近世代数教学课件

A B {1,2,3,4} 例1 设 f : 1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
例2 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集合. 对 于每一 x A ，令 f ( x) x 与它对应. f 不是A到B的映 f ( x) 不能由x唯一确定. 射， 因为当 x 0 时，
并运算 设 A， B是两个集合 . 由 A的一切元素和 B的一切 元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B. 如图1所示.
A
A B
( x A B) ( x A或x B) ( x A B) ( x A且x B)
B
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作： A B ，如图2所示.
§2 映射与变换
定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射 指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的 每一个元素 x，有集合B中一个惟一确定的元素 y 与它 对应. 用字母f，g，…表示映射. 用记号 f : A B 表示f 是 A到B的一个映射. 如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那 f :x y 么就写作 这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f ( x) .
的实数的所组成的集合.
常用的数集： 全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q
全体实数的集合，表示为R
全体复数的集合，表示为C
设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的
元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 A B ，或记 作 B A . 根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集当且仅当 对于每一个元素x，如果 x A ，就有 x B .
A A
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : ( A B) C A ( B C ) ; ( A B) C A ( B C) 分配律 : A B C A B A C
A B C A B A C
Q C Ø 注意：并没有要求B是A的子集. 例如，
积运算： 设A，B是两个集合，令 A B {(a, b) | a A, b B} 称 A B 为A与B的笛卡儿积（简称为积）. 是一切元素 对（a, b ）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自 A，第二个位置的元素b取自B. 可以定义多个集合的笛卡儿积
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去， 设 是给定的集合 .由 A1 , A2 ,, A n
A1 , A2 ,, 的一切元素 An
所成的集合叫做
A1 , A2 ,, 的并； An
由 A1 , A2 ,, An的一切公共元素所成的集合叫做
A1 , A2 ,, An 的交. A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为：
, 拟枚 1,2,3,4,5....n..... 拟枚举： 自然数的集合可以记作 举可以用来表示能够排列出来的的集合 , 像 自然数、整数…
描述法:
如果一个集 A 是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质
来表示.
A {x | 1 x 1, x R } 表示一切大于 -1 且小于 1
A是B的子集，记作：
( A B) (x : x A x B)
如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的， 就说A与B 相等，记作：A=B. 即
( A B) (x : x A x B)
以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集， 记为P(A).
如果集合A包含无限多个元素，则记为 A =；如 果A包含ｎ个元素，则记为 A =ｎ，此时 P(A) 2n
A1 A2 An 和 A1 A2 An
. 我们有
, n)
( x A1
A2
A) ( x至少属于某一Ai , i 1, 2,
( x A1
A2
A) ( x属于每一Ai , i 1, 2,
, n)
差运算： 设A，B是两个集合，令 A B {x | x A但x B} 也就是说，A B 是由一切属于A但不属于B 的元素所 组成的，称为A与B 的差.
A B
显然，A B A ， A B B 例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
A B {2,3,4}
我们有 ( x A B) ( x A且x B)
( x A B) ( x A或x B)
运算性质:
幂等率 : A
A A ; A
定义2 设f 是A到B的一个映射，如果Imf=B，那么说 称f 是A到B上的一个映射，这里也称f 是一个满射 。 设 f : A B 是一个映射. 对于 x A ，x的像 f ( x) B . 一切这样的象作成B的一个子集，用 f ( A) 表示： f ( A) { f ( x) | x A} ， 叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.
近世代数
第一章 基本概念
§1 §2 §3 集 合 映射与变换 代数运算
§4 §5 §6
运算率 同态与同构 等价关系与集合的分类
§1 wenku.baidu.com 合
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集， 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的 元素，就说a属于A，记作 a A ；如果a不是集合A 的元素，就说a不属于A，记作 a A ； 例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A， 而 3 . A
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的 集合叫做有限集合. 如，学校的全体学生的集 合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些 都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元素组成的， 就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；全 体实数的集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素 a1 , a2 ,, an 的 a1 , a2 ,, an . 前五个 集合的有限集合表示成： 正整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .