2019-2020学年高中数学 3.4《曲线与方程》教学设计 北师大版选修2-1.doc

2019-2020学年高中数学 3.4《曲线与方程》教学设计 北师大版选

修2-1

【教学目标】

1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.

2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.

3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法. 【导入新课】 复习导入

复习有关常见的曲线，及其对应的方程.例如我们一起回顾直线和圆的方程有关知识： 1.经过点P(0,b)和斜率为k 的直线l 的方程为y kx b =+， 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是y x = ，

3.圆心为C(a,b) ,半径为r 的圆C 的方程 为()()2

2

2

x a y b r -+-=，

4．直线 x-y=0上 点的横坐标与纵坐标相等 x=y （或x- y=0） 即第一、三象限角平分线含有关系：（1） 直线上点的坐标都是方程x-y=0的解 （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线x-y=0 上. 新授课阶段

1. 曲线的方程和方程的曲线的概念： 我们把满足下面两个条件：

（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f （x ，y ）＝0的解；

（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线.

例1下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ，为什么？

（1）x －y =0

（2=0

（3）x 2

－y 2

=0 （4）|x |－y =0

解析：方程（1）是表示直线l 的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l 的方程. （2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论.

（3）中虽然“直线l 上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x 2

－y 2

=0的解为坐标的点不全在直线l 上，如点（2，－2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论.

（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）.

点评：理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定.

判定时必须要同时满足（1）直线l 上的点的坐标都是方程的解.（2）以方程的解为坐标的点都在直线上.

例2 （1）判断点M 1（3，－4），M 2（－2）是否在方程x 2

+y 2=25所表示的曲线上. （2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x 2

+y 2

=25. 分析：第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上.第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明.

解析：（1）把点M 1（3，－4），M 2（－2）分别代入到方程中，可知前者满足方

程，后者不满足.（2）设圆心坐标为（0，0），半径为r=5，圆上的任意一点P （x ，y ），结合两点间距离公式，我们得到圆上的点满足的方程. 2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f （x ，y ）=0； （4）将方程f （x ，y ）=0化为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点.（查漏除杂）. 例3 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=. 分析：先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.

证明：（1）设M （x 0，y 0）是轨迹上的任意一点，因为点M 与x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以 k y x =⋅00即),(00y x 是方程k xy ±=的解.

（2）设1M 的坐标),(11y x 是方程k xy ±=的解，那么k y x ±=11即k y x =⋅11，而11,y x 正是点1M 到x 轴，y 轴的距离，因此点1M 到两条坐标轴的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点.

由（1）（2）可知，k xy ±=是与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程.

例4 设A 、B 两点的坐标是 （－1，－1）、（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 解法一：∵7(1)

23(1)

--=

=--AB k ，∴所求直线的斜率k=－0.5.

又∵线段AB 的中点坐标是1317

(

,)22

-+-+，即（1，3）. ∴线段AB 的垂直平分线的方程为1

3(1)2

y x -=-

-.即x +2y －7=0. 解法二：设M （x ，y ）是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则|MA|=|MB|.

2222x +2x +1+y +2y +1=x -6x +9+y -14y +49∴

∴270x y +-=（Ⅰ）

（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程270x y +-=的解； （2）设点1M 的坐标11(,)x y 是方程（Ⅰ）的解，即11270x y +-= ∵以上变形过程步步可逆，

11M A =M B

综上所述，线段AB 的垂直平分线的方程是x +2y -7=0. 3. 求曲线方程的常用方法：

（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法.用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”.

（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.

（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却