲线如下 图所示，在 L() 0 的频率范围内，相频特性曲线对
这样， 当 s 沿乃氏路径变化时， G( s) H ( s) 平面上的曲线对负实轴上 (, 1) 区段的穿 越次数 N N p 2 时，闭环系统稳定，否 则不稳定。 极坐标图中实轴上的 (, 1) 区段，和对 数频率特性中的 L() 0, () 180 相对 应，由此得到对数频率特性的稳定性判据： 设开环传递函数 G( s) H ( s) 有 p 个右半 s 平面上的极点， 在对数幅频特性 L( ) 0 的区 段内，对数相频特性曲线对 180 线的正、负 穿越次数之差满足 N N p 2 时， 闭环系 统稳定，否则不稳定。 注意：当开环传递函数中包含有积分环节 或虚轴上的极点时，开环传递函数的频率特性 在相应的频率点处，幅频特性会趋于无穷大， 相频特性会出现 90 整数倍或 180 整数倍 的相角跳变，在应用对数频率稳定判据判稳 时，必须将这些跳变考虑进来。
1 T1
例题：设系统开环传递函数为
G( s) H ( s)
30( s 0.33) s( s 1)
试用奈氏判据判定系统的稳定性。 解：绘制系统的频率特性曲线如下图所示。当 s 在奈氏路径上由 A 到 B 点变化时， 映射从负实轴上的无穷远处的 A 点开始，沿半径为无穷大的圆弧顺时针方针方向 转过 90 到 B 点，映射曲线由 B 到 O 的曲线对应 : 0 时系统的开环幅相 频率特性曲线。因为系统开环传递函数有一个右半平面的极点， p 1 ，映射曲线
ABO 逆时针方向绕 (1, j0) 点 180 ，满足 [1 G( j) H ( j)] p 的条件，
闭环稳定。
B'
j
[s]
j
[GH ]
p 1
B
A'
A
1
0 O
0
4、对数稳定性判据 系统的开环传递函数 G( s) H ( s) 的分母分子多项式是 实系数的，当 G( s) H ( s) 没有虚 轴上或原点上的极点时，幅相频 率特性的起始点一定在正实轴或 负实轴上，当 G( s) H ( s) 有原点 或虚轴上的极点时，对奈氏路径 进行修改后，将幅相特性曲线中 半径为无穷大的圆弧部分包括进 来，则幅相特性曲线幅相频率特 性同样也起始于实轴上，且是连 续无间断的，如右图所示。所以， 幅相特性曲线对 (1, j0) 点的包 围情况，可以简单地根据其对实 轴 (, 1) 区段的穿越情况来决 定。为此有右下图所示穿越次数 的定义。
j
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[G ( s ) H ( s )]
B
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O 0
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（e） 几个应用奈奎斯特判据判稳的例子
（f）
3、系统开环传递函数有虚轴上的极点时的奈氏判据 若系统开环传递函数有虚轴上的极点，则开环传递函数的幅相频率特性在这些 点上没有定义。在这种情况下，必须对奈氏路径略作修改，以避开这些开环极点， 修改后的奈氏路径记为闭曲线 s ，如下图（a） 、 （b）所示。 对奈氏路径做上述修改后，替代开环幅相频率特性曲线无定义（间断）点的， 是 s 平面上围绕虚轴上开环极点的半径无穷小半圆映射到 G( s) H ( s) 平面上半径为 无穷大的圆弧。 当 s 按图中所示的方向沿半径为无穷小半圆转过 180 时， G( s) H ( s) 平面上半径为无穷大的圆弧所转过的角度，等于半径无穷小半圆所绕的开环极点的 重数 180 ，即半径为无穷大的圆弧总是顺时针方向旋转的。
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[ F ( s)]
z2 z1 s1 p3 p2 p1
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2、奈氏稳定性判据 用开环传递函数 G( s) H ( s) 构造辅助函数 F (s) 1 G(s) H (s) ，显 然 F ( s ) 的极点即开环传递函数的极点， F ( s ) 的零点即闭环传递函数的 极点。当 F ( s ) 在右半闭复平面上没有零点时，闭环系统就是稳定的。 设开环传递函数 G( s) H ( s) 在右半开复平面不稳定极点的个数为 p ，且没有虚轴上的开环极点。将 s 复平面的虚轴和右半 s 复平面中半 径为无穷大的半圆取为闭曲线 s ，称为奈氏路径，如下左图所示。当 s 沿闭曲线 s 顺时针方向变化一周时，辅助函数 F ( s ) 曲线绕原点逆时针 方向旋转的圈数 n 等于 F ( s ) 在右半开平面的极点数 p 减去 F ( s ) 在右半 开平面的零点数。
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在 上 图
A 、 B
弧 段 上 ，
G(s) H (s) G0 (0) ( e j ) ke j
s e j 。 0 时 有 。当 s 在奈氏路径上由 A 到 B 点变化
时， : 0 2 变化，即从实轴上开始逆时针方向转 90 ，像函数 G( s) H ( s) 从实轴上 G0 (0) k 的方向开始，顺时针方向沿半径无穷大圆弧转过 90 。 当开环传递函数有虚轴上的极点时，处理方法相似。 经过上述修改和补充后，将开环传递函数在原点和虚轴上的极点看成是位 于左半平面稳定的极点，则奈氏稳定性判据仍然成立。
L(dB)
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例题：设系统开环传递函数为
G ( s) H ( s)
10 (2s 1)( s 1)(0.1s 1)
试应用对数频率特性判定稳定性。若系统开环增益增大 10 倍又如何？ 解：系统对数频率特性如下左图所示。在 L( ) 0 范围内，相频特性曲线对 180 线 没有穿越，即 N N 0 0 p 2 0 2 0 ，故闭环系统稳定。 开环增益增 10 倍，幅频特性上移 20dB ，相频特性不变，对数频率特性如下右图 所示，此时 N N 0 (1) 1 ，故闭环系统不稳定。
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例题：设系统开环传递函数为
G( s) H ( s)
k ( 1s 1) (T1s 1)(T22 s 2 1)
设 k 0 ，试用奈氏判据判定系统的稳定性。 解：奈氏路径如下左图所示。映射曲线分 1 T1 和 1 T1 两种情况。1 T1 时，幅 相特性曲线不包围 (1, j0) 点， 闭环系统稳定； 幅相特性曲线包围 (1, j0) 1 T1 时， 点，闭环系统不稳定，如下图所示。
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因为总有 G( j)H ( j ) 0 ，只需考虑奈氏路径中沿虚轴变化这一部分 的映射曲线就可以了。 而且， 开环传递函数的分子、 分母多项式都是实系数的， 故 从 到 0 变化时和 从 0 到 变化时， F ( j ) 映射曲线关于实轴是 对称的。故有下面的奈奎斯特稳定性判据： 设负反馈系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) ，G( s) H ( s) 在右半复平面上 极点个数等于 p ，则当 : 0 变化时相角增量
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180 线 穿 越 1 次 ， 没 有 正 穿 越 ， 于 是 有 N N 0 (1) 1，因此，无论 k 0 、T 0
[1 G( j) H ( j)] p
则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 因 为 1 G (s ) H (s ) 复 平 面 上 的 原 点 相 当 于 G( s) H ( s) 复 平 面 上 的
(1, j 0) 点，故奈氏判据也可以表示成： 设负反馈系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) ，G( s) H ( s) 在右半复平面上 极点个数等于 p ，则当 : 0 变化时，像函数 G( s) H ( s) 平面上的频率特 性曲线 G( j ) H ( j ) 逆时针方向绕 (1, j 0) p 2 周，则闭环稳定，否则不稳
例题：设单位反馈系统开环传递函数为
G(s)
k s (Ts 1)
设 1, 2 ， k 0 ，试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。 解： 1 时，开环幅相频率特性曲线如下图（b）所示。因为开环传递函数没有 右半平面的极点， p 0 ，映射曲线 AB O 不包围 (1, j0) 点，故闭环系统稳定。 在 2 时，开环幅相频率特性曲线如下图（c）所示。因为系统开环传递函数没 有右半平面的极点， p 0 ，映射曲线 AB O 包围了 (1, j0) 点，故闭环系统不 稳定。
定。 若出现 G( j ) H ( j ) 曲线穿过 (1, j 0) 的情况，则相应的频率值 1 必满 足方程 1 G( j1 ) H ( j1 ) 0 ，即闭环传递函数有纯虚根 j1 ，闭环系统至 多只是临界稳定的。
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§4－4 奈奎斯特稳定性判据 奈奎斯特稳定性判据 （简称奈氏判据） 将开环传递函数的频率特性和 闭环极点在右半复平面的个数联系起来， 即根据系统开环传递函数的频率 特性来判定闭环系统的稳定性。奈氏判据的特点是： （1）开环频率特性曲线可以由实验方法获得，因此，当系统的开环传 递函数表达式不知道时，应用奈氏判据判稳很方便。 （2） 在指出系统是否稳定的同时， 还可以给出关于系统稳定程度的信 息和改善系统稳定性的办法， 便于研究系统参数和结构对系统稳定性的影 响。 （3）当包含有时间延迟环节时，容易得到系统稳定性的分析结果。 1、幅角定理
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（a）
（b）
以开环传递函数有 个积分环节的情况为例，设 G(s) H (s) G0 (s) s ，
G0 (0) k ，即 G0 (s) 不含积分环节。只考虑奈氏路径的上半部分，s 的变化的
路径如下图所示。
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40 L(dB)
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例题：设系统的开环传递函数为
j
G ( s) H ( s)
k s 2 (Ts 1)
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式中， k 0 ，用对数频率特性判定稳定性。 解：因为开环传递函数含有两个积分环节，奈氏路径 在原点附近为第Ⅰ象限半径无限小的 1 4 圆， 如右上图 所示， 奈氏路径起始点在正实轴上并且无穷靠近原点， 它的映象为无穷大的正实数， 当沿上述 1 4 圆逆时针方 向旋转至正虚轴上时，它的映象从正实轴方向开始沿 半径无穷大的圆弧顺时针方向旋转 2 90 。上述事实 反映在右图中是对数相频特性曲线中虚线所示的部 分，当开环传递函数含有积分环节，应用对数频率稳 定判据判稳时，此虚线部分不能遗漏。 这样，补充虚线部分后的对数相率特性曲线如下 图所示，在 L() 0 的频率范围内，相频特性曲线对
这样， 当 s 沿乃氏路径变化时， G( s) H ( s) 平面上的曲线对负实轴上 (, 1) 区段的穿 越次数 N N p 2 时，闭环系统稳定，否 则不稳定。 极坐标图中实轴上的 (, 1) 区段，和对 数频率特性中的 L() 0, () 180 相对 应，由此得到对数频率特性的稳定性判据： 设开环传递函数 G( s) H ( s) 有 p 个右半 s 平面上的极点， 在对数幅频特性 L( ) 0 的区 段内，对数相频特性曲线对 180 线的正、负 穿越次数之差满足 N N p 2 时， 闭环系 统稳定，否则不稳定。 注意：当开环传递函数中包含有积分环节 或虚轴上的极点时，开环传递函数的频率特性 在相应的频率点处，幅频特性会趋于无穷大， 相频特性会出现 90 整数倍或 180 整数倍 的相角跳变，在应用对数频率稳定判据判稳 时，必须将这些跳变考虑进来。
1 T1
例题：设系统开环传递函数为
G( s) H ( s)
30( s 0.33) s( s 1)
试用奈氏判据判定系统的稳定性。 解：绘制系统的频率特性曲线如下图所示。当 s 在奈氏路径上由 A 到 B 点变化时， 映射从负实轴上的无穷远处的 A 点开始，沿半径为无穷大的圆弧顺时针方针方向 转过 90 到 B 点，映射曲线由 B 到 O 的曲线对应 : 0 时系统的开环幅相 频率特性曲线。因为系统开环传递函数有一个右半平面的极点， p 1 ，映射曲线
ABO 逆时针方向绕 (1, j0) 点 180 ，满足 [1 G( j) H ( j)] p 的条件，
闭环稳定。
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4、对数稳定性判据 系统的开环传递函数 G( s) H ( s) 的分母分子多项式是 实系数的，当 G( s) H ( s) 没有虚 轴上或原点上的极点时，幅相频 率特性的起始点一定在正实轴或 负实轴上，当 G( s) H ( s) 有原点 或虚轴上的极点时，对奈氏路径 进行修改后，将幅相特性曲线中 半径为无穷大的圆弧部分包括进 来，则幅相特性曲线幅相频率特 性同样也起始于实轴上，且是连 续无间断的，如右图所示。所以， 幅相特性曲线对 (1, j0) 点的包 围情况，可以简单地根据其对实 轴 (, 1) 区段的穿越情况来决 定。为此有右下图所示穿越次数 的定义。
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